5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR

Transkript

1 5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması PROJENİN ADI DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYAN ESRA DAĞ ELİF BETÜL ACAR ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR KOLEJİ 19 Mayıs Mah. Bülent Ecevit Cad. Tüyap Yokuşu Büyükçekmece, İSTANBUL

2 PROJENİN ADI: DİZİ DİZİ ÜRETEÇ PROJEYİ HAZIRLAYANLAR: ESRA DAĞ, ELİF BETÜL ACAR PROJE ÖĞRETMENİ: Fatih Kürşat CANSU PROJENİN AMACI: Bizim bu proje çalışmasını yaparken ki temel amacımız verilen herhangi bir sayı örüntüsü ya da dizinin genel teriminin elementer bir yöntem olan üreteç fonksiyonlar yardımı ile bulunabileceğini göstermektir. KULLANILAN YÖNTEM: Bu projeyi hazırlarken 11. Sınıf matematik dersi müfredatı içerisinde bulunan Diziler-Seriler konusu ve 10. Sınıf matematik dersi müfredatı içerisin de bulunan Polinomlar konularındaki genel yöntemler ile 9. Sınıf konusu olan İspat Yöntemleri ve Fonksiyonlar konusu kullanılmıştır. GİRİŞ. Matematik problemlerinin birçoğunun ya da en azından çözümü olanların genel olarak tek çözüm yolu yoktur. Özellikle elementer yöntemler ile çözümü yapılan problemlerin mutlaka ilk çözen kişi tarafından ya da başka bir matematikçi tarafından göreceli olarak pratik bir yöntemi geliştirilmiştir. Böylelikle matematik derslerinde öğrenilen herhangi bir konu altında öğrenilen bir bilgi ya da yöntemin başka bir tür sorunun çözümünde de kullanılabileceği kanıtlanmıştır. Bizim bu çalışmamızda da Kombinasyon-Permütasyon ve Olasılık derslerinde öğrendiğimiz Üreteç Fonksiyonlarının farklı bir problem türünün çözümü için kullanışını göstermeye çalışacağız. Dizilerin genel terimlerinin belirlenmesi genel olarak eğer dizi indirgenebilir bir formdaysa İndirgenebilir Diziler metodu kullanılarak yapılmaktadır. Yani verilen dizi formu ikinci veya üçüncü dereceden denklem olarak yazılmakta ve dizinin genel terimlerinin katsayıları bulunabilmektedir (Erkip, 1991). Ancak bu konu lise müfredatı içerisinde olmadığı için öğrenciler bu tür soruların çözümlerini yaparken sıkıntı yaşamaktadırlar. Ancak öğrencilere 9-10 ve 11. Sınıfta öğretilen ve Kombinatorik konusu altında verilen Üreteç Fonksiyonları konusundaki bilgilerin dizilerin genel terimlerini bulmakta da pratik bir yöntem olduğunu göstermeye çalışacağız. Çalışmamızın ilk bölümünde çalışma içerisinde adı geçen temel tanımlar verilecektir. Bu bağlamda Üreteç Fonksiyonunun ve Dizi kavramının tanımları verildikten sonra iki konu birleştirilerek geliştirdiğimiz düşündüğümüz çözüm yöntemi anlatılacaktır. Çalışmanın son bölümünde ise çalışmada ürettiğimiz metodu bazı olimpiyat soruları üzerinde deneyerek çözüm kolaylığını kontrol edeceğiz. 2

