Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi

Transkript

1 Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi University of Illinois at Chicago University of Illinois at Chicago University University of of Illinois Illinois at at Chicago Chicago 6 Ağustos, Ağustos, Ağustos, Ağustos, 2010 Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi Modüli Uzaylarının Bi-rasyonel Geometrisi

2 f : X Y eğer X in Zariski topolojisindeki açık bir kümede tanımlı bir fonksiyon ise f ye rasyonel fonksiyon denir. Eğer iki uzay X ve Y arasında tanımlanmış f : X Y, g : Y X iki rasyonel fonksiyon varsa ki tanımlı oldukları yerlerde f g = id Y ve g f = id X, X ve Y ye bi-rasyonel denir. Bi-rasyonel olmak bir denklik ilişkisidir. Cebirsel geometrinin en önemli problemlerinden biri varyetelerin bi-rasyonel sınıflandırılmasıdır.

3 f : X Y eğer X in Zariski topolojisindeki açık bir kümede tanımlı f : X biry fonksiyon eğer X in ise Zariski f yetopolojisindeki rasyonel fonksiyon açık birdenir. kümede Eğer tanımlı ikibir uzay fonksiyon X ve Yisearasında f ye rasyonel tanımlanmış fonksiyon denir. Eğer iki uzay X ve Y arasında, tanımlı oldukları yerlerde f : X Y, g : Y X f g = id Y ve g f = id X, iki rasyonel fonksiyon varsa ki tanımlı oldukları yerlerde koşullarını sağlayan iki rasyonel fonksiyon f g = id Y ve g f = id X, f : X Y, g : Y X Xvarsa ve Y X ye ve Y ye bi-rasyonel denir. denir. Bi-rasyonel olmak bir bir denklik ilişkisidir. Cebirsel geometrinin en enönemli önemli problemlerinden biri varyetelerin biri varyetelerin bi-rasyonel sınıflandırılmasıdır.

4 f : X Y eğer X in Zariski topolojisindeki açık bir kümede tanımlı f : X biry fonksiyon eğer X in ise Zariski f yetopolojisindeki rasyonel fonksiyon açık birdenir. kümede f Y eğer X in Zariski topolojisindeki açık bir kümesinde Eğer tanımlı ikibir uzay fonksiyon X ve Yisearasında f ye rasyonel tanımlanmış fonksiyon denir. tanımlı bir fonksiyon ise f ye rasyonel fonksiyon denir. Eğer iki uzay X ve Y arasında, tanımlı oldukları yerlerde Eğer iki uzay X ve Y arasında tanımlanmış f : X Y, g : Y X f g = id Y ve g f = id X, iki rasyonel fonksiyon f varsa : X ki tanımlı Y, g oldukları : Y X yerlerde koşullarını sağlayan iki rasyonel fonksiyon iki rasyonel fonksiyon f g varsa = id ki tanımlı oldukları yerlerde Y ve g f = id X, f : X Y, g : Y X Xvarsa ve Y X ye ve Y ye bi-rasyonel f g denir. = denir. id Y ve g f = id X, Bi-rasyonel olmak bir bir denklik ilişkisidir. X Cebirsel ve Y ye geometrinin bi-rasyonel en enönemli denir. önemli problemlerinden biri varyetelerin biri varyetelerin Bi-rasyonel bi-rasyonel sınıflandırılmasıdır. olmak bir denklik ilişkisidir. Cebirsel geometrinin en önemli problemlerinden biri varyetelerin bi-rasyonel sınıflandırılmasıdır.

5 f : X Y eğer X in Zariski topolojisindeki açık bir kümede tanımlı f : X biry fonksiyon eğer X in ise Zariski f yetopolojisindeki rasyonel fonksiyon açık birdenir. kümede Eğer tanımlı ikibir uzay fonksiyon X ve Yisearasında f ye rasyonel tanımlanmış fonksiyon denir. tanımlı Eğer iki bir uzay fonksiyon X ve Y arasında, ise f ye tanımlı rasyonel oldukları fonksiyon yerlerde denir. f Eğer : X iki uzay Y eğer X ve X in Y Zariski arasında topolojisindeki tanımlanmış açık bir kümesinde f : X Y, g : Y X tanımlı bir fonksiyon f g ise= f id ye Y rasyonel ve g fonksiyon f = id X, denir. Eğer iki rasyonel iki uzayfonksiyon X ve Yf arasında varsa : X kitanımlanmış tanımlı Y, g oldukları : Y X koşullarını sağlayan iki rasyonel fonksiyon yerlerde f : X Y eğer X in Zariski topolojisindeki açık bir kümesinde f : g X = id Y, g : Y X f : X Y, ve g : Yg f X= id X, iki rasyonel fonksiyon varsa ki tanımlı oldukları yerlerde iki rasyonel fonksiyon varsa ki tanımlı oldukları yerlerde Xvarsa ve Y X ye ve Y ye bi-rasyonel f g denir. = denir. id Y ve g f = id X, Bi-rasyonel olmak bir f bir denklik g ilişkisidir. = id Y ve g f = id X, X Cebirsel ve Y ye geometrinin bi-rasyonel en enönemli denir. önemli problemlerinden biri varyetelerin biri varyetelerin X Bi-rasyonel bi-rasyonel ve Y ye bi-rasyonel sınıflandırılmasıdır. olmak bir denir. denklik ilişkisidir. Cebirsel geometrinin en önemli problemlerinden biri varyetelerin bi-rasyonel sınıflandırılmasıdır. Cebirsel geometrinin en önemli problemlerinden biri varyetelerin

