Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1"

Savas İnci
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Düzlem Gerilme durumu için: Bilinmeyenler: Düzlem Şekil değiştirme durumu için: Bilinmeyenler: 3 gerilme bileşeni : 3 gerilme bileşeni : 3 şekil değiştirme bileşeni : 3 şekil değiştirme bileşeni : 2 yer değiştirme bileşeni : 2 yer değiştirme bileşeni : Toplam: 8 bilinmeyen Denklemler: 3 şekil değ.-yer değ. Denklemi: Toplam: 8 bilinmeyen Denklemler: 3 şekil değ.-yer değ. Denklemi: 3 Hooke Yasası: 3 Hooke Yasası: 2 Denge Denklemi: 2 Denge Denklemi: Toplam: 8 denklem Toplam: 8 denklem 8 denklem ile 8 bilinmeyen Teorik olarak çözülebilir.

2 Elastisite Teorisi Şekil Değiştirmeler için Uygunluk Bağıntısı Dış yükler altında çalışan bir cisimdeki gerilme dağılımını belirlemek, Elastisite Teorisinde temel problemlerden birisidir. İki boyutlu problemde bunun için iki diferansiyel denklem (denge denklemleri) çözmek gerekmektedir. Ayrıca bu çözümün sınır koşullarını sağlaması gerekmektedir. Bu denklemler statik denge denklemleri yardımıyla elde edilmiştir ve 3 gerilme bileşeni içerir. İki denklem bilinmeyenleri çöze yeterli olmadığı için problem statikçe belirsiz bir problemdir. Bu nedenle, elastik deformasyon analizi yapmak gerekmektedir. 2 boyutlu problem için Şekil değiştirme Yer değiştirme ilişkilerinden: Şekil değiştirmeler için uygunluk bağıntısı (*) Şimdi, gerilme şekil değiştirme bağıntıları (Hooke) kullanılarak uygunluk bağıntısı gerilmeler için uygunluk bağıntısı elde edilebilir. Böylece, bilinmeyenler için kullanıalcak bir denklem daha türetilmiş olur.

3 Elastisite Teorisi Gerilmeler için Uygunluk Bağıntısı Düzlem Gerilme Düzlem gerilme durumu için Hooke yasası gereğince: Denklem (*) da yerine konulurlarsa: (**) Diğer bir yandan denge denklemlerin birincisinin x'e göre, ikincisinin y'e göre türevini alalım: Bu iki denklemi toplayalım: Bu denklemi denklem (**)'da yerine yerleştirelim:

4 Elastisite Teorisi Gerilmeler için Uygunluk Bağıntısı Düzlem Gerilme Bu denklem aşağıdaki şekilde yazılabilir: ya da ya da Düzlem Gerilme durumunda Gerilme için Uygunluk Bağıntısı Laplace operatörü

5 Elastisite Teorisi Gerilmeler için Uygunluk Bağıntısı Düzlem Şekil Değiştirme Düzlem ÖDEV şekil 2: Düzlem değiştirme Şekil durumu Değiştirme için z yönündeki durumu Hooke yasası için gereğince: gerilmeler cinsinden uygunluk bağıntısını türetiniz. Böylece x ve y yönündeki Hooke denklemleri (ve kayma şekil değiştirme) aşağıdaki şekli alır: Denklem (*) da yerine konulurlarsa: (***) Düzlem gerilme durumu için denge denklemlerinde yaptığımız işlei burada da kullanabiliriz: Bu denklemi denklem (***)'da yerine yerleştirelim: Düzlem Şekil değiştirme durumunda Gerilme için Uygunluk Bağıntısı

6 Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 2 Düzlem Gerilme durumu için: Bilinmeyenler: 3 gerilme bileşeni : Toplam: 3 bilinmeyen Denklemler: 2 Denge Denklemi: Düzlem Şekil değiştirme durumu için: Bilinmeyenler: 3 gerilme bileşeni : Toplam: 3 bilinmeyen Denklemler: 2 Denge Denklemi: 1 Gerilme için Uygunluk Bağıntısı 1 Gerilme için Uygunluk Bağıntısı Toplam:3 denklem Toplam:3 denklem 3 denklem ile 3 bilinmeyen Teorik olarak çözülebilir. Ardından şekil değiştirme ve yer değiştirme bileşenleri Hooke yasası ve şekil değiştirme-yer değiştirme bağıntıları yardımıyla hesaplanabilir Fakat, tek bir denkleme indirgemek mümkün

