Uygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH

Transkript

1 BİYOİSTATİSTİK Uygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web:

2 Olasılık Hatırlatma

3 Olasılık teorisi, rasgele deneylerin sonuçlarına olasılıklar atamak için matematiksel kurallar sağlar. Rasgele Deney Olay A Her bir alt küme Tüm mümkün sonuçlar Örnek Uzay S Her nokta ayrık küme Birleşimleri örnek uzayı oluşturmalı P(A) Olasılık yasası: Olasılıkların olaylara matematiksel olarak tutarlı (1-3 sağlanacak) bir şekilde atanması 1) P A 0, her A için 2) P S = 1 3) P AUB = P A + P B, A ve B ayrık

4 Örnek Uzay X rasgele değişkeni, örnek uzay üzerinde tanımlanan Reel değerli bir fonksiyondur. 0 1 Reel eksen Bazen bir deneyin sonuçlarının bir fonksiyonuyla ilgileniriz, yani iki zarı attığımızda örnek uzay elemanları (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) ile değil de üst yüze gelen sayılarının toplamının 7 olması gibi olaylarla ilgileniriz. Başka bir örnek 3 zarın atılması deneyinde 3 tane yazı gelmesiyle ilgileniriz.

5 Üç zarın atılması deneyinde örnek uzay S={(YYY),(YYT),(YTY),(TYY),(YTT),(TYT),(TTY),(TTT)} Üç yazı gelme olasılığı ile ilgileniyorsak, X rasgele değişkeni: üç atışta yazı gelme sayısı S={(YYY),(YYT),(YTY),(TYY),(YTT),(TYT),(TTY),(TTT)} X= P(X=3)=1/8 P(X=1)=3/8 P(X=2)3/8 P(X=0)=1/8 (YYY) (YYT) (YTY) (TYY) (YTT) (TYT) (TTY) (TTT)

6 Sayılabilir bir kümede değerler alıyorsa X rasgele değişkeni Sayılamaz bir kümede değerler alıyorsa Kesikli p(x) olasılık dağılım fonksiyonu: P(X=a)= p(a), X deki her a elamanı için 1) p a 0 X deki her a elamanı için 2) p x = 1 Sürekli f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu: P(a X b) = 1) f x 0 x (, ) 2) f x dx = 1 f(x) a b f x dx x (, )

7 Soru 1. Bağımsız ve Ayrık Olay A, B ve C olayları A: hastanın periodontitis olması B: hastanın çürüğünün olması C: kök kanal tedavisine ihtiyacı olması ve olasılıkları P (A) = 0,25, P (B) = 0,45 ve P (C) = 0,60 olduğunu varsayalım. a) Bu olaylar birbirini ayrık olaylar mıdır? b) Eğer bu üç olay bağımsızsa P(A B C)=?

8 a) Eğer olaylar ayrık ise olasılıkları toplamı 1 olmalıdır. P(A)+P(B)+P(C)= 0,25+0,45+0,60=1,3>1 olaylar ayrık değildir. Olaylardan en az bir çifti aynı anda gerçekleşiyor demektir. b) P(A B C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A).P(B)-P(A).P(C)- P(B).P(C)+P(A).P(B).P(C) =0,25+0,45+0,60-0,25*0,45-0,25*0,60-0,45*0,60+0,25*0,45*0,60 =0,835

9 Soru 2. İmplant Bir diş hekiminin kliniğindeki bir kutuda 6 adet implant vidası bulunmaktadır. Bu vidaların sağlam olma olasılığı %85 olduğuna göre en az 4 vidanın sağlam olma olasılığını bulunuz. Soru binom dağılımı kullanılarak çözülür. X = Sağlam vida sayısı p = 0,85 başarı olasılığı tüm deneylerde eşittir. n = 6 deney sayısı Deneyin iki sonucu: vida sağlam, vida sağlam değil

10 P X = x = n x px q n x X~B n = 6, p = 0,85 P X 4 = P X = 4 + P X = 5 + P X = 6 = 6 4 0,85 4 0, ,85 5 0, ,85 6 0, = 0, , ,377 = 0,952 0,95 6 vidanın en az 4 ünün sağlam olması olasılığı yaklaşık %95 tir.

