Hipotez Testi ENM 5210 İSTATİSTİK VE YAZILIMLA UYGULAMALARI. Ders 4 Minitab da İstatiksel Çıkarım-I. Hipotez Testi. Hipotez Testi

Transkript

1 ENM 52 İSTATİSTİK VE YAZILIMLA UYGULAMALARI Ders 4 Minitab da İstatiksel Çıkarım-I (Ortalamalar ve Oranlar İçin ) İstatistiksel Hipotezler İstatistiksel hipotez testi ve parametrelerin güven aralığı tahmini, karşılaştırmalı bir deneyin (örneğin belirlenmiş bir değerle bir kitlenin ortalamasının karşılaştırılması gibi) veri analizi aşamasında kullanılan temel metotlardır. Tanım İstatistiksel hipotez, bir yada daha çok kitlenin parametreleri hakkındaki bir ifadedir. Örneğin, bir montaj hattındaki krtitik bir işlemin tamamlanma süresiyle ilgilendiğimizi varyasalım. İşlem süresi olasılık dağılımı ile tanımlanabilen rassal bir değişkendir. Dağılımın bir parametresi olan ortalama işlemin tamamlanma süresi ile ilgilendiğimizi düşünelim. Özellikle, ortalama işlem süresinin 3 saniye olup olmadığına karar vermekle ilgileniyoruz Çift Taraflı Alternatif Hipotez H : µ = 3 sn H : µ 3 sn Tek Taraflı Alternatif Hipotezler H : µ = 3 sn H : µ < 3 sn yada Sıfır Hipotezi Alternatif Hipotez H : µ = 3 sn H : µ > 3 sn

2 Bir Hipotezin Testi Hipotez Testlerinde I.Tip ve II.Tip Hatalar Bir Hipotezin Testi Belirli bir hipotez hakkında bir karara yol açan bir prosedürdür. Hipotez testi prosedürü, kitleden alınan bir rasgele örneklemdeki bilginin kullanılmasına dayanır. Eğer bu bilgi hipotezle tutarlı ise, hipotezin doğru olduğu sonucuna; eğer bu bilgi hipotez ile tutarlı değilse, hipotezin yanlış olduğu kararına varırız. H doğru olduğu halde reddedildiğinde I. Tip Hata yapılır. H yanlış olduğu halde kabul edildiğinde II.Tip Hata yapılır. KARAR H Kabul H Red H Doğru Doğru Karar I. Tip Hata H Yanlış II. Tip Hata Doğru Karar α=p(h red/h doğru)=p(i.tip Hata) β=p(h kabul/h yanlış)=p(ii. Tip Hata) Anakitle Parametresi İçin ve Güven Aralığı Anakitle Ortalaması İçin İstatistiksel Çıkarım Ø Anakitle standart sapması biliniyor. Ø Anakitle standart sapması bilinmiyor. Anakitle Oranı İçin İstatistiksel Çıkarım Ortalama İçin Test İstatistiği: 2

3 Çift taraflı hipotez testi için H =µ doğru iken Z ın dağılımı ve kritik bölgeler Alternatif Hipotezin tek taraflı olduğu durumda, ortalamanın (µ) hipotez testi için prosedürler geliştirebiliriz. Kritik bölge Kabul bölgesi Kritik bölge Kabul bölgesi Kritik bölge H =µ doğru iken Z ın dağılımı ve tek taraflı üst hipotez testi için kritik bölge Kritik bölge Tanım P-Değeri Yaklaşımı P değeri, verilen veriyle (H) sıfır hipotezinin reddedilmesine yol açan en küçük anlam seviyesidir. Kabul bölgesi H =µ doğru iken Z ın dağılımı ve tek taraflı alt hipotez testi için kritik bölge 2 PZ ( > z), z H: µ = µ H: µ µ için çift taraflı test 2 PZ ( < z), z < H: µ = µ H: µ µ için çift taraflı test P = PZ ( > z) H: µ = µ H: µ > µ için üst tek taraflı test PZ ( < z) H: µ = µ H: µ < µ için alt tek taraflı test 3

4 nin Adımları (P Değeri Yaklaşımı). Problemin içeriğinden ilgili parametreyi tanımla. 2. Sıfır Hipotezini (H )ifade et. 3. Uygun bir alternatif hipotez (H ) belirt. 4. Bir anlam düzeyi (önem düzeyi) α seç. 5. Uygun bir test İstatistiği belirle. 6. Örneklem verisinden H hipotezinin reddedilmesini gerektirecek en küçük anlam düzeyi P değerini hesapla. 7. P<α ise H hipotezini reddet, aksi halde H hipotezini reddetme. Problem bağlamında bunu rapor et. Tek Taraflı Testler Montaj işlem süresi problemini düşünelim. Eğer ortalama işlem süresi 3 sn den uzunsa, bunu güçlü bir kararla göstermek istediğimizi farz edelim. Hipotez aşağıdaki gibi ifade edilir: H : µ = 3 sn H : µ > 3 sn Burada kritik alan X dağılımının alt ucunda (kuyruğunda) uzanır. H ın reddi daima güçlü bir karar olduğu için, hipotezin bu ifadesi H reddedildiğinde istenen sonucu üretecektir. H hipotezi eşitlikle ifade edilmesine rağmen, alternatif hipotezle belirtilmeyen herhangi bir µ değerini içerdiği anlaşılır. Bu nedenle, H ı reddetme hatası tam olarak µ=3 sn yi kastetmez, ancak biz H i destekte güçlü delile sahip değiliz. Örnek Bilgisayar klavyesi montajı yapan bir üretim hattının şefi, montaj hattına yeni bir süreç kurulduğundan kritik bir parçadaki hatalı montaj sayısının arttığını ve darboğazların oluştuğunu fark etmiştir. Üretim şefi yeni süreci gözden geçirdiğinde üretim sürecinin kritik bir parçası olan bir montajın tamamlanma süresinin ortalaması 3 saniye ve standart sapması 5 saniye olan Normal Dağılıma uyduğunun kabul edildiğini ve bu şekilde sürecin kurulduğunu görmüştür. Oysa üretim şefi, bu kritik montajın tamamlanma süresinin 5 standart sapmayla Normal Dağılıma uyduğunu kabul etmekle birlikte, ortalama tamamlanma süresinin 3 saniye olduğundan emin değildir. Şef, üretim hattında bir ayarlama gerekip gerekmediğine karar vermek için kritik parça montajı sırasında rastgele parçanın tamamlanma süresini ölçmüş ve örneklem ortalamasını 26,8 olarak bulmuştur. α =,5 olarak alınırsa ne gibi sonuçlar çıkarılabilir? Problemi hipotez testi adımlarını takip ederek çözebiliriz.. İlgilenilen parametre ortalama işlem süresi µ 'dür. 2. H : µ = 3 sn 3. H : µ 3 sn 4. α =.5 5. Test istatistiği z x µ = σ / n 4