7 Elastisite Teorisi Airy Gerilme Fonksiyonu (Sonuç 3) Denge denklemleri X ve Y nin sabit olduğu durumda, düzlem gerilme ya da düzlem şekil değiştirme için uygunluk bağıntısı Denge Denklemlerinde kullanılan gövde kuvvetlerinin bir potansiyel fonksiyon V cinsinden tarif edildiğini varsayalım: Bu durumda, eğer gerilmeler aşağıdaki şekilde tarif edilirse, denge denklemleri de sağlanmış olur: Burada, f airy gerilme fonksiyonu olarka adlandırılır. Bu ifadeler, uygunluk bağıntısında yerlerine yazılırsa: Örnek olarak ya da Bu denklem biharmonik denklem olarak adlandırılır. Böylece, problemin çözümü tek bir denkleme indirgenmiş olur.

8 Elastisite Teorisi Airy Gerilme Fonksiyonu (Sonuç 3) Örneğin, cisme etki eden tek gövde kuvveti cismin ağırlığı olsun. Bu durumda denge denklemleri ve uygunluk bağıntısı aşağıdaki şekli alır: Böylece Uygunluk bağıntısında yerlerine yazılırsa:

9 Elastisite Teorisi Polinomlar ile Çözüm Airy gerilme denklemi ve sınır koşulları kullanılarak gerilme analizi yapılabilir. Bu denklemin çözümünde farklı derecelerdeki polinomların tanımlandığı polinom çözüm yöntemi kullanılabilir. Hiçbir gövde kuvvetinin olmadığı xy düzleminde bulunan dikdörtgen kesitli kiriş için bu denklemleri uygulayalım:

10 Elastisite Teorisi Polinomlar ile Çözüm 2. dereceden polinom ile başlayalım: Bu denklem uygunluk bağıntısı sağlamaktadır. Ağırlığın ihmal edildiği durum için gerilmeler: Bütün gerilme bileşenleri sabittir. Cismin yüzeyindeki gerilme dağılımı şekildeki gibi olur.

11 Elastisite Teorisi Polinomlar ile Çözüm 3. dereceden polinom: Bu denklem uygunluk bağıntısı sağlamaktadır. Gerilmeler: Bu çözüm için: olduğunu kabul edelim. Bu durumda, kiriş x doğrultusundaki yüzeylerde basit eğilmeye mağruz kalmış olur. x yönündeki normal gerilme lineer olarak değişir.

12 Elastisite Teorisi Polinomlar ile Çözüm olduğunu kabul edelim. Bu durumda, yüzeylerdeki gerilmeler aşağıdaki şekilde verildiği gibi olur: Kayma gerilmesi lineer olarak değişiyor y yönündeki normal gerilme sabit Kayma gerilmesi sabit ÖDEV 3: olduğunu kabul edelim. Bu durumda, yüzeylerdeki gerilmeler hesaplaytınız ve cisimin yüzeyindeki gerilme dağılımını çiziniz.

13 Elastisite Teorisi Polinomlar ile Çözüm 4. dereceden polinom: Bu denklemin uygunluk bağıntısı sağlaması için olması gerekir. Bu durumda gerilmeler: Bu Yüzeylerdeki kayma gerilmesi sabit Bu Yüzeydeki kayma gerilmesi parabolik değişiyor Bu çözüm için: olduğunu kabul edelim. Bu durumda yüzeylerdeki gerilmeler: x yönündeki normal gerilme lineer değişiyor ÖDEV 4: olduğunu kabul edelim. Bu durumda, yüzeylerdeki gerilmeler hesaplaytınız ve cisimin yüzeyindeki gerilme dağılımını çiziniz.

14 Elastisite Teorisi Polinomlar ile Çözüm 5. dereceden polinom: Bu denklemin uygunluk bağıntısı sağlaması için olması gerekir. Bu durumda gerilmeler: Bu çözüm için: olduğunu kabul edelim. Bu durumda gerilmeler denklemlerde ve yüzey gerilmeleri şekilde ((a) Normal gerilmeler, (b) Kayma gerilmeleri) verilmiştir.

Benzer belgeler

Elastisite Teorisi Polinomlar ile Çözüm Örnek 2

Elastisite Teorisi Polinomlar ile Çözüm Örnek 2 Böylece aşağıdaki gerilme ifadelerine ulaşılır: Bu problem için yer değiştirme denklemleri aşağıdaki şekilde türetilir: Elastisite Teorisi Polinomlar ile