MATEMAT IK-I (SORULAR)
|
|
- Iskender Gülbahar Sarı
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Part I MATEMAT IK-I (SORULAR) SAYILAR. irrasyonel midir?. 7 say s n n irrasyonel oldu¼gunu gösteriniz. (Gauss Teoremini kullan n z.) say s n n irrasyonel oldu¼gunu gösteriniz. (Gauss Teoremini kullan n z.). Aşa¼g daki denlem ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz. a) j j = 7 b) 3 < c) k3k < 3 d) j5 j < + e) k + 3k = kk 3 f) k 3k 5. (kk + ) (jj ) > 0 eşitsizli¼ginin çözüm kümesini bulunuz. 6. k + kkk = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 7. ( + + 9) + ( 3) = j 3j eşitli¼gini sa¼glayan reel say lar n n kümesini bulunuz = 6 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözim = m ve 9 = n denirse m ve n tam say lard r. Ayr ca m n = = oldu¼gundan m n 5 olur. m ve n tam say oldu¼gundan, m ile n aras ndaki fark veya 5 dir. Bu iki durumu ayr ayr inceleye.m n = 5 ise m = n + 5 olu bu m n = 6 denklemide yerine yaz l rsa n + 9n + 9 = 0 denklemi elde edilir ki bu neklemin kökleri tam say de¼gildir.m n = ise m = n+ olu bu yine m n = 6 denklemide yerine yaz l rsa (n + ) n = 6 veya n + 7n = 0 olur O zaman n = 0 veya n = 7 dir. Bu durumlar dikkate al nd ¼g nda = ve 9 = 0
2 denklemlerini sa¼glayan noktalar n n kümesi (ki bu [ 9 ; 3 )) ile = 3 ve 9 = 7 9 denlemlerini sa¼glayan noktalar n kümesi (ki bu [ ; 3 3 )) nin birleşimi verilen ana denlemin çözüm kümesi olur. Sonuç olarak çözüm 9 kümesi [ ; 3 3 )[ [ 9 ; 3 ) olur. Çözüm (ikinci yol) = m diye. Bu durumda = m =) m < m + =) m 7 3 < m () 3 olur. Ayr ca m 9 = 6 =) 9 = m 6 =) m 9 6 < m 5 =) m 55 < m 5 () bulunur. () ve () den m m 5 0 ve m m 9 0 elde edilir. Bu eşitsizliklerin tam say çözümleri m = 3 ve m = tür. m = 3 ise 6 3 < < 5 =) 9 < 3 3 m = ise O halde 5 3 < 3 9 < 3 Ç.K. = 9 ; 3 3 =) 9 < 3 9 [ ; 3 KARTEZYEN KOORD INAT S ISTEM I. Köşeleri P (; 0), Q(5; ) ve R( ; 3) olan üçgen bir dik üçgen midir?. Köşeleri P (; ), Q(; ), R(6; ) ve S(3; 3) olan aralel kenar n alan n hesalay n z. 3. y = + denklemli do¼gru üzerinde P (5; 5) noktas na en yak n noktan n koordinatlar n bulunuz.. y = 3 denklemli do¼gruya orijinde te¼get olan ve P (0; 6) noktas ndan geçen çemberin denklemini bulunuz.
3 5. Aşa¼g daki denlem ve eşitsizlikleri sa¼glayan (; y) noktalar n n kümesini düzlemde gösteriniz. a) + (y ) b) ( + ) + y c) k + yk = d) kk + kyk = e) jj + jyj = 3 FONKS IYONLAR VE GRAF IKLER I. Aşa¼g da verilen fonksiyonlar n tan m kümelerini bulunuz. a) f() = + b) f() = c) f() = jj d) f() = + e) f() = 5 f) f() = 3 kk g) f() = 3+jj h) f() = kk. Taban, bir kenar br olan bir kare, hacmi 5 br 3 olan dikdörtgensel bir kutunun yüzey alan n cinsinden ifade ediniz. Bulunan fonksiyonun tan m kümesi nedir? 3. Bir dikdörtgenin çevresi 0 m dir. Dikdörtgenin alan n, kenarlar ndan birinin uzunlu¼gunun fonksiyonu olarak yaz n z.. Bir küün yüzey alan n hacminin fonksiyonu olarak ifade ediniz. 5. Boyutlar cm ve 0 cm olan bir kartondan üstü aç k bir kutu, köşelerinden bir kenar uzunlu¼gunda olan kareler kesilerek ve kenarlar katlanarak ya lacakt r. Kutunun hacmini in fonksiyonu olarak ifade ediniz. 6. Aşa¼g daki fonksiyonlar n gra klerini çiziniz a) f() = kk b) f() = c) f() = kk d) f() = j 3j + j + j 3
4 e) f() = f) f() = kk g) f() = jj 7. y = fonksiyonunun gra ¼ginden yararlanarak, y = ; y =, y =, y =, y = fonksiyonlar n n gra ¼gini çiziniz.. y = fonksiyonunun gra ¼ginden yararlanarak y = fonksiyonunun gra ¼gini çiziniz. (y = ( + 3) + ) 9. Bir taraf duvar olan dikdörtgensel bir kümes yamak isteyen bir çifçiye duvar boyamak için lira ve di¼ger üç kenar n çitini çekmek için metresine 5 lira maliyet ç kar l yor. Öte yandan çiftçinin bu iş için ay rd ¼g ara 0 lirad r. Kümesin duvara yaslanan kenar metre ve di¼ger kenar y metre oldu¼guna göre en büyük alana sahi kümesin boyutlar ne olmal d r? 0. f() = + + ve g() = + olsun. f g; g f; f f; g g fonksiyonlar ile bunlar n tan m kümelerini bulunuz.. f R! R bir fonksiyon olsun. Bu durumda g() = g nin bir tek fonksiyon oldu¼gunu gösteriniz. f() f( ) ile verilen. [] numaral kaynak. Sayfa -, Problemler,, 5-, -9, [] numaral kaynak. Sayfa 6-7, Problemler -5.. [] numaral kaynak. Sayfa -3, Problemler 9-, 3-3, 37-5, [] numaral kaynak. Sayfa -3, Problemler 9-, -0, f() = cos + sin fonksiyonu eriyodik midir? Araşt r n z. Bu fonksiyonun çift veya tek olu olmad ¼g n araşt r n z. 7. f ve g verilen iki fonksiyon ve bileşkeleri h = f g olsun. (a) g çift fonksiyon ise h daima çift midir? Aç klay n z. (b) g tek fonksiyon ise h daima tek midir? Aç klay n z. q. f () = 3 ve g () = arcsin fonksiyonlar n n tan m kümesini bulunuz. 9. f() = ln( ) fonksiyonunun en geniş tan m kümesini bulunuz. 3 kk 0. f ( ; +tan )! R, f() = ln( tan ) ile tan ml fonksiyonun tek veya çift olu olmad ¼g n araşt r n z.. f() = arcsin(log ) fonksiyonunun en geniş tan m kümesini bulunuz.