11 Soru 3. Kalp Krizi 8 kalp krizi hastasının kalp krizinden ölme olasılığı %3 tür. Bu hastalardan en az ikisinin yaşaması olasılığı kaçtır? Soru binom dağılımı kullanılarak çözülür. X = Ölüm sayısı p = 0,03 ölüm olasılığı tüm hastalarda eşittir. n = 8 deney sayısı Deneyin iki sonucu: ölüm gerçekleşti, ölüm gerçekleşmedi

12 P X = x = n x px q n x X~B n = 8, p = 0,03 P X 6 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 6 P X 6 = 8 0 0,030 0, ,031 0, ,036 0,97 2 =0,784+0,194+0,021+ 0,00 = 0, kalp krizi hastasının en az 2 sinin yaşaması olasılığı %99 dur.

13 3. Sorunun Devamı Veya yaşama olasılığından gidilirse; Soru binom dağılımı kullanılarak çözülür. X = Yaşayan kişi sayısı p = 0,97 yaşam olasılığı tüm hastalarda eşittir. n = 8 deney sayısı Deneyin iki sonucu: yaşam gerçekleşti, yaşam gerçekleşmedi

14 P X = x = n x px q n x X~B n = 8, p = 0,97 P X 2 = 1 P X = 0 + P X = 1 P X 2 = ,970 0, ,971 0,03 7 = 1 6, , = 0, kalp krizi hastasının en az 2 sinin yaşaması olasılığı %99 dur.

15 Soru 5. Normal Dağılım X rasgele değişkeni ortalaması μ = 30, standart sapması σ = 4 olan normal dağılım göstermektedir. Buna göre aşağıdaki olasılıkları hesaplayınız. a) P(X<40) b) P(X>21) c) P(30<X<35)

16 Soru 5. Normal Dağılım μ = 30, σ = 4 Sorunun çözümü için standart dağılım tablosu kullanılmalıdır z = x μ σ a) P(X<40) z = = 2,5 P(X<40)=P(Z<2,5)

17 Standart Normal Dağılım Tablosu Kullanma

18 44 Her tabloda üst kısımda şekildeki taralı alan ile hesaplanan alan verilir. Bu tabloya göre; P 0 < Z < 0,53 = 0,2019 P Z > 0,53 = 0,5 0,2019 = 0,2981 P Z < 0,53 = 0,2981 P Z < 0,53 = 0,5 + 0,2019

19 1 X μ = 30, σ = 4 İstenilen Alan Tablonun verdiği alan z = 2, 5 z = 2, 5 2 P Z < 2,5 = 0,5 + P 0 < Z < 2,5 =

20

21 1 X μ = 30, σ = 4 İstenilen Alan Tablonun verdiği alan z = 2, 5 z = 2, 5 2 P Z < 2,5 = 0,5 + P 0 < Z < 2,5 = 0,5 + 0,4938 = 0,9938

22 Soru 5. Normal Dağılım μ = 30, σ = 4 Sorunun çözümü için standart dağılım tablosu kullanılmalıdır z = x μ σ a) P(X<40) z = = 2,5 P(X<40)=P(Z<2,5)=0, b) P(X>21) z = = 2,25 P(X>21)=P(Z>-2,25)=0,5+P(-2,25<Z<0) 4 =0,5+0,4878=0, c) P(30<X<35) z 1 = = 0 4 P(30<X<35)=P(0<Z<1,25)=0, z 2 = = 1,25 4

23 Soru 6. Yüksek atlamacı Olimpik bir yüksek atlamacı ortalaması μ = 2,45m, standart sapması σ = 0,7 olan normal dağılım gösteren yükseklikleri atlamaktadır. Buna göre a) Bu sporcunun 2,35m üzerinde atlaması olasılığı nedir? b) Sporcunun atlayışlarının %5 inde geçtiği yükseklik nedir? X = Yükseklik μ = 2,45, σ = 0,7 a) P(X>2,35)=? b) P(X>w)=0,05 w=?

