m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir."

Tolga Izzet
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde, bir satırdan oluşan matrise satır matrisi denir şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. Matris Çeşitleri 1- Kare ve Dikdörtgen Matris m x n boyutlu A matrisinde m n ise dikdörtgen matris, m = n ise kare matris olarak adlandırılır. şeklindeki A matrisi bir kare matristir. 2- Birim (Etkisiz) Matris şeklindeki B matrisi ise dikdörtgen matristir. Toplama işlemine göre birim matris: Tüm elemanları sıfır olan matris toplama işlemine göre birim matristir. Çarpma işlemine göre birim matris: Esas köşeni üzerindeki elemanları 1 diğerleri 0 olan kare matrislerdir. Bir kare matriste aii elemanlarının oluşturduğu köşegene esas köşen denir.

2 3- Köşegen Matris Esas köşegen elamanları dışında kalan elemanları 0 olan matrislere köşegen matris denir. Köşegen matris kare matristir. Birim matrisler aynı zamanda köşegen matrislerdir. L= matrisi köşegen bir matristir. 4- Üçgen Matrisler Üst üçgen matris: Elemanları aij şeklinde gösterilen bir matriste i>j için aij=0 ise bu matrise üst üçgen matris denir. Alt üçgen matris: Elemanları aij şeklinde gösterilen bir matriste i<j için aij=0 ise bu matrise alt üçgen matris denir. 5- Simetrik Matris

3 Bir matrisin elemanları esas köşegene göre simetrikse bu matrise simetrik matris denir. Yani aij=aji dir.aşağıdaki matris simetrik bir matristir. 6- Devrik Matris Bir A matrisinin satır ve sütunlarının yer değiştirilmesiyle elde edilen matrise A matrisinin devriği (transpozesi) adı verilir ve A T ile gösterilir. Matrislerde İşlemler 1- Matrislerin Eşitliği Aynı tipteki (boyuttaki) iki matrisin karşılıklı elemanlarının tümü eşitse bu iki matris de eşittir. Yani A ve B matrisleri için A [aij]=b[bij] ve aij=bij ise A ve B matrisi eşittir. 2- Matrislerde Toplama ve Çıkarma Aynı tipteki iki matrisin karşılıklı elemanları toplanarak bulunan yeni matrise toplam matrisi denir. İki matrisin çıkarma işlemi de aynı yöntemle yapılır. 3- Matrislerin Reel Sayı ile Çarpılması Bir matrisin k ile çarpılması matrisin tüm elemanlarının k ile çarpılması ile gerçekleştirilir. A, B ve C aynı boyutlarda ve k, k1, k2 reel sayı ise, 1- k.(a+b)=k.a+k.b dir. 2- (k1+k2)xa=k1.a+k2.a dır. 3- (k1.k2).a=k1.(k2.a)=k2.(k1.a) dır. 4-1.A=A ve -1.A=-A dır. 5-0.A=0 dır.

4 4- İki Matrisin Çarpımı iki matrisin çarpılabilmesi için birinci matrisin sütun sayısı ikinci matrisin satır sayısına eşit olmalıdır. Çarpma işleminde birinci matrisin tüm satır elemanları ikinci matrisin tüm sütun elemanları ile karşılıklı olarak çarpılıp toplanır. Matrislerin çarpımında çarpım sırası önemlidir. Yani A.B B.A dır. B.A yapılamaz çünkü B matrisinin sütun sayısı A matrisinin satır sayısına eşit değildir. 3- Determinant Determinant karesel bir matrisi reel sayıya dönüştüren bir fonksiyondur. nxn boyutlu bir A kare matrisinin determinantı det(a) = A ile gösterilir. Determinantın Özellikleri; 1- Bir determinantın bir satırdaki veya bir sütundaki elemanları 0 ise, o determinantın değeri 0 dır. 2- Bir determinantta aynı numaralı satırlar ve sütunlar yer değiştirirse determinantın değeri değişmez. 3- Bir determinantın iki satırı veya sütunu yer değiştirirse, determinantın işareti değişir. 4- Bir determinantın bir sayı ile çarpılması demek, her hangi bir satırın veya sütunun o sayı ile çarpılması demektir.

5 5- Bir determinantın iki satır veya sütunu aynı elemanlardan oluşuyorsa veya orantılı ise, o determinantın değeri 0 dır. 6- Bir determinantta bir satırın veya sütunun elemanlarını bir sayı ile çarpıp bir başka satırın ya da sütunun karşılıklı elemanlarına eklemek determinantın değerini değiştirmez. İkinci mertebeden determinant açılımı: 2x2 boyutlu bir matrisin determinantı aşağıda gösterildiği gibi hesaplanır. Üçüncü Mertebeden Determinant Açılımı: a- Sarrus kuralı Bu kurala göre ilk iki satır alt tarafa veya ilk iki sütun sağ tarafa yazılıp esas köşegen çarpımlarından yedek köşegen çarpımları çıkarılır. ise ve

6 olur. b- Laprace Kuralı: Bu kuralla herhangi bir satır veya sütuna göre açılım yapılır. Ancak sıfır elemanının yoğun olduğu satır veya sütunlar kolaylık sağlar. Bu açılım her boyuttaki determinant için geçerlidir. Örneğin, göre aşağıdaki gibi açılır. olsun. Bu matrisin determinantını birinci satırına olur. ise det(a) aşağıdaki gibi hesaplanır. Matrisin üçüncü sütununda sıfırların sayısı fazla olduğundan matrisin determinantını bu sütuna göre açmak daha kolay olacaktır. 4- Determinantın Minörleri ve Kofaktörleri olur. A = [aij kare matrisinin i nci satır ve j nci sütunu silindikten sonra elde edilen yeni matrisin determinantına aij elemanının alt determinantı veya minörü denir ve M!" ile gösterilir. A!" =(-1) i+j. M!" ifadesine ise aij elemanının kofaktörü denir.

7 5- Ek Matris A karesel matris olmak üzere aij elemanının yerine o elemanın kofaktörleri konularak bulunan matrisin transpozuna A nın ek matrisi denir ve Ek(A) ile gösterilir. ise Ek(A)=? Not: 2 2 boyuttaki bir matrisin ek matrisini bulmak için, esas köşegen üzerindeki elemanlar yer, yedek köşegen üzerindeki elemanlarda işaret

8 değiştirir. ise Ek(A)=? 6- Matrisin Tersi

9 A matrisiyle çarpıldığında birim matrisi oluşturan matrise A matrisinin tersi denir ve A-1 ile gösterilir. Yani A.A -1 =A -1.A=I olur. Bir matrsinin tersi matrisin ek matrisinin, determinantına bölünmesi ile bulunur. Yani A matrisinin tersi A!! =! Ek(A) formülüyle hesaplanır.! Bir matrisin tersinin olabilmesi için matris kare matris olmalıdır ve determinantı sıfırdan farklı olmalıdır. ise A -1 =? ve ise olur. Lineer Denklem Sistemlerinin Cramer Metodu ile Çözümü Şeklindeki denklemlerden x1, x2 ve x3 değerleri Cramer metodu ile hesaplanabilir. Bu denklemler kullanılarak; matrisleri tanımlanır ve lineer denklem sistemi A.X=B şeklinde tanımlanır. Burada,

10 ,, ve determinantları hesaplanır ve olarak hesaplanır. (Kaynak: Mersin Üniversitesi ders notları)

Benzer belgeler

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu