Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 Bireysel Yar flma Soru ve Çözümleri

Transkript

1 o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas 2003 ireysel Yar flma Soru ve Çözümleri olamayaca ndan (çünkü bir kareköke eflit), y = 1/2 bulunur. olay s yla = y 2 = 1/4. 2a + 4b = 6a 3b oldu undan, 7b = 4a. emek ki a/b = 7/4, dolay s yla, Soru y + z = 29 ve y 2z = 14 ise + y + z toplam nedir? kinci denklem 1 le çarp l p ilkiyle topland nda elde edilir. uradan da + y + z = 5 ç kar. Soru / = 4 oldu una göre, ifadesi neye eflittir? ve oldu undan, sonuç, 15/3 = 5 bulunur. Soru 4. 1 ve 2 say lar = 0 denkleminin kökleriyse, toplam kaçt r? Verilen denklemde = 5/4 ve 1 2 = 3/4 olaca ndan, = ( )( ) = ( )[( ) ] = (5/4)[(5/4) 2 3( 3/4)] = 305/64. Soru = 1 denkleminin çözüm kümesi nedir? y = koyarsak, denklemimiz 2y 2 + y = 1 halini al r, yani 0 = 2y 2 + y 1 = (2y 1)(y + 1), dolay s yla ya y = 1/2 ya da y = 1. ma y negatif oldu undan, Soru y = 193 denkleminin bütün pozitif tamsay l (, y) çözümlerini bulunuz. Önce, 5 39 = 195 ve = 204 eflitliklerinden, çözümlerin 0 < 39 ve 0 y < 17 eflitsizliklerini sa lamas gerekti ini görelim. Sonra, e er ( 0, y 0 ) bir çözümse, o zaman her (, y) çözümü için, y = 193 = y 0, dolay s yla, 5( 0 ) = 12(y 0 y) eflitli inin fark - na varal m. u say ya k ad n verecek olursak, o zaman, 5( 0 ) = 12(y 0 y) = k ve, = k/5 + 0 ve y = y 0 k/12 bulunur. ve y tamsay olduklar ndan k, 60 ve katlar olmal d r. fiimdi, deneme yan lma yoluyla, ya da tüm 0 < 39 ve 0 y < 17 olas l klar n deneyerek herhangi bir ( 0, y 0 ) çözümü bulal m, diyelim 0 = 5 ve y 0 = 14 çözümünü bulduk. Tüm çözümleri bulmak için, yukardaki k yi 60 n katlar olarak alal m: k = 60 ise, = 17 ve y = 9 k = 120 ise, = 29 ve y = 4 E er k < 0 ya da k > 120 ise, ve y pozitif olamazlar. olay s yla üç çözüm vard r: (5, 14), (17, 9) ve (29, 4). Soru 8. 2 y 6y y + λ ifadesi, birinci dereceden iki polinomun çarp m olarak yaz - labildi ine göre, λ sabit say s kaçt r? 76

2 iyelim ki, 2 y 6y y + λ = (a + by + c)(a 1 + b 1 y + c 1 ). emek ki aa 1 = 1, dolay s yla a ve a 1, 0 olamazlar. bunu akl m zda tutal m. mac m z λ ya eflit olan cc 1 i bulmak. 2 y 6y y + λ = ( 3y)( + 2y) + 7 y + λ eflitli ini bulmak kolay. emek ki ( 3y)( + 2y) + 7 y + λ = (a + by + c)(a 1 + b 1 y + c 1 ). (1) u eflitlikte önce = 3y alal m: Sol tarafta 20y + λ buluruz, sa taraftaysa ((3a + b)y + c)((3a 1 + b 1 )y + c 1 ). emek ki, 20y + λ = ((3a + b)y + c)((3a 1 + b 1 )y + c 1 ). Sa daki y 2 nin katsay s olan (3a + b)(3a 1 + b 1 ), 0 olmal. Herhangi bir genellik kaybetmeden, 3a 1 + b 1 = 0 eflitli ini varsayabiliriz. Gene ayn eflitlikten, (3a + b)c 1 = 20 (2) ç kar. u sefer, (1) eflitli inde = 2y alal m. ynen biraz önceki gibi düflünerek, b = 2a ve a 1 c = 3 buluruz. fiimdi, b = 2a eflitli i ve (2), ac 1 = 4 verir. emek ki 12 = 3 4 = (a 1 c)(ac 1 ) = (aa 1 )(cc 1 ) = cc 1. Önce eflitliklerinin fark na varal m. u ifadenin içindeki (4/3) k/4 say s n kesirli yapacak k de erleri, 0 ile 100 aras ndaki 4 e bölünen say lard r. emek ki 26 terim kesirlidir. Soru 10. fla daki sistemin bütün (, y) çözümlerini bulunuz. bulunur ve bunlara s ras yla y 1 = 5 ve y 2 = 3 çözümleri tekabül eder. E er y = 1 ise elbette = 7, ve y = 1 ise = 9 sistemin çözümleridir. O halde (3, 5), (5, 3), (7, 1) ve (9, 1) aranan çözümlerdir. Soru 11. > 0 olmak üzere, y = y ve y = 5 denklem sisteminin çözüm kümesi nedir? kinci denklemdeki y = 5 birinci denklemde yerine konuldu unda, 5 = (5) = 5, buradan da 4 = 5 bulunur. Her iki taraf n da 4-inci kökü al nd nda, = 5 1/4 bulunur. Soru 12. (m 3) m + 1 = 0 denkleminin ters iflaretli iki gerçel kökü olmas için m nin alabilece i de erler hangi aral kta bulunur? (m+1)/(m 3) < 0 olmal. uradan da 1 < m < 3 bulunur. Soru 13. ir P() polinomunun 2 1 ile bölümünden kalan dir. u polinomdan Q() = P(2 1) + P(2 ) polinomu oluflturuluyor. Q() in katsay lar n n toplam kaçt r? ir R() polinomu için, P() = ( 2 1)R() olaca ndan, P() polinomunun katsay lar toplam P(1) = 5 tir. Q(1) = P(1) + P(1) = 2P(1) oldu undan Q() in katsay lar toplam 2P(1) = 10 olur. Soru < 2 eflitsizli inde in alabilece i kaç farkl tamsay de eri vard r? < 2 eflitsizli inden, 2 < < 2 ç kar, yani 0 < + 2 < 4. olay s yla 4 < + 2 < 4 ve 2 bulunur. emek ki 6 < < 2 ve 2. Yan t: = 5, 4, 3, 1, 0, 1. Soru 15. Pozitif gerçel say lar üzerinde ifllemi, y = /y + y/ 2 olarak tan mlan yor. una göre (a + 1) a = 1/6 ise a kaçt r? E er y 1, 1 ise, birinci denklemden = 0 ç kar, bundan da 1 = 3, 2 = 5 eflitli inin paydalar eflitlendi inde elde edilen ikinci dereceden polinom çözüldü ünde, a = 2 ve a = 3 77

3 bulunur. Pozitif çözümler arand ndan a = 2 olur. Soru 16. (7p + 36) 1/2 say s n n bir tamsay olmas n sa layan en büyük p asal say s nedir? olsun. O zaman, 7p = k 2 36 = (k 6)(k + 6). Her tamsay n n tek bir biçimde asallar na ayr ld n düflünürsek, sonuca oldukça yaklafl r z. k 6, 1 e eflit olursa, k = 7 bulunur ve o zaman 7p = 13 ç kar, ki bu imkâns zd r. k pozitif oldu undan, elbette k + 6 da 1 e eflit olamaz. emek ki k 6 = 7 ya da k + 6 = 7. irinci seçenek bize k = 13 ve p = 19 çözümünü verir. kinci seçenekte k = 1 bulunur ki bu da 7p = 35, yani p = 5 verir. emek ki çözümü sa layan en büyük asal say 19 dur. Soru 17. ir say n n 2004 e bölümünden elde edilen kalan 43 oldu