24 a) P X > 2,35 = P Z > 0,14 = 0,5 + P 0,14 < Z < 0 = 0,5 + 0,0557 = 0,5557 z = 2,35 2,45 0,7 = 0,14 b) P X > w = 0,05 P Z > (w 2,45)/0,7 = 0,05 0,5 P 0 < Z < (w 2,45)/0,7 = 0,05 P 0 < Z < (w 2,45)/0,7 = 0,45 z = w 2,45 = 1,645 0,7 w = 3,6

25 a) Şıkkı tabloya nasıl baktık?

26 1,64 1,65 b) Şıkkı tabloya nasıl baktık? (1,64+1,65)/2=1,645

27 Genel Tekrar

28 Soru 1. Aşağıdaki ifadelerden Doğru olduğunu düşündüğünüzü X ile işaretleyiniz. a) İstatistik, insan ve toplum sağlığı için bilgi edinme yöntemleri topluluğudur. Doğru Yanlış b) Deney ve kontrol gruplarının randomize edildiği çalışmalarda, randomizasyon gruplar arasında farklılığa neden olabilecek diğer faktörleri dengelemek amacıyla yapılmaktadır. Doğru Yanlış c) Çalışma için seçilen bir gruptan, belirli bir kısa zaman diliminde ya da o anda elde edilen verilerin analiz edildiği çalışmalara kesitsel çalışmalar denir. Doğru Yanlış ç) Bir sonucun varlığı ve yokluğu ile başlayıp, zamanda geriye doğru gidilerek olası sebepler ya da risk faktörlerinin incelendiği çalışmalara kohort çalışmalar denir. Doğru Yanlış

29 d) Örnekleme için ilk adım uygun kitlenin belirlenmesidir. Doğru Yanlış e) Bir cam fabrikasında üretilen bardakların kırılganlığını test etmek için kitle ile çalışılması uygundur. Doğru Yanlış f) Ege Üniversitesi Diş Hekimliği Fakültesi öğrencilerinin ağız bakım alışkanlıkları incelenecektir. Ancak zaman kısıtlı olduğundan örnekleme yapılacaktır. Bu durumda her sınıfın kendi içinde homojen olduğu düşünülerek küme örneklemesi yapılması uygundur. Doğru Yanlış g) Sürekli bir değişkene ait değerler arasındaki farklılık arttıkça standart sapma büyür. Doğru Yanlış

30 h) Belirli bir hasta grubunda gerçekleştirilen klinik bir araştırmada hastaların yaşı, boy uzunluğu, ağırlığı gibi ölçülen özelliklerin her biri aralık ölçekte olan sürekli değişkenlerdir. Doğru Yanlış ı) Simetrik olmayan dağılımlarda ortalama ve medyan (ortanca) farklı değerleri alırlar. Doğru Yanlış

31 Soru 2. Her şıkta Doğru olduğunu düşündüğünüz cevabı işaretleyiniz. a) Aşağıdakilerden hangisi Olgu-kontrol çalışmalarının özelliklerinden birisi değildir? a) Büyük çalışmaların planlanma aşamasında ön bilgi edinmek amacıyla kullanılabilir. b) Tek kör çalışma düzenine uygundur. c) Kontrol grubunun seçimi önemlidir. d) Düşük maliyetle tamamlanabilir. b) Aşağıdakilerden hangisi binom deneyinin bir özelliği değildir? a. Deney, n tane özdeş deneme dizisinden oluşur. b. Her sonuç bir başarı ya da başarısızlık olarak ifade edilebilir. c. İki sonucun olasılıkları bir denemeden diğerine değişebilir. d. Denemeler birbirinden bağımsızdır.

