ARAZİ ÖLÇMELERİ. Temel Ödev I: Koordinatları belirli iki nokta arasında ki yatay mesafenin

Transkript

1 Temel ödevler Temel ödevler, konum değerlerinin bulunması ve aplikasyon işlemlerine dair matematiksel ve geometrik hesaplamaları içeren yöntemlerdir. öntemlerin isimleri genelde temel ödev olarak isimlendirilir. Farklı teknik ölçme bilgisi kitaplarında temel ödevlerin sıralaması buradaki ile uyuşmayabilir. Önemli olanı hangi temel ödevin ne için kullanıldığıdır. Temel Ödev I: Koordinatları belirli iki nokta arasında ki yatay mesafenin bulunması. Verilenler: P.1 (,), P.2(,) İstenenler: P.1 P.2 mesafesi: P.1 noktası ile P.2 noktası arasındaki yatay mesafenin bulunması. P2 P.2 S P1 P.1 P1 P2 KAMAN MO 95

2 P.2 P.2 P.1 (P.2 P.1) P.1 S ( P.2 P.1 ) P.1 P.2 P 1 P 2 = (( P.2 P.1 ) 2 + ( P.2 P.1 ) 2 ) = (( P.1 P.2 ) 2 + ( P.1 P.2 ) 2 ) ukarıdaki formülde parantez kareler işlemde kullanıldığı için eşitliğin her iki tarafındaki yatay mesafe hesabı aynı çıkacaktır. ( P.2 P.1 ) 2 = ( P.1 P.2 ) 2 KAMAN MO 96

3 Örnekler: Örnek 1: andaki tabloda koordinatları verilen 5 ve 8 NO (m.) (m.) numaralı noktalar arasındaki yatay mesafeyi bulu = (( 5 8 ) 2 + ( 5 8 ) 2 ) = (( 8 5 ) 2 + ( 8 5 ) 2 ) = m KAMAN MO 97

4 Temel Ödev II: Semt Hesabı. Verilenler: P.1( P.1,P.1), P.2( P.2, P.2) İstenenler: (P.1_P.2) veya (P.2_P.1) İki nokta arasında oluşan doğrunun ekseniyle arasında kalan açıya semt açısı denir. Semt açısı, ekseninden başlayıp ve iki nokta arasındaki doğruya kadar saat yönünde artacak şekilde çizilir. () () P 2 (P.1-P.2) (P.2-P.1) P.1 Şekil 69 Şekil 69 da (P.1_P.2) ve (P.2_P.1) semtleri gösterilmiştir. İstenilen semt açısı, semtin hangi noktada ki ekseninden başlayacağına bağlı olarak oluşur. Şekil 69 da ki örnek incelenirse (P.1-P.2) semt açısı P.1 noktasında ki ekseninden başlıyor, (P.2-P.1) semt açısı P.2 noktasında ki ekseninden başlıyor. Başlangıç noktasında eksenine paralel bir doğru oluşturulur ve semt açısı bu oluşan doğrudan başlamak üzere, iki nokta arasında kalan doğruya kadar olan açıdır. KAMAN MO 98

5 Koordinatları bilinen iki nokta arasındaki semt açısı hesaplanırken noktaların koordinatlarından yararlanılır. Koordinatlar, iki boyutlu Kartezyen koordinat sisteminde olduğunda birimi uzunluk birimi olan metredir. İstenilen bir açı olduğuna göre ters trigonometrik fonksiyonlar kullanılarak semt açısı elde edilir. Temel trigonometrik fonksiyonlarla semt açısının koordinatlardan hesaplanması: tan(p. 1 P. 2) = ( P.2 P.1 ) ( P.2 P.1 ) (P. 1 P. 2) = arctanjant (( P.2 P.1 ) ( P.2 P.1 ) ) şeklindedir. Hesap makinelerinde arctanjant fonksiyonu tan -1 olarak belirtilmiştir. Formül incelenirse, semt ismine göre ikinci noktadan (P.2 noktası), birinci noktanın (P.1 noktası) ve koordinatları çıkartılıyor. Eğer tam tersi istenirse yani (P. 2 P. 1) semti hesaplanırken, semtin ismine göre ikinci noktanın (P.1 noktası) koordinatları, semtin ismine göre ilk noktanın (P.2 noktası) koordinatlarından çıkartılmıştır. tan(p. 2 P. 1) = ( P.1 P.2 ) (P ( P.1 P.2 ) 2P 1 ) = arctanjant ( ( P.1 P.2 ) ) (FORMÜL 1) ( P.1 P.2 ) İşlemlerde semtin hesaplandığı bölge de önemlidir. Şekil 69 de ki (P. 1 P. 2) semti birinci bölgede hesaplanmıştır. () Şekil 70 () (P 1 P 2 ) P 2 (P 2 P 1 ) P 1 (P 1 P 2 ) Şekil 70 de görüldüğü üzere, (P.1-P.2) ve (P.2-P.1) semti arasında (P 2 P 1 ) = (P 1 P 2 ) ± 200 g açısal fark bulunmaktadır. KAMAN MO 99

