ÜÇGENĠN ĠÇĠNDEKĠ GĠZEMLĠ ALTIGEN

Transkript

1 ÖZEL EGE ORTAOKULU ÜÇGENĠN ĠÇĠNDEKĠ GĠZEMLĠ ALTIGEN HAZIRLAYAN ÖĞRENCĠLER: Olçr ÇOBAN Sevinç SAYAR DANIġMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL AÇIKSÖZ ĠZMĠR 2014

2

3 ĠÇĠNDEKĠLER 1. PROJENĠN AMACI GĠRĠġ KULLANILAN YÖNTEM SONUÇLAR ve TARTIġMA PROJE BÜTÇESĠ PROJE ÇALIġMA TAKVĠMĠ... 8 KAYNAKLAR

4 1. PROJENĠN AMACI Tbnı dr çılı bir üçgen oln bir üçgen pirmit (vey prizm) lınsın. Pirmidin (vey prizmnın) tbnınd yer ln üçgenin her bir kenrının ort noktsındn üçgenin diğer iki kenrın dikmeler inilsin. Bu projenin mcı, bu çizimlerden sonr üçgenin iç bölgesinde oluşn ltıgen üzerine pirmidin (vey prizmnın) yüksekliği ile ynı oln bir ltıgen pirmit (vey prizm) kurulduğund oluşn bu ktı cismin hcmi ile bşt lınn ktı cismin hcmi rsındki ilişkiyi belirlemektir. Projede, özel olrk tbnı eşkenr üçgen oln pirmit (prizm) incelenmiş ve oluşn düzgün ltıngenin çevrel çemberinin üzerine pirmidin (prizmnın) yüksekliği ile ynı oln bir koni yerleştirildiğinde, koninin hcmi ile üçgen pirmidin (vey prizmnın) ve ltıgen prizmnın (vey pirmidin) hcimleri rsındki ilişkinin bulunmsı hedeflenmiştir. 2. GĠRĠġ Bu proje şğıdki sorudn yol çıkılrk hzırlnmıştır: SORU [1] Dr çılı bir ABC üçgeni verilsin. Üçgenin her bir kenrının ort noktsındn diğer iki kenrın dikmeler inilsin. Üçgenin iç bölgesinde oluşn ltıgensel bölgenin lnının ABC üçgensel bölgesinin lnının yrısın eşit olduğunu gösteriniz. Öncelikle bu ilginç problemin çözümünü yptık. Sonr tbnı dr çılı üçgen oln bildiğimiz ktı cisimlerin içine bu şekilde ltıgenler çizdik. Yükseklikleri bşt seçtiğimiz ktı cismin yüksekliği ile ynı oln ve tbnı, oluşturduğumuz ltıgen oln ktı cisimlerin hcimlerini belirlemeye krr verdik. Özel olrk, tbnı eşkenr üçgen oln ktı cisimler ldığımızd ise oluşn düzgün ltıgenin çevrel çemberini tbn kbul eden koninin hcmini de diğer ktı cisimlerin hcmi ile krşılştırdık. Oluşn tüm durumlrın modellerini yprk projeyi sonlndırdık. 2

5 3. KULLANILAN YÖNTEM 1. Önce yukrıd yer ln sorunun çözümünü yptık. Sorunun çözümü için ġekġl 1 i inceleyelim. ÇÖZÜM: Ġstenilen özelliklerde ABC üçgeni lıp Ģğıdki Ģekli çizelim. A H K D L M R E O P A olsun. B F N D ile E, D ile N ve N ile E noktlrını birleştirelim. ort tbn olduğundn olur. Burdn, DBNE, DNCE ve DNEA dörtgenleri prlel kenrdır. G C S 3 R S 2 Oluşn ADE, DBN, ENC üçgenleri eştir. Bu üçgenlerin yükseklik merkezleri de sırsıyl R, M ve O olur. Diğer trftn, ADR, DBM ile ENO üçgenleri, DMN, EOC ile ARE üçgenleri ve MBN, ONC ile RDE üçgenleri eştir. D S 1 S S 2 S 1 +S 2 +S 3 3 S M 3 O E S 2 b Bu üçgenlerin lnlrı sırsıyl S 3, S 2, S 1 olsun. Yni, Aln(MBN)=Aln (ONC)=Aln(RDE)=S B 1 S 1 N S 1 C Aln(DMN)=Aln (ARE)=Aln(EOC)=S 2 Aln(DMB)=Aln(ADR)=Aln (ENO)=S 3 DBNE prlel kenr olduğundn Aln (DNE)= S 1 + S 2 +S 3 olur. Burdn, Aln (DMNOER)= 2(S 1 + S 2 +S 3 ) iken Aln (ABC)= 4(S 1 + S 2 +S 3 ). Yni, oluşn ltıgenin lnı, ABC üçgenin lnının yrısıdır. ġekġl 1 3

