LİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.

Transkript

1 LİNEER CEBİR MTRİSLER: i,,,...,m ve j,,,..., n için ij sılrının. m m n n mn şeklindeki tblosun mn tipinde bir mtris denir. [ ij ] mn şeklinde gösterilir. m stır, n sütun sısıdır. 5 mtrisi için ; ( ) - -5 =? 5 ( 5 ) -.-5(-)=5-+=9 İKİ MTRİSİN EŞİTLİĞİ: ile B mtrislerinin eşit olmsı için gerek ve eter koşul krşılıklı elemnlrının eşit olmsıdır. i, j N için ij =b ij [ ij ] mn =[b ij ] mn z ise; z=? =, = ve z= olduğundn ++=9 dur.

2 MTRİSLERİN TOPLMI: Mtrislerin toplmı için, krşılıklı elemnlrın toplmı lınır. =[ ij ] mn ve B=[b ij ] mn ise c ij = ij +b ij şeklinde elde edilen C=[c ij ] mn mtrisine ile B mtrislerinin toplmı denir. 5 5 ln z 5e 5 8 ise ++z=? - += = -5+5=ln ln = = +5e z =8 e z = z= ++z=++= SIFIR MTRİS: Bütün elemnlrı oln mtrise sıfır mtrisi denir. TOPLM İŞLEMİNE GÖRE TERSİ: =[ ij ] mn mtrisinin toplm işlemine göre tersi -=[- ij ] mn SKLER İLE MTRİSİN ÇRPIMI: =[ ij ] mn mtrisi ve kr sısı için; k.=[k. ij ] mn dir. (k +k ) = k + k k(+b) = k. + k.b (k k ) = k (k ). = (-).=-.= mn +B=B+ +=+= +(B+C)=(+B)+C +(-)=(-)+=

3 MTRİSLERİN ÇRPIMI: =[ ij ] mn ve B=[b ij ] np mtrislerinin çrpımı, c ij elemnı c ij = n k ik b kj oln C=[c ij ] mp mtrisine denir ise =? ise =?......

4 KRE MTRİS: Stır sısı, sütun sısın eşit oln mtrislere kre mtris denir.,,,..., mm elemnlrının bulunduğu köşegene sl köşegen, m, (m-),..., m elemnlrının bulunduğu köşegene de edek köşegen denir. BİRİM MTRİS: sl köşegen üzerindeki elemnlrı, diğer elemnlrı oln kre mtrise birim mtris denir. I m ile gösterilir., mn türündeki bir mtris ise; I m = =.I n dir. (B)C=(BC) (B+C)=B+C UYRI:.B=B ise nın birim mtris olmsı gerekmez..b=.c ise B=C olmsı gerekmez..b= ise ve B nin sıfır mtris olmsı gerekmez. ÇRPM İŞLEMİNE GÖRE TERSİ:, n inci mertebeden bir kre mtris olsun. Eğer.B = I n = B. olck şekilde n inci mertebeden bir B kre mtrisi vrs B e, nın tersi (inversi) denir. - ile gösterilir. b c d ise d b dır. d bc c (Bir mtrisin tersinin olbilmesi için d-bc olmlıdır.) - = (.B) - =B - - (k.) - = k ( - ) - =

5 BİR MTRİSİN DEVRİĞİ: =[ ij ] mn mtrisinin nı numrlı stırıl, sütunlrının er değiştirmesile elde edilen [ ji ] nm mtrisine nın devriği (trnspozesi) denir. t ile gösterilir. ( t ) t = (+B) t = t +B t (.B) t =B t. t (k) t =k t ( t ) - =( - ) t kre mtrisi için = t ise simetrik mtris denir. (Her elmnı sl köşegene göre simetrik oln kresel mtrislere simetrik mtris denir.) Sdece sl köşegenindeki elemnlrı sıfırdn frklı oln kresel mtrislere köşegenel (digonl) mtris denir. sl köşegen üzerindeki her elemnı nı oln köşegenel mtrislere skler mtris denir. sl köşegen üzerindeki tüm elemnlrı, diğerleri de bu köşegene göre zıt işretli fkt mutlk değerce eşit oln kresel mtrislere ntisimetrik mtris denir. ( t =- olmlıdır.) sl köşegenin üstünde kln bütün elemnlrı sıfır oln kre mtrislere lt üçgen mtris denir. ise;.=? -= += denklem sisteminin çözümünden; =/ ve =-/ bulunur..=-/

6 5 ise; (,)=? -=+ -5= -+=- -=- denklem sisteminden =- ve =-5 bulunur. (-,-5) ise; =? 9. 9