6 Semt açısının Hesaplama adımları: İlk olarak semtin hangi noktadan hangi noktaya doğru olduğu belirlendikten sonra, noktaların ve koordinatlarının farkı alınacak. Koordinat farkı alınırken, örneğin semt (P. 1 P. 2) olarak isteniyorsa, = 2 1, = 2 1 olarak hesaplanacak. Eğer (P. 2 P. 1) semti hesaplanması isteniyorsa koordinat farkları hesaplanırken: = 1 2, = 1 2 olarak hesaplanmalıdır. İkinci kısım ise koordinat farklarının pozitif veya negatif olduğuna göre semt açısının hangi bölgede olduğunu belirlemektir. Belirlerken yapılacak olan, eksenlerini çizip çıkan farkların + veya olmasına göre hangi eksenler de olduğunu şekil üzerinde göstermek olacaktır. Tablo 2 de koordinat farklarının negatif/pozitif olmasına göre bölgelerin belirlenmesini göstermektedir. Şekil 70, ve farklarının pozitif veya negatif olmasına göre bölgelerin basit eksen çizimleriyle nasıl bulunacağını göstermektedir. Tablo 2 Koordinat farklarına göre bölgelerin belirlenmesi B Farkı Farkı ölge + + I.Bölge + II.Bölge II I.Bölge + I V.Bölge Semt açısı her bölgede farklı hesaplanır. Temel formül FORMÜL 1 de gösterildiği gibidir, fakat farklı bölgelerde sadece bu formül doğru sonuç vermeyecektir. Şekil 71 incelendiğinde her bölgede bir açısı görülmektedir. Bu açı FORMÜL 1 de ki hesapta bulunan açıdır. Hesaplanmasında ve değerlerinin mutlakları alınır. açısı, semt açısını bulmakta yardımcı açı olarak kullanılır. KAMAN MO 100

7 KAMAN MO 101

8 I. Bölge II. Bölge D=+ D=+ D= - D= + P 2 (P 1 P 2 ) = P (P 1 P 2 )= 2 P P 2 III. Bölge D=- D=- IV. Bölge D=+ D= P 1 (P 1 P 2 ) = (P 1 P 2 ) = P P 1 P 2 Şekil 71 KAMAN MO 102

9 Şekil 71 Özetlenirse: Eğer semt açısı 1. Bölgede ise, SEMTAÇISI =, Eğer semt açısı 2. Bölgede ise, SEMTAÇISI = 200, Eğer semt açısı 3. Bölgede ise, SEMTAÇISI = 200 +, Eğer semt açısı 4. Bölgede ise, SEMTAÇISI = 400 olarak hesaplanır. Tam doğu batı yönünde olan bir doğrunun açıklık açısı hesabında Δx=0 ve tam kuzey güney yönünde olan bir doğrunun hesabında Δy=0 olur. Böyle bir durumda açıklık açısının hesaplanmasında, hesap makinesine gerek yoktur. Zaten doğu batı doğrultusu için yapılacak hesaplamada: y 0 = Olacağından hesap makinesi ile bir değer elde edilemeyecektir. Eğer Δx=0 olursa semt değeri 100 g, eğer Δy=0 olursa semt değeri 200 g olacaktır (ŞERBETTÇİ M., ATASO V, 2000). Hesabın yapılmasında her bölge için ayrı ayrı farkların çizimi yapılıp sonrasında noktaların semtin hesaplanacağı bölgenin bulunması sağlanır. Şekli çizerken birinci olarak D sonucuna göre 1 nolu çizgi; D sonucunun + - olmasına göre 2 nolu çizgi çizilir. 3 nolu çizgi 1 ve 2 nolu çizginin birleştirilmesi ile oluşur. Oluşan üçgende, tan = Öğr. Gör. Emre 214İNCE 2487 KAMAN MO olacak şekilde açısı üçgen içerisinde yerleştirilir. açısı iç ters açı olarak ekseni ile üçgenin kesişim yerinde açısı yerleştirilir. = arctan ( ) hesabı yapılır. Dikkat edilmesi gereken hesaplanırken, D ve D değerleri pozitif (+) olacak şekilde hesaplanır. NO Örnekler: Örnek 1: (1. Bölgede semt açısı hesabı örneği) (m.) (m.) andaki tabloda verilen 7 ve 9 numaralı noktaların koordinatlarından yararlanıp (9-7) semtini hesaplayınız 103

