Cebir Notları. Bağıntı. 1. (9 x-3, 2) = (27, 3 y ) olduğuna göre x + y toplamı kaçtır? 2. (x 2 y 2, 2) = (8, x y) olduğuna göre x y çarpımı kaçtır?

Transkript

1 003 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, (a, b) şeklinde sıra gözetilerek yazılan ifadeye sıralı ikili Burada a ve b birer sayı olabileceği gibi herhangi iki nesne de olabilir. Mühim olan ne oldukları değil, hangi sırada olduklarıdır. Sıranın önemli olmadığı ikililere sadece ikili deriz. İkilinin birinci sıradaki elemanına birinci bileşen, ikinci sıradaki elemanına ikinci bileşen Örneğin, (a, b) sıralı ikilisinin birinci bileşeni a, ikinci bileşeni b dir. Uyarı. Sıralı ikilide (adından da anlaşılacağı üzere) sıra önemli olduğundan farklı a ve b elemanları için (a, b) (b, a) dır. Genel olarak (a, b) = (c, d) olması için a = c ve b = d olmalıdır. Tersi de doğrudur! Sıralı ikilileri bir nevi, analitik düzlemdeki noktalar olarak düşünebilirsiniz. Nasıl ki; A(1, 3) noktası ile B(3, 1) noktası farklı noktalardır, onun gibi yani. Aynı nokta olmaları için hem apsisleri hem ordinatları eşit olmalıdır. Böyle düşünmeniz kolaylık sağlar. Bu arada (a, b, c) gibi üçlüler de sıra önemli ise sıralı üçlü adını alırlar. Geometride hatırlarsanız benzer bir üçlüden bahsetmiştik. a + b = c eşitliğini sağlayan pozitif a, b, c tamsayıları için (a, b, c) üçlülerine Pisagor üçlüleri demiştik. Bileşen sayısına göre sıralı dörtlü, sıralı beşliden, genel olarak sıralı n liden de bahsedilebilir. Örnek 1. (x +, 8) = (6, y ) olduğuna göre x y farkı kaçtır? Çözüm: İki sıralı ikili eşit verildiğine göre her ikisinin hem ilk bileşenleri hem de ikinci bileşenleri eşit olmalıdır. (x +, 8) = (6, y ) (x + = 6 ve 8 = y ) olduğundan x = 4 ve y = 3 bulunur. O halde bize sorulan x y = 4 3 = 1 dir. Örnek. (x, y ) = (4, 5) eşitliğini sağlayan kaç farklı (a,b) sıralı ikilisi yazılabilir? Çözüm: (x, y ) = (4, 5) (x = 4 ve y = 5) olmalıdır. x = 4 ise x = veya x = dir. y = 5 ise y = 5 veya y = 5 tir. Bu durumda (, 5), (, 5), (, 5), (, 5) olmak üzere 4 farklı sıralı ikili yazılabilir. Alıştırmalar 1 1. (9 x-3, ) = (7, 3 y ) olduğuna göre x + y toplamı kaçtır?. (x y, ) = (8, x y) olduğuna göre x y çarpımı kaçtır? 3. (x, y, z ) = (4, 3, ) eşitliğini sağlayan kaç farklı sıralı üçlü yazılabilir? 4. Bir Pisagor üçlüsünün herhangi bir bileşeni en az kaç olabilir? 5. a 3 + b 3 = c 3 + d 3 eşitliğini sağlayan bir (a, b, c, d) sıralı dörtlüsünde bileşenler birer pozitif tamsayı ise a = 1, b = 1 için c + d toplamı kaçtır? Kartezyen Çarpım. İsminden dolayı, bildiğimiz manada bir çarpma yapacağımız aklınıza gelmesin. Belki bir çarpma yapılacak ama bu kümeler arasında olacak ve farklı kurallarla yapılacak. Nasıl ki iki sayı çarpıldığında sonuç bir sayı çıkıyordu, iki harf (değişken) çarpıldığında da sonuç harf çıkıyordu bu sefer de sonuç başka bir küme çıka-

