İÇİNDEKİLER BASİT EŞİTSİZLİKLER. HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi...

Transkript

1 İÇİNDEKİLER HARFLİ İFADELER Harfli İfadeler ve Elemanları... 1 Benzer Terim... Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma... Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma... Harfli İfadelerde Parantez Açma... Benzer Terimle Karşılaşma... 6 İç İçe Parantezler... 7 Parantezle Parantezin Dağılımı... 8 Ortak Çarpan Parantezi... 9 Sayı İfadelerinde Ortak Çarpan Parantezi Parantezli Ortak Çarpan Harfli İfadelerin Kesri ve Bölümü... 1 BASİT EŞİTSİZLİKLER Eşitsizlik Sembolleri ve İşaretin Eşitsizlik İfadesi... Eşitsizlik Yönü... Aralık Kavramı ve Eşitsizlik Çözümü... Bilinenler Bir Tarafa, Bilinmeyenler Diğer Tarafa... 6 Kesirli Eşitsizlikler... 7 İki Bilinmeyenli Eşitsizlikler... 8 Eşitsizliklerde En Büyük ve En Küçük... 9 Uygulama Tekrar Zamanı Çözümlü Test Çözümlü Test Harfli İfadelerde Basitleşme... 1 Harfli İfadelerde Sadeleşme... 1 Parantezli Sadeleşmeler... 1 İşaret Değiştiren Parantez Harfe Değer Verme Uygulama Zamanı DENKLEMLER Denklem ve Denklem Çözme... Bilinenler Bir Tarafa, Bilinmeyenler Diğer Tarafa... Kesirli Denklemler... Paydası Bilinmeyenli Denklemler... Olacağı Belli Kesirli Denklemler... 6 Denklemlerde Basitleşme ve Sadeleşme... 7 Köke Değer Verme / lerin Basitleşmesi / Denklem İçinde Ondalıklar... 8 İki Bilinmeyenli Denklemler ve Yok Etme Yöntemiyle Denklem Çözme... 9 Bilinmeyenleri Birbiri Cinsinden Yazma ve Yerine Koyma Yöntemiyle Denklem Çözme... 0 Kesirli İki Bilinmeyenler... 1 Denklemlerde İstenilene Ulaşma... MUTLAK DEĞER Mutlak Değer Kavramı Mutlak Değerin Açılımı I Mutlak Değerin Açılımı II... 7 Mutlak Değer İçi İşlemler... 7 Mutlak Değer Denklemleri... 7 Aynı Çatı Altında Mutlak Değer Denklemi... 7 f ( ) < a Eşitsizliği a < f( ) Eşitsizliği a < f( ) < b Eşitsizliği İç İçe Mutlak Değer Denklemi İç İçe Mutlak Değer Açılımı ve Eşitsizliği Mutlak Değer Toplamlarının Sıfır Olması En Büyük En Küçük Değer... 8 Uygulama Tekrar Zamanı Çözümlü Test Çözümlü Test Uygulama Zamanı 9... Tekrar Zamanı Çözümlü Test Çözümlü Test... 9

2 Harfli İfadeler ve Elemanları HARFLİ İFADELER Tanım: Harfler ve sayıların işlemlerinden oluşan matematik cümlelerine "harfli ifadeler" ya da "cebirsel ifadeler" denilir. ( + y 7 gibi) ile tanışalım: Harfli ifadelerde genellilikle, y ve z harfleri kullanılır. Harf ile sayı arasındaki belirtilmeyen işlem çarpmadır. ( = gibi) Elemanları: Harfli ifadede Değişken / Bilinmeyen: Kullanılan harflere denilir Terim: Birbirinden toplama (+) veya çıkarma ( ) işlemleriyle ayrılan kısımlara denilir. Katsayı: Her terimdeki harfli kısmın katını belirten sayıdır. vv vv Katsayı tekrarlı toplamının adetini belirtir. ( = + + gibi) Belirtilmeyen katsayı gizli 1 çarpanıdır. ( = 1 gibi) Derece: Her terimdeki harfli kısmın üssünü (kuvvetini) (*) belirten sayıdır. vv Derece tekrarlı çarpımın adetini belirtir. ( = gibi) y harfli ifadesinin elemanlarını belirtiniz. Değişkenleri: ve y dir. Terimleri Katsayısı Derecesi = 1 1 = 1 1 y = y y + y Yukarıdaki harfli ifadeye göre aşağıdaki soruları cevaplayınız. 1. Terimleri nedir? Aşağıdaki eşitliklerden doğru olanları "D", yanlış olanları "Y" ile belirtiniz. 6. = 0 (...) 7. + = (...). Değişkenleri nedir? 8. = (...). Katsayıları nedir? 9. = 1 (...) 10. a + a + a = a (...). Katsayıları toplamı kaçtır? 11. = 0 (...). Değişkensiz (sabit) terimi kaçtır? 1. y y = y (...) 1. = 1 (...) 1), y, y, ) ve y ),, 1, ) 6 ) (*) Üst (kuvvet); tekrarlı çarpımın adetini belirtir. 6) Y 7) D 8) Y 9) D 10) Y 11) Y 1) D 1) D 1

