6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

Transkript

1 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği sıfır olan k cismi üzerine tanımlı olduğunu varsayıyoruz. 1 Eş Zamanlı Köşegenleştirme V, k üzerine tanımlı bir vektör uzayı olsun ve varsayalım ki dim k V <. A sıfırdan farklı V üzerinde tanımlı doğrusal operatör olsun. Bariz bir şekilde A kendi karakteristik polinomunu sağlar char.poly A (t) := det(ti n A) = 0, burada t bir değişken ve I n, n n lik birim matristir. (char.poly A (t) tanımda A yı t nin yerine koyunuz.) λ k olmak üzere, V (λ) = V (λ, A), (A λi n ) ın bir kuvveti tarafından yok edilen V deki vektörlerin kümesini göstersin. Diğer bir deyişle, V (λ) := {v V : (A λi n ) m (v) = 0 bazı m Z >0 için }. V (λ) daki elemanlara genelleştirilmiş özvektör denir. Aşağıda aşikar ancak yararlı bir açıklama yer almakta. 1

2 Açıklama 1.1. Bariz ki V (λ) boş kümeden farklı ancak ve ancak det(a λi n ) = 0. Gerçekten de eğer bir m Z >0 için (A λi n ) m (v) = 0 ise, (A λi n ) in çekirdeği vardır, dolayısıyla determinantı 0 dır. Öte yandan, det(a λi n ) = 0 ise (A λi n ) çekirdeği boş kümeden farklıdır. Başka bir deyişle, det(ti n A) = 0 denkleminin bir çözümü ancak ve ancak V 0 ise vardır. V ss (λ) := {v V : (A λi n )(v) = 0} olarak tanımlansın. V ss (λ) V (λ) olduğu aşikar. Bu altkümenin elemanlarına A nın özvektörleri denir. Açıklama 1.2. A ve B, V üzerinde tanımlı AB = BA özelliğini sağlayan iki tane operatör olsun. O zaman B(V ss (λ)) = V ss (λ) ve B(V (λ)) = V (λ) olur. Gerçekten, v V ss (λ) ise v = 1 A(v), dolayısıyla B(v) = B( 1 A(v)) = 1 BA(v) = 1 AB(v) olur. Denk olarak λb(v) = λ λ λ λ A(B(v)), bu da B(v) V ss (λ) demektir. Eğer v V (λ) ise, bir m > 0 için (A λi n ) m (v) = 0 olur. O zaman B(A λi n ) m (v) = B(0) = 0 olur. (Binom açılımından dolayı) B(A λi n ) m = (A λi n ) m B olduğundan, görüyoruz ki B(v) (A λi n ) m tarafından da yok ediliyor, bu yüzden B(v) V (λ). Herhangi bir operatör A : V V için V yi A nın genelleştirilmiş özuzaylarının direkt toplamı şeklinde yazabiliriz; V = λ k V (λ). (1.3) Bunu görmek için ilk olarak farklı V (λ) larda bulunan vektörlerin doğrusal bağımsız olduğunu gözlemleyiniz, dolayısıyla λ V (λ) bir direkt toplamdır. Daha açık bir şekilde, herhangi sonlu bir altküme D V eğer D V (λ) 1 eşitsizliğini sağlıyorsa doğrusal bağımsızdır. Aksine bir v i D ve sıfırdan farklı c i k için v = c 1 v c r v r = 0 olduğunu varsayalım. Ayrıca r nin olası en küçük değer olduğunu varsayalım. Dikkat ediniz ki r > 1. v ye A λ 1 I n nin yeterince yüksek bir kuvvetini uygularsak görürüz ki d 2 v d r v r = 0 bazı sıfırdan farklı d i ler için. Bu r nin en küçük olmasıyla çelişir ve bu da iddiamızı kanıtlar. Şimdi λ k rastgele bir sayısal olsun ve W := V/V (λ) uzayını düşünelim. λ, [v] W için B([v]) = [A(v)] ile tanımlanan indirgenmiş operatörün genelleştirilmiş bir özdeğeri 2

