Kübik Spline lar/cubic Splines

Transkript

1 Kübik spline lar önceki metodların aksine bütün data noktalarına tek bir fonksiyon/eğri uydurmaz. Bunun yerine her çift nokta için ayrı ayrı üçüncü dereceden polinomlar uydurur. x i noktasından geçen soldaki (yani x i ve x i 1 den geçen) kübük spline f i 1,i (x) ile; x i noktasından geçen sağdaki (yani x i ve x i+1 den geçen) kübük spline f i,i+1 (x) ile gösterilir. Normalde iki noktadan bir doğru da geçilebilir, doğru yerine 3. dereceden bir polinom uydurmamızın sebebi geçiş noktalarında daha yumuşak bir eğri birleşmesini sağlamaktır.

2 Bu kübik spline ları/üçüncü dereceden polinomları bulmak için üç grup şart/özellik kullanıyoruz. (i) Kübik spline lar, (x i, y i ) lerden geçmeli (ii) Bağlantı noktasında sağdaki ve soldaki kübik spline lar için birinci dereceden türevler eşit olmalı. (iiı) Bağlantı noktasında sağdaki ve soldaki kübik spline lar için ikiinci dereceden türevler eşit olmalı.

3 Toplam n nokta için n 1 tane kübik spline olur f 1,2 (x), f 2,3 (x),..., f n 1,n (x) Önce bağlantı noktalarında ikinci türevlerin eşit olma yani (iii) numaralı şartı kullanalım, f i 1,i (x i) = f i,i+1 (x i) = k i olsun Kübik spline ın ikinci türevi birinci dereceden yani doğru olur; bu doğru (x i, k i ) ve (x i+1, k i+1 ) noktalarından geçecektir ve şu şekilde yazılabilir. f i,i+1 (x) = k il i (x) + k i+1 l i+1 (x) l i (x) = x x i+1 l i+1 (x) = x x i x i+1 x i

4 Kübik spline ı bulmak için iki kere integral alalım f i,i+1 = k i(x x i+1 ) 3 k i+1 (x x x ) 3 6( ) + A(x x i+1 ) B(x x i ), Burada A ve B yi bulmak için (i). (x i, y i ) den geçme şartını kullanalım. şartı yani kübik spline ların f i,i+1 (x i ) = y i k i( ) 3 6( ) + A( ) = y i A = y i k i 6 ( ). Benzer şekilde x i+1 koyarak y i ye eşitleriz ve B yi buluruz B = y i+1 k i+1 6 ( )

5 Bu bulunan A ve B değerleri kübik spline da yerine konur: f i,i+1 (x) = k i 6 [(x x i+1) 3 (x x i+1 )( )] k i+1 6 [ (x x i) 3 (x x i )( )] + y i(x x i+1 ) y i+1 (x x i )

6 Son olarak k i leri bulmak için (ii) numaralı şart yani bağlantı noktalarında birinci türevin eşit olma şartı kullanılır f i 1,i (x i) = f i,i+1 (x i) Birinci türevler alınıp eşitlenirse şu denklemlere ulaşılır k i 1 (x i 1 x i ) + 2k i (x i 1 x i+1 ) + k i+1 ( ) = 6( y i 1 y i x i 1 x i y i y i+1 ), i = 2, 3..., n 1 Eğer x ler arasındaki aralıklar eşitse bu denklemler biraz daha sadeleşir k i 1 + 4k i + k i+1 = 6 h 2(y i 1 2y i + y i+1 ), i = 2, 3,..., n 1 Uç noktalarda sol ve sağdaki kübik spline lar tanımlı olmadığı için k 1 = k n = 0 olarak alınır.

7 En küçük kareler ile Eğri Uydurma/Least-Squares Fit En küçük kareler ile eğri uydurmada uyduracağımız fonksiyon polinom olmak zorunda değil ve genel olarak m tane parametreye bağlı bir genel fonksiyon olabilir: f(x) = f(x; a 1, a 2,..., a m ) Verilen data ya uygun olan a 1, a 2,..., a m parametreleri aşağıdaki hata fonksiyonunu minimize ederek bulunabilir S(a 1, a 2,..., a m ) = [y i f(x i ; a 1, a 2,..., a m )] 2 Bu minimizasyon problemi türevler alınıp sıfıra eşitlenerek çözülebilir: S a k = 0, k = 1, 2,..., m

8 Doğrusal Parametreli Fonksiyonlar için En Kücük Kareler ile Eğri Uydurma Bu özel durum için bilinmeyen a parametreleri sadece doğrusal çarpanlar olarak yer alırlar f(x) = a 1 f 1 (x) + a 2 f 2 (x) a m f m (x) = m j=1 a j f j (x) (f j (x) : baz fonksiyonları) S = [y i m j=1 a j f j (x i )] 2 S a k = 0 m [ j=1 f j (x i )f k (x i )]a j = f k (x i )y i, k = 1, 2,..., m

9 Doğrusal Parametreli Fonksiyonlar için En Kücük Kareler ile Eğri Uydurma Matris olarak yazarsak: Aa = b A jk = f j (x i )f k (x i ) b k = f k (x i )y i

10 En Kücük Kareler ile Polinom Uydurma Bir önceki örnekte fler yerine polinom kullanırsak f(x) = m j=1 a j x j 1 f j (x) = x j 1, j = 1, 2,..., m Yukardaki çözümü bu polinomlar için kullanırsak A kj = x j+k 2 i b k = x i k 1 y i Bu A ve b değerleri için a parametreli rahatça bulunabilir.

11 En küçük Kareler ile Doğru Uydurma/Lineer Regresyon Bu basit durumda f(x) = a + bx, yani 1. derece bir polinom Bir önceki çözüm sadece ikinci derece için kullanılır, veya direkt olarak hata fonksiyonu bu ax + b için a, b ye göre minimze edilir. S a = n S(a, b) = 2(y i a bx i ) = 0, [y i a bx i ] 2 S b = n 2(y i a bx i ) = 0 yields; a + b x = ȳ, a x + ( 1 n x i 2 )b = 1 n x i y i b = yi (x i x) xi (x i x) a = ȳ xb