6 İki bi-rasyonel, izdüşümsel, pürüzsüz eğri izomorfturlar. Cinsi g = 1 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları Riemann küresi tarafından parametre edilir. Cinsi g 2 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları 3g 3 boyutlu Deligne-Mumford modüli uazyı tarafından parametre edilir.

7 İki bi-rasyonel, izdüşümsel, pürüzsüz eğri izomorfturlar. Cinsi g = 1 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları Riemann küresi İki tarafından bi-rasyonel, parametre izdüşümsel, edilir. pürüzsüz eğri izomorfturlar. Cinsi g = 02 olan eğrilerin tek izomorfizm Riemann küresidir. sınıfları 3g 3 boyutlu Cinsi Deligne-Mumford g = 1 olan eğrilerin modüli uazyı izomorfizm tarafından sınıfları parametre Riemann edilir. küresi tarafından parametre edilir. Cinsi g 2 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları 3g 3 boyutlu Deligne-Mumford modüli uazyı tarafından parametre edilir.

8 İki bi-rasyonel, izdüşümsel, pürüzsüz eğri izomorfturlar. Cinsi g = 1 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları Riemann küresi İki tarafından bi-rasyonel, parametre izdüşümsel, edilir. pürüzsüz eğri izomorfturlar. Cinsi g = 02 olan eğrilerin tek izomorfizm Riemann küresidir. sınıfları 3g 3 boyutlu Cinsi Deligne-Mumford g = 1 olan eğrilerin modüli uazyı izomorfizm tarafından sınıfları parametre Riemann edilir. küresi İki bi-rasyonel, izdüşümsel, pürüzsüz eğri izomorfturlar. tarafından Cinsi g = 1 parametre olan eğrilerin edilir. izomorfizm sınıfları Riemann küresi tarafından parametre edilir. Cinsi g 2 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları 3g 3 boyutlu Deligne-Mumford modüli uazyı tarafından parametre edilir. Cinsi g 2 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları 3g 3 boyutlu Deligne-Mumford modüli uazyı tarafından parametre edilir.

9 İki bi-rasyonel, izdüşümsel, pürüzsüz eğri izomorfturlar. Cinsi g = 1 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları Riemann küresi İki tarafından bi-rasyonel, parametre izdüşümsel, edilir. pürüzsüz eğri izomorfturlar. Cinsi g = 02 olan eğrilerin tek izomorfizm Riemann küresidir. sınıfları 3g 3 boyutlu Cinsi Deligne-Mumford g = 1 olan eğrilerin modüli uazyı izomorfizm tarafından sınıfları parametre Riemann edilir. küresi İki bi-rasyonel, izdüşümsel, pürüzsüz eğri izomorfturlar. tarafından İki bi-rasyonel, Cinsi 1 parametre izdüşümsel, olan eğrilerin edilir. pürüzsüz eğri izomorfturlar. izomorfizm sınıfları Riemann küresi Cinsi g = 0 olan tek eğri Riemann küresidir. tarafından parametre edilir. Cinsi g = 1 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları Riemann küresi Cinsi 2 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları 3g 3 boyutlu tarafından parametre edilir. Deligne-Mumford modüli uazyı tarafından parametre edilir. Cinsi g 2 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları 3g 3 boyutlu Deligne-Mumford modüli uzayı tarafından parametre edilir. Cinsi g 2 olan eğrilerin izomorfizm sınıfları 3g 3 boyutlu Deligne-Mumford modüli uazyı tarafından parametre edilir.

10 P (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 P (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 n (0, 0)daki patlatımı olsun. C 2 in (0, 0)daki patlatımı olsun.

11 P (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 P (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 C 2 P in (0, 0)daki (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C patlatımı olsun. 2 P 1 C 2 in (0, 0)daki patlatımı olsun. C 2 ve P (0,0) C 2 bi-rasyoneldirler, fakat izomorf değillerdir. Bir pürüzsüz yüzeydeki öz-kesişimi 1 olan kürelere ayrıcalıklı küreler denir. Castelnuovo nun teoremi pürüzsüz yüzeydeki herhangi bir ayrıcalıklı kürenin büzülebileceğini ve elde edilen yüzeyin pürüzsüz olacağını garanti eder. Bu büzülme işlemi patlatmanın tersidir. n (0, 0)daki patlatımı olsun.