3 olamaz. Aksi takdirde, B λi n nin bir kuvveti sıfırdan farklı bir vektörü [v] W yok ederdi: (B λi a ) m [v] = 0. Denk olarak, (A λi n ) m (v) V (λ). Bariz ki, bu durumda, A λi n nin daha yüksek bir kuvveti v yi yok ederdi, dolayısıyla v V (λ) olurdu. Bu [v] nin sıfırdan farklı olması bir çelişki oluştururdu. λ keyfi seçildiğinden, aynı ifade W = V/ λ k V (λ) için de doğru olur. Bu yüzden, görüyoruz ki B nin hiç genelleştirilmiş özdeğeri yoktur. Açıklama 1.1 den görüldügü gibi W = 0 olmalı. Dolayısıyla, V = λ k V (λ) olur. Tanım 1.4. A : V V bir operatör olsun. Eğer V nin A nın özvektörlerinden oluşan bir bazı varsa, A ya yarıbasit denir. Eğer A yarıbasit bir operatör ise, açıktır ki V = λ k V ss (λ). Yukarıdaki tartışmalar (tanımlar) daha genel bir bağlamda verilebilir. R değişmeli bir k-cebiri ve V bir R-modülü olsun. Bir karakter (k-cebir homomorfizması) χ : R k için m χ karakterin çekirdeğini göstersin, ker χ. Böylece, R/m χ k bir cisim; m χ maksimal ideal olur. R nin bütün karakterlerinin kümesi R ile gösterilir. Daha önceden olduğu gibi, m χ in bir kuvveti tarafından yok edilen V deki vektörlerin oluşturduğu altmodülü, V (χ) ile gösteriyoruz ve m χ tarafından yok edilen vektörlerin oluşturduğu altmodülü V ss (χ) V (χ) ile gösteriyoruz. V (χ) a (sırasıyla, V ss (χ) ya) χ ile ilişkili genelleştirilmiş özuzay (sırasıyla, özuzay) diyoruz. Açıktır ki, bir R-modül aynı zamanda bir k-modüldür, dolayısıyla bir vektör uzayıdır. Bu yüzden, sıradaki tanım anlamlıdır: Eğer bir R-modülü V sonlu boyutlu R-modüllerinin birleşimi ise, V ye yerel sonlu denir. Teorem 1.5. R değişmeli bir k-cebiri ve V bir R-modülü olsun. Eğer V yerel sonlu ise V yi genelleştirilmiş özuzaylara ayrıştırabiliriz. Dahası, eğer her bir a R, V ye yarıbasit bir şekilde etki ediyorsa, yani a nin özvektörlerinden oluşan bir baz varsa, o zaman V = χ R V ss (χ) olur. İspat. İspati sadece sonlu boyutlu uzaylar için vereceğiz çünkü sonsuz boyutlu durumu da yerel sonluluğu kullanıp sonlu duruma indirgeyebiliriz. 3

4 İlk iddiamızı ispatlamak için gözlemleyiniz ki V (χ) ların (χ R ) doğrusal bağımsızlık ispatı yukarıdaki vektör uzayı operatörlerinin genelleştirilmiş özuzaylarında olduğu gibi verilebilir. V nin bir direkt toplam olduğunu göstermek için tümevarım yapacağız. Eğer her bir a R sadece bir tane k-özdeğerine α = α a on V sahipse, α R nin bir karakteridir. Bu durumda, (1.3) ten dolayı iddia ispatlanmıştır. Eğer a R birden fazla k-özdeğerine sahipse, o halde sorumuzu her bir k-özuzayında ayrıca düşünürüz ve bunu R nin genelleştirilmiş özuzaylarına ayrıştırabileceğimiz sonucuna varmak için tümevarım kullanırız. Bariz ki aynı argüman ikinci iddiamızı da ispatlar. İlgilendiğimiz çoğu durumda, R, k üzerine tanımlı sonsuz boyutlu bir cebirdir. R sonlu boyutlu bir vektör uzayı olduğunda işler basitleşir. Sonuç 1.6. R sonlu boyutlu birimli değişmeli k-cebiri olsun. R nin sonlu sayıda maksimal ideali m 1,..., m r vardır ve öyle e i R, i = 1,..., r vardır ki e i m j (i j); e 2 i = e i (i = 1,..., r); e e r = 1; e m i m i = 0 her m > dim R için. İspat. a 1,..., a m, R nin maksimal idealleri olsun. Çinlilerin kalan teoremine göre, örten k- doğrusal bir fonksiyon φ : R R/a 1 R/a m olmalı. R, n boyutlu ve R/a 1 R/a m m boyutlu olduğundan, m n, dolayısıyla R nin sadece sonlu sayıda maksimal ideali vardır. m 1,..., m r ; R deki tüm maksimal ideallerin listesi olsun. Bariz ki bunlar aralarında asal idealler. J = m 1 m r yi düşünelim. Çinlilerin kalan teoremine göre, bu çarpım bütün maksimal ideallerin kesişimine eşittir, dolayısıyla bu R nin Jakobyan radikalidir. R sonlu boyutlu olduğundan, Artinyandır. Bu sebeple, J J 2 dizisi sabitleşir: J N = J N+1 bir N 1 değeri için. 4