10 ÇÖZÜM: () Δ= 7-9 =+ Δ= 7-9 =+ (9-7) 7 7 (9-7) (9-7) = Şekil 72 (9 7) = tan 1 (( 7 9 )/( 7 9 )) = tan 1 ( y/ x) = g KAMAN MO 104

11 Örnek 2: (2. Bölgede semt açısı hesabı örneği) andaki tabloda verilen 2 ve 5 numaralı noktaların koordinatlarından yararlanıp NO (m.) (m.) (2-5) semtini hesaplayınız 499 Çözüm: () Δ = 5-2 = + Δ = 5-2 = - (2-5) (2-5) 2 2 (2-5) = KAMAN MO = tan 1 ( ) ( 1) = tan 1 ( y/ x) ( 1) = g 105

12 KAMAN MO 106

13 Örnek 3: (3. Bölgede semt açısı hesabı örneği) NO (m.) Çözüm: (m.) andaki tabloda verilen 8 ve 11 numaralı noktaların koordinatlarından yararlanıp (8-11) semtini hesaplayınız () Δ = 11 8 = - Δ = 11 8 = - Δ Δ (8-11) = = tan 1 (( 11 8 )/( 11 8 )) = tan 1 ( y/ x) = g (8 11) = = g KAMAN MO 107

14 Örnek 4: (4. Bölgede semt açısı hesabı örneği) andaki tabloda verilen 4 ve 7 numaralı noktaların koordinatlarından yararlanıp (4-7) semtini NO (m.) (m.) hesaplayınız = tan 1 ( ) ( 1) = tan 1 ( y/ x) ( 1) = g KAMAN MO 108

15 Temel Ödev III: Semtlerden Açı Hesabı Verilenler: A(A,A), B(B,B), C(C,C) İstenenler:,, β açıları. Eğer A, B ve C noktalarının koordinatlarını biliniyorsa (A-B), (A-C), (C-B) semt değerlerinden, üç noktanın oluşturduğu üçgenin iç açıları hesaplanabilir. (x) (A-B) A (A-C) (x) (x) (B-A) β (C-A) C B (B-C) (C-B) = (A-B) (A-C) Üçgenin iç açılarını hesaplarken noktaların β = (B-C) (B-A) arasında ki semt açılarının farkları alınarak açılar = (C-A) (C-B) hesaplanır. KAMAN MO 109

16 Örnekler Örnek1: NNO Çözüm: (x) , 10, 12 numaralı noktaların oluşturduğu üçgenin iç açıları- (x) 8 ω + β + ω =200 g 10 (x) β 12 = (10 12) (10 8) = g β = (12 8) (12 10) = g ω = (8 10) (8 12) = g + β + ω = 200 g KAMAN MO 110

17 Teme Ödev IV: Koordinatın bilinmeyen bir nokta için semt hesabının yapılması. Verilenler: A(,), B(,) Ölçülen: β İstenenler: (B-C) (x) A C (x) β (B-C) B β (A-B) Şekil 73 İş hayatımızda en çok kullanacağımız temel ödev olan temel ödev IV de, A ve B noktalarının koordinatları bilinmekte fakat C noktasının koordinatları bilinmemektedir. C noktasının koordinatının bulunabilmesi için (B-C) semt açısı bilinmelidir. Bunun için yapılması gereken, (A-B) semtini koordinatlardan hesapladıktan sonra, doğrultu ölçüm aletini (teodolit veya total station) B noktasında konumlandırıp sırası ile A ve C noktalarına ölçüm aletimizi yönlendirip yatay açı doğrultu değerleri elde edilir. Elde edilen doğrultuların farkı ile β açısını hesaplanır. β açısı ve hesaplanan (A-B) semtiyle istenen (B-C) semt açısı elde edilir. Aşağıda ki tabloda semt ve kırılma açısının toplamının sonuç değerlerine göre (B-C) semtinin nasıl hesaplanacağı durumlar gösterilmiştir: (A B) + β < 200 g g (B C) = (A B) + β g > (A B) + β 200 g g (B C) = (A B) + β 200 Eğer (A B) + β = 200 g g (B C) = 0 KAMAN MO 111