32 Puanlar Öğrenci Sayısı c) Verilen frekans tablosu yandaki grafikle gösterilmiştir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a) Eksen isimleri uygun şekilde adlandırılmıştır. b) Frekans tablosu için çubuk grafiği çizilmelidir. c) Dikey eksenin [0-40] aralığında çizilmesi uygundur. d) Grafik seçimi uygun olmasına rağmen çubuk genişlikleri eşit çizilmemiştir.

33 ç) Sürekli rastgele bir değişken için x, olasılık yoğunluk fonksiyonu f (x) aşağıdakilerden hangisini temsil eder? a. Belirli bir x değerindeki olasılığı b. x noktasının sol tarafına ait f(x) eğrisinin altındaki alan c. x noktasının sağ tarafına ait f(x) eğrisinin altındaki alan d. x noktasındaki f(x) in değeri

34 Frekans Öğrencilerin Boyu Boy (cm) d) Yukarıdaki grafik için aşağıdaki ifadelerden hangisi söylenemez? a) Grafik adı ve eksen isimleri verildiğinden anlaşılması kolaydır. b) Verilerin ortalaması ortanca değerinden büyüktür. c) Sola çarpıktır. d) [ ] aralığına göre düşünüldüğünde, sınıfın çoğunluğu uzun boyludur. Grafik adresinden alınmıştır.

35 Soru 3. Aşağıdaki tabloda kemik grefti uygulanan 15 maksiller sinüse yerleştirilen implantların ömrü ay olarak verilmiştir. İmplant No Ömür (ay) a) Verilerin aritmetik ortalama, mod, medyan, standart sapma ve varyans değerlerini hesaplayınız. b) Bu hesapladığınız değerleri kullanarak dağılım şekli hakkında yorum yapınız. c) Yukarıdaki tablodan yararlanarak sınıf sayısı 5 olacak şekilde frekans tablosunu oluşturunuz. d) Oluşturduğunuz frekans tablosunu kullanarak aritmetik ortalama, varyans, standart sapma değerlerini bulunuz.

36 a) Verilerin aritmetik ortalama, mod, medyan, standart sapma ve varyans değerlerini hesaplayınız. İmplant no Ömür (ay) Mod=36 Medyan= 33 X = 115 X i 15 = = 28,5 X i X i X (X i X) ,5 812, ,5 342, ,5 156, ,5 72, ,5 42, ,5 42, ,5 20, ,5 20, ,5 56, ,5 56, ,5 56, ,5 110, ,5 156, ,5 272, ,5 380, Toplam 2595,75 28,5 Ort. Var. 185,41 Varyans: s 2 = 115 (X i X) 2 14 Standart Sapma: s = s 2 = 13,62 = 185,41

37 b) Bu hesapladığınız değerleri kullanarak dağılım şekli hakkında yorum yapınız. Mod>Medyan>Ortalama 36>33>28,5 => sola çarpık

38 c) Yukarıdaki tablodan yararlanarak sınıf sayısı 5 olacak şekilde frekans tablosunu oluşturunuz. Minimum=0 Maksimum=48 Değişim aralığı=48-0=48 Sınıf aralığı=48/5=9,6 10 Frekans Tablosu Sınıflar f i Toplam 15

39 d) Oluşturduğunuz frekans tablosunu kullanarak aritmetik ortalama, varyans, standart sapma değerlerini bulunuz. Sınıflar X i f i f i X i X i X (X i X) 2 f i (X i X) ,5 1 4,5-24,5 600,25 600, , ,5 210,25 420, , ,5 20, , ,5 5,5 30,25 151, , ,5 15,5 240,25 720,75 Toplam ,5 1973,75 Ortalama: X = 1k f i X i = 437,5 k f i 15 1 = 29,17 29 Varyans: s 2 = 1k f i (X i X) 2 n 1 = 1973,75 14 = 140,98 Standart Sapma: s = s 2 = 11,87

40 SINAVINIZDA BAŞARILAR DİLİYORUM! Hesap makinası Formül kağıdı Öğrenci kimliği UNUTMAYIN!