5 Bu yüzden, Nakayama nın önermesi bize J N tekrar uygularsak görürüz ki = 0 ı verir. Şimdi Çinlilerin kalan teoremini R R/m N 1 R/m N r (1.7) bir izomorfizmadır. R nin kendi üzerine soldan çarpmayla etkisini düşünelim ve R yi bir R-modül olarak V ile gösterelim. V = V (χ 1 ) V (χ r ) karakterler için genelleştirilmiş özuzay ayrışımı olsun. Dikkat ediniz ki (sıralamayı önemsemezsek) V (χ i ), R/m N i nin R deki ters görüntüsüne izomorfiktir. Bu yüzden, her bir i {1,..., r} için bir izdüşüm fonksiyonu P : V V (χ i ) vardır. Açıktır ki, birim operatörü 1, 1 ile çarpmaya karşılık gelir ve dahası 1 = P P r olur. e i ile P i (1) i gösterelim. O halde, P nin görüntüsü e i ile çarpmayla verilir. Artık m i = ker χ i olduğunu ve e i lerin listelenmiş özellikleri sağladığını kontrol etmek kolaydır. 2 Jordan-Chevalley Ayrışımı A End(V ) olsun, burada V sonlu boyutlu: dim V <. A nın bütün (birbirinden farklı) özdeğerlerinin listesini λ 1,..., λ r ile gösterelim ve m i ile dim V (λ i ) yi gösterelim (i = 1,..., r). v V (λ i ) sıfırdan farklı bir vektör olsun ve j, (A λ i I n ) j (v) 0 eşitsizliğini sağlayan en büyük pozitif tam sayı olsun. İddia ediyoruz ki 1 j m i. Gerçekten de aşağıdaki vektörler v 0 := v, v 1 := (A λ i I n )(v),. v j := (A λ i I n ) j (v) 5

6 doğrusal bağımsızdır. Aksi takdirde c 0 v 0 + c j v j = 0 olacak şekilde bir doğrusal bileşim olurdu. Eşitliğin iki tarafına da (A λ i I n ) j, (A λ i I n ) j 1,... operatörlerini sırayla uygularsak görürüz ki c 0 = c 1 = = c j = 0. j = m i olacak şekilde v V (λ i ) yi seçmek kolay. Şimdi, V (λ i ) nin alternatif bir tanımı ortaya çıkar: V (λ i ) = {v V : (A λ i I n ) m i (v) = 0} = ker(a λ i I n ) m i. A nın karakteristik polinomu r i=1 (t λ i) m i ile verilir. Çinlilerin kalan teoremini kullanarak, bir polinom P (t) tanımlayabiliriz öyle ki P (t) λ i mod (t λ i ) m i (i = 1,..., k) ve P (t) 0 mod (t) özelliklerini sağlar. Q(t) := t P (t) ve A s := P (A), (2.1) A n := Q(A) (2.2) olsun. Açıktır ki A s ve A n, birbiriyle ve A ile değişmelidir. Ayrıca açıktır ki A s nin V (λ i ) ye kısıtlanışı char.poly (t) = (t λ As V (λi ) i) m i karakteristik polinomuna sahiptir. Diğer bir deyişle A s, V (λ i ) üzerinde tek bir özdeğere sahiptir ve λ i ile çarpma ile etki eder. Bu yüzden, bütün V üzerinde köşegenleştirilebilir, dolayısıyla yarıbasittir. Tanımdan dolayı A n = A A s dir. A n nin sıfırdan farklı özdeğeri olmadığı için A n üstelsıfırdır. Teorem 2.3 (Jordan ayrışımı). V sonlu boyutlu bir vektör uzayı, ve A End V olsun. O zaman, V üzerinde tek bir yarıbasit operatör A s ve tek bir üstelsıfır operatör A n vardır ki 1. A = A s + A n 6

7 2. A s ve A n birbiriyle ve A ile değişmeli olan diğer herhangi bir operatör B End V ile değişmelidir. İspat. Varlığın ispatı yukarıda verilmiştir. Teklik için A = S + N nin yukarıdaki özellikleri sağlayan baska bir parçalanma olduğunu varsayalım. O halde A s S = N N n olur. Değişmeli yarıbasit elemanların, üstelsıfır elemanların, farkları da, sırasıyla, yarıbasit ve üstelsıfır olduğundan dolayı, A s A yarıbasit ve N A n üstelsıfırdır. Ancak hem yarıbasit hem de üstelsıfır tek fonksiyon 0 dır. 3 Ek Bölüm 3.1 Değişmeli Halkalar için Çinlilerin Kalan Teoremi R birimli, değişmeli bir halka ve I 1,..., I r, R nin kendi aralarında asal, yani I i + I j = R (i j), idealleri ise bu ideallerin çarpımı I, kesişimlerine eşittir ve bölüm halkasi R/I, f : R/I R/I 1 R/I k (3.1) f(x + I) = (x + I 1,, x + I k ). (3.2) ile R/I 1 R/I k ya izomorftur. Bakınız [Önerme 1.10, [1]]. 3.2 Nakayama nın Önermesi Değişmeli bir halkanın Jakobyan radikali J = J(R), R nin bütün maksimal ideallerinin kesişimine eşittir. M sonlu üretilmiş bir R-modül olsun ve a, J nin kapsadığı bir ideal olsun. Eğer am = M ise M = 0 olur. Bakınız [Önerme 2.6, [1]]. 7

8 References [1] Atiyah, M. and Macdonald, I. Introduction to Commutative Algebra 8