DERS 1. ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler

Transkript

1 DERS ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler.. Do rusal Denklem Sistemleri. Günlük a amda a a dakine benzer pek çok problemle kar la r z. Problem. Manavdan al veri eden bir mü teri, kg armut ve kg portakal için YTL, di er bir mü teri de kg armut ve 3 kg portakal için YTL ödemi tir. Armut ve portakal n sat fiat n belirleiniz. Çözüm için, bir kg armutun YTL den, bir kg portakal n da YTL den sat ld varsa l rsa, oldu u görülür. 3 Problemimiz, ukar daki iki denklemi sa laan ve sa l ar n bulmakt r. Bu tür problemler için çözüm öntemlerini vermeden önce konu ile ilgili baz matematiksel terimler tan mlaaca z. Tan m. a, b, h R olmak üzere a + b = h denklemine bir do rusal denklem denir. Bu ifadede ve sembollerine de i kenler, a ve b sa lar na katsa lar, h sa s na da sa taraf sabiti denir. Tan m. Verilen 0, 0 reel sa lar için a + b = h do rusal denkleminde erine 0 ve erine 0 az l nca denklem sa lan orsa, ba ka bir deimle, a 0 + b 0 = h oluorsa, bu takdirde ( 0, 0 ) reel sa ikilisine bu denklemin bir çözümü denir. E er a ve b sa lar ndan en az biri s f rdan farkl ise, a + b = h do rusal denkleminin sonsuz çoklukta çözümü vard r. Örnek. + = 6 do rusal denkleminin baz çözümleri, (,), (, ), (-,), (0,6), (3,0) d r. (,) bu denklemin bir çözümü müdür? Neden? Her t R için bu denklemde erine t az larak hesaplan rsa, = - t + 6 elde edilir. Dola s la, her t R için (t, -t + 6) bu denklemin bir çözümüdür. Di er andan, bu denklemin bir çözümünün birinci bile eni t ise, ikinci bile eni de -t + 6 olaca ndan bu denklemin çözüm kümesi, Ç={(t,-t + 6) : t R} olarak ifade edilebilir.

2 DERS.. Uar. Her iki katsa s da s f r, sa taraf sabiti s f rdan farkl olan bir do rusal denklemin hiç çözümü oktur. Örne in, = 3 do rusal denkleminin hiç çözümü oktur. E er hem katsa lar hem de sa taraf sabiti s f r, ani = 0 ise, her reel sa ikilisi, bu denklemin bir çözümüdür. Geometrik olarak, katsa lar ndan en az biri s f rdan farkl olan her do rusal denklemin grafi inin düzlemde bir do ru oldu unu an msa n z. Do rusal denklemin çözümleri, grafik üzerindeki noktalara kar l k gelen reel sa ikilileridir. Yukar daki örnekte, + = 6 denkleminin çözümleri, a a daki do runun noktalar na kar l k gelen reel sa ikilileridir. (0,6) (3,0) Tan m 3. a, b, c, d, h, k R olmak üzere a c b d h k do rusal denklemler toplulu una bir do rusal denklem sistemi denir. Böle bir do rusal denklem sisteminin bir çözümü denince her iki denklemin de çözümü olan bir ( 0, 0 ) reel sa ikilisi anla l r. Ba lang çta ele ald m z problemin çözümünün 3 do rusal denklem sisteminin çözüm kümesinin belirlenmesine denk oldu unu görmü tük. Bir do rusal denklem sisteminin çözüm kümesini belirlemek için çe itli öntemler vard r. Biz a a da üç öntem üzerinde duraca z: Grafik Yöntemi, Yerine Koma Yöntemi, Yoketme Yöntemi.

3 ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler 3.. Grafik Yöntemi. Her do rusal denklemin grafi inin bir do ru oldu unu an msa n z. Düzlemde iki do runun birbirine göre konumu üç biçimde olabilir: Kesi en do rular Paralel do rular Çak k do rular Bir do rusal denklem sisteminin çözüm kümesini belirlemek için o denklem sistemindeki do rusal denklemlerin grafikleri an düzlem üzerinde(örne in, an grafik kâ d üzerinde) çizilir ve elde edilen do rular n ortak noktalar na ani kesi im noktalar na bak l r. a c b h denklem sistemine kar l k gelen do rular d k paralel do rular ise, denklem sisteminin hiç çözümü oktur. kesi en do rular ise, sistemin bir tane (tek) çözümü vard r. çak k do rular ise, sistemin sonsuz çoklukta çözümü vard r. Örnek. 3 denklem sistemini grafik öntemi ile çözelim. + = (0,) (0,3) (3,) (,0) (,0 + 3 =

4 DERS.. Görüldü ü üzere, bu denklem sistemine kar l k gelen do rular bir noktada kesi mektedir. Dola s la, sistemin tek bir çözümü vard r ve çözüm kümesi, Ç = {(3, )} dir. Örnek. do rusal denklem sisteminin grafik öntemi ile çözümü. + = (0,) (-,0) (,0) (0,-) + = - Bu örne imizde, sisteme kar l k gelen do rular paraleldir. Dola s la, sistemin hiç çözümü oktur; çözüm kümesi, bo küme, Ç = dir. Örnek 3. do rusal denklem sisteminin grafik öntemi ile çözümü. + = (0,) (,0) + =