18 Eğer (A B) + β = 400 g g (B C) = 200 (A B) + β > 600 g g (B C) = (A B) + β 600 KAMAN MO 112

19 Temel Ödev V: Koordinatı bilinmeyen bir nokta için koordinat değerlerinin bulunması Koordinatı bilinmeyen bir noktanın koordinatlarını bulmanın birden fazla yolu vardır. Fakat temel ödevlerden yola çıkarak bulmak istenirse yapılması gereken koordinatları bilinen iki noktadan yardım alarak koordinatları bulmaktır. (x) A A (AB) (x) P β (BP) S B B A B Şekil 74 Şekil 74 incelendiğinde P noktasının koordinatı bulunmak istenmektedir. P noktasının koordinatlarının bulunması için B koordinatları, (B-P) semti ve S mesafesi gerekmektedir. A ve B noktalarının koordinatları bilinmektedir. B noktasına konumlandırılacak doğrultu ölçer aletiyle, ilk önce A sonrada P noktasına yatay açı doğrultu değerleri elde ediliyor. Elde edilen yatay açı değerleri arasındaki fark aradaki β açısını elde etmemizi sağlıyor. B - P arası mesafe değeri (S) ölçülüyor. (B-P) semtini bulmak için Temel Ödev IV yardımıyla (B-P) semti hesaplanıp P noktasının koordinatları: p = B + S cos(b P) KAMAN MO 113

20 p = B + S sin(b P) Formülleriyle hesaplanıyor. Dikkat edilecek nokta koordinatı bilinmeyen bir noktanın koordinatlarını hesaplayabilmek için gerekli olan semt değerinin (Örnekte (B-P) semti) eldesi için ölçüm anında eksenin yönü istenilen hassasiyette bilinemez. eksenini belirlemeye gerek kalmadan koordinat hesabı için gerekli semt değerinin eldesin de 2 adet koordinatı bilinen noktaya ihtiyaç vardır. P2 P 2 (P1P2) S P1 P 1 P1 P2 Şekil 75 P2 noktasının koordinatının bulunması Şekil 75 de P2 noktasının koordinatlarının P1 noktasından bulunması şekillendirilmiştir. P2 noktası aşağıdaki bağıntılardan hesaplanmaktadır. cos(p 1 P 2 ) = P2 P1 S P2 P1 = S cos(p 1 P 2 ) sin(p 1 P 2 ) = P2 P1 S P2 P1 = S sin(p 1 P 2 ) Bulunan ve farkları koordinatı bilinen P1 noktasının koordinatlarına eklenirse sonuçta P2 noktasına ait koordinatlar elde edilmiş olur. KAMAN MO 114

21 P2 = P1 + S cos(p 1 P 2 ) P2 = P1 + S sin(p 1 P 2 ) Formüller incelenirse bir noktanın koordinat değerleri, koordinatı bilinen bir noktadan elde edilecek ise ikisi arasındaki mesafe (S) değeri ile semt (örneğe göre (P1-P2) semti) değeri bilinmelidir. İşlemin arazi ortamında ölçüm yolu ile bulunacağı düşünülürse, S mesafesi elektronik ölçüm aleti veya çelik şerit metreyle hesaplanabilir. Ama ölçüm yoluyla semt değeri hesaplanamaz. Semtin bulunabilmesi için (IV. Temel ödev kullanılarak) ikinci bir koordinatı bilinen noktaya ihtiyaç vardır. Sonuç olarak bir noktanın koordinatlarının bulunabilmesi için iki adet koordinatları belirli noktaya ihtiyaç vardır. KAMAN MO 115

22 Örnekler: Örnek1: NO N N A M g numaralı noktanın - koordinatlarını verilen bilgileri kullanarak () g β 8 = m g g = g (P.4-8) (P. 3 P. 4) = = tan 1 ( P.4 P.3 P.4 P.3 ) = g P.4 (P. 4 8) = (P. 4 P. 3) + β = g (P.4-P.3) β = P sin(p. 4 8) = m 8 = P cos(p. 4 8) = m P.3 KAMAN MO 116

23 Örnek2: NO N N A 30 M -- 8 numaralı noktanın - koordinatlarını verilen bilgileri kullanarak bulunuz g ().0944 g 18 2 β 2 = g g = g m (P. 7 P. 5) = = tan 1 ( P.5 P.7 P.5 P.7 ) = g P.7 (P. 5 2) = (P. 7 P. 5) + β = g 2 = P sin(p. 5 2) = m () 2 = P cos(p. 5 2) = m Denklemi buraya yazın. P.5 KAMAN MO 2 117