Onur NURTAN. Danışman Öğretmen: Mustafa YAZAGAN. Özel Atacan Anadolu Lisesi

Transkript

1 KAĞIT KATLAMA YOLUYLA KESİRLERİN BELİRLENMESİ Onur NURTAN Danışman Öğretmen: Mustafa YAZAGAN Özel Atacan Anadolu Lisesi Özet: Kare biçimindeki kağıdı tam iki eş parçaya ayıran kırışığına kağıdımızı katlayarak ve Pisagor ve üçgenlerde benzerlik yardımıyla kağıdımızı 3 e katlayan yeri bulduk. Kağıdımızı üçe katlayan yeri en üste getirecek şekilde çevirerek bir önceki adımları kullanarak dörde katlayan yeri bulduk. Aynı yöntemle 5 e 6 ya katlayan yerleri bulduk. Sonra aynı yöntemle k kesrini kullanarak kat yerlerini bulan genelleştirilmiş bir matematiksel ifade elde ettik. Bir kağıdı iki eş parçaya ayırabilir misiniz? Kağıdın üst köşelerini birbiri üstüne alt köşelerini de birbiri üzerine katlayarak kağıdı iki eş parçaya kolayca ayırabiliriz.. Peki kağıdı üç eşit parçaya ayırabilir misiniz? Kağıdı dikey biçimde üç eşit parçaya katlayarak kağıdı üç eşit parçaya bölebiliriz. Fakat beşe,yediye hatta on üçe bölmenin basit bir yolunu bulabilir miyiz? Şimdi herhangi kesirde kağıdı katlamanın basit bir yolunu bulan bir cebirsel ifade elde etmeye çalışalım. BİR KAĞIDI ÜÇE KATLAMA Kare biçiminde bir kağıt alalım ve kağıdın sol üst köşesini sağ üst köşeye sol alt köşesini sağ alt köşeye katlayarak kağıdın tam dikey biçimde bir kırışık elde edelim. Bu dikey kırışığın üst kenar boyunca kesiştiği yeri işaretleyip kesrini yazalım. (2) den elde edilen aksiyomlar sonucunda kağıt katlama işlemlerini yapabiliriz. Kağıdımızın sol alt köşesini üst kenarında kesrini işaretlediğimiz yere katlayalım. Böylece biri üst solda biri üst sağda biri de kağıdın yan sarkan sağ altta olmak üzere üç adet üçgen oluşur.

2 Sol üstteki üçgende kağıdın köşesinde yer alan açı 90 derecedir.çünkü; kağıdımız kare şeklindedir. Bu üçgendeki diğer açılar birbirini 90 dereceye tamamlayacak şekilde tek çizgi ve çift çizgi açı işaretlemeleri ile gösterilmiştir. Kağıdımızın üst kenarının tam ortasına sol alt köşeyi katladığımızdan bu köşedeki açı 90 derecedir. Bu durumda sağ üstteki üçgen için ilk açımızı kağıdımızın ( tam ortasındaki) çift çizgi ile ifade edebiliriz.çünkü; bu açının komşu dış açısı 90 derece ile tek çizgi açıdır. Sağ köşedeki açı 90 derecedir. Geriye kalan açı tek çizgi açı olmak zorundadır. Çünkü bu açıların toplamı 180 derecedir. Şimdi sağ alt köşedeki dik üçgeni çizgi ile belirleyelim. Sarkan sağ alttaki parça üzerinde kağıdımızın sağ kenarını tamamlayacak şekilde düz çizgi ile çizelim. Böylece burada da küçük bir dik üçgen elde ederiz. Düz çizgi marifeti ile oluşan açı sağ üstteki alt taraftaki açıyla ters açı olduğundan tek çizgi açı olur. Üçgendeki diğer açılar katlama köşesi 90 derece ve diğer açı çift çizgili açıdır.. Bu üç üçgen benzerdir. Çünkü ;aynı açılara sahip olup eş açılar karşısında kağıdın yan uzunlukları oranları aynıdır. Bu benzer üçgenleri ve Pisagor teoremini kullanarak kağıdı üçe katlama işlemini yapabiliriz. Üst sol üçgende üçgenin üst kenarının uzunluğu olup yan kenar uzunluğuna dersek bu dik üçgendeki hipotenüs 1 olur.bu üçgene Pisagor teoremi uygulanırsa;