2 cak. Bu kümenin elemanları da çarpılan kümelerin elemanlarından oluşturulmuş sıralı ikililer olacak. Tam karşılığı şöyle: A ve B boş olmayan iki farklı iki küme olsun. Birinci bileşeni A kümesinin elemanlarından, ikinci bileşeni de B kümesinin elemanlarından olacak şekilde elde edilebilecek tüm sıralı ikililerin oluşturduğu kümeye A kartezyen B kümesi Yaptığımız işleme de A ile B nin kartezyen çarpımı adı verilir ve A B şeklinde gösterilir. Eğer birinci bileşenler B kümesinin elemanlarından, ikinci bileşenler de A kümesinin elemanlarından seçilerek sıralı ikililer yapılsaydı, bu sıralı ikililerin oluşturdukları kümeye de B A kümesi denirdi. A B = {(x, y) : x A ve y B} B A = {(x, y) : x B ve y A} Örnek 3. A = {1, } ve B = {3, 4, 5} kümeleri için A B ve B A kümelerini yazınız. Çözüm: A B ve B A birer küme olduklarından, diğer kümeler kaç değişik şekilde gösterilebiliyorlarsa bunlar da o kadar farklı şekilde gösterilebilirler. Biz liste yöntemi ve Venn Şeması ile göstereceğiz. A B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (, 3), (, 4), (, 5)} B A = {(3, 1), (4, 1), (5, 1), (3, ), (4, ), (5, )} Örnek 4. A B ve B A kümeleri eşit midir, denk midir? Çözüm: Bir önceki sorudaki A ve B kümelerini ele alalım. A B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (, 3), (, 4), (, 5)} B A = {(3, 1), (4, 1), (5, 1), (3, ), (4, ), (5, )} idi. Fakat (1, 3) (3, 1),, (, 5) (5, ) olduğundan A B B A. Bu yüzden bu kümelere eşit diyemeyiz. Fakat eleman sayıları eşit olduğundan A B ve B A kümeleri denktirler. Sadece burada denk oldular sanmayın. Bu durumu genelleştirebiliriz: Teorem. s(a) = m ve s(b) = n ise s(a B) = s(b A) = m n dir. Kanıt: A ile B nin kartezyen çarpımında A kümesinin her elemanı B kümesinin her bir elemanı ile eşlenecek. B kümesinde n tane eleman olduğundan A kümesinin her bir elemanı n tane eleman ile eşlenecek. A kümesinde m tane eleman olduğundan bu olay m kere yaşanacak. Çarpmanın temel ilkesine göre toplam m n tane eşleme yani sıralı ikili yapılabilir. B ile A nın kartezyen çarpımında ise bu durum n m tanedir. m n = n m olduğundan s(a B) = s(b A) = m n dir. Örnek 5. A = {x : x < 5, x bir rakam} B = {y: y < 3, y + } olduğuna göre s(a B) =? Çözüm: A kümesinin elemanları 5 ten küçük olan rakamlarmış. O halde A = {0, 1,, 3, 4} olduğundan s(a) = 5 tir. B kümesinin elemanları da mutlak değerleri 3 ten küçük olan pozitif tamsayılarmış. B = {1, } olduğundan s(b) = dir. O halde s(a B) = s(a) s(b) = 5 = 10. Örnek 6. s(a) + s(b) = 6 s(a A) + s(b A) = 18 olduğuna göre s(a) kaçtır? Çözüm: s(a) = a ve s(b) = b olsun. s(a A) = a ve s(b A) = a b olur. Bize verilen denklemleri tekrar yazarsak; a + b = 6 ve a + ab = 18 olur. a + ab = a (a + b) = a 6 = 18 eşitliğinden a = s(a) = 3 bulunur. Kartezyen Çarpımın Özelikleri. i) A (B C) = (A B) C ii) A (B C) = (A B) (A C) iii) A (B C) = (A B) (A C) iv) A (B C) = (A B) (A C) v) A A = A, A A A = A 3, Örnek 7. s(a) = 3 ve s(b C) = 7 olduğuna göre s((a B) (A C)) =? Çözüm: (A B) (A C) = A (B C) olduğundan s((a B) (A C)) = s(a (B C)) olur ve s(a (B C)) = s(a) s(b C) = 3 7 = 1. Örnek 8. A B = {(, 3), (, 4), (5, 3), (5, 4)} ise A B ve A B kümelerini bulunuz. Çözüm: A B kümesinin elemanları olan sıralı ikililerin birinci bileşenleri A nın, ikinci bileşenleri ise B nin elemanlarıdır.