5 L IM IT VE SÜREKL IL IK. Aşa¼g daki itleri hesalay n z. a) h!0 5h+ h = 5 b)! = c)! 3 = 3 d)! = 3 e)! = 6. f() = kk fonksiyonunun = ve = 3 olmad ¼g n araşt r n z. noktalar nda itinin olu 3. Aşa¼g daki itleri hesalay n z. a)!0 kk = b)! + kk = c)!0 + = d)!3 + k k 9 3 = 0 e)!0 (+) = f)! = 5 g) ++ +! = 0 h)! ( + + 5) = )! ksin k = 0 ksin k i)!0 + sin = 0 j) sin!0 + +sin = 0 k)!0 + cos = 0 l)!0 + sin sin = m)!0 sin( ) = 0 n)!0 cos( 3 ) = 0 o)!0 3 sin( ) = 0 ö)! sin = 0 )! (kk + k k) = r)!0 cos = 0 5
6 cos s)!0 = ş)!0 sin( cos ) = t) sin tan!0 = 3 3 +sin +tan = 3 u)!0 ü)!0 cos 3 3 cos 3 = 5 v)!0 sin 3 = 3 y)!0 tan sin 5 = 5 arcsin z) 6! = 3 3. Aşa¼g daki itleri hesalay n z. sin a) sin y!y y = y Çözüm sin olaca¼g ndan sin y = t diye. O zaman! y ) t! 0 olur. Ayr ca = sin(t + sin y) = sin t cos(sin y) + sin(sin y) cos t = y sin t + y cos t!y sin sin y y = t!0 t y sin t + y cos t y = = y t!0 y sin t t + y cos t t bulunur. tan! = b) arctan arctan y!y y = y + c) tan d)! = sin( )! = e) sin f)!9 sin 3 9 = 6 cos 3 6
7 j j j + j g) =!0 cos ( + ) + h) = 0!0 cos () )! = 70 i)!0 arctan () = j)! cos = k)!0 sin () sin = 3 Çözüm Aşa¼g daki n ş kk nda sin!0 = 3 6 eşitli¼ginin sa¼gland ¼g gösterilmektedir. Bu bilgi kullan larak sin () sin!0 = bulunur. sin l)! + cos (3) = 9 m) 3 3 +! n)!0 csc = 3!0 sin () + sin sin () sin =!0 +!0 = (sin )(sin + ) t sin t!0 3 + t!0 t = sin t sin t!0 3 + t!0 t 3 t = ( 6 ) + 0 = 3 7
8 Çözüm!0 csc =!0 sin =!0 sin sin ( sin )( + sin ) =!0 sin sin =!0 3!0 sin!0 =!0 sin 3 + sin olur. Şimdi!0 sin 3 iti için = 3t diye. O zaman! 0 ) t! 0 olur. Ayr ca sin(3t) = 3 sin t sin 3 t oldu¼gundan!0 olur. Bu durumda olu bulunur. Sonuçta elde edilir. o)!0 cos 3 cot = ö)!0 tan(3 sin ) = 6 sin( +)!0 ) = sin 3t 3 sin t + sin 3 t 3 = t!0 7t 3 ( r)! ( 3 ) = e 6 s)!0 e = = 9 t t!0 = 9 t t!0 9 )!0!0 sin t sin 3 t t 3 + t!0 7t 3 sin t t sin 3 = 7 sin 3 = 6!0 csc sin =!0 3 = 3
9 Çözüm e = t diye. O zaman! 0 ) t! 0 olur. Ayr ca = ln(+t) olur. Böylece olur. e!0 ş)! ( ) tan = t) sin! tan( ) = = t!0 t ln( + t) = t!0 t = t!0 = ln( + t) ln( + t) t ln e = 5. a+b!0 = eşitli¼gini sa¼glayan a ve b de¼gerlerini bulunuz. 6. f R! R sürekli bir fonksiyon olsun. oldu¼guna göre f(0) nedir? f() = 3!0 7. f() = ( + ) sin olsun. f(c) = olacak şekilde bir c reel say s n n var oldu¼gunu gösteriniz.. f R! R sürekli bir fonksiyon olsun. 6= 3 için jg()j f() ve f(3) = 0 ise!3 g() itini hesalay n z. < a + b ; 0 9. f() = + 3a b 0 < şeklinde tan ml fonksiyonun her 3 5 ; > yerde sürekli olmas için a ve b ne olmal d r? sin a < ; > 0 0. f() = b ; = 0 şeklinde tan ml fonksiyonun 0 da sürekli cos c ; < 0 olmas için a; b ve c aras nda nas l bir ilişki olmal d r?. Aşa¼g da verilen fonksiyonlar n = 0 da sürekli olu olmad klar n araşt r n z. < sin ; 6= 0 a) f() = 0 ; = 0 9
10 < sin ; 6= 0 b) g() = 0 ; = 0 f(+) f() f(+) f( ).!0 = ise!0 =? < a kk ; > 3. f() = olsun. f nin = de sürekli olmas a cos ; < için f() nas l tan mlanmal d r. sin( ). f() = 3 olsun. 6= için f() = g() olmak üzere = noktas nda sürekli olan bir g fonksiyonu bulunuz. 5. f() = cos fonksiyonunun her yerde sürekli oldu¼gunu gösteriniz. 6. cos = denkelminin (0; ) aral ¼g nda bir kökünün var oldu¼gunu gösteriniz. 7. ln = e denkleminin (; ) aral ¼g nda bir kökünün var oldu¼gunu gösteriniz. < + ; < 0. f() = e ; 0 fonksiyonunun süreksiz oldu¼gu noktalar ; > bulunuz. Bunlar n hangisinde f soldan, sa¼gdan sürekli veya süreksizdir. f nin gra ¼gini çiziniz. 9.!9 5 = oldu¼gunu matematiksel tan m kullanarak gösteriniz. 0. f() = fonksiyonunu 0 noktas ndaki itinin olmad ¼g n uygun bir " > 0 seçi matematiksel tan m kullanarak gösteriniz.. Aşa¼g daki itleri hesalay n z. a)!0 n + = n b)!0 3 + = 3 c)! + = 0 d)! + ( ) = e) n! n + n + = 0 f)! + + = g)!0 ln(+) = h)!0 sin cos ln(tan ) = 0 h)! cos = 0