5 ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler 5 Bu örne imizde, sisteme kar l k gelen do rular çak kt r. Ba ka bir deimle sistemdeki denklemlerin çözüm kümeleri an d r. Denklemlerden biri kullan larak çözüm kümesi, olarak ifade edilebilir. Ç={(t, (/)t) : t R}.3. Yerine Koma Yöntemi. Denklemlerden birinden de i kenlerden biri di eri cinsinden ifade edilir ve di er denklemde erine konur; elde edilen bir de i kenli denklem çözülerek sonuca gidilir. Örnek. 3 = + 3( ) = + 6 = 5 = 5 = 5 = 3 = - 6 = Bu örnekte, ilk denklem den de i keni cinsinden olarak ifade edilerek bu ifade ik,inci denklem olan 3 da erine konulup birkaç aritmetik i lem sonunda 5 denklemi elde edilmi ve buradan 3 oldu u görülmü tür. de i keninin cinsinden ifadesinde erine 3 erle tirilerek oldu u ve bölece, çözüm kümesinin Ç = {(3, )} oldu u görülmü tür. A a daki örneklerde de an olun izlendi ini gözlemleiniz. Örnek = 5-3( 5) = = = 5 7 = 7 = = - 5 = - Sonuç olarak, çözüm kümesi, Ç = {(, -)} dir.

6 DERS.. 6 Örnek 3. 5 = ( 5) = + 0 = 0 =!!!... Ula lan bu ifade, denklem sisteminin hiç çözümü bulunmad n, ani, Ç = oldu unu gösterir. Örnek. = - - ( ) = + = =!!!... Son e itlikten, sistemin, her de eri için bir çözümü bulundu u; çözüm kümesinin sonsuz oldu u sonucu ç kar. imdi, = t al p ukar da için ikinci denklemden buldu umuz ifadeden = t - elde ederiz. Dola s la, bu örne imizdeki denklem sisteminin çözüm kümesi, Ç = {(t, t - ) : t R} dir. Bu ifadede görülen t simgesi parametre olarak adland r l r. Parametree atanacak her de er sistemin bir özel çözümünü verir. Örne in, t = için (,0); t = için (,) çözümü elde edilir. Bu ba lamda, çözüm kümesinin herhangi bir eleman n göstern (t, t - ) ikilisine, sistemin genel çözümü denir... Yoketme Yöntemi. Bu öntemde, verilen bir denklem sistemi, çözümü daha kola ancak verilen sistemle an çözüm kümesine sahip bir sisteme dönü türülerek ad m ad m çözüme ula l r. Tan m. Çözüm kümeleri an olan iki denklem sistemine denk sistemler denir.

7 ki De i kenli Do rusal Denklem Sistemleri ve Matrisler 7 Örnek. ve 3 5 sistemin de çözüm kümesi Ç = {(3, )} dir. 5 sistemleri denktir, çünkü her iki YoketmeYöntemi a a daki teoremin ugulanmas la gerçekle tirilir. Teorem. A a daki i lemlerden her biri verilen bir denklem sistemini o sisteme denk bir denklem sistemine dönü türür: A. ki denklemin erini de i tirmek. B. Bir denklemi s f rdan farkl bir sa ile çarpmak. C. Bir denklemin bir sabitle çarp m n ba ka bir denkleme (taraf tarafa) toplamak. Örnek. 3 (-3) (birinci) + (ikinci) 5 5 Birinci denklem (-3) ile çarp l p ikinci denkleme toplanm t r. (-/5) (ikinci) 3 kinci denklem çarp lm t r. ile 5 (-) (ikinci) + (birinci) 3 kinci denklem (-) ile çarp l pbirinci denkleme toplanm t r. (ikinci) (birinci) 3 ki denklemin erleri de i tirilmi tir. En sondaki denklem sisteminin çözüm kümesinin ne oldu u aç kça görülmeketedir. Bu sistem, ba lang çtaki sisteme denk oldu undan, ba lang çtaki denklem sisteminin çözüm kümesi, Ç = {(3, )} dir. Örnek 3. (-) (birinci) + (ikinci) 0 0 Bu i lem sonucunda, ikinci denklem sisteminde, ikinci denklemin erine, daima do ru olan 0 = 0 e itli i gelmi tir. O halde, bu örne imizdeki do rusal denklem sisteminin çözüm kümesi, + = do rusal denkleminin çözüm kümesi ile an d r. Bu denklemde i

8 DERS.. cinsinden olarak ifade edip çözüm kümesini, Ç = {(t,-(/)t+) : t R} olarak elde ederiz. Örnek (-) (ikinci) + (birinci) Bu i lem sonucunda, ikinci denklem sisteminde, birinci denklemin erine, asla do ru olmaan 0 = -5 e itli i gelmi tir. Bu nedenle, bu örne imizdeki denklem sisteminin hiç çözümü otur; çözüm kümesi Ç = dir. Örnek (birinci), (ikinci) (birinci) +(ikinci) (/) (ikinci) (ikinci) + (birinci) 0 0 (-/0) (birinci) (ikinci) (birinci) Son denklem sisteminden, çözüm kümesinin Ç = {(, -)} oldu u görülür.