3 HARFLİ İFADELER Benzer Terim Harfli ifadedeki her terimi, katsayısını belirtmeden değişken ve derecesiyle adlandırmaya terimleri adlandırma; aynı şekilde adlandırılan terimlere benzer terim denilir. Değişkeni olmayan terime sabit terim denilir. Benzer terimleri harfli ifadeleri toplayıp çıkarırken kullanacağız. (Adlandırma) harfli ifadesinin terimlerini adlandırınız. (Benzer Terim) Aşağıdaki terim çiftlerinin benzerliklerini belirtiniz. a) ile b) ile d) ile e) ile 1 c) ile y a) ( li) ( li) benzer. b) ( li) f) y ile ( li) benzer. c) ( li) y (y li) benzemez. d) ( li) ( li) benzemez., li terim;, li terim; 1, sabit terim e) (sabit) 1 (sabit) benzer. f) y (y li) ( li) benzemez. Aşağıdaki terimleri adlandırınız. 1. Aşağıdaki terim çiftlerinden benzeyenleri "" ile benzemeyenleri "" ile belirtiniz. 8. ile ( ). y. 9. ile ( ) ile ( ) y - + y + - Yukarıdaki cebirsel ifadeye göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.. li terimin katsayısı kaçtır? 11. ile y ( ) 1. y ile y ( ) 6. y li terimin katsayısı ile derecesi toplamı kaçtır? 1. a ile a ( ) 7. Sabit terim kaçtır? 1. b ile ( ) 1) li terim ) y li terim ) li terim ) sabit terim ) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 1) 1) 1)

4 Harfli İfadenin Terimlerini Toplayıp Çıkarma HARFLİ İFADELER Harfli ifadelerde sadece benzer terimler (aynı şekilde adlandırılanlar), katsayıları değişecek şekilde toplanıp çıkarılır. Yukarıdaki durumu "elma ile elma, armut ile armut" kuralı olarak aklınızda tutunuz. Harfli ifadede benzer terim yoksa toplayıp çıkarmaya zorlanmaz olduğu gibi kalır. Toplanıp çıkarıldığında katsayısı "0" olan terim yok olur. + harfli ifadesinin eşitini ifadesinin eşitini > > = = - (Toplanıp Çıkarılamayanlar) Aşağıdaki ifadelerin eşitini a) a b) + c) y + y = ( + 1- ) 1 =- li terimlerin katsayıları, parantezinde toplanıp çıkarılır. Yukarıdaki harfli ifadelerin her birinde benzer terim bulunmadığından oldukları gibi kalırlar. a) a b) + c) y + y Aşağıda verilen harfli ifadelerin eşitini = = =. a a + a = =. y + y y + y = =. + + =. a a + a a = 1. + = 6. + = 1. a 6 = 7. y + 7y y = 1. + = 8. ab + ab + ab = 16. ab + a + b = 9) ) + 11) + 1) ) 9 ) 6a ) 7y ) 11 ) a 6) 7) 10y 8) ab 1) + 1) a 6 1) + 16) ab + a + b

