Lineer Programlama. Doğrusal terimi, hem amaç hem de kısıtları temsil eden matematiksel fonksiyonların doğrusal olduğunu gösterir.

Transkript

1 LİNEER PROGRAMLAMA

2 Giriş Uygulamada karşılaşılan birçok optimizasyon problemi kısıtlar içerir. Yani optimizasyon probleminde amaç fonksiyonuna ilave olarak çözümü kısıtlayıcı ek denklemler mevcuttur. Bu ek denklemler optimizasyon probleminin kısıtları olarak adlandırılır. Optimizasyon problemi amaç fonksiyonunun lineer ve lineer olmamasına göre çözüm yöntemlerinde farklılıklar gösterir. Burada ilk olarak kısıtlı optimizasyon problemlerinde hem amaç fonksiyonunun hem de kısıtların lineer olmaları durumunda problemin çözümüne yönelik geliştirilen birkaç yöntem ele alınmaktadır.

3 Giriş Bu şekilde fonksiyonlarda lineerlik özelliklerini kullanan bazı özel yöntemler geliştirilmiştir. Bunlar genel olarak lineer programlama yöntemleri olarak adlandırılır ve bu yöntemlerle binlerce değişken ve kısıttan oluşan problemleri en iyi şekilde çözülebilmektedir. Mühendislik ve idari alanlarında karşılaşılan problemlerin çözümünde bu yöntemler oldukça yoğun bir şekilde kullanılırlar. Diğer taraftan lineer olmayan kısıt denklemleri içeren optimizasyon problemleri kaçınılmaz şekilde gerçek hayatta karşımıza çıkmaktadır. Bunlar ile ilgili çözüm yöntemleri de ayrıca burada ele alınacaktır.

4 Lineer Programlama Doğrusal programlama (LP), sınırlı kaynaklar gibi kısıtlamaların varlığında kârı maksimize etme veya maliyeti en aza indirme gibi istenen bir amacı yerine getirmeyi hedefleyen bir optimizasyon yaklaşımıdır. Doğrusal terimi, hem amaç hem de kısıtları temsil eden matematiksel fonksiyonların doğrusal olduğunu gösterir. Programlama terimi bilgisayar programlamayı ifade etmez, daha çok zamanlama veya gündemi belirleme anlamına gelir. (Revelle ve ark. 1997).

5 Lineer Programlama Temel doğrusal programlama problemi amaç fonksiyonu ve mutelif sayıda kısıt gibi iki ana bölümden oluşur. Bir maksimizasyon problemi için amaç fonksiyonu genel olarak aşağıdaki biçimde ifade edilir. Maksimum { Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + +c n x n } Burada c j = üstlenilen j inci faaliyetin her bir ünitesinin ücreti ve x j j inci etkinliğin büyüklüğüdür. Böylece, objektif fonksiyonun (Z) değeri, n adet toplam faaliyet sayısı nedeniyle toplam maliyettir.

6 Lineer Programlama Kısıtlar genel olarak aşağıdaki biçimde ifade edilir. a i1 x 1 + a i2 x 2 + +a in x n b i Burada a ij j inci faaliyetin her bir birimi için tüketilen i inci kaynağın miktarı ve b i kullanılabilir durumdaki i inci kaynağının miktarıdır. Yani, kaynaklar sınırlıdır. İkinci genel kısıtlama türü, tüm faaliyetlerin pozitif bir değere sahip olması gerektiğini belirtir. x i 0

7 Lineer Programlama Bu ifade bazı problemler için mevcut durumda (pozitif faaliyet olması durumunda) gerçekçi bir yaklaşım ifade ederken negatif faaliyet durumunda ise fiziksel olarak imkansız olduğunu gösterir (örneğin, negatif ürünler üretemeyiz). Amaç fonksiyonu ve kısıtlamalar birlikte doğrusal programlama problemini tanımlar. Sınırlı miktarda kaynağı kullanan kısıtlarda bir dizi faaliyet için getirinin maksimum yapılmaya çalışıldığı söylenebilir. Bu sonucun nasıl elde edilebileceğini görmeden önce, ilk olarak bir örnek üzerinden konuyu ele alalım.