una göre, ayn say n n 12 ye bölümünden elde edilen kalan kaçt r? Say m z olsun. = 2004k + 43 = k + 43 = 12(167k + 3) + 7 eflitli inden, n n 12 ye bölümünde kalan n 7 oldu u anlafl l r. Soru 18. rd fl k dört say n n çarp m 3024 ise bu say lar n toplam kaçt r? 3024 ün son rakam 0 olmad ndan bu dört say dan hiçbiri 5 in bir kat olamaz. yr - ca, 7 4 = 2401 ve 8 4 = 4096 oldu undan, verilen say n n 1/4 üncü kuvveti 7 yle 8 aras ndad r. unlardan, istenilen say lar n 6, 7, 8 ve 9 oldu u ç kar. Yan t = 30 dur. Soru 19. a, b ve c pozitif tamsay lard r. obeb(a, b) = 5 obeb(b, c) = 2 obeb(c, a) = 3 okek(a, b) = 900 okek(b, c) = 2100 okek(c, a) = 630 oldu una göre a kaçt r? ab = obeb(a, b)okek(a, b) = = 4500, ac = obeb(a, c)okek(a, c) = = 1890, bc = obeb(b, c)okek(b, c) = = oldu undan, a 2 = (ab)(ac)/(bc) = /4200 = = 2025, yani a = 2025 = 45. Soru 20. irler basama ndaki rakam 6 olan alt basamakl bir say n n birler basama ndaki rakam en soldaki basama a al nd nda elde edilen yeni say ilk say n n dört kat olmaktad r. lk say kaçt r? lk say y abcde6 olarak alal m. abcde6 4 6abcde ifllemini yaparak, sa dan itibaren rakamlar teker teker kolayl kla bulunur. Yan t d r. Soru ! = 6 n a eflitli inde a n n bir tamsay oldu u bilindi ine göre, n say s n n alabilece i en büyük de er kaçt r? [100/2] + [100/4] + [100/8] +... = = 97 oldu undan, bir b tek tamsay s için, 100! = 2 97 b olarak yaz l r. enzer biçimde, 3 e bölünmeyen bir c tamsay s için, 100! = 3 48 c eflitli i geçerlidir. olay s yla n = 48 olmal d r. Soru 22. 1, 2, 3,.., 50 say lar ndan rastgele bir say seçiliyor. Seçilen say n n 6 veya 8 e bölünebilme olas l kaçt r? 1, 2, 3,..., 50 say lar ndan 6 ya bölünenlerden 8 tane ve 8 e bölünenlerden 6 tane vard r. 24 ve 48, hem 6 ya hem de 8 e bölündü ünden, 6 veya 8 e bölünenlerin say s = 12 d r. emek ki olas l k 12/50 dir. Soru 23. ir atölyede üretilen mallar n %20 si, %80 i de makinas nda üretilmektedir. makinas %5, makinas ise %25 hatal üretim yapmaktad r. Rastgele seçilen bir mal n hatal oldu u bilindi ine göre, makinas taraf ndan üretilmifl olma olas l kaçt r? Toplam 100 mal üretildi ini varsayal m. Yandaki flekilden izleyin. unlar n 20 sini, 80 ini makinas üretmifltir. makinas n n ürettiklerinin %5 i (yani 20 de 1 i) hatal oldu undan, ma makinas n n ürettikleri, 20 tane makinas n n ürettikleri, 80 tane Hatal mallar