11 )!0 sin cos = i)! j)! k)! l)! sin sin cos = 0 tan cos = cos = cos tan = i)!0 (+) = j)!0 cos cos = k)!0 sin 3 = 6 L =!0 sin 3 = t!0 3t sin 3t 7t 3 = 3t 3t 3 sin t sin 3 t = t!0 7t 3 sin 3t = 3 sin t sin 3 t = 9 t t!0 = 9 L 7 =) L = 6 sin t t 3 7 t!0 sin 3 t t 3 l)!0 sin = 0 v)!0 tan 3 = 3!0 y)!0 sin tan =!0 tan tan 3 =!0 sin sin 3 + sin 3 tan sin sin =!0 3 +!0 {z 3 } = =6 = = tan =!0 6 +!0 6 + = 3 sin {z } =!0 sin 3 3 tan = cos {z } =!0 cos {z } = ( 3) = 6
12 l)!0 +cos + 3 sin = 6 m)!0 ( sin ) = 3 + n)! = e sin 6 o)!0 sin = 3 ö)!0 + = )!0 +sin = r)! + = 0 s)! + = 0 ş)!0 tan( cos ) = t) n! ( n ) ( n )3 = 3 ln(+) u)!0 = cos 3 cos ü)!0 tan = z)! tan = = oldu¼gunu gösteriniz. Bunu kullanarak aşa¼g daki it- cos.!0 leri hesalay n z. a)!0 cos(sin ) 3 = 6 b)!0 cos 3 sin = 3 c)!0 ( cos ) sin 3 = d)!0 cos 3 e)!0 + tan 3 = tan sin 3 ( cos ) = f)!0 sin sin 3 tan = 3 g)!0 tan( cos ) cos(sin ) = h)!0 sin cos = )!0 sin cos = i)! cos( ) cos( ) = j)!0 cos(sin ) sin (sin 3) = 9
13 3.!0 sin(3 ) = ln 3 oldu¼gunu gösteriniz. sin (3 )!0 =!0 sin ( 3 ) sin ( 3 ) 3 =!0 3 3 =!0 = 3!0 (3 = t) = t t!0 log 3 ( + t) = t!0 log 3 ( + t) t = log 3 e = ln 3 5 TÜREV VE UYGULAMALARI. Aşa¼g daki fonksiyonlar n türevlerini bulunuz. a) f () = cot (sin ) b) f () = tan +. y = = 3= e¼grisinin hangi noktas ndaki te¼get do¼grular ya yatay yada dikeydir? Aç klay n z. 3. Aşa¼g daki fonksiyonlar n e¼ger varsa karş lar nda yaz l noktalardaki türevlerini hesalay n z. Fonksiyonlar bu noktalarda sürekli midirler? f() = j j, a = f() = kk, a = f() = jj, a = 0 f() = kk, a = 0 < kk ; > 0 f() =, a = 0 ; 0 < sin( ) ; 6= 0 f() =, a = 0 0 ; = 0 < sin( ) ; 6= 0 f() =, a = 0 0 ; = 0 3
14 . Aşa¼g daki fonksiyonlar n karş lar nda yaz l noktalardaki türevlerini hesalay n z. f() = ( + ) 3, = f() = ( + ) 50, = f() = ( + )0, = 0 f() = +, = 0 q f() = +, = f() = +, = f() = 3 + 3, = 0 5. f() = 3 + fonksiyonu için (f ) 0 (5) =? f() 6. f(0) =,!0 = ve g() = ( + 3) f() olsun. g 0 (0) =? < g() cos 7. g(0) = g 0 ; 6= 0 (0) = 0 ve f() = olsun. f 0 (0) de¼gerini 0 ; = 0 bulunuz.. y = 3 + e¼grisi üzerinde te¼getin yatay oldu¼gu noktalar bulunuz. 9. Hangi de¼gerleri için f() = fonksiyonunun gra ¼ginin yatay te¼geti vard r? 0. y = e¼grisinin, e¼gimi olan bir te¼get do¼grusu olmad ¼g n gösteriniz.. y = + e¼grisinin hangi noktas ndaki te¼geti orijinden geçer?. y = arabolünün (0; ) noktas ndan geçen iki te¼get do¼grusu oldu¼gunu şekil çizerek gösteriniz. Bu iki te¼get do¼grusunun arabol ile kesişti¼gi noktalar n koordinatlar n bulunuz. 3. (; 3) noktas ndan geçen ve y = + arabolüne te¼get olan do¼grular n denklemini bulunuz.. Bir C e¼grisinin P noktas ndaki normal do¼grusu, P den geçen ve C nin P noktas ndaki te¼getine dik olan do¼gru olarak tan mlan r. Buna göre y = e¼grisinin (; 3) noktas ndaki normal do¼grusunu bulunuz. 5. y = arabolünün (; 0) noktas ndaki normal do¼grusu, arabol ile ikinci kez nerede kesişir? 6. Hangi a ve b de¼gerleri için + y = b do¼grusu y = a arabolüne = asisli noktada te¼gettir. 7. Gra ¼ginin ( ; 6) ve (; 0) noktalar ndaki te¼getleri yatay olan ve y = a 3 + b + c + d biçiminde verilen olinomu bulunuz.