8 LP nın Oluşturulması Problemin ifade edilmesi: Aşağıdaki problem, kimya veya petrol mühendisliği alanından geliştirilmiştir. Ancak sınırlı kaynaklara sahip ürünler üretmeye yönelik tüm mühendislik alanları ile ilgilidir. Gaz işleme tesisinin her hafta sabit miktarda ham gaz aldığını varsayalım. Ham gaz normal ve yüksek kaliteli olarak iki kalitede ısıtma gazı olarak işlenmektedir. Bu kaliteli gazlar yüksek talep görmekte, (yâni, satılma garantisi vardır) ve şirkete farklı kârlar sağlamaktadır. Ancak bunların üretimi hem zaman hem de yerinde depolama kısıtlarını içermektedir.

9 LP nın Oluşturulması Örneğin, belli bir sürede sadece bir kalite gaz üretilebilir durumda olup bunun için tesis sadece 80 saat/hafta için açıktır. Ayrıca, her bir ürün için sınırlı depolama alanı bulunmaktadır. Bütün bu faktörler aşağıda listelenmiştir (metrik ton veya ton 1000 kg'a eşittir).

10 LP nın Oluşturulması Soru: Bu operasyonun kârını maksimize etmek için doğrusal programlama formülasyonu geliştirin. Çözüm: Bu tesisi işleten mühendis, kârı maksimize etmek için her bir gazdan ne kadar üreteceğine karar vermelidir. Eğer haftalık olarak üretilen normal ve süper gaz miktarları sırasıyla x 1 ve x 2 olarak belirlenirse toplam haftalık kâr veya doğrusal programlama amaç fonksiyonu aşağıdaki gibi hesaplanır. Toplam kâr = 150x x 2 ; Mak { Z = 150x x 2 }

11 LP nın Oluşturulması Kısıtlar benzer bir şekilde yazılabilir. Örneğin, kullanılan toplam ham gaz aşağıdaki gibi hesaplanabilir Kullanılan toplam gaz = 7x x 2 olur ve bu toplam mevcut 77 m 3 /hafta miktarını geçemez. Bu nedenle aşağıdaki gibi bir kısıtlama ile ifade edilebilir. 7x x 2 77 Geri kalan kısıtlamalar benzer bir şekilde oluşturulabilir, sonuçta elde edilen toplam LP formülasyonu aşağıdaki gibi olur.

12 LP nın Oluşturulması Maksimum { Z = 150x x 2 } (Maksimum kâr) Kısıtlar: 7x x 2 77 (Malzeme kısıtlaması) 10x 1 + 8x 2 80 (Zaman kısıtlaması) x 1 9 ( Normal depolama kısıtlaması) x 2 6 ( Süper depolama kısıtlaması) x 1,x 2 0 (Pozitiflik kısıtlaması) Her terimin anlamını açıklığa kavuşturmak için sağdaki parantez açıklamaları eklenmiştir.

13 GRAFİK ÇÖZÜM

14 Grafik Çözüm Grafik çözümler iki veya üç boyutla sınırlı olduklarından uygulanması sınırlıdır. Ancak daha büyük boyutlu problemleri çözmünde kullanılan genel cebirsel tekniklerin arkasındaki bazı temel kavramları görmek için oldukça yararlıdırlar. Örnek 1'deki gibi iki boyutlu bir problem için, çözüm uzayı x 1 ve x 2 ile bir düzlem olarak tanımlanabilir. Kısıtlar doğrusal oldukları için bu düzlemde düz çizgiler olarak çizilebilir. Eğer LP problemi uygun bir şekilde formüle edilmişse (yani bir çözüme sahipse) bu kısıt çizgileri, sınırlamalara uyan ve olası çözümleri temsil eden tüm x 1 ve x 2 kombinasyonlarını içeren gerçekçi çözüm alanı olarak adlandırılan bir bölgeyi tanımlayacaktır.

15 Grafik Çözüm Amaç fonksiyonunda olduğu gibi iki boyutlu bir problemlerde belirli bir Z değeri için başka bir düz çizgi çizilebilir ve bu uzayın üstüne getirilebilir. Daha sonra Z'nin değeri x 1 ve x 2 noktaları gerçek çözüm uzayında olmak kaydıyla maksimum değerde oluncaya kadar ayarlanır. Böylece elde edilen Z değeri en uygun çözümdür. Z'nin gerçek çözüm uzayına dokunduğu x 1 ve x 2 ye karşılık gelen değerleri söz konusu faaliyetlerin optimal değerleridir. Aşağıda verilen örnek bu yaklaşımı daha iyi anlamak için yardımcı olacaktır.