12 P (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 P (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 C 2 P in (0, 0)daki (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C patlatımı olsun. 2 P 1 C 2 in (0, P 0)daki (0,0) C 2 patlatımı := {((x, olsun. y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 C 2 ve P (0,0) C 2 bi-rasyoneldirler, fakat izomorf değillerdir. Bir pürüzsüz yüzeydeki öz-kesişimi 1 olan kürelere ayrıcalıklı küreler denir. Castelnuovo nun teoremi pürüzsüz yüzeydeki herhangi bir ayrıcalıklı kürenin büzülebileceğini ve elde edilen yüzeyin pürüzsüz olacağını garanti eder. Bu büzülme işlemi patlatmanın tersidir. n (0, 0)daki patlatımı olsun. C 2 in (0, 0)daki patlatımı olsun. C 2 ve P (0,0) C 2 bi-rasyoneldir fakat izomorf değillerdir. Bir pürüzsüz yüzeydeki öz-kesişimi 1 olan kürelere ayrıcalıklı küreler denir. Castelnuovo nun teoremi pürüzsüz yüzeydeki herhangi bir ayrıcalıklı kürenin büzülebileceğini ve elde edilen yüzeyin pürüzsüz olacağını garanti eder. Bu büzülme işlemi patlatmanın tersidir.

13 P (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 P (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 C 2 P in (0, 0)daki (0,0) C 2 := {((x, y), [u : v]) xv = yu} C patlatımı olsun. 2 P 1 C 2 in (0, P 0)daki (0,0) C 2 patlatımı := {((x, olsun. y), [u : v]) xv = yu} C 2 P 1 C 2 2 ve P in (0, 0)daki (0,0) C 2 bi-rasyoneldirler, := {((x, y), [u : v]) fakat xv izomorf = yu} değillerdir. C patlatımı olsun. 2 P 1 Bir pürüzsüz yüzeydeki ve P (0,0) C 2 öz-kesişimi 1 olan kürelere ayrıcalıklı C bi-rasyoneldir fakat izomorf değillerdir. küreler 2 in (0, 0)daki patlatımı olsun. denir. CBir Castelnuovo nun 2 ve pürüzsüz P (0,0) C 2 yüzeydeki bi-rasyoneldirler, teoremi öz-kesişimi fakat pürüzsüz yüzeydeki 1 izomorf olandeğillerdir. herhangi kürelere ayrıcalıklı bir ayrıcalıklı Bir küreler pürüzsüz kürenindenir. yüzeydeki öz-kesişimi 1 olan kürelere ayrıcalıklı büzülebileceğini ve elde edilen yüzeyin pürüzsüz olacağını küreler denir. garanti eder. Bu büzülme işlemi patlatmanın tersidir. Castelnuovo nun teoremi pürüzsüz yüzeydeki herhangi bir ayrıcalıklı kürenin büzülebileceğini ve elde edilen yüzeyin pürüzsüz olacağını garanti eder. Bu büzülme işlemi patlatmanın tersidir. doğrular. Bu büzülme işlemi patlatmanın tersidir. n (0, 0)daki patlatımı olsun. Castelnuovo nun teoremi pürüzsüz yüzeydeki herhangi bir ayrıcalıklı kürenin büzülebileceğini ve elde edilen yüzeyin pürüzsüz olacağını

14 Castelnuovo nun teoremi, her yüzeyin bi-rasyonel denklik sınıfının en basit üyesini seçmemizi sağlar. Eğer yüzeyde ayrıcalıklı bir küre varsa, bu küreyi büzer ve daha basit bir yüzey elde ederiz. Bu işlem yüzeyin Picard sayısını azalttığı için, sonlu sayıda ayrıcalıklı küre büzüldükten sonra yüzeyde ayrıcalıklı küre kalmaz.

15 Castelnuovo nun teoremi, her yüzeyin bi-rasyonel denklik sınıfının en Castelnuovo nun basit üyesini teoremi, seçmemizi her yüzeyin sağlar. Eğer bi-rasyonel yüzeyde denklik ayrıcalıklı sınıfının bir küre en basit varsa, üyesini bu küreyi seçmemizi büzer ve sağlar. daha Eğer basit yüzeyde bir yüzey ayrıcalıklı elde ederiz. bir Bu işlem küre varsa, yüzeyin bu Picard küreyi sayısını büzer ve azalttığı daha basit için, bir sonlu yüzey sayıda elde ederiz. ayrıcalıklı Bu işlem yüzeyin Picard sayısını azalttığı için, sonlu sayıda ayrıcalıklı küre büzüldükten sonra yüzeyde ayrıcalıklı küre kalmaz. küre büzüldükten sonra yüzeyde ayrıcalıklı küre kalmaz. Üzerinde ayrıcalıklı küre olmayan yüzeylere minimal yüzeyler denir.