5 HARFLİ İFADELER Harfli İfadelerin Terimlerini Çarpma Tekrarlı çarpımların adeti üs (kuvvet) olarak yazılır.... = 1 n tane Aynı harfler çarpılırken, üsler toplamı kadar tekrarlı çarpım oluşur. a b = a + b Çarpmanın değişme özelliği ile katsayılar ile katsayılar harfler ile harfler çarpılır. () () = ( ) ( ) = 6 gibi (Tekrarlı Toplam, Tekrarlı Çarpım) Aşağıdaki ifadelerin eşitini a) + + =? b) =? c) + =? a) + + = (Tekrarlı toplam) Karıştırmayınız! b) = (Tekrarlı çarpım) c) + = + > 9 n (Aynı Harflilerin Çarpımı) Aşağıdaki ifadelerin eşitini a) =? b) y y =? c) + + =? + a) = = 1 1+ b) y y = y = y y y y c) + + = 9 ; + (Katsayı ile Katsayı, Harf ile Harf) Aşağıdaki ifadelerin eşitini a) ( ) =? b) y =? c) a( ) =? a) ( ) = ( ) = 10 b) y = y = 6y c) a ( ) = ( ) a = 6a Aşağıda verilen harfli ifadelerin eşitini 9. a b c = 1. a + a + a + a = 10. a a a =. a a a a =. = 11. a a a = 1. =. y = 1. y z =. = 1. y y y = 6. y ( y) = 1. a a a + a a + a = 7. = ( ) = 8. a a = 9) abc 10) a 8 11) 0a 1) 1) a ) a ) 6 ) 1y ) 0 6) 6y 7) 8) a 7 1) 10yz 1) 0y 1) a + a + a 16) 6 8

6 Harfli İfadelerde Parantez Açma HARFLİ İFADELER Sayıyı paranteze dağıtma; (Dağılamayanlar) a(b a) ifadesini eşitini a ( + y z) = a + a y + a ( z) b ( + y z) = b b y b ( z) İşareti paranteze dağıtma; Katsayılar bir arada harfler bir arada çarpılır. Çarpma çarpmaya dağılmaz. Doğru çözüm: a(b a) = ( ) (a a b) = 6a b Hatalı çözüm: +( + y z) = +1 ( + y z) = y + 1 ( z) = + y z a (b a) = a b a a = ab ab a = 6a b ( + y z) = 1 ( + y z) = 1 1 y + ( 1) ( z) = y + z Çarpmanın sadece toplama veya çıkarma üzerine dağılımı vardır. Çarpmanın çarpmaya ya da bölmeye dağılımını kesinlikle yapmayınız. Çarpmanın değişme özelliğiyle paranteze dağıtılacak ifade öne alınabilir. (İşaret Dağıtma) Aşağıdaki işaret dağılımlarını yapınız a) +( y) b) ( y) (Parantez Dağılımı) Aşağıdaki ifadelerin parantezini açınız. a) ( + y) b) ( 1) a) +1 ( y) = ( y) = y Pozitif paranteze dağıtılınca parantez içi aynı kalır. a) ( + y) = + y = y b) ( 1) = ( 1) = 6 + b) 1 ( y) = 1 1 ( y) = + y = y Negatif paranteze dağıtılınca parantez içi yer değiştirir. Aşağıda verilen harfli ifadelerde parantezleri açınız. 1. ( + y) =. (a b) = 9. (a + b) = 10. ( y + ) = 11. y( y + ) =. ( ) =. ( + 7) =. ( + 1) = 6. ( y) = 7. ( + 1) = 8. y( y) = 1. ( y 6z) = 1. (a b c) = 1. ( + 1) = 1. y(y y ) = 16. a( y z) = 1) 6 + 1y ) 6a + 8b ) 1 0 ) 7 ) 8 6) + y 7) + 8) 1 y + 6y 9) a + b 10) 8y 1 11) 10y 1y 1) 8 0y z 1) a + 10b +1c 1) 6 + 1) 10y + 6y + y 16) 8a + 1ay + 0az