6 2. Dh sonr, mket krtonun üzerine cetvel, pergel ve çı ölçer yrdımı ile dr çılı bir ABC üçgeni çizdik. ABC üçgensel bölgesinin lnı 2A olsun. Bu üçgenin her bir kenrının ort noktsını belirleyerek, diğer iki kenr bu ort noktlrdn pergel yrdımı ile dikmeler indik ve sorud yer ln ltıgensel bölgeyi oluşturduk (ġekġl 1). Bu ltıgensel bölgenin lnı A olur. içine, 3. ABC üçgenini tbn kbul eden ve yüksekliği h birim oln bir üçgen prizmnın ) tbnı oluşturduğumuz ltıgen oln ve yüksekliği h birim oln bir ltıgen prizm b) tbnı oluşturduğumuz ltıgen oln ve yüksekliği h birim oln bir ltıgen pirmit gömdük. Bu durumd, olur. ) Üçgen prizmnın hcmi=2ah b) Altıgen prizmnın hcmi=ah c) Altıgen pirmitin hcmi=(1/3)ah 4

7 4. Dh sonr, tbnı ABC üçgeni ve yüksekliği h birim oln bir üçgen pirmit ldık. Bu pirmitin içine tbnı oluşturduğumuz ltıgen oln ve yüksekliği h birim oln bir ltıgen pirmit gömdüğümüzde ise olur. ) Üçgen pirmidin hcmi=(1/3)2ah b) Altıgen pirmidin hcmi=(1/3)ah 5. Özel olrk, ABC üçgenini eģkenr üçgen olrk ldığımızd ise üçgenin içinde oluşn ltıgenin düzgün ltıgen olduğunu isptldık. (ġekġl 2) A 60 0 R D 2 E M O B N C 2 ġekġl 2 2 5

8 6. Bu düzgün ltıgenin çevrel çemberini çizerek yüksekliği h birim oln bir koni oluştuduk. Bu durumd, tbnı ABC üçgeni ve yüksekliği h birim oln bir üçgen pirmit içine bu koniyi gömersek olur. ) Üçgen pirmidin hcmi=(1/3)2ah b) Altıgen pirmidin hcmi=(1/3)ah c) Küçük Koninin hcmi= (1/3)((2π )/9)Ah, d) Büyük Koninin hcmi= (1/3)((8π )/9)Ah DÜZGÜN ALTIGEN VE ÇEVREL ÇEMBER R A D E M X 2 O B X C N =A X merkezli, 2 yrıçplı direnin lnı= = (Altıgenin Çevrel Çemberinin Alnı) Aln (ABC) = = =2A X merkezli, 4 yrıçplı direnin lnı= = (ABC Üçgeninin Çevrel Çemberinin Alnı) 6

9 7) Tbnı ABC üçgeni ve yüksekliği h birim oln bir üçgen prizm içine bu koniyi gömersek olur. ) Üçgen prizmnın hcmi=2ah b) Altıgen prizmnın hcmi=(1/3) Ah c) Koninin hcmi= (1/3)((2π )/9)Ah 4. SONUÇLAR VE TARTIġMA: Çlışmmızın sonund 1) Üçgen prizmnın içine, tbnı oluşturduğumuz ltıgen oln ve yüksekliği üçgen prizm ile ynı oln oln ltıgen ) prizmyı yerleştirdiğimizde, üçgen prizmnın hcminin ltıgen prizmnın hcminin iki ktı kdr, b) pirmidi yerleştirdiğimizde, üçgen prizmnın hcminin ltıgen prizmnın hcminin ltı ktı kdr, 2) Üçgen pirmidin içine, tbnı oluşturduğumuz ltıgen oln ve yüksekliği üçgen pirmit ile ynı oln oln ltıgen pirmidi yerleştirdiğimizde üçgen pirmidin hcminin ltıgen pirmidin hcminin iki ktı kdr, 3) Özel olrk ABC üçgenini eşkenr üçgen olrk ldığımızd ise, ) ABC üçgen pirmidinin içine tbnı oluşturduğumuz ltıgenin çevrel çemberi oln ve yüksekliği üçgen pirmit ile ynı oln koni yerleştirdiğimizde, pirmidin hcminin koninin hcminin ((3 3)/ π) ktı b) ABC üçgen prizmsının içine tbnı oluşturduğumuz ltıgenin çevrel çemberi oln ve yüksekliği üçgen prizm ile ynı oln koni yerleştirdiğimizde, prizmnın hcminin koninin hcminin ((9 )/ π) ktı 7

10 olduğunu belirledik. 5. PROJE BÜTÇESĠ Mket Krtonu, ypıştırıcı ve el işi kğıtlrı için toplm 10 TL hrcnmıştır. 6. PROJE ÇALIġMA TAKVĠMĠ 1 Ekim Ksım 2013: Proje konusunun rştırılmsı ve belirlenmesi 1 Ksım Arlık 2013: Gerekli ispt ve hesplmlrın ypılmsı 1 Arlık Arlık 2013: Proje Rporunun Yzılmsı KAYNAKLAR [1] Serkn Küpeli, 2010, 100 Yılın Olimpiyt Sorulrıyl Geometri, Altın Nokt Yyınevi, İzmir. [2] Ömer Gürlü, 2004, Merklısın Geometri, Zmbk Yyınlrı, İstnbul. 8