3 Ön Bilgi Ve Temel Tanımlar. Önce çalışmanın temel problemi olan dizinin tanımını ardından da çözüm yöntemimizi üzerine inşa ettiğimiz üreteç fonksiyonlarını verelim. Tanım(Dizi). Tanım kümesi pozitif tamsayılar olan kümelere dizi denir. Bu tanıma göre,, fonksiyonu bir dizidir. Bu fonksiyonun değer kümesi reel sayılar olduğundan bu diziye reel değerli dizi ya da reel dizi denilir. Örneğin dizinin değer kümesi karmaşık sayılar olsa diziye karmaşık değerli dizi diyebilirdik. (Bülent Ecevit Üniversitesi Yayınları, 2013) Ancak bu durumlar bizim çalışmamızda konu olmadığından biz sadece reel diziler üzerinde çalışacağız. Dizinin tanım kümesinde verilen bir n sayısına değer kümesinde karşılık gelen elemanı ile gösterelim. Bu gösterimi dikkate alarak diziyi, biçimde de yazabiliriz. Buna göre dizinin elemanları ile gösterilebilir. Bu sırayı koruyarak dizinin elemanlarını olarak yazabiliriz. Buna göre dizimiz yeni gösterim biçimi olan olarak yazılabilir. Örneğin ilk beş terimi olan bir dizinin terimlerle ifadesi olacaktır. Dizilerin tüm elemanlarının belli bir bağıntı ile bulunabilir. Bu bağıntıya dizinin Genel Terimi denir. Genel terimi olmayan sayı gurupları dizi belirtmezler. Örneğin (2,3,4,5,6, ) ifadesinin genel terimi olmadığından dizi belirtmez. Genel terim belli olmadığından dizinin 6. ve sonraki terimleri belirsizdir (MEB, 2013). Bizimde zaten çalışmamızın temel amacı verilen bir dizinin genel terimini elde etmektir. Bizim çalışmamızda kullanacağımız tüm birinci dereceden lineer ve homojen dizilerden (Recurrence Relation, 2013) oluşmaktadır. Temel dizi tanımını verdik. Şimdi de Üreteç Fonksiyon tanımını verelim. Tanım(Üreteç Fonksiyon). Verilen bir dizisi verilsin. dizisi için tanımlanan kuvvet serisine dizisinin üreteç fonksiyonu denir ve şeklinde gösterilir (Mathematical Database, 2003). Şimdi bazı örneklerle tanımı pekiştirmeye çalışalım. 1. dizisinin üreteç fonksiyonu olacaktır. G(x) yeniden düzenlenirse olarak üreteç fonksiyonu olarak yazılır. Eğer G(x) pay ve paydasındaki polinomlar bulunan bir kesir olarak yazılsaydı 3

4 elde edilirdi. 2. dizisinin üreteç fonksiyonu olacaktır. Aslında G(x) üreteç fonksiyonu olarakta yazılabilecektir. Bu iafadeninde binom açılımdan olduğunu yazabiliriz. Örneklerden de görüleceği üzere Üreteç Fonksiyonumuzun katsayıları aslında bir dizinin ardışık elemanlarından oluşmaktadır. Eğer biz bu sayı dizisinin elemanlarının genel formunu bulursak aslında dizinin genel terimini elde etmiş oluruz. Yöntem ve Uygulama. Elemanları tamsayılardan oluşan bazı sayı dizilerinin genel terimlerinin tespiti çokta zor değildir. Bu tespit tahmin bile edilebilecek seviyede olabilir. Bu yüzden basit bir örnekle başlayalım. Örnek 1. ve olmak üzere verilen bir dizisi için tanımını yapalım. Bu tanım her n doğal sayısı için yi belirler. Buna göre olacaktır. Her seferinden bir önceki terim 2 ile çarpılıp 1 eklenmektedir. İlk terimi bildiğimiz için tüm terimleri aynı yöntemle bulabiliriz. Ancak sayısını bulmak için 999 defa işlem yapmamız gerekmektedir. Bu yüzden ifadesini elde edebileceğimiz kapalı bir form elde etmek daha mantıklıdır. Aslında yukarıda verilen her bir basamaktaki eşitliğin sağına ve soluna 1 eklersek 4