7 HARFLİ İFADELER Benzer Terimle Karşılaşma Parantez dağılımından sonra benzer terimler görüldüğü her yerde toplanır çıkarılır. Dağılımından sonra y li ve y li terimler görülürse çarpmanın değişme özelliğiyle benzer hale getirilir. (y = y gibi) (y + 1) + y( 1) ifadesinin eşitini (y + 1) + y ( 1) = y + + y y = y + y + y = y + y (a + a 1) + a(a + 1)ifadesinin eşiti nedir? (a + a 1) + a(a + 1) = 6a + a + a + a = (6a + a ) + (a + a) = 9a + a ( + 1) ( 1) ifadesinin eşitini ( + 1) ( 1) = + ( 1) = ( - ) + + = Aşağıda verilen harfli ifadelerin eşitini 9. ( a + a) (a a) = 1. ( + ) + ( + 1) =. (a ) (a + 1) = 10. ( ) ( ) =. (1 ) + ( + ) = 11. (a + a ) + (a + a) =. (y ) + ( y) = 1. (y + ) + (y 1) =. 6( ) + ( + 1) = 1. ( + 1) + ( + ) = 6. (a + ) (1 + a) = 1. ( ) + ( ) = 7. (a + ) + (a + 1) = 1. y( + z ) + y ( + z) = 8. ( a 1) + (a 1) = 16. a(b c) + a(b + c) = 6 1) ) a 11 ) 19 + ) 11y + 6 ) + 1 6) 19a 1 7) 8a + 9 8) a 9) a + 19a 10) 11) a + 1 a 9 1) y 1) ) 7 1 1) 8y + 11yz 16) ab + 1 ac

8 İç İçe Parantezler HARFLİ İFADELER En içteki parantezden başlayarak, en dıştaki paranteze doğru açılım yapılır. Benzer terimler oluştuğu anda toplanır çıkarılır [ ( 1)] ifadesinin eşitini [ ( 1) + ] ifadesinin eşitini 6 - ( - 1) = [ ] > < - 6 = [ + 6] = [ 1 ( 1)] = [ + 1] = [ ] = = + 9 Aşağıda verilen ifadelerin eşitine 9. [ ( + 1) ] = 1. [ + ( + )] =. [1 + ( + 1)] = 10. [a + (1 + a)] =. [( + 1) + ] = 11. a + + [6 (a + 1)] =. a + [a + (a + )] = 1. y [1 + (y + z) y] =. 6 [ + (a 1)] = 1. [ ( ) ] = 6. [ + (a + 1)] = 1. [( ) + ( + 1) + 1] = 7. [( + 1) ] = 1. [( + 1) ] ( + 1) = 8. [ ( ) ] = 16. [ + ( 1 )] + ( ) = 1) ) 8 1 ) 0 + ) 9a + 6 ) 18a 6 6) 1a + 1 7) 8 8) 6 + 9) ) 9a + 11) a + 6 1) y z 1 1) + 8 1) 1) 1 16) 8 7

9 HARFLİ İFADELER Parantezle Parantezin Dağılımı İki parantezli ifade dağıtılırken; ilk parantezdeki her terim, ikinci parantezdeki terimlerin her biriyle sırasıyla dağıtılır. Üç parantezli ifadeler dağıtılırken; önce ikisini dağıtıp oluşan parantezle kalan parantezi dağıtırız. (Çok karşılaşılmaz) (İki Parantezli Dağılım) ( 1) ( ) ifadesinin eşitinin I. yol (Üç Parantezli Dağılım) ( + 1) ( + ) ( + ) ifadesinin eşitini ( + 1) [( + ) ( + )] = ( + 1) [ ] = ( + 1) ( + + 6) = = ( 1) ( ) = + ( ) 1 1 ( ) II. yol = 6 + = 7 + ( + y) ( y) ifadesinin eşitini F ( + 1)( - ) = ( -)-1( -) < = + ( ) 1 1 ( ) = 6 + = 7 + ( + y) ( - y) = - y + y - y = -y Aşağıda verilen harfli ifadelerin eşitini 7. ( ) ( + ) = 1. ( + ) ( + 1) = 8. (a 1) (a ) =. (a + ) (a + ) = 9. (y ) (y 1) =. ( + ) ( + 1) = 10. ( + 1) ( + ) =. (a + 1) (a + ) = 11. (a + b) (a + b) =. (y + ) (y ) = 1. (a 1) (a + 1) (a + ) = 6. (a + ) (a 1) = 1. ( y ) ( y) = 8 1) + + ) a + a + 6 ) ) 10a + 17a + ) y + y 6 6) a + a 7) 6 1 8) a 7a + 9) 6y 1y + 10) ) a + a b + b 1) a + a a 1) 10y + 8y