15 . y-ekseni üzerinde kesişen iki do¼grunun, y = arabolüne te¼get oldu¼gu bir şekil çiziniz. Bu do¼grular hangi noktada kesişir. 9. Türev yard m yla 5 ve 7 nin yaklaş k de¼gerini hesalay n z. 0. d d f() = ise f 0 () =?. y =, e¼grisinin hangi noktadaki te¼geti ya yatay yada dikeydir.. f() = + e¼grisinin ( ; ) noktas ndaki te¼getini bulunuz. E¼gri ile te¼geti ayn düzlemde çiziniz. 3. h() =, h 0 () = 3 ise d h() d j = =?. f() = + e¼grisine te¼get olan do¼grulardan kaç tanesi (; ) noktas ndan geçer? Bu do¼grular e¼griye hangi noktada te¼gettir. 5. y = + e¼grisinin, y = do¼grusuna aralel olan te¼get do¼grular n n denklemini bulunuz. 6. y = + a + b ve y = c e¼grileri (; 0) noktas nda ortak te¼get do¼grusuna sahitir. a; b ve c say lar n bulunuz. < a + b ; > 7. f() = fonksiyonunun her yerde türevlenebilir b 3 ; olmas için a ve b ne olmal d r?. Aşa¼g daki fonksiyonlar n türevlerini hesalay n z. f() = tan f() = sin +cos f() = tan f() = sin +cos f() = tan sec f() = cos sin sin +cos 9. y = cos e¼grisinin (; ) noktas ndaki te¼getinin denklemini bulunuz. 30. y = sin(sin ) e¼grisinin (; 0) noktas ndaki te¼getinin denklemini bulunuz. 3. y = sec cos e¼grisinin ( 3 ; ) noktas ndaki te¼getinin denklemini bulunuz. 3. Hangi de¼geri için f() = + sin e¼grisinin yatay te¼geti vard r. 33. y = cos +sin e¼grisi üzerinde te¼getin yatay oldu¼gu noktalar bulunuz. 5
16 3. Zincir kural yard m yla aşa¼g daki fonksiyonlar n türevini hesalay n z. f() = sin 3 f() = tan 3 + cos( + ) f() = (tan ) 5 f() = cos(sin ) f() = tan(sin ) f() = sin(sin(sin )) q f() = + + f() = 3 tan3 f() = ( 3 cos ) 3 f() = sin ( ) 3 tan cos 6 yi yaklaş k olarak hesalay n z. (6 = olu = 90 al n z) 36. cos 3 ve sin 3 yi yaklaş k olarak hesalay n z. 37. Zincir kural n da dikkate alarak aşa¼g daki fonksiyonlar n türevini hesalay n z. f() = ln( 3 + ) f() = ln + f() = ln(sin ) f() = ln f() = ln jj cos 5 f() = q +cos cos f() = ln(e + e ) f() = e 3 ln f() = e arctan f() = ( + ) f() = sin f() = (ln ) ln f() = ln 3. ve y reel say lar olmak üzere f fonksiyonu denklemini sa¼glas n. Ayr ca, f ( + y) = f () + f (y) + y + y verilsin. f()!0 = 6
17 f (0) de¼gerini bulunuz. f 0 (0) de¼gerini bulunuz. f 0 () fonksiyonunu bulunuz. 39. f, g, f 0 ve g 0 fonksiyonlar için aşa¼g daki de¼gerler tablosu verilmiştir. f () g () f 0 () g 0 () h () = f (g ()) ise h 0 () de¼gerini bulunuz. H () = g (f ()) ise H 0 () de¼gerini bulunuz. 0. y = e¼grisi üzerinde ortak te¼get do¼grusuna sahi noktalar varsa bulunuz. Cevab n z n Aşamalar n z belirtiniz.. Aşa¼g daki sorular cevalay n z. f () = sin fonksiyonunun artan/azalan oldu¼gu aral klar bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. y = cos ( + y) ise kaal türevleme yard m yla y nin üçüncü türevi y 00 nin ; 0 noktas ndaki de¼gerini bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz.. y = arabolü üzerinde bulunan (; ) noktas na en yak n noktay bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. 3. f () = =3 =3 fonksiyonu veriliyor. f () in [ ; 6] kaal aral ¼g ndaki mutlak ekstremum de¼gerlerini bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. f () = 0 denkleminin çözümleri say s n bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz.. sin (y) + = ise kaal türevleme yard m yla y nin üçüncü türevi y 000 nin (; 0) noktas ndaki de¼gerini bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. 5. y = arabolü üzerinde bulunan (0; ) noktas na en yak n noktay bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. 6. y = 3 =3 e¼grisinin gra ¼gini tüm aşamalar belirterek çiziniz. 7. y = a + b + c arabol e¼grisi (; 5) noktas ndan geçmektedir. Ayr ca, bu arabol e¼grisinin = noktas ndaki te¼getinin e¼gimi ve = noktas ndaki te¼getinin e¼gimi oldu¼gu biliniyor. a; b ve c sabitlerini bulunuz. 7
18 . a ve b sabitlerinin hangi de¼gerleri için (; 6) noktas y = 3 + a + b + e¼grisinin bir büküm noktas d r? Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. 9. (5) ün yaklaş k de¼gerini türev yard m yla hesalay n z. 50. Aşa¼g daki şekilde aç s n maksimum yaabilmek için P noktas AB do¼gru arças üzerinde nereye yerleştirilmelidir? Aç klay n z. 5 A O 3 P B 5. f () = + 3 =3 e¼grisinin gra ¼gini çiziniz y 3 = y denklemi veriliyor. Önce kaal türevleme yöntemiyle dy=d bulunuz. Daha sonra bu denkleminin gra ¼ginin (; ) noktas ndaki te¼getinin denklemini yaz n z. 53. f () = arcsin fonksiyonu veriliyor. f fonksiyonunun tan m kümesini bulunuz. f fonksiyonunun türevini bulunuz. 5. Aşa¼g daki itleri bulunuz.!! sin + cos (3) y = e¼grisinin hangi noktalar ndaki te¼geti en küçük e¼gime sahitir? Aç klay n z. 56. f () = sin cos (), 0 fonksiyonunun artan, azalan oldu¼gu aral klar bulunuz. 57. c nin hangi de¼gerleri için P () = + c 3 + olinom fonksiyonu iki büküm noktas na sahitir? Aç klay n z. 5. Aşa¼g daki itleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz.
19 !0 csc! a b (a; b reel sabit) 59. f () = a 3 + b + c + d fonksiyonu ( ; 3) noktas nda yerel maksimuma ve (; 0) noktas nda yerel minimuma sahitir. a; b; c ve d reel sabitlerini bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. 60. y = ( ) =3 e¼grisinin gra ¼gini çiziniz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. < kk ; 0 6. f() = fonksiyonu için f 0 (0) var m d r? Varsa bulunuz. ; < 0 < sin ; 0 < ; < 6. f() = ve g() = olsun. (f g) 0 () =? cos ; < 0 f(+) f() f(+) f( ) 63.!0 = ise!0 =? 3 3 ; 6. y = + e¼grisinin (; ) den geçen te¼getlerinin denklemlerini bulunuz. 65. y = 3 + e¼grisinin aşa¼g da verilen noktalardan geçen te¼geti var m d r? Varsa bulunuz. (0; ) (0; ) 66. f() = 5 + olsun. (f ) 0 () =? 67. y = 3 3 e¼grisinin orijinden geçen te¼geti var m d r? Varsa bulunuz. 6. y = e¼grisinin ( ; ) noktas ndan geçen te¼geti var m d r? Varsa bulunuz. 69. y = jj eşitli¼gi ile verilen y = f() e¼grisinin (; 3) noktas ndan geçen te¼geti varsa bulunuz. 70. y = ( )(kk + k k) eşitli¼gi ile verilen y = f() e¼grisinin (; 0) noktas ndan geçen te¼geti varsa bulunuz. 7. y = jj + jj 7. y = e¼grisini çiziniz., y = y = ( ) 3 e¼grisini çiziniz., y = e¼grilerini çiziniz. ( ) 9
20 7. f() = 3 ve g() = 3 e¼grilerinin artan, azalan oldu¼gu aral klar, konveks, konkav oldu¼gu aral klar bulunuz. < ; < f() = fonksiyonunun yerel etremum noktalar n bulunuz. Bu fonksiyonunu [ ; ] aral ¼g ndaki etremum de¼gerlerini hesalay n z. Ayn soruyu [ ; ] aral ¼g için cevalay n z. < ; < 0 < + ; < f() = ve f() = fonksiyonlar n n artan, azalan oldu¼gu aral klar, konveks, konkav oldu¼gu aral klar 0 0 bulunuz. Bu fonksiyonlar n yerel etremum noktalar var m d r? Varsa bulunuz. 77. f() = sin 3, f() = cos fonksiyonlar için f (n) () türevini hesalay n z. 7. f() = ve g() = jj olsun. Bu durumda (f g)() = ve (g f)() = dir. g fonksiyonu = 0 noktas nda türevlenemez olmas na ra¼gmen f g ve g f fonksiyonlar bu noktada türevlenebilirdirler. Bu durum zincir kural ile çelişir mi? Neden? 79. y = jj e¼grisinin (; ) noktas ndaki te¼getinin denklemini bulunuz. < sin ; 6= 0 0. f() = 0 = 0 fonksiyonu için f 00 (0) var m d r? Varsa hesalay n z y 3 + ( )y = 0 ile verilen y = f() için y 00 () var m d r? Varsa bulunuz.. Taban yar ça 6 cm yüksekli¼gi 0 cm olan bir koninin içine yerleştirilebilen maksimum hacimli silindirin hacmi ne olur? 3. Hiotenüsü 3 birim olan bir dik üçgen dik kenarlar ndan biri etraf nda döndürülüyor. Oluşan koninin hacmi en fazla ne olur?. (; 0) noktas n n y = e¼grisine olan uzakl ¼g n hesalay n z. 5. Yar ça 6 cm olan küre içine yerleştirilebilen bir dik koninin hacmi en fazla ne olur? 6. Taban yar ça 6 cm yüksekli¼gi cm olan bir koninin içine bir başka koni ters ve tabanlar aralel olacak şekilde yerleştiriliyor. Yerleştirilen koninin taban yar ça ve yüksekli¼gi ne olmal d r ki hacmi en fazla olsun. 7. Yar ça cm olan bir yar çemberin içine bir diktörtgen yerleştirilecektir. Bu dikdörtgenin alan en fazla ne olur. 0
21 References [] James Stewart, Kalkülüs. [] George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel R. Hass, Thomas Kalkülüs, Cilt.
SORULAR. 1. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim. 1 n sin. lim. q 1 x 1+x
SOULA. Aşa¼g daki limitleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. lim! lim sin(t )dt sin 4 np n! i= n sin i n. q + arcsin belirli integralini hesalay n z. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. 3. 4
Detaylı2010 oldu¼gundan x 2 = 2010 ve
) 444400 say s ndaki rakamlar n yerleri de¼giştirilerek 7 basamakl kaç farkl say yaz labilir? Çözüm : Bu rakamlar n bütün farkl 7 li dizilişlerinin say s 7! olacakt r. Bu dizilişlerin 4!! soldan ilk rakam
DetaylıFinal sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 21, 25, 27, 28, 29, 30, 33-b.
Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir:,,,, 5, 6, 7, 9,,, 5, 7, 8, 9,, -b. MAT -MATEMATİK (- GÜZ DÖNEMİ) FİNAL ÇALIŞMA SORULARI. Tabanı a büyük eksenli, b küçük eksenli elips ile sınırlanan
Detaylımat 103. Çal şma Sorular 1
mat 0. Çal şma Sorular. FONKS IYONLA. Aşa¼g daki kurallarla verilen fonksiyonlar n gra klerini çiziniz. (a) f() 4 jj (b) f() jj (c) f() 4 jj (ç) f() j j (d) f() j j (e) f() j j (f) f() j j. Aşa¼g daki
Detaylı1) 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etraf nda, anne ile baban n yan yana oturmamas koşulu ile kaç farkl biçimde oturabilir?
) 6 kişilik bir aile yuvarlak bir masa etraf nda, anne ile baban n yan yana oturmamas koşulu ile kaç farkl biçimde oturabilir? Çözüm: Önce, anne ile baban n yan yana oturma durumunu düşünelim. Anne ile
Detaylı12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?
. SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)
Detaylıfonksiyonu, her x 6= 1 reel say s için tan ml d r. (x 1)(x+1) = = x + 1 yaz labilir. Bu da; f (x) = L
Limit Bu bölümde, matematik analizde temel bir görevi olan it kavram incelenecektir. Analizdeki bir çok problemin çözümünde it kavram na gereksinim duyulmaktad r. Bunlardan baz lar ; bir noktada bir e¼griye
DetaylıMATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ
NM 1 MTMTÝK OMTRÝ NMLRÝ 1. o o = 75 ve y = 5 olduğuna göre,. 3 + 8 = 0 sin( y)cos( + y) + sin( + y)cos( y) sin( y)sin( + y) cos( + y)cos( y) denkleminin kaç tane farklı reel kökü vardır? ifadesinin eşiti
DetaylıMat Matematik II / Calculus II
Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x
Detaylı1. Hafta Uygulama Soruları
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
Detaylı1999 ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI B IR INC I AŞAMA SORULARI
1999 ULUSL NTLY MTMT IK L IMP IYTI IR IN I ŞM SRULRI Lise 1- S nav Sorular 1. f1; ; 3; :::; 1999g kümesinin, eleman say s tek say olan kaç tane alt kümesi vard r? ) 1999 ) 1998 ) 1998-1 ) 999 ) hiçbiri.