5 İfadesini elde ederiz demek ki olacaktır. Aslında doğru olma olasılığı oldukça güçlü bir tahmin ancak bunu ispat etmemiz gerekmektedir. Bu eşitliği tümevarım metodu ile ispatlayabiliriz. Aslında sadece bunu değil tahminlerimizin doğruluğunu araştırmak için tüm dizi genel terimlerini tümevarım metodu ile kontrol edebiliriz. Ancak bizim amacımız bu ve bunun gibi dizileri için farklı bir çözüm yöntemi geliştirmektir. Şimdi kendi metodumuzu uygulamaya geçelim. eşitliğinin her iki tarafını da ile çarpıp doğal sayıları için dan sonsuza toplayalım. Buna göre, olacaktır. Bu aşamada artık dizinin elemanlarını katsayı kabul eden üreteç fonksiyonumuzu oluşturalım. Buna göre üreteç fonksiyonumuzu olarak belirleyelim. Bu sonsuz toplamı gerçek sayılar kümesinde anlamlı bir toplam olarak değil de terim sayısı sonsuz olan bir polinom olarak görelim. Yani genel olarak belli bir anlamı olmayan matematiksel bir ifade. Polinomlar da terim sayısı sonlu olmak zorunda olduğundan bunlara polinom değil kuvvet serileri denir. Kuvvet serileri de aynen polinomlar da olduğu toplanıp, çıkarılabilir ve çarpılabilir. Hatta kuvvet serileri başka bir kuvvet serisine bölünebilir. (Nesin, 2004) Artık elimizde sağlam tanımlarda olduğuna göre yukarıda elde ettiğimiz eşitliğinin sol ve sağ taraflarını cinsinden yazmaya çalışalım. Buna göre önce sol tarafı kullanalım. Eğer eşitliğin sol tarafını x ile çarparsak A(x) olarak tanımladığımız üreteç fonksiyonumuzun elde edildiğini görmek zor değildir. Demek ki, olacaktır. Buradan gerekli düzenleme yapılırsa 5

6 eşitliği elde edilir. Sol tarafı bulduk. Şimdi gelelim eşitliğin sağ tarafına. Burada toplamın ilk elemanının olduğunu görmek zor değildir. İkinci elemanın ne olduğunu bulmakta zor değildir. Öyle ki, olacaktır. Çünkü olduğu açıktır. Sonuç olarak elimizde eşitliğinden elde edilir. Eğer polinom özelliklerini kullanırsak eşitliğini elde ederiz. Eğer ifadeyi kesirler toplamı biçiminde yazarsak İfadesi elde edilir. Gerekli işlemler yapılırsa ifadenin İfadesi elde edilir. Şimdi bulduğumuz bu eşitliği A(x) ifadesine eşitleyerek yazalım. İfadesini elde ederiz. Buna göre, eşitliği elde edilecektir. Artık elimizde A(x) içim iki ayrı eşitlik var bu iki eşitliği birleştirirsek 6

7 eşitliğini buluruz. Yukarıda verilen ifadenin sağ ve sol tarafı polinom özellikleri barındıran bir formal kuvvet serisi olduğundan ifadesi elde edilecektir. Bu çözdüğümüz örnek başta da söylediğimiz gibi genel teriminin bulunması zor olmayan bir diziydi. Peki, tahmin edemeyeceğimiz bir dizi örneği çözebilir miyiz? Evet çözebiliriz. Aşağıdaki örnek tamda böyle bir soru ve çözüm yöntemi içeriyor. Örnek 2. Varsayalım ve olarak tanımlanan dizinin genel terimini bulmaya çalışalım. Eğer dizinin terimlerini bulmaya çalışırsak, sayılarını elde ederiz. Bu sefer diziyi tahmin etmekte hiçte kolay değil. Bir önceki soruda kullandığımız yöntemin aynısını kullanalım. Eğer verilen eşitliğin iki tarafını da ile çarparsak Yine üreteç fonksiyonumuzu olarak belirleyelim. Bu sefer tek fark değil olarak alınacaktır. Buna göre eşitliğin sol tarafındaki ifade olacaktır. Eşitliğin sağ tarafındaki toplamın ilk parçasının olduğunu görmek zor değildir. Burada bizi en zorlayacak bölüm ise eşitliğin sağ tarafındaki ikinci toplam olacaktır. Biz bir önceki sorudan olduğunu bulmuştuk. Eğer bu bulduğumuz ifadenin türevini alırsak eşitliğini elde ederiz. Bu eşitliğin her iki tarafını da x ile çarparsak 7