10 Paydası Bilinmeyenli Denklemler DENKLEMLER Paydasında bilinmeyen bulunan kesirli denklemlerde, tespit edilen kök, ifadedeki herhangi bir kesrin paydasını 0 yapıyorsa kök olarak alınamaz. Çünkü: Sayı 0 = Tanımsızdır - = denkleminin çözüm kümesini - - = = = - 1 = 0 Ancak = ifadede yerine yazıldığında şeklinde 0 belirsiz kesir oluşur. = kök olarak alınamaz. Ç. K.= { } (*) 1 = denkleminin çözüm kümesini = + 1 = 6 = = in paydasını 0 yaptığı kesir yok, köktür. Ç. K. = {} 8 - = + olduğuna göre i = + & - = + & = & = 1 & = 1 & = 6 = 6 nın paydasını sıfır yaptığı kesir yok, köktür. Aşağıda verilen denklemlerin köklerini =. - = = = = = = = + + 1) ) 0 ) ) ) 6) - 7) 1 8) - 9 (*) { } ya da boşküme anlamındadır.

11 DENKLEMLER Olacağı Belli Kesirli Denklemler Üstü ve altı işlemli kesir ve merdiven kesri denklemlerinde, üst ve alt ayrı ayrı işleme alınarak üstü altına bölünür ve uygun aşamada çapraz çarpım uygulanır. Ancak bu tarz sorularda genellikle pay ya da paydaya "olacağı belli" değerler verilerek, adım adım köke ulaşılabilir. (Çapraz Çarpım) + 1 = 1 denklemine göre kaçtır? 1 + (Olacağı Belli) Aşağıdaki denklemleri "olacağı belli" yöntemiyle çözünüz a) = b) 1 + = a) = 1 - = b) = 1 + = = 1 & + = + & = ( ) ( ) & + 6 = + 6 & - = 6-6 & = 0 ( = 0 ın paydasını sıfır yaptığı kesir yok, köktür.) = 7 = 7 ( = 7 nin ifadede paydasını 0 yaptığı kesir yok, köktür) 1 + = 6 = = 6 Aşağıda verilen denklemlerin bilinmeyenleri =. 10 = = = = = = = ) ) ) 7 ) 1 ) 7 6) 1 7) 8) 0

12 Denklemlerde Basitleşme ve Sadeleşme DENKLEMLER Basitleşme: Eşitliğin her iki tarafındaki toplam veya fark halindeki aynı sayı ya da harfli ifade aynı tarafa geçirildiğinde birbirini sıfırlaştırıp etkisiz hale getireceğinden karşılıklı yok edilebilir. Sadeleşme: Eşitliğin her iki tarafındaki çarpım ya da bölüm durumundaki sayılar aynı sayılarla bölünüp sadeleşebiliyorsa karşılıklı sadeleştirilebilir. Eşitliğin her iki tarafındaki aynı harfli ifadeden oluşan çarpımlar sadeleştirilmez, kök kaybına neden olur. (Sadeleşmeler) Aşağıdaki denklemleri çözünüz. a) ( + 1) = ( + ) b) = 10 1 a) ( + 1) = ( + ) & + 1 = + 6 b) = = = & - = + 1& - = + 1 = (Basitleşme) Aşağıdaki denklemleri çözünüz. a) + y = y + 10 b) a) + y = y + 10 b) = 10 = = = = & = 1 & = (Yanlış Sadeleşme Kök Kaybı) ( ) = ( + 1) denkleminde yapılabilecek yanlış sadeleşmeyi belirtiniz. Eşitliğin her iki tarafında bulunan çarpım durumundaki bilinmeyenleri sadeleştirme, yanlış sadeleşmedir. _ ( - ) = ( + 1) Ancak = 0 da denklemi b - = + 1 b sağlar yanlış sadeleşme ile ` - = + 1 kök kaybına uğrar = 0 için = b 0 ( 0 ) = 0 (0 + 1) a 0 = 0 Aşağıda verilen denklemlerin köklerini = =. 6 - = = ( ) = ( + 6) 7. + y + = + y = = ) 10 ) 1 ) 1 ) ) 6) 8 7) 6 8) 7