16 Castelnuovo nun teoremi, her yüzeyin bi-rasyonel denklik sınıfının en Castelnuovo nun basit üyesini teoremi, seçmemizi her yüzeyin sağlar. Eğer bi-rasyonel yüzeyde denklik ayrıcalıklı sınıfının bir küre en Castelnuovo nun basit varsa, üyesini teoremi, bu küreyi seçmemizi her büzer ve sağlar. yüzeyin daha Eğer bi-rasyonel basit yüzeyde denklik bir yüzey ayrıcalıklı sınıfının elde ederiz. bir Bu işlem küre en basit varsa, üyesini yüzeyin bu Picard küreyi seçmemizi sayısını büzer ve sağlar. azalttığı daha Eğer basityüzeyde için, bir sonlu yüzey ayrıcalıklı sayıda elde ederiz. bir ayrıcalıklı Bu işlem küre varsa, yüzeyin bupicard küreyi sayısını büzer veazalttığı daha basit için, bir sonlu yüzey sayıda elde ederiz. ayrıcalıklı Bu küre büzüldükten sonra yüzeyde ayrıcalıklı küre kalmaz. küre işlembüzüldükten yüzeyin Picard sonra sayısını yüzeyde azalttığı ayrıcalıklı için, sonlu küresayıda kalmaz. ayrıcalıklı küre büzüldükten sonra yüzeyde ayrıcalıklı küre kalmaz. Üzerinde ayrıcalıklı küre olmayan yüzeylere minimal yüzeyler denir. Üzerinde ayrıcalıklı küre olmayan yüzeylere minimal yüzeyler denir. Minimal Model veya Mori Programı yüzeyler için olan bu teoriyi çok boyutlu varyetelere genellemeyi amaçlar.

17 Castelnuovo nun teoremi, her yüzeyin bi-rasyonel denklik sınıfının en Castelnuovo nun basit üyesini teoremi, seçmemizi her yüzeyin sağlar. Eğer bi-rasyonel yüzeyde denklik ayrıcalıklı sınıfının bir küre en Castelnuovo nun basit varsa, üyesini teoremi, bu küreyi seçmemizi her büzer ve sağlar. yüzeyin daha Eğer bi-rasyonel basit yüzeyde denklik bir yüzey ayrıcalıklı sınıfının elde ederiz. bir Bu işlem küre en Castelnuovo nun basit varsa, üyesini yüzeyin bu Picard küreyi teoremi, seçmemizi sayısını büzerher ve sağlar. yüzeyin azalttığı daha Eğer basit bi-rasyonel yüzeyde için, bir sonlu yüzey ayrıcalıklı denklik sayıda elde ederiz. sınıfının bir ayrıcalıklı Bu işlem küre en basit varsa, yüzeyin üyesini bupicard küreyi seçmemizi sayısını büzer veazalttığı sağlar. daha basit Eğer için, bir yüzeyde sonlu sayıda elde ayrıcalıklı ederiz. ayrıcalıklı bir Bu küre büzüldükten sonra yüzeyde ayrıcalıklı küre kalmaz. işlem küre büzüldükten varsa, yüzeyinbupicard küreyi sonra sayısını büzer yüzeyde ve azalttığı daha ayrıcalıklı basit için, sonlu bir küre yüzey sayıda kalmaz. elde ayrıcalıklı ederiz. Bu küre işlembüzüldükten yüzeyin Picard sonra sayısını yüzeyde azalttığı ayrıcalıklı için, küre sonlukalmaz. sayıda ayrıcalıklı Üzerinde ayrıcalıklı küre olmayan yüzeylere minimal yüzeyler denir. Üzerinde küre büzüldükten ayrıcalıklı sonra küre olmayan yüzeyde yüzeylere ayrıcalıklı minimal küre kalmaz. yüzeyler denir. Minimal Üzerinde Model ayrıcalıklı veya küre Mori olmayan Programı yüzeylere yüzeyler minimal için olan yüzeyler bu teoriyi denir. çok Minimal boyutlu Model varyetelere veya Mori genellemeyi Programı amaçlar. yüzeyler için olan bu teoriyi çok boyutlu varyetelere genellemeyi amaçlar. Y n-boyutlu pürüzsüz (veya daha genel olarak normal ve Gorenstein) bir varyete olsun. Y nin kanonik doğru demeti K Y = n T Y olarak tanımlanır.

18 Kanonik halka R(Y )= m 0 H 0 (Y, mk Y ) şeklinde tanımlanır. Son yılların en önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu üretildiğini söyler. Theorem (Brikar, Cascini, Hacon, McKernan) R(Y ) sonlu üretilmiş bir halkadır.