7 DETERMİNNT: b, b, c, dr için; d bc c d olrk tnımlnn ifdee ikinci dereceden determinnt denir. Bir [ ij ] kre mtrisinde ij teriminin bulunduğu stır ve sütunu trk elde edilen n- inci mertebeden M ij mtrisinin M ij determinntın ij teriminin minörü, ij = (-) i+j M ij sısınd ij teriminin eş çrpnı (kofktörü) denir. biçimindeki bir mtrisin determinntının birinci stır göre çılımı : + + dır. Determinnt herhngi bir stır göre çıldığınd değeri değişmez. Ylnız.sırdn determinntlrın değerini bulmk için Srrus kurlı d kullnılbilir. nı numrlı stır ve sütun er değiştirirse determinntın değeri değişmez. İki stırı ve iki sütunu er değiştirirse determinntın işreti değişir. Bir stır ve bir sütunun tüm elemnlrı sıfır ise determinntın değeri sıfırdır. İki stır ve sütun elemnlrı nı oln determinntın değeri sıfırdır. İki stır ve sütun elemnlrı orntılı oln determinntın değeri sıfırdır. Bir stır ve bir sütunun tüm elemnlrı k ile çrpılırs, determinnt k ile çrpılmış olur. Bir stır ve bir sütunun her elemnı, iki elemnın toplmı şeklinde ise determinnt, iki determinntın toplmı şeklinde zılbilir.

8 Bir stır ve bir sütunun elemnlrı k ile çrpılıp, kendisine prlel bir stır ve sütun eklenirse, determinntın değeri değişmez Herhngi bir stırın elemnlrı ile bir bşk stır it elemnlrın kofktörleri krşılıklı olrk çrpılır ve çrpımlr toplnırs, bu toplm sıfır eşittir. ve B kre mtrisleri için ; det(b)=(det)(detb) dir. n = n EK MTRİS (DJOİNT) kre mtrisinin her elemnı erine o elemnın eş çrpnlrı zılrk elde edilen eş çrpnlr mtrisinin devriğine mtrisinin ek mtrisi (djointi) denir. ile gösterilir. b = c d için d b dir. c TEKİL (SİNGÜLER) MTRİS: Determinntı sıfır oln kresel mtrislere tekil (singüler) mtris denir. Determinntı sıfır olmn kresel mtrislere de Regüler mtris denir. MTRİSİN RNKI:, mn biçiminde bir mtris olsun. nın kre lt mtrisleri rsınd, determinntı sıfırdn frklı olnlrdn sırsı en büük olnı r ise bu r sısın mtrisinin rnkı denir. rnk = r biçiminde gösterilir. DENK MTRİSLER: ile B nı biçimde iki mtris ve rnk=rnkb ise ile B mtrislerine denk mtrisler denir. B zılır. KRMER KURLI:... n.... n n n b b

9 ... m m mn n b denklem sistemi.x = B şeklinde zılbilir. m için sistemin bir tek çözümü vrdır. i = i = ve i lerden en z biri sıfırdn frklı ise; Ç = Ø = ve bütün i = ise ; sistemin sonsuz sıd çözümü vrdır. LIŞTIRMLR:, tipinde bir mtris,. ve -. ise; =? Y: X ise; X=? VEKTÖR UZYI:. (V, +) sistemi değişmeli grup. (r +r ) = r +r. r( + ) = r +r. r (r ) = (r r ) 5.. = r, r R ve, V olmk üzere; ukrıdki koşullr sğlnıors V e R üzerinde bir vektör uzıdır denir. u r r... r n n vektörüne,,,..., n vektörlerinin bir lineer birleşimi denir.,,..., n elemnlrının bütün lineer bileşenlerinden oluşn kümee

10 ,,..., n in gerdiği lt uz denir. ise; gererler, ise; germezler. r r... r n n olck şekilde en z biri sıfırdn frklı r, r,..., rn sılrı vrs vektörler lineer bğımlıdır denir. ise lineer bğımlı, ise lineer bğımsızdır. Vektör sısı bout sısındn fzl ise vektörler lineer bğımlıdır. Vektörlerden biri ise vektörler lineer bğımlıdır.,,..., n vektörleri V i gerer ve lineer bğımsızs bu vektörlere V nin bir tbnı denir. V nin boutu n dir. DÜZLEMDE GEOMETRİK DÖNÜŞÜMLER: Düzlemde (, ) noktsını = +b +c = +b +c lineer denklem sistemi rdımıl (, ) noktsın krşı getiren fonksion geometrik dönüşüm denir. ' X = ' b P= b X= c C= c X = P.X+C ÖTELEME: f(, ) = (+, +b) DÖNME: cos sin sin cos

11 O göre SİMETRİ: = e göre SİMETRİ: = göre SİMETRİ: = göre SİMETRİ: HOMOTETİ: ( > ) b BENZERLİK: k b (homoteti ile dönmenin bileşkesidir.) LİNEER (DOĞRUSL) DÖNÜŞÜMLER: f:u V, U R için;. f(+) = f() + f(). f() = f() olmlıdır. f( ) = R R dönüşümünde mtris dir. f ve g B ise ; gofb. dır. LIŞTIRMLR: ? = mtrisi ve f()= - + verilior. f()=?