13 DENKLEMLER Köke Değer Verme / lerin Basitleşmesi / Denklem İçinde Ondalıklar Denklemin kökü denklemi sağlayacağı için kök olarak verilen değer bilinmeyenin yerine yazılabilir. Kesirli denklemlerde çapraz çarpımdan sonra li ifadeler eşitliğin her iki tarafında ise basitleştirilebilir. Denklem içerisindeki ondalıklar ya da devirli ondalıklar kesre çevrilerek kesirli denklem halinde çözülür. ( leri Basitleştirme) + - = denkleminin kökünü = - & ( + )( - ) = ( -) & = - & - 16 =- & 8 = (Köke Değer Verme) + m + 1 = + denkleminin kökü = ise m yi m m = + & = + & + m = m = 7 m = (Denklem İçerisinde Ondalıklar) 0, - = 0, + denkleminin kökünü 0, - = 0, = ( 1) ( ) ( 1) ( ) - 1+ = 1 0, = = , = = 9 & - 1 = + 6 & -1- = 6-1 & - 1 = & - = Aşağıdaki verilen denklemlerin köklerini 1. 0, = 0, = -. 1,6 +, = 0,6 +, Aşağıdaki soruları cevaplandırınız.. 01, + 0, = 1, 9+ 0, m = - denkleminin bir kökü = olduğuna göre m yi , = 0, + 0, 9. denkleminin bir kökü = olduğu- + 1 m + + = na göre m kaçtır?. 0, + = = m = - + denklemimin bir kökü = olduğuna göre m kaçtır? 8 1) 0 ) ) 17 ) 7 ) - 6) ) 6 8) - 9) 10) -

14 İki Bilinmeyenli Denklemler ve Yok Etme Yöntemiyle Denklem Çözme DENKLEMLER Denklem içerisinde iki bilinmeyen varsa, her iki bilinmeyeni de bulabilmek için iki denkleme yani denklem sistemine ihtiyaç vardır. İki bilinmeyenli denklem sisteminin çözümü sıralı ikililerle (*) önce sonra y olacak şekilde (, y), çözüm kümesi de {(,y)} olarak belirtilir. Yok Etme Yöntemi ile denkem sistemi çözülürken; l. Adım: Her iki denklemde de bilinmeyenler aynı tarafa alınır. ll. Adım: Bilinmeyenlerden biri zıt işaretli olacak şekilde her iki denklemde katsayılar genişletilerek eşitlenir. lll. Adım: Denklemler, eşitlikler alt alta gelecek şekilde taraf tarafa toplanarak zıt işaretli bilinmeyenler yok edilir. lv. Adım: Oluşan bir bilinmeyenli denklem çözülüp, bulunan bilinmeyen denklemlerden birinde yerine yazılırak diğer bilinmeyen bulunur. Denklem genişletme; denklemin bütün terimlerini, eşitliğini koruyarak aynı sayıyla çarpmadır. + y = + y = 7 denklem sisteminin çözüm kümesini ( + y = ) + y = 9 1( + y = 7) -- y =-7 + = + y = denkleminde yerine yazılırsa + y = y = 1 Denklem sisteminin çözüm kümesi Ç. K. = {(, 1)} = y + ve + y = denklemlerine göre ve y yi - y = denklem sisteminin çözüm kümesini + y = - y = + y = + = 8 = 1 + y = denkleminde yerine yazılırsa, + y = y = 1 Ç. K. = {(, 1)} = y + ( + y = ) + - y = + y = 1 = 1 = + y = denkleminde yerine yazılırsa + y = y = 1 Aşağıda verilen denklem sistemlerinin çözüm kümeleri. + y = + y = 1. - y = + y = 1. + y = 1 - y =. = y- 1 + y = 11. y = y = y = 18 + y =-1 1) {(8, )} ) {(6, )} ) {(1, )} ) {(, 1)} ) {(, )} 6) {(, )} 9 (*) Sıralı ikili, belirli bir sırayla belirtilen ikili sayı sistemidir.