8 İfadesini elde ederiz. Şimdi artık bulduğumuz ifadeleri birleştirebiliriz. İfadesinden elde edilir. Buradan gerekli işlemler yapılırsa,, olarak bulunulacaktır. Yani ifademiz biçimine dönüşecektir. Şimdi ifadelerimizi A(x) üretecinin eşiti olarak yazmaya çalışalım. Buna göre, Buna göre; Eşitliğinden İfadesi elde edilir. Şimdi aynı yöntemi kullanarak bir TÜBİTAK Matematik Olimpiyatı sorusunu çözmeye çalışalım. Örnek 3. ve ve olmak üzere verilen ifadesinin genel terimini bulunuz. (TÜBİTAK, 1996) Sorunun çözümünü yukarıda çözdüğümüzden farklı bir yöntemle çözmeyeceğiz. Sorunun indirgemeli diziler metodu (Markuschewitsch, 2008) ile olan çözümü zaten yapılmıştır (Cansu, 2009). Ancak biz üreteç fonksiyonu belirleyerek çözüme bu noktadan başlayacağız. Bizim üreteç fonksiyonumuz olsun buna göre, 8

9 İfadesi elde edilecektir. Buradan ifadesi çekilirse, İfadesi elde edilir. Eğer kesirler halinde yazılırsa, bu noktada türevi kullanalım; yani olarak bulunur. Eğer bu noktada değilde dan başlatırsak ifademiz ifadesine eşit olacaktır. Öyleyse olacaktır. Eğer bu eşitliği düzenlersek, olarak kapalı form bulunur. Yukarıdaki çözümden de görüleceği üzere bizim uyguladığımız yöntem hem ezbere dayanmamaktadır hem de üreteç fonksiyonun uygulamasına güzel bir örnektir. SONUÇ. Bizim bu çalışmayı yaparken ki temel amacımız matematiksel bir probleme alternatif bir çözüm yöntemi elde etmekti. Önce diziyi tanımladık, ardından üreteç fonksiyonun tanımını verdik. Daha sonrada bu iki bilgiyi birleştirip dizilerin genel terimlerinin farklı bir metotla bulmaya çalıştık. Benzer yöntemler kullanılarak farklı birçok sorunun çözümüne ulaşılabileceğini düşünüyoruz. TARTIŞMA. Bizim bu çalışmamızda ele aldığımız dizilerin hemen hepsi birinci dereceden homojen ve lineer tipteki indirgemeli dizilerdi. Ancak çalışmanın daha da ileriye götürülerek sadece birinci dereceden ve lineer, homojen olanlar için değil; ikinci ve üçüncü dereceden lineer olmayan dizilerinde kapalı formlarının bulunmasına yardımcı olacağını düşünüyoruz. TEŞEKKÜR. Projemizin tüm aşamalarında bizlerden desteğini esirgemeyen okul idaremize ve öğretmenlerimize teşekkür ederiz. 9

10 Kaynakça Bülent Ecevit Üniversitesi Yayınları. (2013). Bülent Ecevit Üniversitesi Web Sayfası tarihinde adresinden alındı Cansu, F. K. (2009). Olimpiyat Problemleri tarihinde Sbelian Web Page: adresinden alındı Erkip, A. (1991). Doğrusal İndirgemeli Diziler. Matematik Dünyası (1), Markuschewitsch, A. (2008). İndirgemeli Diziler. (M. Ö. A.P. Özbek, Çev.) Ankara: Türk Matematik Derneği. Mathematical Database. (2003, Mart 4). Ocak 10, 2013 tarihinde adresinden alındı MEB. (2013). 11. Sınıf Matematik Ders Kitabı. Ankara: M.E.B. Yayınları. Nesin, A. (2004). Kuvvet Serileri. Matematik Dünyası (2), Recurrence Relation. (2013) tarihinde Wikipedia: adresinden alındı TÜBİTAK. (1996). Tübitak Bilim Olimpiyatları tarihinde Tübitak Web Sayfası: adresinden alındı 10