Projenin Adı: Matrisler ile Diskriminant Analizi Yaparak Sayı Tanımlama. Giriş ve Projenin Amacı:

Transkript

1 Projenin Adı: Matrisler ile Diskriminant Analizi Yaparak Sayı Tanımlama Giriş ve Projenin Amacı: Bu projenin amacı; matrisler ile diskriminant analizi yaparak, bir düzlem üzerine el ile yazılan bir sayının oluşturduğumuz ayrıştırma gruplarının hangisine ait olduğunu belirleyebilmek ve bunu dijital ortama aktararak elle yazılan bir sayının dijital olarak algılanabilmesini sağlamaktır. Regresyon analizinde verilerin yapısındaki grup sayısı bilinmekte ve bu verilerden faydalanarak bir ayrımsama modeli elde edilmektedir. Kurulan bu model ile veri kümesinde yeni alınan gözlemlerin gruplara atanması yapılmaktadır. Diskriminant analizi de bu ayrımı yapmak için kullanılan yöntemlerden biridir. Diskriminant analizinin amacını iki grupta toplamak mümkündür: 1)Diskriminant fonksiyonları saptayıp bu fonksiyonlar aracılığıyla gruplar arası ayırıma en fazla etki eden ayırıcı değişkenleri belirlemek, 2) Hangi gruptan geldiği bilinmeyen bir birimin hangi gruba dahil edileceğini belirlemektir (Ünsal,2001). Bu bilgiler ışığında diskriminant analizi, gözlemleri en az hata ile ait oldukları kitlelere ayırmak için yapılan işlemler topluluğu olarak düşünülebilir. Bu yöntem, işletme (Aydın,2007), ekonomi (Ünsal,2001) ve mühendislik (Tekin,2010 ve Akbaş,2010) gibi pek çok alanda ayrıştırma grupları oluşturmak için kullanılmaktadır. Biz de bu çalışmada, her bir rakamı ayrı bir grup olarak düşündük. Her bir rakam için ayrı ayrıştırma matrisleri oluşturarak, sonradan girilen bir rakamın hangi gruba ait olduğunu tahmin etmeye çalıştık.

2 Ana Bölüm: Bu çalışmada, bütün rakamlara ait gruplar oluşturmak yerine sadece iki rakam için tahmin matrisleri oluşturmanın yeterli olacağını düşündük. Çünkü bu iki rakam, oluşturduğumuz matris gruplarına ait çıkıyorsa aynı işlemi diğer rakamlar için de uygulayabiliriz. Bu maksatla 2 ve 5 rakamları için ait oldukları matris gruplarını oluşturmaya çalıştık. Burada amacımız, bir düzlem üzerine yazılan 2 ve 5 rakamlarının oluşturduğumuz gruba ait olup olmadığını bulmak. Bunu saptamak için kullanacak olduğumuz formülizasyon aşağıdaki gibidir: Çok değişkenli regresyon modelinde bir y bağımlı değişkeni, n adet bağımsız değişkenin, x 1, x 2,..,x n doğrusal bir fonksiyonu olarak ifade edilmektedir. Bu modele bir sabit terim eklenerek fonksiyon, y=β 0 + β 1 x 1 + β 2 x β k x k +ε biçiminde ifade edilir. n adet gözlem mevcut ise y 1 =β 0 + β 1 x 11 + β 2 x β 1 x 1k +ε 1 y 2 =β 0 + β 1 x 21 + β 2 x β 1 x 2k +ε 2.. y i =β 0 + β 1 x i1 + β 2 x i2 + + β 1 x ik +ε i... y n =β 0 + β 1 x n1 + β 2 x n β 1 x nk +ε n şeklindedir. n adet denklem, edilirler. matris ve vektörler formunda açık olarak aşağıdaki gibi ifade Eşitlik daha kısa olarak Y=Xβ+ε biçiminde yazılabilir.