4 kinas n n üretti i 20 maldan biri hatal d r. makinas n n ürettiklerinin %25 i (yani 4 te 1 i) hatal oldu undan, makinas n n üretti i 80 maldan 20 si hatal d r. emek ki üretilen toplam 21 hatal mal n 1 tanesi makinas taraf ndan üretilmifltir. Yan t 1/21 dir. Soru 24. > y > 0 olacak biçimde öyle iki pozitif say bulunuz ki, farklar, çarp mlar ve kareleri fark s ras yla 1, 12 ve 7 say lar yla orant l olsun. k = y = y/12 = ( 2 y 2 )/7 olsun. emek ki, y = k > 0 y = 12k 2 y 2 = 7k fiimdi, 7k = 2 y 2 = ( y)( + y) = k( + y), yani + y = 7. unu ve birinci eflitli i toplarsak, 2 = 7 + k, ç karma yaparak da 2y = 7 k buluruz. emek ki 48k = 4y = (2)(2y) = (7 + k)(7 k) = 49 k 2, yani k k 49 = 0. undan da k = 49 ya da k = 1 ç kar. emek ki k = 1. Sonuç: = 4 ve y = 3. Soru 25. ve y, 7 ye bölünmeyen pozitif tamsay lar olmak üzere, 2 + = 7y ise, in 7 ye bölümünden kalan kaçt r? Modülo 7 hesaplarsak, (+1) = 2 + = 7y 0, yani ya 0 ya da 1 = 6. Sonuç 6 d r. g() ƒ() 0 y (5,5) (4,0) Soru 26. Yandaki flekilde bir parabol ve bir do ru verilmifltir. teriminin de eri kaçt r? Verilen flekilden g() = ve ƒ() = 2 4 bulunur. öylece, elde edilir. Soru 27. Yandaki düzenekte 3 cm yatay do rular birbi- 4 cm rine paralel ve,, çembere te et olan do rular n 60 de me noktalar d r. uzunlu u kaç santimetredir? üçgeni eflkenard r. undan, kolayl kla, üçgeninin de eflkenar oldu u ç - kar. Önce, F diküçgeni kullan larak E nin 3 3/2 oldu u, 4 cm ard ndan, E diküçgeni kullan larak, F 60 E nin 9/4 oldu u bulunur. emek ki = 9/2 ve = 9/2 4 = 1/2. Soru 28. Yandaki flekildeki çember, karesinin kenarlar na te ettir. = 2 3 birim ise, taral alan kaç birim karedir? = 2 3 ten, E = 3 ve bundan da EF = 6 bulunur. emek ki H G E F EFGH karesinin alan 6 d r. airenin alan da π( 3) 2 = 3π oldu undan, taral bölgenin alan n n 3π 6 oldu u görülür. Soru 29. fla daki üçgeninde E = E =, m() = 95 ve m(e) = 60 oldu una göre m() kaç derecedir? E 95º 60º E üçgeni, bir aç s 60 olan bir ikizkenar oldu undan, eflkenard r, dolay s yla E üçgeni ikizkenard r. undan da m(e) = = 35 ç kar. uradan aç s bulunur: = 50. Soru 30. P R üçgeni O merkezli çembere üç te et O çizilerek oluflturuluyor. m(p) = S 40º P 40º ise m(o) T kaç derecedir? m(o) = m(or) ve m(to) = m(o) oldu undan, m(o) = 180 m(o) m(o)? 79

5 P = 180 (m(r) + m(t))/2 = 180 ((180 m(p)) + (180 m(p))/2 = (m(p) + m(p))/2 = (180 40)/2 = 70. Soru 31. kizkenar olmayan bir üçgenin N kenar ortaylar G N ve P s ras yla 3 ve 6 cm uzunlu undad r. M Üçgenin alan 3 15 cm 2 oldu- una göre M kenar ortay uzunlu u kaç cm dir? lan = taban yükseklik/2 formülünden dolay, GP, GP, GM, GM, GN ve GN üçgenlerinin alanlar eflittir. P G N M 4 2 Soru 32. Yandaki flekildeki taral bölgenin alan kaç birim karedir? (2, 0) ve (0, 3) noktalar ndan geçen 3 2 P do runun denklemi 3 + 2y = 6 d r. (3, 0) 2 3 ve (0, 2) noktalar ndan geçen do runun denklemi 2 + 3y = 6 d r. u iki do runun kesiflim noktas n bulmak için, 3 + 2y = y = 6 