19 Kanonik halka Kanonik halka R(Y )= H 0 (Y, mk Y ) R(Y )= H 0 (Y, mk m 0 Y ) m 0 şeklinde tanımlanır. şeklinde tanımlanır. Son yılların en önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu Son yılların en önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu üretildiğini söyler. üretildiğini söyler. Theorem (Brikar, Cascini, Hacon, McKernan) Theorem (Brikar, Cascini, Hacon, McKernan) R(Y ) sonlu üretilmiş bir halkadır. R(Y ) sonlu üretilmiş bir halkadır.

20 Kanonik halka Kanonik halka Kanonik halka R(Y )= H 0 (Y, mk Y ) R(Y )= H 0 (Y, mk m 0 Y ) m 0 R(Y )= m 0 H 0 (Y, mk Y ) şeklinde tanımlanır. şeklinde tanımlanır. Son yılların en önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu Son şeklinde yılların tanımlanır. en önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu üretildiğini söyler. üretildiğini Son yılların en söyler. önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu üretildiğini söyler. Theorem (Brikar, Cascini, Hacon, McKernan) Theorem (Brikar, Cascini, Hacon, McKernan) R(Y Theorem ) sonlu (Birkar, üretilmiş Cascini, bir Hacon, halkadır. McKernan) R(Y ) sonlu üretilmiş bir halkadır. R(Y ) sonlu üretilmiş bir halkadır.

21 Kanonik halka Kanonik halka Kanonik halka Kanonik halka R(Y )= H 0 (Y, mk Y ) R(Y )= H 0 (Y, mk m 0 Y ) m 0 R(Y )= 0 (Y, mk Y ) R(Y )= H 0 (Y, mk Y ) m 0 m 0 şeklinde tanımlanır. şeklinde tanımlanır. Son yılların en önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu Son şeklinde yılların tanımlanır. en önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu üretildiğini şeklinde tanımlanır. söyler. üretildiğini Son yılların en söyler. önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu Son yılların en önemli teoremlerinden biri bu halkanın sonlu üretildiğini söyler. Theorem üretildiğini(brikar, söyler. Cascini, Hacon, McKernan) Theorem (Brikar, Cascini, Hacon, McKernan) R(Y Theorem ) sonlu (Birkar, üretilmiş Cascini, bir Hacon, halkadır. McKernan) Theorem (Birkar, Cascini, Hacon, McKernan) R(Y ) sonlu üretilmiş bir halkadır. R(Y sonlu üretilmiş bir halkadır. R(Y ) sonlu üretilmiş bir halkadır. Eğer Y nin Kodaira boyutu n ise, kanonik model Proj(R(Y )) Y nin bi-rasyonel denklik sınıfındaki kanonik bir temsilcisidir.

22 L doğru demetinin hiçbir eğri ile kesişimi negatif değilse, L ye NEF denir. Eğer Y nin kanonik doğru demeti NEF ise Y ye minimal model denir. Minimal Model Programının amacı herhangi bir varyetenin bir minimal modelini bulmaktır.

23 L doğru demetinin hiçbir eğri ile kesişimi negatif değilse, L ye NEF denir. Eğer Y bir nin doğrular kanonikdemeti doğru L nin demeti hiçbir NEFeğri ise Y ile yekesişimi minimal negatif model denir. değilse, L ye NEF denir. Minimal Eğer Y nin Model kanonik Programının doğru demeti amacı herhangi NEF ise bir Y ye varyetenin minimalbir model minimal denir. modelini bulmaktır. Minimal Model Programının amacı herhangi bir varyetenin bir minimal modelini bulmaktır.

24 L doğru demetinin hiçbir eğri ile kesişimi negatif değilse, L ye NEF denir. Eğer Y bir nin doğrular kanonikdemeti doğru L nin demeti hiçbir NEFeğri ise Y ile yekesişimi minimal negatif model denir. Eğer değilse, bir L ye doğrular NEF demeti denir. L nin hiçbir eğri ile kesişimi negatif Minimal değilse, Eğer Y nin L ye Model kanonik NEF Programının denir. doğru demeti amacı herhangi NEF ise bir Y ye varyetenin minimalbir model minimal denir. Eğer Y nin modelini kanonik bulmaktır. doğru demeti NEF ise Y ye minimal model Minimal Model Programının amacı herhangi bir varyetenin bir denir. minimal modelini bulmaktır. Minimal Model Programının amacı herhangi bir varyetenin bir minimal modelini bulmaktır.

