BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI"

Berker Uslu
8 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei kaç farklı şekilde çıkabileceği gibi soru tiplerii geel çözümüde kullaılmak üzere bir kural elde ederek mümküse durumu formülize etmek. Soru: Kouu İlgili Matematik Dalı: Sayılar Teorisi Çözüm: Bu soruu çözümü aslıda toplamları edecek şekilde veya i farklı sıralaışlarıı tekrarlı permütasyou olarak düşüülebilir. Acak özellikle büyük sayılar içi ve seçeek sayısı üç olduğuda bu durumları tek tek hesaplamak oldukça güçtür ve herhagi bir dizilişi uutulma yada yalış hesaplama olasılığı da vardır. Farklı dizilişleri ve her birii tekrarlı permütasyolarıı bulalım.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,! =!! = 0!,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 0! = 4 8!.! 9! = 84 6!.3! 8! = 70 4!.4! 7! =!.! 6! = 6! SONUÇ: Bua göre, yadaki bulduğumuz tüm durumlar toplaırsa; = 33 farklı şekilde çıkabileceği buluur. Meraklısıa Matematik Namık Karayaık / Ekim 0 / Zoguldak

2 II. Yol: Şimdi soruyu ikici bir yolla çözelim ve bir kural elde etmeye çalışalım. Bu çözümde başlagıçtaki ilk basamakta itibare aşama aşama her basamağa geçişteki durumları hesaplayalım ve souçları tabloda yazalım. Başlagıçta ilk basamağı şekilde çıkar, ilk iki basamağı (, çıkar veya atlar) farklı şekilde çıkabilir, ilk üç basamağı (,, veya, veya, ) 3 farklı şekilde çıkabilir. Bezer şekilde birkaç durum hesaplaarak aşağıdaki gibi tabloda yazıldığıda sayılar arasıdaki ilişkiyi görmek çok ta zor değildir. Saırım bu diziliş size meşhur fiboacci dizisii hatırlatmıştır. Fiboacci diziside birici terim, ikici terim, daha soraki her terim kediside öceki iki terim toplamı şeklidedir. Bu dizilişte ise birici terim, ikici terim, daha soraki her terim kediside öceki iki terim toplamıdır. Yai fiboacci dizisie bezer bir diziliş vardır acak fiboacci diziside ikici terim olduğuda bu dizilişteki kural ve elde edeceğimiz bağıtı farklı olacaktır. Basamak Sayısı Kaç Farklı Şekilde Çıkabileceği O halde bu soruyu, ilk terimi x =, ikici terimi x = ve içi x+ = x+ + x bağıtısıyla diğer terimleri buluabile bir dizi olarak düşüebiliriz. Şimdi bu dizii. terimii vere bir formül bulmaya çalışacağız. Öcelikle bu dizii karakteristik deklemii elde ederek köklerii bulalım. x = x + x bağıtısıı karakteristik deklemi + + r = r+ dir. Burada; r r = 0 ikici derece deklemi elde edilir. + = 4.( ) = tir. O halde, r =, r = buluur. Bu durumda dizii geel terimi; x a. ( r ) b. ( r ) = + olup; r, r köklerii yazdığımızda, + x = a. + b. bağıtısı elde edilir. Bu bağıtıda x =, x = değerlerii yerie yazarak a ve b bilimeye katsayılarıı bulabiliriz. + = a + b () ve + = a + b () dir. Meraklısıa Matematik Namık Karayaık / Ekim 0 / Zoguldak

3 Birici deklem düzeleirse, a+ b+ ( a b) =, ikici deklem düzeleirse, 6( a+ b) + ( a b) = 8 olur. Bu durumda her iki deklemi ortak çözümüde; 6a+ 6b+. a. b= 4a+ 4b+ 4. a 4. b a+ b=. a. b a+ b= ( a b) dir. a+ b+ ( a b) = ( a+ b) = ve burada a+ b= dir. a+ b= ( a b) = ( a b) ve burada So bulduğumuz iki bilimeyeli iki deklemde Bu durumda dizii geel terimi, a b= olur. + a =, b = buluur. x + + =.. + olup düzelediğide; x + = + + elde edilir. Soru: 0 metrelik bir yolu başlagıcıda bulua bir kurbağa metre veya metre zıplayabiliyor. Bua göre kurbağa bu yolu bitiş oktasıa kaç farklı şekilde gelebilir. Çözüm: Yukarıdaki birici bağıtıyı kullaalım. x= 0 f(0) =? f() =, f() = ve x, x N içi, f ( x+ ) = f( x+ ) + f( x) olduğuda, f(3) = 3, f(4) =, f() = 8, f(6) = 3, f(7) =, f(8) = 34, f(9) =, f(0) = 89 buluur. Meraklısıa Matematik 3 Namık Karayaık / Ekim 0 / Zoguldak