3 A = {, 5} ve B = {3, 4} olması gerektiğinden A B = {, 3, 4, 5} ve A B = olur. Örnek 9. A = {, 5} ve B = {3, 4} için A B ve B A nın grafiklerini çiziniz. Çözüm: Örnek 13. A = {1,, 3} ve B = {3, 4, 5} kümeleri için A B kümesinin elemanlarını dışarıda bırakmayan en küçük çemberin yarıçapı kaçtır? Çözüm: A B kümesinin grafiği yanda görüldüğü üzere 9 noktadan oluşmaktadır. Bu 9 noktanın hiçbirini dışarıda bırakmayan en küçük çemberin yarıçapı ise bu 9 noktanın oluşturduğu bir kenarı br olan karenin köşegeninin yarısıdır. Yani. Örnek 10. A = {, 5} ve B = [3, 4) için A B ve B A nın grafiklerini çiziniz. Çözüm: Örnek 14. A B = {(, 3), (3, 3), (4, 3)} B C = {(3, p), (3, q), (3, r)} olduğuna göre s(a C) =? Çözüm: A B = {(, 3), (3, 3), (4, 3)} eşitliğinden A = {, 3, 4} ve B = {3}bulunur. B C = {(3, p), (3, q), (3, r)} eşitliğinden de C = {p, q, r} bulunur. Anlayacağınız s(a) = 3, s(b) = 1 ve s(c) = 3 tür. s(a C) = s(a) s(c) = 3 3 = 9 olur. Örnek 11. A = [, 5) ve B = [3, 4) için A B ve B A nın grafiklerini çiziniz. Çözüm: 1. Alıştırmalar A = {x: x < 3, x + } B = {y: y + 1 <, y } olduğuna göre s(a B) kaçtır?. A = {,, 3, λ, {3, 1}} B = {1, λ, 3, } olduğuna göre s((a B) A) kaçtır? Örnek 1. A = [1, 3] ve B = [, 5] için A B kümesinin belirttiği dikdörtgensel bölgenin alanı kaçtır? Çözüm: Bir önceki soruda yaptığımız gibi A B nin grafiğini çizelim. Uzun kenarı 3 br ve kısa kenarı br olan bir dikdörtgensel bölge elde ederiz ki alanı 6 br olur. 3. s( A) s( C) = s( B) = 3 ve s(a B B C) = 96 ise s(b) kaçtır? 4. A B = {(1, 4), (, 4), (3, 4), (4, 4)} B C = {(4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)} olduğuna göre s(a B C) kaçtır? 5. A ve B iki eşit kümedir. s((a C) (B C)) = 48 s(a) = 3 s(c) 3

4 olduğuna göre s(a B C) kaçtır? 6. Alıştırma 1 in grafiğini çiziniz. 7. A ve B kümeleri için s(a B) = 9, s(a B) = 6 ve s(b (B A)) = 16 olduğuna göre s(a B) kaçtır? 8. Sağdaki grafik A B kümesine aitse A ve B kümelerini bulunuz. 9. Sağdaki grafik B A kümesine aitse A ve B kümelerini bulunuz. 10. A = {x: kaçtır? x 1 5, x } olduğuna göre s(a A) α 10 = {(1, 4), (, 4)} α 11 = {(, 3), (, 4)} α 1 = {(1, 3), (1, 4), (, 3)} α 13 = {(1, 3), (1, 4), (, 4)} α 14 = {(1, 3), (, 3), (, 4)} α 15 = {(1, 4), (, 3), (, 4)} α 16 = {(1, 3), (1, 4), (, 3), (, 4)}. Uyarı 1. Boş küme her kümenin bir alt kümesi olduğundan, A B kümesinin de bir alt kümesidir, dolayısıyla, A dan B ye bir bağın-tıdır. Uyarı. A B kümesinin s(axb) tane alt kümesi olduğundan ve her alt kümesine A dan B ye bir bağıntı dendiğinden A dan B ye s(axb) tane bağıntı yazılabilir. s(a B) = s(b A) = s(a) s(b) olduğundan B den A ya yazılabilecek bağıntı sayısı da aynı. lar yukarda liste yöntemi ile gösterilmişlerdir. Biz yine bir tanesini Venn şeması ile gösterip ayrıca grafiğini de çizelim. α 6 yi örnek alalım: BAĞINTI A ve B boş olmayan iki farklı küme olsun. A B nin her bir altkümesine A dan B ye bir bağıntı Doğal olarak, B A nın her bir alt kümesine de B den A ya bir bağıntı Örneğin; A = {1, } ve B = {3, 4} olsun. O halde A B = {(1, 3), (1, 4), (, 3), (, 4)} olur. Tanıma göre bu dört elemanlı A B kümesinin her alt kümesine A dan B ye bir bağıntı Dört elemanlı bir kümenin de 16 tane altkümesi olduğundan A dan B ye 16 tane bağıntı yazılabilir. Bu bağıntılar aşağıdadır: α 1 = α = {(1, 3)} α 3 = {(1, 4)} α 4 = {(, 3)} α 5 = {(, 4)} α 6 = {(1, 3), (1, 4)} α 7 = {(1, 3), (, 3)} α 8 = {(1, 3), (, 4)} α 9 = {(1, 4), (, 3)} Örnek 15. A = {1,, 4, 8} kümesinde tanımlı β = {(x, y): x y = 8} bağıntısını liste yöntemi ile gösteriniz. Çözüm: İlk olarak A kümesinde tanımlı demek, A A nın alt kümesidir demektir. Verilen β bağıntısından da anlaşılması gereken şudur: β öyle bir bağıntıymış ki; elemanları olan sıralı ikililerin bileşenlerinin çarpımı 8 miş. Ayrıca bileşenler A kümesinin elemanları olmak zorundaymış. O halde; β = {(1, 8), (8, 1), (, 4), (4, )} dir. Uyarı 3. A A nın alt kümelerine de A dan A ya bir bağıntı ( ) a tane bağıntı yazı- s(a) = a ise A dan A ya labilir. Örnek 16. A = {x: 3 < x < 9, x } olduğuna göre A dan A ya kaç bağıntı yazılabilir? 4

5 Çözüm: A = {4, 5, 6, 7, 8} olduğundan s(a) = 5, dolayısıyla s(a A) = 5 tir. Bundan dolayı A dan A ya yazılabilecek bağıntı sayısı 5 tir. Örnek 17. A = {x: 3 < x < 9, x } B = {y: y 1, y } olduğuna göre, A dan B ye kaç farklı bağıntı yazılabilir? Çözüm: A = {4, 5, 6, 7, 8} ve B = { 1, 0, 1} olduğundan s(a) = 5 ve s(b) = 3 tür. O halde s(a B) = 15 tir. Sonuç olarak A dan B ye yazılabilecek bağıntı sayısı 15 olur. Örnek 18. Yukarıdaki şemada gösterilen α bağıntısı A B nin, β bağıntısı ise B C nin alt kümesidir. Buna göre α β kümesi kaç elemanlıdır? Çözüm: Şemaya göre; α = {(1, 4), (, ), (, 3) ve β = {(, ), (, 3), (4, 1)} olduğundan α β = {(,), (,3)} olur. O halde cevap olmalıdır. Bir bağıntının tersi. Bir bağıntının elemanları olan sıralı ikililerin bileşenlerinin yer değiştirmesi ile elde edilen yeni bağıntıya eski bağıntının tersi β = {(x, y): x A ve y B} ise β -1 = {(y, x): (x, y) β} Örnek 19. Aşağıda liste yöntemi ile verilen β = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (, 3), (, 4), (, 5)} bağıntısının tersini bulunuz. Çözüm: Yukardaki tanıma göre; β -1 = {(3, 1), (4, 1), (5, 1), (3, ), (4, ), (5, )} olur. Örnek 0. β = {(x, y): x + y = 3, (x, y) } bağıntısının tersinin kendisine eşit olduğunu kanıtlayınız. Çözüm: β = {(3, 0), (, 1), (1, ), (0, 3)} ve