25 L doğru demetinin hiçbir eğri ile kesişimi negatif değilse, L ye NEF denir. Eğer Y bir nin doğrular kanonikdemeti doğru L nin demeti hiçbir NEFeğri ise Y ile yekesişimi minimal negatif model denir. Eğer değilse, bir L ye doğrular NEF demeti denir. L nin hiçbir eğri ile kesişimi negatif Minimal değilse, Eğer Y nin L ye Model kanonik NEF Programının denir. doğru demeti amacı herhangi NEF ise bir Y ye varyetenin minimalbir model minimal denir. EğerY bir nin modelini doğrular kanonik bulmaktır. demeti doğrul nin demeti hiçbir NEFeğri iseile Y ye kesişimi minimal negatif model Minimal Model Programının amacı herhangi bir varyetenin bir denir. değilse, L ye NEF denir. minimal modelini bulmaktır. Minimal Eğer Y nin Model kanonik Programının doğru demeti amacınef herhangi ise Y bir ye varyetenin minimal model bir minimal denir. modelini bulmaktır. Minimal Model Programının amacı herhangi bir varyetenin bir minimal modelini bulmaktır. Kollár, Mori, Reid ve Shokourov un Koni teoremi, K Y ile kesişimi negatif olan aşıt rasyonel eğrilerin büzülebileceğini garanti eder.

26 Elde edilen morfizm f : X Y için üç ihtimal vardır. 1 dim(y ) < dim(x ). 2 dim(y ) = dim(x ) ve f bölensel bir büzülmedir. 3 dim(y ) = dim(x ) ve f küçük bir büzülmedir.

27 Elde edilen morfizm f : X Y için üç ihtimal vardır. 1 dim(y ) < dim(x ). Elde edilen morfizm f : Y X için üç olasılık vardır. 2 dim(y ) = dim(x ) ve f bölensel bir büzülmedir. 1 dim(x ) < dim(y ). 3 dim(y ) = dim(x ) ve f küçük bir büzülmedir. 2 dim(x ) = dim(y ) ve f bölensel bir büzülmedir. 3 dim(x ) = dim(y ) ve f küçük bir büzülmedir. 3. olasılıkta program X e uygulanamaz. Y flipi Y + ile değiştirilir ve program Y + ya uygulanır. Y Y + f f + X

28 Elde edilen morfizm f : X Y için üç ihtimal vardır. 1 dim(y ) < dim(x ). Elde edilen morfizm f : Y X için üç olasılık vardır. 2 dim(y ) = dim(x ) ve f bölensel bir büzülmedir. 1 dim(x ) < dim(y ). 3 dim(y ) = dim(x ) ve f küçük bir büzülmedir. 2 dim(x 1 dim(y ) = dim(y ) < ) dim(x ve f bölensel ). bir büzülmedir. Elde edilen morfizm f : X Y için üç ihtimal vardır. 3 dim(x ) = dim(y ) ve f küçük bir büzülmedir. 2 dim(y ) = dim(x ) ve f bölensel bir büzülmedir. 3. olasılıkta program X e uygulanamaz. Y flipi Y 3 dim(y ) = dim(x ) ve f küçük bir + ile değiştirilir büzülmedir. ve program Y + ya uygulanır. Y Y + f f + X X X + f f + Y

29 Minimal model programını moduli uzaylarına uygulamak önemli bir problemdir. Programın Kontsevich uzaylarına uygulamasını burada örnekleri ile görelim.

30 Minimal model programını moduli uzaylarına uygulamak önemli bir problemdir. Programın Kontsevich uzaylarına uygulamasını burada örnekleri ile görelim. Minimal model programını moduli uzaylarına uygulamak önemli bir problemdir. Programın Kontsevich uzaylarına uygulamasını burada örnekleri ile görelim.

31 M 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eğrileri parametre eden Kontsevich uzayı olsun.

32 M 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eğrileri parametre eden Kontsevich uzayı olsun. f

33 M 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eğrileri parametre eden Kontsevich uzayı olsun. f M 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eğrileri parametre eden Kontsevich uzayı olsun. Kontsevich uzayları, rasyonel eğrilerin geometrisinde ve kuantum kohomolojisi teorisinde çok önemli bir rol oynar. Kontsevich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. P r 1 i H T D deg NL

34

35 Kontsevich uzayları rasyonel eğrilerin geometrisini anlamada ve kuantum kohomolojisi teorisinde çok önemli bir rol oynar. M 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyon eğrileri parametre eden Kontsevich uzayı olsun. Kontsevich uzayları eğrileri rasyonel parametre eğrilerin geometrisini eden anlamada Ko kuantum kohomolojisi teorisinde çok önemli bir rol oynar. Kontsevich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler var Kontsevich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. P r 2 M 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdu Kontsevich uzayları rasyon i kuantum kohomolojisi teor Kontsevich d-i uzaylarında do H P r 2 i

36 Kontsevich uzayları rasyonel eğrilerin geometrisini anlamada ve kuantum kohomolojisi teorisinde çok önemli bir rol oynar. M 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyon eğrileri parametre eden Kontsevich uzayı olsun. Kontsevich uzayları eğrileri rasyonel parametre eğrilerin geometrisini eden anlamada Ko kuantum kohomolojisi teorisinde çok önemli bir rol oynar. Kontsevich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler var Kontsevich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. P r 2 M 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdu Kontsevich uzayları rasyon i kuantum kohomolojisi teor Kontsevich d-i uzaylarında do H P r 2 i Theorem (Pandharipande) İzzet H ve 1,..., d/2 bölenleri M 0,0 (P r Coşkun, d) nin Neron-Severi uzayının bir tabanını oluşturur.