16 Grafik Çözüm: Örnek Problemin ifade edilmesi: Daha önce Örnek 1 de verilen gaz işleme problemini grafik çözüm yaklaşımını kullanılarak çözünüz. Maksimum { Z = 150x x 2 } (Maksimum kâr) Kısıtlar: 7x x x 1 + 8x 2 80 x 1 9 x 2 6 x 1 0 x 2 0

17 Grafik Çözüm: Örnek Çözüm: İlk olarak, çözüm uzayı üzerinde kısıtlar çizilir. Örneğin, ilk kısıt eşitsizlik işareti eşit işareti ile değiştirerek yeniden formüle edilir ve x 2 için çözülürse; x 2 = -7/11x olur. Böylece, Şekil 1a'da olduğu gibi, bu kısıta uyan x 1 ve x 2 olası değerleri bu çizginin altına düşer (grafikte küçük ok ile gösterilen yön). Diğer kısıtlar, Şekil 2a'da gösterildiği gibi, benzer şekilde hesaplanır. Bütün kısıtları sağlayan alanın nasıl çevrelendiğine dikkat edin. Bu grafikte gösterilen ABCDE alanı gerçek çözüm uzayıdır.

18 Şekil 1a. Kısıtların tanımladığı çözüm bölgesi.

19 Grafik Çözüm: Örnek Şekil 1a da verilen alanının çözüm uzayını tanımlamasının yanı sıra, problem için bazı ek bilgiler de içerir. Özellikle, 3. kısıtın (normal gazın depolanması) gereksiz olduğu görülmektedir. Yâni, eğer silinirse gerçek çözüm uzayı etkilenmez. Bir sonraki adımda, amaç fonksiyonu grafiğe eklenebilir. Bunu yapmak için Z ye değer seçilmesi gerekir. Örneğin, Z = 0 için amaç fonksiyonu 0 = 150x x 2 olur. Bu denklem x 2 için çözülürse, x 2 = -150/175x 1 bulunur.

20 Grafik Çözüm: Örnek Şekil 1b'de gösterildiği gibi, bu başlangıç noktasından geçen kesikli bir çizgi ile verilir. Şimdi Z yi maksimum yapmak istediğimizden Z ye 600 değerine kadar arttıralım. Buna göre amaç fonksiyonu; x 2 =(600/175)-(150/175)x 1 olur. Böylece, objektif fonksiyonun değerini arttırmak çizgiyi başlangıç noktasından uzaklaştırır. Çizgi hâlâ çözüm alanı içinde kaldığından bulduğumuz sonuç hâlâ gerçekçidir. Bununla birlikte, aynı sebepten ötürü, hâlâ iyileştirme için yer olduğu görülür.

21 Şekil 1b. Amaç fonksiyonu tüm kısıtlara uyan en büyük değere ulaşana kadar arttırılabilir.

22 Grafik Çözüm: Örnek Bu şekilde Z in değerinin gerçek çözüm bölgesinin dışına çıkana kadar artırılmasına devam edilir. Şekil 1b'de gösterildiği gibi, Z'nin maksimum değeri yaklaşık 1400 değerine karşılık gelir. Bu noktada, x 1 ve x 2 sırasıyla yaklaşık 4.9 ve 3.9'a eşittir. Sonuç olarak, grafiksel çözüm normal ve süper gazı bu miktarlarda üretecek olursak 1400 civarında maksimum kâr elde edeceğimizi bize söylemektedir. Grafiksel yaklaşım optimal değerlerin bulmasının yanında problemi daha da derinleştirmektedir. Bu cevapları tekrar kısıt denklemlerine yerleştirerek değerlendirilebilir.

23 Grafik Çözüm: Örnek Bu cevapları tekrar kısıt denklemlerine yerleştirerek değerlendirilebilir. 7(4.9) + 11(3.9) =77 10(4.9) + 8(3.9) = Sonuç olarak, çizimden de anlaşılacağı gibi, her bir ürünün optimal miktarında üretim yapmak bizi sadece kaynak (1) ve zaman kısıtlarını (2) karşıladığımız noktaya getirir.