4 II. Yol: Soruu cevabıı ikici bağıtıyı kullaarak bulalım. Bakalım elde ettiğimiz formül doğru soucu verecek mi? + x x = 0 deklemii köklerii x =, x = olarak bulmuştuk. + f (0) = f(0) = ( x) ( x) olur. x x = 0 x = x+ 4 x = x + x+ = 3x+ 8 x = 9x + x+ 4= 9x+ 9+ x+ 4= x+ 3 8 x = x. x. x= (x+ 3)( x+ ). x= (x+ 3).( x + x) = 89x+ dir. Bua göre, ( x ) = 89x +, ( x ) yazılırsa, f(0) 89x 89x = 89x + buluur. Bu eşitlikler yukarıdaki f (0) bağıtısıda yerie = [ + ] f (0) = 89( x x ) + f (0) = 89 f (0) = 89 f (0) = 89 buluur. Bu soru kalıbıa ait geel kuralı elde etmiş olduk ve uygulama öreği ile doğruluğuu gördük. Şimdi ayı soru tipleride merdivede basamak atlama sayısıı, veya 3 basamağa (ya da zıplama sayısı m,m veya 3m ) çıkaralım. Meraklısıa Matematik 4 Namık Karayaık / Ekim 0 / Zoguldak

5 Çözüm: Soruyu ilk öce tekrarlı permütasyo yardımıyla çözelim. Acak bu çözüm yoluda büyük sayıları toplamlarıa ait farklı permütasyo dizilişlerii hesaplamak oldukça güçtür ve uutula bir diziliş olabilir. II. Yol: Köprüü başlagıcıda itibare her metreye ait gidebileceği farklı durumları sayısıı bularak bir tabloda yazalım. metre içi gidebileceği durumları sayısı: İlk metre içi gidebileceği durumları sayısı: (, ) İlk üç metre içi gidebileceği durumları sayısı: (,,,, 3) 4 İlk dört metre içi gidebileceği durumları sayısı: (,,,,,,,,,,,3 3,) 7 Bezer şekilde devam edildiğide belli bir kuralla artarak gide sayı dizileri görülecektir. Başlagıçta Aldığı Yol (metre) Kaç Farklı Şekilde Gidebileceği O halde bu soruyu bir dizi sorusu olarak düşüebiliriz ve bu dizii kuralı, ilk terimi, ikici terimi, üçücü terimi 4 ve buda soraki her terim kediside öceki üç terim toplamı şeklidedir. Meraklısıa Matematik Namık Karayaık / Ekim 0 / Zoguldak

6 Bu kuralı matematiksel olarak aşağıdaki gibi ifade edebiliriz. f () =, f() =, f(3) = 4 ve, N içi, f ( + 3) = f( + ) + f( + ) + f( ) dir. Bu soruya ait bağıtıyı oluşturduğumuza göre şimdi bağıtıı karakteristik deklemii yazabiliriz. 3 x =, x =, x3 = 4 ve x+ 3 = x+ + x+ + x olduğuda, karakteristik deklem r = r + r+ dir. 3 Burada, r r r = 0üçücü derecede deklemi elde edilir. Katsayılar ; a=, b=, c=, d = dir. = c b 4db 3 4c 3 a + 8abcd 7d a = 44 < 0 olduğuda deklemi e az bir kökü reel değildir. 3 f ( x) = x x x foksiyou türev yardımıyla grafik çizimi yapıldığıda grafiği Ox ekseii sadece bir oktada keseceği ve geçtiği oktaı < x < aralığıda olacağı belirlemektedir. O halde bu foksiyou sadece bir reel kökü vardır ve bu kök; 3 3 ( ) x = =, dur. 3 3 r r r = 0 karakteristik deklemii kökleri r, r, r 3 olmak üzere diziye ait geel terim, ( ) ( ) ( ) = ifadeside x x x3 x a r b r c r =, =, = 4 değerleri ayrı ayrı yazılarak üç bilimeyeli üç deklem elde edilecek ve burada a,b ve c bilimeyeleri buluarak yazılacaktır. Acak iki kökü karmaşık olması ve reel kökü çok uzu olması geel terimi yazmayı oldukça zor hale getirmiştir. Soruda belirli kurala göre oluşa dizilişte özellikle ilk beş terimde sora ardışık iki terimi oraıı deklemi reel köküe yaklaştığıı görmek gerçekte isaı şaşırtacak derecede ilgiç bir husustur. x0 74, x = 49 =, x 04 x, = =, = =, x 74 x 04 9 Souç olarak üç seçeekli (, veya 3 atlama) soru tipleride yukarıda elde ettiğimiz, 0 f () =, f() =, f(3) = 4 ve, N içi, f ( + 3) = f( + ) + f( + ) + f( ) bağıtısıı kullamak yeterli olacaktır. Meraklısıa Matematik 6 Namık Karayaık / Ekim 0 / Zoguldak

Benzer belgeler

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık