İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER

Transkript

1 İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 1.1. Fiziksel Kanunlar ve Diferensiyel Denklemler Arasındaki İlişki Diferensiyel Denklemlerin Sınıflandırılması ve Terminoloji Adi Diferensiyel Denklemlerde Mertebe ve Derece Birinci Mertebe Diferensiyel Denklemler Ayrıştırılabilen Diferensiyel Denklemler y f( x, y) nin Geometrik Manası. Doğrultu Alanları Ayrıştırılabilir Diferensiyel Denklem Uygulamaları Lineer Diferensiyel Denklemler Bernoulli Denklemi Tam Diferensiyel Denklemler İntegrasyon Çarpanı Homojen Diferensiyel Denklemler Riccati Denklemi Abel Denklemi (İsteğe Bağlı) Dik Yörüngeler Ardıl Yaklaşımlar Yöntemi (Picard Yöntemi) Çözümlerin Varlığı ve Tekliği KISIM 2: İKİNCİ MERTEBE DİFERENSİYEL DENKLEMLER ÖNDEĞERLENDİRME Lineer Diferensiyel Denklemlerin Sınıflandırılması İkinci Mertebe Diferensiyel Denklemler y P( x) y Q( x) 0 Denklemi Mertebe İndirgeme Metodu Sabit Katsayılı Denklemler a 2 4b>0 Hali VII

2 a 2 4b=0 Hali a 2 4b<0 Hali Kompleks Kökler Halinde Genel Çözümün Farklı Bir Gösterimi Sınır Değer Problemleri Gayri Homojen Denklemler Belirsiz Katsayıları Yöntemi Parametrelerin Değişimi Metodu Süperpozisyon İlkesi İkinci Mertebe Diferensiyel Denklemleri Uygulamaları Sönümsüz Titreşimler Sönümlü Titreşimler Sönümsüz Zorlanmış Titreşimler Sönümlü Zorlanmış Titreşimler Elektrik Devrelerine Uygulamalar Euler Cauchy Denklemi İkinci Mertebe Gayri Lineer Denklemler (Opsiyonel) y f x,y Tipindeki Denklemler y = f y,y Tipindeki Denklemler y = f y Şeklindeki Denklemler x x2n 1 0 Tipindeki Denklemlerin Periyodik Çözümleri (Mickens Metodu) ( Harmonik Balans Metodu) Taylor Seri Yöntemi İkinci Mertebe Denklemlerin Matlab ile Çözümü KISIM 3: YÜKSEK MERTEBEDEN DİFERENSİYEL DENKLEMLER Temel Teori Homojen Denklemler Sabit Katsayılı Homojen Denklemler Gayri Homojen Denklemler Belirsiz Katsayılar ve Yok Etme (Annihilation) Yöntemleri Yok Etme Yöntemi (Method of Annihilation) Parametrelerin Değişim Metodu Operatör Yöntemi VIII

3 KISIM 4: KUVVET SERİLERİ İLE ÇÖZÜM Giriş Kuvvet Serileri Kuvvet Serileri Üzerinde Cebirsel İşlemler Başlangıç Değer Problemlerinin Kuvvet Serileri ile Çözümü Birinci Mertebe Denklemler İkinci Mertebe Denklemler Rekürans Bağıntılar Kullanarak Kuvvet Serileri ile Çözüm Adi ve Tekil Noktalar. Frobenius Yöntemi Frobenius Yöntemi Bessel Denklemi ve Fonksiyonları Gama Fonksiyonu Modifiye Bessel Fonksiyonları Bessel Denkleminin Uygulamaları Bessel Fonksiyonlarının Özellikleri Legendre Polinomları ve Diferensiyel Denklemi Legendre Polinomları Legendre Polinomları Arasındaki Rekürans Bağıntı Legendre Polinomları İçin Generasyon (Üretgen) Fonksiyonu ve İntegral Formülü Sturm Liouville Problemi. Dik Fonksiyonlar Özfonksiyon Açılımı KISIM 5: LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Laplace Dönüşümü, Ters Laplace Dönüşümü, Lineerlik Özelliği, Kaydırma Laplace Dönüşümü ile Başlangıç Değer Probleminin Çözümü BasamakFonksiyonları, İmpuls Fonksiyonları, Periyodik Fonksiyonlar Birim Basamak Fonksiyonu Birim İmpuls Fonksiyonu Periyodik Fonksiyonların Laplace Dönüşümü Konvolüsyon İntegrali Volterra İntegral Denklemi Diferansiyel Denklem Sistemlerinin Çözümü İçin Laplace Dönüşüm Metodu IX

4 KISIM 6: LİNEER DİFERENSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ Bağlı Sıvı Havuzlar Sabit Katsayılı Denklem Takımı İçin Yok Etme Yöntemi Determinant Metodu Homojen Denklem Sisteminin Matris Formda Yazılması Vektörler, Matrisler, Özdeğerler Matrisler Arasında İşlemler Homojen Olmayan Denklem Takımları Belirsiz Katsayılar Yöntemi Parametrelerin Değişimi Yöntemi Dikleştirme Yöntemi Yüksek Mertebeden Diferensiyel Denklemlerin Denklem Sistemine indirgenmesi Matlab ile Diferensiyel Denklem Sistemi Çözümü Sembolik Çözüm Bazı Denklem Takımlarının Çözümleri KISIM 7: FOURIER SERİLERİ VE SINIR DEĞER PROBLEMLERİ GİRİŞ Fourier Serilerini Kullanma Gerekçesi Periyodiklik ve Dik Fonksiyonlar Periyodiklik Dik Fonksiyon Cümleleri Bir Ağırlık Fonksiyonuna Göre Diklik Bir Fonksiyonun Fourier Açılımı Tek ve Çift Fonksiyonlar Fourier Cosinüs ve Sinüs Serileri Bir Fonksiyonun Fourier Cosinüs Serisi Bir Fonksiyonun Fourier Sinüs Açılımı Fourier Serilerinin Uygulamaları Fourier Serilerinin Yakınsaklığı Genelleştirilmiş Fourier Serileri Fourier Serilerinin Türetilmesi ve İntegrasyonu Fourier Serilerinin İntegrasyonu Kompleks Fourier Serileri (İsteğe Bağlı) Frekans Spektrumu X

5 Gibbs Olayı Toplam Kare Yaklaşımı ve Parseval Özdeşliği Parseval Özdeşliği Matlab Programı Yardımıyla Fourier Serilerinin Çizimi KISIM 8: KISMİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER Giriş Tanımlar Birinci Mertebe Kısmi Diferensiyel Denklemlerin Çözümü Sabit Katsayılı Denklemler İntegral Yüzeyler Kuazi Lineer Denklemler Fizik ve Mühendisliğin Kısmi Diferensiyel Denklemleri İkinci Mertebe Lineer Denklemler ve Kanonik Forma İndirgeme Çözümlerin Süperpozisyonu (Lineerlik İlkesi) Fiziksel Olayların Modellenmesi Plastik Boyanın Duvardan Akışı: Vizkos Akış Bir Sicimin Enine Titreşimleri Dalga Denklemi Mesneti Hareketli Elastik Kirişin Titreşimleri Membran Titreşimleri Bir Boyutlu Dalga Denklemi Değişkenlere Ayrıştırma Yöntemi Dalga Denklemini İhtiva Eden Sınır Değer Problemlerinin Dönüşümü Zamana Bağlı Tahrik Kuvvetlerinin Maruz Dalga Denkleminin Çözümü: Normal Formlar Yöntemi Sonsuz Uzunluklu Çubuklar ve Laplace Dönüşümü Bir Boyutlu Isı Denklemi Kalıcı Hal Sıcaklık Dağılımı Sıfır Olmayan Sınır Şartları (Homojen Olmayan Sınır Şartları) Farklı Sınır Şartları Halinde Isı Denkleminin Çözümü Non Homojen Isı Denklemi Yarı Sonsuz Çubuklarda Isı Yayılışı: Laplace Dönüşümü İki Boyutlu Dalga Denklemi: Membran Titreşimleri İki Boyutlu Isı Denklemi ve Çözümü Kartezyen Koordinatlarda Laplace Denklemi Poisson Denklemi XI

6 KISIM 9: SİLİNDİRİK VE KUTUPSAL KOORDİNATLARDA KISMİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dairesel elastik Membranın Titreşimleri: Simetrik Hal Dairesel Membranların Titreşimi: Genel Hal Dairesel Diskteki Kalıcı Durum Sıcaklığı Dairesel Silindir Etrafındaki Sıvı Akışı Bir Silindirdeki Kalıcı Durum Sıcaklığı Poisson Denkleminin Disk Üzerinde Çözümü KISIM 10: FOURİER İNTEGRALLERİ VE FOURİER DÖNÜŞÜMÜ Fourier İntegrali Fourier Cosinüs ve Sinüs İntegralleri Fourier Cosinüs İntegrali Fourier Dönüşümü Fourier Dönüşümlerinin İşlemsel Özellikleri Fonksiyonların Konvolüsyonu Gaussian Fonksiyonu Fourier Dönüşümünün Lineer Diferensiyel Denklemlere Uygulanması Fourier Dönüşümünün Kısmi Diferensiyel Denklemlere Uygulanması Isı Denklemi ve Gauss Çekirdeği Fourier Sinüs İntegrali KISIM 11: SAYISAL YÖNTEMLER Birinci Mertebe Adi Diferensiyel Denklem İçin Euler Yöntemi Yerel Kesme Hatası Toplam Kesme Hatası İyileştirilmiş Euler Yöntemi Runge Kutta Yöntemi Adams Bashforth ve Adams Moulton Yöntemleri (Opsiyonel) Diferansiyel Denklem Sistemlerinin Sayısal Çözümleri Sonlu Farklar Yöntemiyle Kısmi Diferansiyel Denklemlerin Çözümü KISIM 12: PERTÜRBASYONLAR TEORİSİ Giriş Düz açılım (Straigth Forweard Expansion) XII

7 12.3. Lindsteid Poincare Yöntemi Renormalizasyon Yöntemi Parametrelerin değişimi Yöntemi Ortalama Yöntemi KONU ÜZERİNE YAYINLANMIŞ KAYNAK ESERLER İNDEKS XIII