24 Grafik Çözüm: Örnek Bu tür kısıtların bağlayıcı olduğu söylenebilir. Ayrıca, grafiksel olarak da açıkça görüldüğü gibi, depolama kısıtlarından hiçbiri bir sınırlayıcı değildir. Bu tür kısıtlamalar gerçekte bağlayıcı olmayan kısıtlar olarak adlandırılır. Bu durum ham gaz girdimizi veya üretim süremizi artırarak kârı büyütebileceğimiz sonucunu ortaya koyar. Ayrıca, artan depolama alanlarının kâr üzerinde hiçbir etkisi olmayacağını göstermektedir. Bir önceki örnekte elde edilen sonuçlar, genellikle lineer programlama probleminde elde edilebilen dört olası sonuçtan biridir.

25 Grafik Çözüm: Örnek Bunlar: 1. Benzersiz çözüm: Örnekte olduğu gibi, maksimum amaç fonksiyonu tek bir noktayı kesmektedir. 2. Alternatif çözümler: Örnekteki amaç fonksiyonunu kısıtlardan birine tam olarak paralel yapan katsayılara sahip olduğunu varsayalım. Bizim örneğimizde, bu durumun meydana gelmesinin bir yolu eğer kâr 140 $/ton ve 220 $/ton olarak değişmesi olabilirdi. Tek bir noktadan ziyade, problem bir doğru parçasına karşılık gelen sonsuz sayıda optimumlara sahip olacaktır (Şekil 2a).

26 Şekil 2a. Alternatif optimumlar.

27 Şekil 2b. Uygun çözüm yok.

28 Şekil 2c. Sınırlandırılmamış sonuç.

29 Grafik Çözüm: Örnek 3. Uygun bir çözüm yok: Şekil 2b'de olduğu gibi, problemin gerçekçi bir çözümü olmayacak şekilde oluşturulması mümkündür. Bu, çözülemeyen bir problemle uğraşmaktan veya problemin oluşturulmasındaki hatalardan kaynaklanabilir. İkinci durum eğer problem tüm kısıtları sağlamayan nokta ile aşırı kısıtlanırsa ortaya çıkabilir. 4. Sınırlandırılmayan problemler: Şekil 2c'de olduğu gibi, bu genellikle problemin kısıtlı olduğu anlamına gelir ve bu nedenle açık uçludur. Gerçekçi çözümün olmaması durumunda olduğu gibi, bu genellikle problemin belirlemesi sırasında yapılan hatalardan kaynaklanabilir.

30 Grafik Çözüm: Örnek Şimdi problemimizin tek bir çözümü içerdiğini varsayalım. Grafiksel yaklaşım, maksimumu bulmak için bir listeleme stratejisi önerebilir. Şekil 1'den optimumun her zaman iki kısıtın buluştuğu köşe noktalarından birinde oluştuğu açıkça görülmelidir. Böyle bir nokta esasen uç nokta olarak bilinir. Sonuç olarak uç noktalara odaklanan karar uzayındaki sınırsız sayıda olasılığın dışındaki olası seçenekleri iyice azaltır. Bununla birlikte her uç noktanın gerçekçi olmadığını yâni tüm kısıtları sağlamadığını bilmemiz gerekir. Örneğin, Şekil 1a'daki F noktasına işaret eden noktanın uç nokta olduğuna dikkat edin, ancak bu gerçekçi değildir. Bu bakımdan alanı daha da daraltan gerçekçi uç noktalarla kendimizi sınırlamamız gerekir.

31 Grafik Çözüm: Örnek Son olarak, tüm olası uç noktaları tanımlandıktan sonra, amaç fonksiyonunun en iyi değerini veren bir nokta optimum çözüm olarak alınır. Bu optimal çözümün bulunması her gerçekçi uç noktadaki amaç fonksiyonun değerini hesaplamakla yapılabilir. Grafik çözümden başka bir çözüm olarak kullanılan Simpleks yöntemi olarak ele alınmaktadır. Son derece etkili bu yöntem optimum noktaya varmak için belli sayıda gerçekçi uç nokta yoluyla seçime bağlı süreç ile akış çizelgesi haline getiren bir strateji sunar.