DetaylıLYS YE DOĞRU MATEMATİK TESTİ
MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 75 dakikadır.. a, b ve c birer rakam
DetaylıAnaliz III Ara S nav Sorular 24 Kas m 2010
Analiz III Ara S nav Sorular 24 Kas m 2010 1 Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) R n uzay n n aç k olmayan her alt kümesi kapal d r. (b) A = fx 2 [0; 1]
Detaylı7. f(x) = 2sinx cos2x fonksiyonunun. π x 3 2 A) y = 9. f(x) = 1 2 x2 3x + 4 eğrisinin hangi noktadaki teğetinin D) ( 10 3, 4 9 ) E) ( 2 3, 56
, 006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir@ahoo.com.tr Türev TEST I 7. f() = sin cos fonksionunun. f()= sin( + )cos( ) için f'() nin eşiti nedir? A) B) C) 0 D) E) için erel minimum değeri nedir? A) B)
Detaylı2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.
ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var
DetaylıMAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ
1 MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ En büyük veya en küçük olması istenen değer (uzunluk, alan, hacim, vb.) tek değişkene bağlı bir fonksiyon olacak şekilde düzenlenir. Bu fonksiyonun türevinden ekstremum noktasının
Detaylı1998 ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI B IR INC I AŞAMA SORULARI
1998 ULUSL NTLY MTEMT IK OL IMP IYTI IR INC I ŞM SORULRI Lise 1- S nav Sorular 1. T = 1! +! + 3! + ::: + 1997! + 1998! toplam n n son iki basama¼g ndaki rakamlar n toplam kaçt r? ) 13 ) 9 C) 6 D) E) Hiçbiri.
DetaylıMAT MATEMATİK I DERSİ
MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital
DetaylıAd ve Soyad : Numaras : Analiz III Aras nav Sorular
Analiz III Aras nav Sorular 30. 11. 2006 1. (a) A = fx 2 R : x 2 4x 5 < 0g ise sup A =? (b) A R boş olmayan ve üstten s n rl bir küme olsun. > 0 ise sup(a) = sup A oldu¼gunu gösteriniz. 2. A = f(x; y)
DetaylıYARDIRMALI MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ
YRIRMLI MTEMTİK TÜREV FSİKÜLÜ Maksimum-Minimum Problemleri MESUT ERİYES MKSİMUM - MİNİMUM PROLEMLERİ Maksimum ve minimum problemlerini çözmek için şu kurallar ugulanır; 1) Maksimum a da minimum olması
DetaylıLYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal
DetaylıMAT MATEMATİK I DERSİ
MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital
DetaylıFONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular
Ad ve Soyad : Numaras : FONKS IYONEL ANAL IZE G IR IŞ I Aras nav Sorular 30.11.2007 1. Aşa¼g daki ifadelerin do¼gru olup olmad klar n nedenlerini aç klayarak yaz n z. (a) (X; kk) bir normlu uzay ve M bunun
DetaylıMatematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3
Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =
DetaylıArtan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol Artan ve Azalan Fonksiyonlar Tanım: a,b aralığında tanımlı bir onksiyonu verilsin., a,b ve için, ise onksiyonu a,b aralığında artan, ise
DetaylıGEOMETR 7 ÜN TE V KÜRE
ÜN TE V KÜRE 1. KÜRE a. Tan m b. Bir Kürenin Belirli Olmas c. Bir Küre ile Bir Düzlemin Ara Kesiti 2. KÜREN N ALANI 3. KÜREN N HACM 4. KÜREDE ÖZEL PARÇALAR a. Küre Kufla I. Tan m II. Küre Kufla n n Alan
DetaylıGEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R
ÜN TE III S L ND R 1. S L ND R K YÜZEY VE TANIMLAR 2. S L ND R a. Tan m b. Silindirin Özelikleri 3. DA RESEL S L ND R N ALANI a. Dik Dairesel Silindirin Alan I. Dik Dairesel Silindirin Yanal Alan II. Dik
Detaylı20. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI SORULARI A A A A A A A
KDEN IZ ÜN IVERS ITES I 20. ULUSL NTLY MTEMT IK OL IMP IYTI SORULRI DI SOYDI :...CEP TEL :... OKUL...ŞEH IR :... SINIF :...Ö ¼GRETMEN :... eposta :... IMZ :... SINV TR IH I VE ST I : 3 May s 2015 - Pazar
Detaylı25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?
. f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )
DetaylıMAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM
TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. 10+10 p.) 2. 15 p.) 3. 7+8 p.) 4. 15+10 p.) 5. 15+10 p.) TOPLAM 1. a) NOT: Tam
DetaylıSDÜ Matematik Bölümü Analiz-IV Final S nav
Dersin Kodu: MAT0 Dönemi: 00-0 Bahar Tarihi: 0.0.0 Saat:. 00 Yer: Am III-IV Süre: 90 Dakika Dersin Sorumlusu Gözetmenler SDÜ Matematik Bölümü Analiz-IV Final S nav : Prof. Dr. Seril PEHL IVAN : Araş. Gör.
Detaylı2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu
.SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Matematk Deneme Sınavı. abba dört basamaklı, ab iki basamaklı doğal saıları için, abba ab. a b eşitliğini sağlaan kaç farklı (a, b) doğal saı ikilisi vardır? 7 olduğuna göre, a b toplamı kaçtır? 9.,,
DetaylıMATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.
MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı
DetaylıTürev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV
Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm
Detaylıπ a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) 7 Haziran 7 Matematik II Soruları ve Çözümleri. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * ( + i) işleminin sonucu
Detaylı1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak
DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak
DetaylıEKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm:
EKSTREMUM PROBLEMLERİ Ekstremum Problemleri Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun alabileceği en büyük (maksimum değer ya da en küçük (minimum değer bulunmak istenir. İstenen çokluk bir değişkenin
DetaylıTRİGONOMETRİ Test -1
TRİGONOMETRİ Test -. y. y K O O. nalitik düzlemde verilen O merkezli birim çemberde hangi noktanın koordinatları (0, ) dir? (O noktası orijindir.) O y [OK] açıortay olmak üzere, nalitik düzlemde verilen
DetaylıÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler
ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir
DetaylıMATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre,
MTMT K TST KKT! + u testte 80 soru vard r. + u test için ar lan cevaplama süresi 5 dakikad r. + evaplar n z, cevap ka d n n Matematik Testi için ar lan k sma iflaretleiniz.. a, b, c pozitif reel sa lard
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Matematk Deneme Sınavı. Üç basamaklı doğal saılardan kaç tanesi, 8 ve ile tam bölünür? 8 9. ile in geometrik ortası z dir. ( z). ( z ). z aşağıdakilerden hangisidir?. 9 ifadesinin cinsinden değeri
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel
Detaylıİçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1...