15 DENKLEMLER Bilinmeyenleri Birbiri Cinsinden Yazma ve Yerine Koyma Yöntemiyle Denklem Çözme İki bilinmeyenli denklemlerde, bilinmeyenler birbiri cinsinden ifade edilirken; istenilen bilinmeyen eşitliğin korunumuyla yalnız bırakılır. Yerine koyma yöntemi ile denklem sistemi çözülürken; l. Adım: Denklemlerden birinde bilinmeyen yalnız bırakılarak diğeri cinsinden yazılır. ll. Adım: Bu bilinmeyen diğer denklemde yerine yazılarak bir bilinmeyenli denklem oluşturulur. lll. Adım: Oluşturulan bir bilinmeyenli denklem çözülür, bulunan, bilinmeyen denklemlerden birinde yerine yazılarak diğer bilinmeyen bulunur. + y = 6 denklemine göre y nin cinsinden eşitini + y = 6 y = y = y = - y = - 1 Kutu içindeki ifadelerde kesirlerde toplama ve çıkarmanın tersinin uygulandığına dikkat ediniz + y = 1 denklem sistemine göre ve y yi y = + y = denklemine göre in y cinsinden eşitini + y = = -y toplam y eşitliğin karşı tarafına fark y ile geçirilerek yalnız bırakılır. Denklemlerden birisi, birbiri cinsinden yazılmış bilinmeyenlerden oluşuyor ise yerine koyma yöntemi kolaylık sağlar. + y = 1 denkleminde y = ise: + = 1 = 1 = y = denkleminde = ise: y = = 9 Aşağıda verilen ifadelerde in y türünden eşitini 1. + y = Aşağıda verilen ifadelerde b nin a türünden eşitini 6. a + b =. y = 7. b a = 1. + y = 1 8. a + b =. y = 9. a + = b 1. + y = 10. a + b = b + a y 1) y ) + y ) y - ) y - ) 1+ a 6) a 7) --a 8) a ) 10) a

16 MUTLAK DEĞER İçiçe Mutlak Değer Açılımı ve Eşitsizliği Kriteri verilen içiçe mutlak değerin açılımı yapılırken; içten dışa doğru işaret tespiti yapılarak ilerlenir. İçiçe mutlak değer eşitsizliklerinde; denklemlerde olduğu gibi dıştan içe doğru değer tespiti yapılarak ilerlenir. f() a < b b + a < f() < b + a (i) b + a < f() < b + a ve (ii) b + a < f() < b + a Ç = {(i) ve (ii) nin birleşimidir.} a < b < 0 olduğuna göre; a + b a ifadesinin eşitini (İçiçe Mutlak Açılımı) < 1 olduğuna göre; + ifadesinin eşitini < 1 ise > 1 dir. + = + - = = bulunur. + (İçiçe Mutlak Eşitsizliği) < eşitsizliğini sağlayan kaç tane tam sayısı vardır? (a < b 0 < b a) a + b a = a + (b a) + a + b a = a + b = a b a < 0 f + b < 0 p a+ b < 0 < < < < < 8 olduğundan, (i) < < 8 ve (ii) < < 8 8 < < Ç = { 7, 6,,,,,,,6,7} on tanedir. a < b < 0 < c < d için aşağıdaki verilen ifadelerin eşitini Aşağıdaki verilen eşitsizliklerin çözüm aralığını 1. a + b. c + d 6. <. b a 7. a + < 10. c + c d a c a b 9. + < ) b a ) c + d ) a b ) c + d ) c b 1 < < 7 6) c m 7) 8 < a < 8 8) 8 # # 9) 10 < < 6 7 < < 1

17 Mutlak Değer Toplamlarının Sıfır Olması MUTLAK DEĞER İki ayrı mutlak değerin toplamı 0 ise her bir mutlak ayrı ayrı sıfır olmak zorundadır. f() + g() = 0 ise f() = 0 ve g() = 0 dır. Aynı durum mutlak değerlerin farkı için geçerli değildir. a + b + a b = 0 ifadesine göre a ve b değerlerini a+ b- + a-b- = 0 ifadesine göre; a + b = Elde edilen denklem sistemi çözülürse a b = a = ve b = 1 bulunur. Aşağıdaki verilen ifadelerde bilinmeyenleri 6. ( ) + y + 6 = y = 0. a + + b = 0 7. (a ) + (b + ) + c + = 0. a + b c = y 1 = 0. + y 8 + y = y + z 1 = 0. a + b 1 + a b 6 = a + + b c + = 0 1) =, y = ) a =, b = ) a =, b = 1, c = ) =, y = ) a = 6, b = 0 6) =, y = 6 7) a =, b =, c = 8) =, y = 9) =, y =, z = 1 10) a =, b =, c = 81