β -1 = {(0, 3), (1, ), (, 1), (3, 0)} olduğundan sav doğrudur. Bunu y + x = x + y = 3 eşitliğinden de görebilirdiniz. Örnek 1. A = { x: 1 < x < 1, x } kümesinde tanımlı β = {(x, y): x + y = 16} bağıntısını ve bu bağıntının tersini liste yöntemi ile yazınız. Çözüm: x ve y sayıları, β bağıntısının sıralı ikililerinin elemanı ve β bağıntısı da A kümesinde tanımlı olduğundan, x ve y sayılarına sadece A kümesinin elemanlarından değerler verebiliriz. Yani her ikisi de doğal sayıdır. y sayısı çift olduğundan x sayısı da çift olmalıdır. x = için y = 7 x = 4 için y = 6 x = 6 için y = 5 x = 8 için y = 4 x = 10 için y = 3 olduğundan; β = {(, 7), (4, 6), (6, 5), (8, 4), (10, 3)} ve dolayısıyla; β -1 = {(7, ), (6, 4), (5, 6), (4, 8), (3, 10)}. Örnek. Yukarıdaki şemada gösterilen α bağıntısı A B nin, β bağıntısı ise B C nin alt kümesidir. Buna göre α β -1 kümesi kaç elemanlıdır? Çözüm: Şemaya göre; α = {(1, 4), (, ), (, 3) ve β = {(, ), (, 3), (4, 1)} olduğunu hemen yazalım. O halde β -1 = {(, ), (3, ), (1, 4)} olduğundan α β -1 = {(1, 4)} olur. Böylelikle cevap 1 bulunur. nın özellikleri. β, A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun. 1) Yansıma Özelliği. x A için (x, x) β ise β bağıntısı yansıyandır ) Simetri Özelliği. (x, y) β için (y, x) β ise β bağıntısı simetriktir 3) Ters Simetri Özelliği. x y olmak üzere (x, y) β için (y, x) β ise β bağıntısı ters simetriktir 4) Geçişme Özelliği. (x, y) β ve (y, z) β için (x, z) β oluyorsa, β bağıntısı geçişkendir veya geçişmelidir Örnek 3. A = {1,, 3} kümesinde tanımlı β = {(1, 1), (, ), (1, ), (, 1), (1, 3)} bağıntısı yansıma, simetri, ters-simetri, geçişme özelliklerinden hangisi veya hangilerini sağlar? 5

6 Çözüm: (1, 1) β ve (, ) β fakat (3, 3) β olduğundan β yansıyan değildir. Çünkü tanımında her x için bunun sağlanması gerektiği söyleniyor. Yine aynı sebepten, β simetrik de değildir, çünkü (1, 3) β ama (3, 1) β. Diğer yandan (1, ) β ve aynı zamanda (, 1) β olduğundan β bağıntı ters-simetrik de değildir. Buradan çıkardığımız ders şu olmalı: Simetrik olmayan bir bağıntıya ters-simetrik, terssimetrik olmayan bir bağıntıya da simetrik demeyeceğiz. Bir bağıntı, ne simetrik ne ters-simetrik de olabilir, hem simetrik hem ters-simetrik de olabilir. Bunlara ilerde örnekler göstereceğiz. Son olarak, (, 1) β ve (1, 3) β iken (, 3) β olduğundan β bağıntısı geçişken de değildir. Denklik bağıntısı. Yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağlayan bir bağıntıya denklik bağıntısı Sıralama bağıntısı. Yansıma, ters simetri ve geçişme özelliklerini sağlayan bir bağıntıya sıralama bağıntısı Örnek 4. A = {1,, 3} kümesinde tanımlı β = {(1, 1), (, ), (3, 3), (1, ), (, 1)} bağıntısı