37 Kontsevich eğrileriuzayları parametre rasyonel eden eğrilerin Kontsevich geometrisini uzaya kuantum kohomolojisi teorisinde çok önemli bir rol Kontsevich uzayları rasyonel eğrilerin ge Kontsevich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bö P r 1 i H T D deg NL kuantum kohomolojisi teorisinde çok öne Kontsevich uzaylarında doğal olarak tan M T P r 2 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel i H uzaydaki T D deg d-dereceli NL rasyonel M eğrileri 0,0 (P parametre r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eden Kontsevich uzayı olsun. eğrileri parametre eden Kontsevich uzayı olsun. Kontsevich uzayları rasyonel eğrilerin geometrisini anlamada ve Kontsevich uzayları rasyonel eğrilerin geometrisini anlamada ve kuantum kuantumkohomolojisi kohomolojisiteorisinde çok çokönemli bir bir rol rol oynar. oynar. Kontsevich Kontsevich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bazı bölenler bölenler vardır. vardır. P r 1 i H T D deg NL P r 1 i H T D deg NL v : M 0,0 (P r, d) M 0,d /S d v : M 0,0 (P r, d) M 0,d /S d Grassmann Uzaylarının Geo v : Pic(M 0,d /S d ) Pic(M 0,0 (P r, d)) Grassma

38 H ve 1,..., d/2 bölenleri M 0,0 (P r, d) nin Neron-Severi uzayının bir tabanını oluşturur. Theorem (-, Harris, Starr) Eğer r d ise, M 0,0 (P r, d) nin efektif konisi D deg ve 1,..., d/2 bölenleri tarafından üretilir.

39 H ve 1,..., d/2 bölenleri M 0,0 (P r, d) nin Neron-Severi Theorem (Pandharipande) uzayının bir tabanını oluşturur. H ve 1,..., d/2 bölenleri M 0,0 (P r, d) nin Neron-Severi uzayının bir tabanını oluşturur. Theorem (-, Harris, Starr) Eğer Theorem r d(-, ise, Harris, M 0,0 Starr) (P r, d) nin efektif konisi D deg ve 1,..., d/2 bölenleri tarafından üretilir. Eğer r d ise, M 0,0 (P r, d) nin efektif konisi D deg ve 1,..., d/2 bölenleri tarafından üretilir. Theorem (-, Harris, Starr) D nin M 0,0 (P r, d) de D = at + bh + v(d 1 ) şeklinde yazılmış bir bölen olduğunu varsayalım. D yalnız ve yalnız a, b 0 ve D 1 NEF ise NEFtir.

40 -boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel etre eden Kontsevich uzayı olsun. M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması 0,0(P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel M ğrileri parametre 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eden Kontsevich uzayı olsun. ayları ontsevich eğrileri rasyonel uzayları parametre eğrilerin rasyonel eden geometrisini eğrilerin Kontsevich geometrisini anlamada uzayı olsun. anlamada ve ve uantum Kontsevich kohomolojisi uzayları teorisinde rasyonel çok eğrilerin önemli geometrisini bir rol oynar. anlamada ve aylarında ontsevich kuantum doğal uzaylarında kohomolojisi olarakdoğal tanımlı teorisinde olarak bazı tanımlı çok bölenler önemli bazıvardır. bölenler bir rol vardır. oynar. r 2 D Kontsevich i H T D uzaylarında deg NL doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. m deg NL Pkohomolojisi r 2 teorisinde çok önemli bir rol oynar. i H T D deg NL P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel omolojisi i parametre teorisinde edençokkontsevich önemli bir rol uzayı oynar. olsun. M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması evich uzayları rasyonel eğrilerin geometrisini anlamada ve evich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. i H T D deg NL İzzet

41 -boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel etre eden Kontsevich uzayı olsun. M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması 0,0(P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel M ğrileri parametre 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eden Kontsevich uzayı olsun. ayları ontsevich eğrileri rasyonel uzayları parametre eğrilerin rasyonel eden geometrisini eğrilerin Kontsevich geometrisini anlamada uzayı olsun. anlamada ve ve uantum Kontsevich kohomolojisi uzayları teorisinde rasyonel çok eğrilerin önemli geometrisini bir rol oynar. anlamada ve aylarında ontsevich kuantum doğal uzaylarında kohomolojisi olarakdoğal tanımlı teorisinde olarak bazı tanımlı çok bölenler önemli bazıvardır. bölenler bir rol vardır. oynar. r 2 D Kontsevich i H T D uzaylarında deg NL doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. m deg NL Pkohomolojisi r 2 teorisinde çok önemli bir rol oynar. i H T D deg NL P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel omolojisi i parametre teorisinde edençokkontsevich önemli bir rol uzayı oynar. olsun. M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması evich uzayları rasyonel eğrilerin geometrisini anlamada ve evich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. i H T D deg NL M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması Eğer D (H, T ) ise, R(D) =Proj( m 0 H0 (md)) modeli Kontsevich uzayıdır. f H : M 0,0 (P 2, 2) P 5 bölensel bir büzülmedir. İzzet f T : M 0,0 (P 2, 2) (P 5 ) bölensel bir büzülmedir.

42 -boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel etre eden Kontsevich uzayı olsun. M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması 0,0(P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel M ğrileri parametre 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eden Kontsevich uzayı olsun. ayları ontsevich eğrileri rasyonel uzayları parametre eğrilerin rasyonel eden geometrisini eğrilerin Kontsevich geometrisini anlamada uzayı olsun. anlamada ve ve uantum Kontsevich kohomolojisi uzayları teorisinde rasyonel çok eğrilerin önemli geometrisini bir rol oynar. anlamada ve aylarında ontsevich kuantum doğal uzaylarında kohomolojisi olarakdoğal tanımlı teorisinde olarak bazı tanımlı çok bölenler önemli bazıvardır. bölenler bir rol vardır. oynar. r 2 D Kontsevich i H T D uzaylarında deg NL doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. m deg NL Pkohomolojisi r 2 teorisinde çok önemli bir rol oynar. i H T D deg NL P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel omolojisi i parametre teorisinde edençokkontsevich önemli bir rol uzayı oynar. olsun. M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması evich uzayları rasyonel eğrilerin geometrisini anlamada ve evich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. i H T D deg NL M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması Eğer (H, T ) ise, R(D) =Proj( m 0 H0 (md)) modeli Eğer D (H, T ) ise, R(D) =Proj( Kontsevich uzayıdır. m 0 H0 (md)) modeli Kontsevich f H : 0,0 (P 2 uzayıdır., 2) P 5 bölensel bir büzülmedir. f H İzzet T : : M 0,0 0,0 (P (P 2, 2 2), 2) (P P 5 ) 5 bölensel bölensel bir bir büzülmedir. büzülmedir. M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması f T : M 0,0 (P 2, 2) (P 5 ) bölensel bir büzülmedir.

43 -boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel etre eden Kontsevich uzayı olsun. M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması 0,0(P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel M ğrileri parametre 0,0 (P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel eden Kontsevich uzayı olsun. ayları ontsevich eğrileri rasyonel uzayları parametre eğrilerin rasyonel eden geometrisini eğrilerin Kontsevich geometrisini anlamada uzayı olsun. anlamada ve ve uantum Kontsevich kohomolojisi uzayları teorisinde rasyonel çok eğrilerin önemli geometrisini bir rol oynar. anlamada ve aylarında ontsevich kuantum doğal uzaylarında kohomolojisi olarakdoğal tanımlı teorisinde olarak bazı tanımlı çok bölenler önemli bazıvardır. bölenler bir rol vardır. oynar. r 2 D Kontsevich i H T D uzaylarında deg NL doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. m deg NL Pkohomolojisi r 2 teorisinde çok önemli bir rol oynar. i H T D deg NL P r, d) r-boyutlu izdüşümsel uzaydaki d-dereceli rasyonel omolojisi i parametre teorisinde edençokkontsevich önemli bir rol uzayı oynar. olsun. M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması evich uzayları rasyonel eğrilerin geometrisini anlamada ve evich uzaylarında doğal olarak tanımlı bazı bölenler vardır. i H T D deg NL M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması M 0,0 (P 2, 2) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması Eğer (H, T ) ise, R(D) =Proj( m 0 H0 (md)) modeli Eğer M D (H, T ) ise, R(D) =Proj( 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine Kontsevich uzayıdır. m 0 H0 göre (md)) odalara modeli ayrılması Kontsevich Eğer D (H, f H : 0,0 (P 2 uzayıdır. T ) ise, R(D) =Proj(, 2) P 5 m 0 bölensel bir büzülmedir. H0 (md)) modeli fkontsevich H İzzet T : : M 0,0 0,0 (P (P 2 uzayıdır., 2 2), 2) (P P ) 5 bölensel bölensel bir bir büzülmedir. büzülmedir. f H : T M 0,0 (P 0,0 (P 2,, 2) 2) P(P 5 5 bölensel ) bölensel bir büzülmedir. bir büzülmedir. f T : M 0,0 (P 2, 2) (P 5 ) bölensel bir büzülmedir. M 0,0 (P 3, 3) nin efektif konisinin taban yerine göre odalara ayrılması