denklemlerini ayn anda çözmeliyiz. Kolayl kla = 6/5 ve y = 6/5 bulunur. emek ki alan, (6/5 1)/2 + (6/5 1)/2 = 6/5 dir. Soru 33. Yandaki y flekilde y = + 2 ve = 6 do rular noktas ndan = 6 geçmektedir. üçgeninin alan nedir? Kolayl kla, noktas n n koordinatlar (6, 3) (6, 8) ve noktas n n koordinatlar ( 2, 0) bulunur. = 6 do rusunun eksenini kesti i noktaya dersek, = 8 bulunur. emek ki üçgeninin alan, /2 = 20 dir. Kenarortaylar bir üçgende 1/3 oran nda kesifltiklerinden, yukarda çizilen üçgendeki ölçüleri elde ederiz. GM = olsun. M do rusunu üçgenin d - fl na birim uzatal m ve bu noktaya H diyelim. ir üçgenin kenarlar a, b ve c ise ve p üçgenin çevresinin yar s ysa, yani (a + b + c)/2 ise, bilinen bir formüle göre, üçgenin alan, H 34) fiekilde m() = m(), = 3 cm, = 2 cm, = 4 cm olarak veriliyor. kaç cm dir? 3 cm dir. emek ki, 2 cm 4 cm / = / aç ortay ba nt s ndan = 6 ç kar. 2 = aç - ortay uzunlu u ba nt s ndan, = 10 bulunur. yani, 15 = (9 2 )( 2 1). undan da kolayl kla = 2 ya da 6 bulunur. Üçgen ikizkenar olmad ndan = 6 bulunur. Yan t 3 6 d r. 35) fiekildeki 18 cm ve 6 cm yar çapl çemberlerle temsil edilen iki makara etraflar na geçirilen bir telle s k ca birbirine ba lanacaklard r. Kullan - lacak telin uzunlu u en az kaç cm olmal d r? 80

6 18 cm 6 cm Soru 39. fiekilde birbirine ve d fltaki çembere te et olan 2 cm ve 3 cm çapl yar çemberlerle oluflturulan alanlar n 1 / 2 oran kaçt r? Kolayl kla, 1 3 cm 2 cm 2 fla daki flekle Pisagor Teoremi ni uygularsak, te etin uzunlu unu 12 3 buluruz. Kenarlar 12, 24 ve 12 3 olan bir diküçgende di er 12 cm 6 cm 24 cm 18 cm 6 cm 6 cm bulunur. öylece 1 / 2 = 2/3 olur. 40) Kenar uzunluklar 6, 11 ve 15 birim olan üçgenin bütün kenarlar na içten te et olan çemberin yar çap kaç birimdir? p = ( )/2 = 16, buradan da, aç lar 60 ve 30º olurlar. öylece, kullan lacak telin uzunlu u π 18 2/3 + 2π 6 1/3 = 28π olur. Soru = 9 denkleminin gerçel köklerinin toplam nedir? y = 8 2 olsun. O zaman, y + 8/y = 9, yani y 2 9y + 8 = 0 elde ederiz. u denklemi çözerek y = (9 ± 7)/2 buluruz, yani y = 8 ya da y = 1. emek ki 2 = 0 ya da 1. Her iki durumda da köklerin toplam 1. emek ki dört kökün toplam = 2 dir. bulunur. Yandaki flekilden de kolayca görülece i üzere bu alan ayn zamanda (r/2)( ), yani 16r ye eflittir. emek ki, r = 5 2/4. 6 r r r Soru 37. ƒ(1) = 1 ve ƒ(2) = + 2ƒ() ise ƒ(16) kaçt r? ƒ(2), ƒ(4), ƒ(8) ve ƒ(16) y s rayla hesaplayabiliriz: ƒ(2) = 1 + 2ƒ(1) = 3 ƒ(4) = 2 + 2ƒ(2) = 8 ƒ(8) = 4 + 2ƒ(4) = 20 ƒ(16) = 8 + 2ƒ(8) = 48. Soru 38. irbirinden farkl 4 pozitif ve 5 negatif say aras ndan rastgele dört say seçiliyor. u say lar n çarp mlar n n negatif olma olas l nedir? 81