3 1 2 1 Sağ taraftaki parantezi açar sol taraftaki işlemi yaparsak, den sadeleştirmelerden sonra birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem çözülerek elde edilir. Sağ üstteki dik üçgende tıpkı sol üstteki dik üçgende olduğu gibi üst kenar uzunluğu olup sağda kalan diğer dik kenar uzunluğuna dersek ve bu üstteki iki dik üçgenin benzerliğinden (1) deki tanımdan hareketle eşitliğini yazabiliriz. Daha önce bulmuştuk bu değeri bu eşitlikte yerine koyarak içler dışlar çarpımıyla gene birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem elde ederiz. Buradan; buluruz. uzunluğundaki kenar ikiye katlanarak kesri bulunur. HERHANGİ KESİRDE KATLAMA Bu sefer üst kenarının tam ortasından değil de sol üst köşeden herhangi k kesri boyunda ölçüp noktayı işaretleyelim. Kare olan kağıdımızın sol alt köşesini bu işaretlediğimiz noktaya katlayalım. Bu durumda ; sol üstteki üçgende kağıdın köşesinde yer alan açı 90 derecedir.çünkü; kağıdımız kare şeklindedir. Bu üçgendeki diğer açılar birbirini 90 dereceye tamamlayacak şekilde tek çizgi ve çift çizgi açı işaretlemeleri ile gösterilmiştir. Kağıdımızın üst kenarının birim boyundaki noktaya sol alt köşeyi katladığımızdan bu köşedeki açı 90 derecedir.bu durumda sağ üstteki üçgen için ilk açımızı kağıdımızın ( k birimdeki ) çift çizgi ile ifade edebiliriz.çünkü; bu açının dış açısı 90 derece ile tek çizgi açının toplamıdır. Sağ köşedeki açı 90 derecedir. Geriye kalan açı tek çizgi açı olmak zorundadır. Çünkü bu açıların toplamı 180 derecedir

4 (1) deki tanımdan hareketle bu iki üçgen benzerdir. Çünkü ;aynı açılara sahip olup eş açılar karşısında kağıdın yan uzunlukları oranları aynıdır. Bu benzer üçgenleri ve Pisagor teoremini kullanarak kağıdı herhangi k oranında katlama işlemini yapabiliriz. Üst sol üçgende üçgenin üst kenarının uzunluğu olup yan kenar uzunluğuna dersek bu dik üçgendeki hipotenüs 1 olur. Bu üçgene Pisagor teoremi uygulanırsa; 1 Sağ taraftaki parantezi açar sol taraftaki işlemi yaparsak, 12 den sadeleştirmelerden sonra birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem çözülerek bulunur. Bu üçgenlerin benzerliğinden, 1 elde edilir. Daha önce bulduğumuz konulursa benzerlikten doğan eşitlikte yerine elde edilir. Buradan ; 21 1 bulunur özdeşliği kullanılırsa 2 1

5 bulunur. Bu son eşitlikte bulunarak işaretlenir. yazılarak sağ üstteki dik üçgende kat yeri Son şekli kullanarak kareyi döndürerek yukarıdaki eşitlikten yararlanılarak aynı yöntemle sağ üst üçgende kat yeri bulunur. Yine son şekli kullanarak kareyi döndürerek yukarıdaki eşitlikten yararlanılarak aynı yöntemle sağ üst üçgende kat yeri bulunur. Ve bu döngü bu şekilde devam ettirilerek kat yeri, kat yeri, bulunur.

6 Genelleme yapabilmek için yazılırsa den kat yeri bulunur. Böylece birim kesirlerin herhangi katı kullanılarak herhangi rasyonel kat yeri bulunabilir. Kaynaklar: 1) Nevzat ASMA, Halit BIYIK,Esen Yayınları 9.sınıf matematik konu anlatımlı kitabı,syf ) The Mathematics of Origami Sheri Yin June 3, 2009,page 15-17,