İçindekiler. Türev......... Türev kavramı.. 00. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 00. Alıştırmalar.... 005. Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan türevi..... 006.4 Bir fonksiyonun bir noktadaki
DetaylıLys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2
1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.
DetaylıÇalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x
Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4
DetaylıLYS Y ĞRU MTMTİK TSTİ. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.., y reel sayılar
Detaylı12-B. Polinomlar - 1 TEST. olduğuna göre P(x - 2, y + 4) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? olduğuna göre A B kaçtır? A) 78 B) 73 C) 62 D 58 E) 33
-B TEST Polinomlar -. Py _, i= y- y + 5y- olduğuna göre P( -, y + ) polinomunun katsayılar toplamı. - 6 = A - 5 + - + B - olduğuna göre A B 78 B) 7 6 D 58 E) B) D) - E) -. -a- b = _ + -5i_ -ci eşitliğine
Detaylı2014 LYS MATEMATİK. P(x) x 2 x 3 polinomunda. 2b a ifade- x lü terimin. olduğuna göre, katsayısı kaçtır? değeri kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4.
04 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsayısı kaçtır? 4 lü terimin. ifadesinin değeri kaçtır? 4. yy y 4y y olduğuna göre, + y toplamının değeri kaçtır?
DetaylıDİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan
Detaylı; k = 1; 2; ::: a (k)
Analiz III Ara S nav 2 Kas m 2 x k = ; 2 ; :::; ; k = ; 2; ::: olmak üzere (x k ) R dizisi veriliyor. ; dizi ise (x k ) dizisi de yak nsak olur. Ispatlay n z. 2 ; :::; 2 A; B R olsun. A B ise A B olur
DetaylıÖ.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ
Ö.S.S. 7 MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * (+i) işleminin sonucu nedir? A) + 8i B) - 8i C) 8 + i
Detaylı2014 LYS GEOMETRİ 3. A. parabolü ile. x 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır?
014 LYS GOMTRİ 1. y 1 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır? parabolü ile. O merkezli çeyrek çemberde O deltoid olduğuna göre, taralı alan kaç birim karedir? O. d:y a b doğrusu -ekseni
Detaylı9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR
TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme
Detaylı1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7
998 ÖYS. Üç basamaklı bir doğal sayısının 7 katı, iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir? orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı
DetaylıMAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI
MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI SORU 1. Köşeleri (1,4) (3,0) (7,2) noktaları olan ABC üçgeninin bir ikizkenar dik üçgen (İpucu:, ve vektörlerinden yararlanın) SORU 2. Bir ABC üçgeninin
DetaylıOrtak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI
Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN
Detaylı7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I
7 TAYLOR SER I GÖSTER IMLER I Bir f fonksiyonu analitiklik bölgesi içinde f () X a n ( 0 ) n şeklinde bir kuvvet serisi gösterimine sahiptir. E¼ger a n f (n) ( 0 ) seçilirse bu kuvvet serisi Taylor serisi
DetaylıT.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının
Detaylı8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I
8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I Tan m. C n ; n 0; ; ; : : : kompleks sabitler olmak üere serisine Laurent serisi denir. Burada n X C n ( X X X C n ( 0 ) n a n ( 0 ) n b n + ( 0 ) n 0 ) n dir. Teore8.. (Laurent
DetaylıMATEMATİK 2 TESTİ (Mat 2)
MTEMTİ TESTİ (Mat ). u testte srasyla, Matematik ( ) Geometri ( 0) ile ilgili 0 soru vardr.. evaplarnz, cevap kâğdnn Matematik Testi için ayrlan ksmna işaretleyiniz.. armaşk saylar kümesi üzerinde işlemi,
DetaylıT.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının
DetaylıAKDEN IZ ÜN IVERS ITES I 21. ULUSAL ANTALYA MATEMAT IK OL IMP IYATI SORULARI
KDEN IZ ÜN IVERS ITES I 21. ULUSL NTLY MTEMT IK OL IMP IYTI SORULRI DI SOYDI :...CEP TEL :... OKUL...ŞEH IR :... SINIF :...Ö ¼GRETMEN :... eposta :... IMZ :... SINV TR IH I VE ST I : 14 May s 2016 - Cumartesi
DetaylıTEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28)
TEMEL KAVRAMLAR 6. a ve b birer do al say r. a b = 19 oldu una göre, a + b toplam (YANIT: 8) 1. ( 4) ( 1) 6 1 i leminin sonucu (YANIT: ). ( 6) ( 3) ( 4) ( 17) ( 5) :( 11) leminin sonucu (YANIT: 38) 7.
DetaylıGEOMETR 7 ÜN TE IV KON
ÜN TE IV KON 1. KON K YÜZEY VE TANIMLAR 2. KON a. Tan m b. Dik Dairesel Koni I. Tan mlar II. Dik Dairesel Koninin Özelikleri III. Dönel Koni c. E ik Dairesel Koni 3. D K DA RESEL KON N N ALANI 4. DA RESEL
DetaylıNÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 1 7! MATEMAT IKSEL ÖNB ILG ILER 1 / 15 Kaynaklar Nümerik Analiz-Bilimsel
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.112 Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak ya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms http://tuba.acikders.org.tr
DetaylıANAL IZ III Aras nav Sorular
Ad ve Soyad : Numaras : ANAL IZ III Aras nav Sorular 26.11.27 1. x 1 = p 3 ve x n+1 = p 3 + x n ; n = 1; 2; ::: biçiminde tan mlanan (x n ) dizisinin yak nsak oldu¼gunu gösteriniz ve limitini bulunuz.(2)
Detaylı(z z 0 ) n. n=1. Z f (z) dz = 2ib 1
0 RE IDÜ TEOR IS I Tan m. f fonksiyonu z 0 noktas nda ayr k singülerli¼ge sahip olsun. Bu durumda f fonksiyonu 0 < jz z 0 j < " bölgesinde X X f(z) = a n (z z 0 ) n b n + (z z 0 ) n Laurent seri aç l m
Detaylı11. SINIF. No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ TRİGONOMETRİ Yönlü Açılar Trigonometrik Fonksiyonlar
11. SINIF No Konular Kazanım Sayısı GEOMETRİ Ders Saati Ağırlık (%) 11.1. TRİGONOMETRİ 7 56 26 11.1.1. Yönlü Açılar 2 10 5 11.1.2. Trigonometrik Fonksiyonlar 5 46 21 11.2. ANALİTİK GEOMETRİ 4 24 11 11.2.1.
DetaylıÇalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x
Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: 4x > 9 b) x 4 < - c)
DetaylıYGS GEOMETRİ DENEME 1
YGS GTİ 1 G 1) G ) şağıdaki adımlar takip edilerek geometrik çizim yapıl- bir üçgen mak isteniyor = = m() = 7 o = 9 cm, = 1 cm, m() = 90 olacak şekilde dik üçgeni çiziliyor = eşitliğini sağlayan Î [] noktası
DetaylıPARABOL. Merkezil parabol. 2px. 2py F 0, 2 F,0. Şekil I. Şekil II. p Odağı F 2. Odağı F 0, Doğrultmanı x. Doğrultmanı y
ARABL Tanım: Düzlemde verilen sabit bir noktası ile bir d doğrusuna uzaklıkları eşit olan noktaların geometrik erine arabol denir. Sabit noktaa arabolün odağı; doğrua ise doğrultmanı denir. Merkezil arabol
DetaylıEĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. TRİGONOMETRİ 8 6 6.. Yönlü Açılar
Detaylı2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.
4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.
Detaylıx e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.
TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki
DetaylıMatematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.
- 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle
DetaylıBÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI YILLAR 966 967 968 969 97 97 97 975 976 977 978 980 98 98 98 98 985 986 987 988 989 990 99 99 99 99 995 996 997 998 006 007 ÖSS / ÖSS-I ÖYS / ÖSS-II 5 6 6 5
DetaylıTRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY
TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI
Detaylı1994 ÖYS. 6. x, y, z sıfırdan büyük birer tam sayı ve 2x+3y-z=94 olduğuna göre, x in en küçük değeri kaçtır?
99 ÖYS. Üç basamaklı abc sayısının birler basamağı tür. Birler basamağı ile yüzler basamağı değiştirildiğinde oluşan yeni sayı, abc sayısından 97 küçüktür. Buna göre, abc sayısının yüzler basamağı kaçtır?.,
DetaylıMATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 10
LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GOMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SORU KİTPÇIĞI 0 U SORU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SORULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik
Detaylı1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Yukar daki rakamlardan kaç tanesinde dikey do ru modeli vard r?
Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : 1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Do ru Düzlem Nokta 5. MATEMAT K TEST 19 Ifl n Do ru Do ru parças 2. Afla daki hangi do runun çizgi modeli
DetaylıDİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için
DetaylıMATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 08
LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SRU KİTPÇIĞI 08 U SRU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SRULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik Testi
DetaylıMATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.
MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu
DetaylıEĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. TRİGONOMETRİ 7 6 6.. Yönlü
Detaylı2006 ÖSS MAT 1 Soruları
006 ÖSS MT Soruları. a ve b sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere a ab. = = a b b olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? ) ) ) ) ) 0 5. 5 ( + ) ) ) 0 ) ) 6 ) 0 6. + +. a + 0 a + = ) ) ) 0 ) ) olduğuna
DetaylıNÜMER IK ANAL IZ. Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM. Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi
NÜMER IK ANAL IZ Bilimsel Hesaplama Matemati¼gi Nuri ÖZALP FONKS IYONLARA YAKLAŞIM Nuri ÖZALP (Ankara Üni.) NÜMER IK ANAL IZ BÖLÜM 4 7! FONKS IYONLARA YAKLAŞIM 1 / 21 1 Polinom Interpolasyonu Newton Formu
DetaylıÖrnek 1: 2 x = 3 x = log 2 3. Örnek 2: 3 2x 1 = 2 2x 1 = log 3 2. Örnek 3: 4 x 1 = 7 x 1 = log 4 7. Örnek 4: 2 x = 3 2 x 2 = 3
Soru : f(x) = log x 4 5 fonksiyonunun tanım aralığını bulunuz? a x = b eşitliğinde a ve b belli iken x i bulmaya logaritma işlemi denir. Üstel fonksiyon bire bir ve örten olduğundan ters fonksiyonu vardır.
Detaylı1996 ÖYS. 2 nin 2 fazlası kız. 1. Bir sınıftaki örencilerin 5. örencidir. Sınıfta 22 erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır?
996 ÖYS. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin saısı kaçtır? 8 C) 6 D) E) 6. Saatteki hızı V olan bir hareketti A ve B arasındaki olu
DetaylıÖSS MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ
ÖSS MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ GRAFİK ÇİZİMİ Bir fonksiyonun denklemi verilip grafiği istendiğinde aşağıdaki yolu izlemeliyiz. ) Fonksiyonun en geniş tanım kümesi bulunur. ) ± için fonksiyonun limiti bulunur.
DetaylıTÜREVİN ANLAMI Bu Konumuzda türevin fiziksel, geometrik anlamını ve Ekstremum olayını anlatacağız. İyi Çalışmalar... A. TÜREVİN FİZİKSEL ANLAMI Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı, fonksiyonu ile
Detaylı1995 ÖYS. a+ =3a a= Cevap:D. Çözüm: Çözüm: Çözüm:
99 ÖYS. a b c d ve a, b, c, d tek sayılar olmak üzere, abcd dört basamaklı en büyük sayıdır? Bu sayı aşağıdakilerden hangisine kalansız bölünebilir? A) B) 6 C) 9 D) E) a, b, c, d rakamları birbirinden
DetaylıDOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI
DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ 1
DetaylıÖRNEK LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - 1 GEOMETRİ TESTİ. Ad Soyad : T.C. Kimlik No:
LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI - GEOMETRİ TESTİ ÖRNEK Ad Soyad : T.C. Kimlik No: Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının Metin Yayınları nın yazılı
DetaylıÖRNEK KİTAP. x ax 12. x.sinx dx. 1 cos x. x x mx 1. 4 (a b ) ise a çifttir. 4. x+y=14 ise x 2.y 5 çarpımının değeri en fazla kaça eşittir?
1. lim a 1 üzere a+b toplam kaçtr? A)-8 B)-5 C)- C)1 E)4 b, a,b R olmak 4. +y=14 ise.y 5 çarpmnn değeri en fazla kaça eşittir? A)4 6.10 B)10.4 5 C)10 5. D) 5.10 7 E)16.10 5. bir cisim için hareket denklemi
DetaylıMATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1)
MTMTİK TSTİ (Mat ). u testte 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. a ve b sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,. a a b = = a b b olduğuna
DetaylıAlıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.
Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)
Detaylı