yansıma, simetri, ters-simetri, geçişme özelliklerinden hangisi veya hangilerini sağlar? Çözüm: (1, 1) β, (, ) β ve (3, 3) β olduğundan β bağıntısı yansıyandır. (1, ) β ve aynı zamanda (, 1) β olduğundan bağıntısı simetriktir. Aynı sebepten dolayı ters-simetrik değildir. Peki, geçişken mi? (1, ) β ve (, 1) β iken (1,1) β olduğundan geçişkendir. Dolayısıyla β denklik bağıntısıdır. Örnek 5. A = {1,, 3} olduğuna göre A dan A ya kaç farklı yansıyan bağıntı yazılabilir? Çözüm: s(a A) = 9 olduğunu bir kenara yazalım. mız yansıyan olacaksa içinde el mecbur (1, 1), (, ), (3, 3) olmalıdır. Yani bu 9 elemanın 3 ü garanti. Diğer 6 elemandan 6 = 64 tane farklı bağıntı yazılabileceğinden bunların hepsi diğer 3 eleman ile birleştirilir ve bağıntılar yansıyan olur. Örnek. n elemanlı A kümesinde kaç farklı simetrik bağıntı tanımlanabilir? Çözüm: mız A A nın alt kümesi olduğundan önce A A nın eleman sayısını bulalım. s(a A) = n n = n dir. Bu n elemanın n tanesi (a, a) şeklindedir, yani bileşenleri eşittir, n n tanesinin de bileşenleri farklıdır. Hatta, a ile b yi farklı kabul edersek, n n n n tanesi (a, b) şeklinde, diğer tanesi de (b, a) şeklindedir. Simetrik bağıntının içinde herhangi bir (a, a) ikilisi sorun teşkil etmez ama (a, b) varsa (b, a) da olmak zorunda olduğundan, her bir (a, b) ile (b, a) yı bir eleman gibi kabul etmeliyiz. Biri varsa diğeri de olmalı, biri yoksa diğeri de olmamalı diye yani. n n n + n O halde, n + = elemanlı bu kümenin her alt kümesi bir simetrik bağıntıdır. Böyle n +n düşününce cevap Alıştırmalar 3 bulunur. 1. A kümesinde 16 tane bağıntı tanımlanabildiğine göre s(a A A) kaçtır?. A = {1,, 3} ve B = {4, 5} ise A dan B ye tanımlı üç elemanlı bağıntıların sayısı kaçtır? 3. Tamsayılar kümesinde tanımlı α = {(x, y): x + y = 9, (x, y) } bağıntısının elemanı sayısı kaçtır? 4. A = {0, 1,, 3, 4} kümesinde tanımlı α = {(x, y): (x y)(x + y 5) = 0} bağıntısının eleman sayısı kaçtır? 5. A = {0, 1, } kümesinde tanımlı α = {(0, 0), (1, 1), (, ), (1, ), (, 0)} bağıntısının sıralama bağıntısı olması için bu bağıntıya hangi eleman eklenmelidir? 6

7 6. A = {1, 3, 5, 7, 9} kümesinde tanımlı α = {(x, y): y = x + 1, (x, y) A } olduğuna göre s(α α 1 ) kaçtır? 7. A = {1,, 3, 4, 5} kümesinde tanımlı α = {(x, y): x böler y, (x, y) A } bağıntısının eleman sayısı kaçtır? 8. A = {5, 6, 7, 8, 9} kümesinde tanımlı α = {(x, y): y = x 3, (x, y) A } ise α 1 bağıntısını liste yöntemi ile yazınız. 9. A = {1,, 3, 4, 5} kümesinde tanımlı bir β bağıntısı yansıyan ve simetriktir. β ters-simetrik değilse eleman sayısı en az kaç olabilir? 10. Herhangi bir bağıntı ile bu bağıntının tersinin grafikleri, birbirlerinin neye göre simetrikleridir? 7