18 MUTLAK DEĞER En Büyük - En Küçük Değer ifadesini en küçük yapan değerlerini Mutlak değerli bir ifadenin alabileceği en küçük değer 0 dır. f() in en küçük değeri f() = 0 dır. a + b gibi toplam ifadelerinde; her mutlak değeri 0 yapan = a ve = b değerleri ifadede yerine yazılarak en küçük değeri bulunur. Tek mutlak değerin en küçük değeri sıfırdır. = 0 = 0 = = ve ya = ifadesinin en küçük değerini A - a + - b iken, kesir büyük olur. gibi kesir ifadelerinde payda küçük 1 = 0 = 1 iken = 6 olur. = 0 = iken = olur. = 0 = iken = 6 olur. O halde en küçük değer 'tür. Aşağıdaki verilen ifadelerin en küçük değerini 1. + = Aşağıdaki verilen ifadelerin en küçük yapan değerlerini 6.. a + + a 1 = = Aşağıdaki verilen ifadelerin en büyük değerini = a + a + a = ) ) ) ) ) 6) 7) 8 ve 8) 9) 10) 11)

19 Uygulama Zamanı Uygulama 1 1. Aşağıda verilen ifadeleri mutlak değer dışına çıkarınız. a) = b) = < y < z < t için aşağıdaki verilen ifadelerin eşitini 8. z = c) = d) 100 = 7 9. t = 10. y z = e) 0 = f) 0, = 11. y + y z + t z = g) 0, = h) ( 6) = 1. t y t z = 1. y + y t = Aşağıda verilen işlemleri sonuçlandırınız.. = a < b < 0 < c için aşağıdaki verilen ifadelerin eşitini 1. c b =. + 9 = (16) 1. a c = = (7) 16. a + b =. 0 : = () 17. a b + c b = = (9) 18. a b + c a b c = 7. ( 6) = ( ) 1) a) b) c) 7 d) 100 e) 0 f) 0, g) 0, h) 6 ) ) 16 ) 7 ) 6) 9 7) 8) z 9) t 10) y z 11) t 1) y z 1) y + t 1) c b 1) c a 16) a b 17) c a 18) b a 8

20 19. < 0 < y için aşağıdaki ifadelerin eşitini a) = b) = 1. < a < için aşağıda verilen ifadelerin eşitini a) a = b) a = c) d) = c) a = d) 1 a = e) y = f) y = e) a + a = f) a a + 1 = g) y = h) y = g) a 1 + a 6 = h) a + a + = k) y = m) y = 0. < y < 0 < z için aşağıdaki ifadelerin eşitini a) = b) z = Aşağıda verilen mutlak değerli ifadelerin eşitini + +. = 7 - c) y d) y + y =. a- b + a- b a-b - a- b = e) + y + z = f) y z + y =. - y + y- y- - -y = g) + y = h) y y z + z = = k) z = l) + 1 y = = m) + = n) z z = 8 19) a) b) c) d) e) y f) y g) y h) y k) y m) y 0) a) b) z c) y d) e) z y f) z y g) y h) (y ) k) z l) y m) n) 0 1) a) a b) a c) a d) a 1 e) f) a g) a + h) ) ) ) ) 6)

21 Uygulama Zamanı Uygulama 1 Aşağıda verilen denklemlerin çözüm kümelerini = 1. = = 1. 1 = =. 1 = = = = = = = 1 7. = = = = = = - 1) { 1,7} ) { 6,7} ) {} ) ) { 1,11} 6) { 9,1} 7) { 16,16} 8) {,} 9) { 1,6} ) ',,, 1 11) {, 1,,} 1) { 1,1,,7} 1) {,} 1) {,1} 1) {,8} 16) {} 17) ', ) {1} 8