3 Bağımlı değişken y,nx1 boyutlu bir sütun vektörüdür. Hata terimleri ε, nx1 boyutlu bir sütun vektörüdür. Parametreler β, (k+1)x1 boyutlu bir sütun vektörüdür. Bağımsız değişken X, nxp boyutludur. Bu matrisin birinci sütunu bir sayılarından oluşmaktadır. Parametre tahmin vektörü β =(X T X) -1 X T Y dir. Ŷ =Xβ ve hata miktarı e=y-xβ şeklinde hesaplanır (Şehirlioğlu,2008). Şimdi bu formülizasyonu nasıl kullandığımızı ve ifadelerin ne anlama geldiğini açıklayalım. Her bir rakamın ait olduğu grup için oluşturduğumuz matris, X matrisidir. Bu matrisi oluşturmak için ilk olarak, rakamların yazıldığı düzlemi küçük karelere böldük ve üzerinde matrisleri oluşturmamıza yarayacak olan desenleri oluşturduk. Çalışmamızda en iyi sonucu elde etmek için birçok desen oluşturduk ve en iyi sonuçları elde ettiğimiz deseni bu çalışmada kullandık. Daha sonra 20 farklı kişiye düzlem üzerine 2 ve 5 yazmasını istedik. Düzlem üzerine yazılan rakam, oluşturduğumuz desenin üzerinden geçiyor ise o karedeki x i değeri yerine 1, geçmiyor ise 0 yazdık. Bu şekilde her bir kişinin yazmış olduğu rakamlar matrisimizin bir satırını oluşturdu. 2 rakamı için oluşturduğumuz matrise A, 5 rakamı için oluşturduğumuz matrise B matrisi dedik.

4 A = (20x33) B = (20x33)

5 Y=[ ] T (20x1 lik sütun matris) 2 rakamı için parametre tahmin vektörü β1=(a T A) -1 A T Y dir. Bu hesaplamayı yapmak için MATLAB programını kullandık. (A T A) matrisinin tersinir olabilmesi için determinantının sıfırdan farklı olması gerekir (Halıcıoğlu,1999). Yapmış olduğumuz testlerde (A T A) matrisinin determinantı genellikle sıfır çıktı. Bu sorunu, (A T A) matrisine köşegen değerleri 0,01 olan ve köşegenin altında ve üstünde kalan kısmın sıfır olduğu bir köşegen matris ekleyerek giderdik. β1 i hesapladıktan sonra başka bir kişiye, düzleme 2 rakamını yazdırdık ve X1 matrisini belirledik. Yazılan rakamın, 2 rakamı için oluşturduğumuz gruba ait olup olmadığını belirlemek için Y1=X1x β1 formülünü kullandık. Burada, hata miktarı e=y-y1 in sıfıra yakın çıkması yazılan rakamın o gruba dahil olduğunu göstermektedir. Hata miktarını hesaplamak için matlaba ilk olarak A ve B matrisleri girildi. Daha sonra, herhangi bir kişinin düzleme yazdığı 2 rakamı için X1 matrisi yazıldı. Sonucu bulmak için matlaba yazdığımız kod aşağıdaki gibidir: Y=[ ]; Y=Y ; Z1=(A *A); C=eye(33); (33x33 lük birim matris) C=C*0.01; (Birim matrisin köşegen değerlerini 0.01 yapan kod) Z1=Z1+C; β1=inv(z1)*a *Y; Y1=X1* β1; 5 rakamı için de sırasıyla aynı işlemler yapılmıştır. Fakat önceki işlemden farklı olarak, grubunu tahmin etmemiz için yazılan matrise X2 denmiştir ve Z2=(B xb) olarak tanımlanmıştır. Buradaki Y2 yaklaşık değerini bulmak için matlaba yazdığımız kod ise aşağıdaki gibidir:

6 Y=[ ]; Y=Y ; Z2=(B *B); C=eye(33); C=C*0.01; Z2=Z2+C; Β2=inv(Z2)*B *Y; Y2=X2* β2; Farklı örneklemler üzerinde yapmış olduğumuz testler bize gösterdi ki; 2 ve 5 rakamı için elde edilen hata miktarı sıfıra çok yakındır ve oluşturduğumuz matris grupları işlevseldir. Daha sonra acaba başka bir rakam yazarsak yine aynı sonucu elde edebilir miyiz diye düşündük ve farklı kişilere düzlem üzerine 3 rakamını yazmalarını istedik. Ortaya çıkan hata miktarının daha önceki değerlere göre daha büyük olduğunu gözlemledik. Bu sonuç bize, kurmuş olduğumuz sistemin çalıştığını gösterdi. Çizelge 1: Yapılan testler sonucu elde edilen hata (e) değerleri. A matrisi için e değeri B matrisi için e değeri 2 yazıldığında 3 yazıldığında 5 yazıldığında 3 yazıldığında 1'inci kişi , 'nci kişi 0, 'üncü kişi ,2505 0, 'üncü kişi 0,

7 Sonuçlar ve Tartışma: Bu çalışma bize, düzleme el ile yazılan bir rakamın kodlamalar yaparak ayrı ayrı sınıflandırılabileceğini ve dijital bir şekilde ifade edilebileceğini gösterdi. Bu çalışmayı hazırlarken yapmış olduğumuz testler sonucunda düzlemde oluşturulan desenin, desen oluştururken kullanılan kutucuk sayısının, sonucu önemli ölçüde değiştirdiğini tespit ettik. Bu sonuç bize oluşturulan desen ile birlikte daha iyi sonuçlar da elde edilebileceğini ve daha iyi bir desenle ve daha fazla sayıda örneklemle daha küçük hata miktarlarıyla sonuçlar elde edebileceğimizi gösterdi. Matrislerle diskriminant analizi yapma yöntemi, bu çalışmada istediğimiz gruplandırmaları yapmamızı ve Çizelge 1 de de görüldüğü üzere iyi sonuçlar elde etmemizi sağladı. Elde ettiğimiz bu sonuçların bizi başka sonuçlara da ulaştırabileceğini gördük. Bunlardan bazıları; 1) Basit bir genellemeyle, bütün rakamlar ve harfler bu şekilde gruplandırılabilir ve tahmin edilebilir. 2) Bu yöntem, tablet bilgisayarlarda ve akıllı telefonlarda bulunan, elle yazılan bir yazının dijital olarak tanımlanabilmesini sağlayan programlara entegre edilebilir. 3) Bankacılık sektörü gibi kurumlarda dijital imza tanımlaması yapılabilir ve kağıt üzerine atılan bir imzanın kime ait olduğu saptanabilir. Görüldüğü gibi bu çalışma, birçok şeyi matrislerle ifade ederek gruplandırmamızı ve elle yazılan herhangi bir yazıyı tahmin ederek dijital olarak algılanmasını mümkün kılıyor. Burada akla şu soru geliyor. Acaba aynı yöntem, yüz tanıma, parmak izi tanıma ve araç plakalarını tanıma gibi alanlarda da kullanılabilir mi?

8 Yararlanılan Kaynaklar: AYDIN, Berna (2007),Tam Zamanında Üretim ve Toplam Kalite Yönetimi Ayrımının Diskriminant Analizi ile İncelenmesi:1-2, Uludağ Üniversitesi İİBF Dergisi Cilt XXVI, Sayı 2. HALICIOĞLU, Sait (1999),Grup Gösterimleri 1,Ankara, Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Döner Sermaye İşletmesi Yayınları No: 54 ŞEHİRLİOĞLU, Kemal (2008),Regresyon Analizi Bölüm 3-4, < userweb/kemal.sehirli/dosyalar/regresyon3-4.pdf >, son erişim TEKİN, Erhan ve AKBAŞ,S.Oğuzhan (2010),Çimento Enjeksiyonlarının Kumlara Enjekte Edilebilirliğinin Diskriminant Analizi ile İrdelenmesi: ,Gazi Üniv.M.M.F.Dergisi Cilt 25,No3. ÜNSAL, Aydın (2001), Mali Başarılı ve Mali Başarısız Şirketlerin Ayırımını Sağlayan Diskriminant Fonksiyonunun Bulunması,Çukurova Üniversitesi:Enstitü Dergisi Cilt 7, Sayı7.