5 6. Bu soruda çift taraflı test kurulduğu için her iki uçtaki alanı bularak P-değerini hesaplayabiliriz.! =!! < 2,3 +!! > 2,3 =,66 +,66 =,332 Yada P değerini bir uçtaki olasılığı ikiyle çarparak da bulabiliriz. Genel olarak çift taraflı testlerde P değeri! = 2!(! >! ) ile bulunabilir. P değerini, ortalaması ve standart sapması olan Normal Dağılımı kullanarak Minitab da hesaplayın. 7. H o Kabul p=.332 H : µ = 3 reddedilir. Yani ölçümlük örnekleme dayanarak, ortalama islem süresi 3 sn'den farklıdır. Ortalama islem süresinin 3 sn'den düsük olduguna iliskin güçlü bir delil vardır. H o Red P=,332<α=,5 olduğu için H red Örnek 2 Çözüm: Bir mağaza yöneticisi yeni bir faturalandırma sistemi üzerine çalışmaktadır. Gerekli finansal analizler yapılmıştır. Yeni geliştirilen sistem eğer müşterilerinin aylık hesabı 7 TL den fazla ise maliyetleri azaltacaktır. Rassal olarak seçilen 4 müşterinin hesapları incelenmiş ve ortalaması 78 TL olarak bulunmuştur. Yönetici hesapların, standart sapması 65 TL olan normal dağılıma uyduğunu bilmektedir. Yönetici bu veriler ışığında, yeni sisteme geçmenin maliyeti düşüreceğini söyleyebilir mi? ( α =.5). İlgilenilen parametre ortalama aylık hesap miktarı µ 'dür. 2. H : µ = 7 TL 3. H : µ > 7TL 4. α =.5 x µ 5. Test istatistiği z = σ / n 5

6 6. 7. Hipotez Testleri ve Güven Aralıkları Arasındaki İlişki Sözgelimi θ gibi herhangi bir kitle parametresi hakkındaki bir hipotez testi ve bu θ için güven aralığı arasında yakın bir ilişki mevcuttur. [l,u], θ parametresi için % (-α) güven aralığı ise, θ sadece ve sadece % (- α) güven aralığı sınırları içinde değilse H reddedilir. Sonuç: H : µ = 7 reddedilir. Yani 4 ölçümlük örnekleme dayanarak, ortalama hesap miktarı 7 TL'den farklıdır. Dolasıyla, ortalama hesap miktarının 7 TL'den fazla olduguna iliskingüçlü bir delil vardır. Yeni sisteme geçis maliyetleri azaltır. Seçilecek anlam düzeyinin,69 dan küçük olması durumunda H hipotezi reddedilemeyecek,,69 dan büyük olması durumunda H hipotezi reddedilecektir. H : θ = θ H : θ θ Örnek Montaj işlem süresi örneğine geri dönersek kurulan hipotez aşağıda verilmiştir. H : µ = 3 sn H : µ 3 sn Anakitle Ortalaması İçin ve Güven Aralığı Anakitle standart sapması biliniyor. Örnek: Bir deterjan paketi doldurma hattı her bir pakete 4 kg. deterjan doldurmaktadır. 2 birimlik bir örneklem alinmış ve ölçülen gram ağırlıkları aşağıda verilmiştir: Ortalama işlem süresinin % 95 güven aralığı: 3 değeri % 95 güven aralığında olmadığı için H :µ=3 sıfır hipotezi reddedilir. Geçmiş veriler standart sapmanın 25 gramdır. Sürecin dağılımını ve paket ağırlık ortalamasının 4 kg. olup olmadığını araştırın. 6

7 Anakitle Ortalaması İçin ve Güven Aralığı Anakitle standart sapması biliniyor. Anakitle Ortalaması İçin ve Güven Aralığı Anakitle standart sapması biliniyor. Örneklem verileri özet haldeyse bu bölümü kullan Örneklem verisinin istatistiksel özeti Anakitle ortalamasının % 95 lik güven aralığı. Hesaplanan aralık % 95 güvenle anakitle ortalamasını kapsar. Daha yüksek bir güven düzeyi seçilirse, örneklem büyüklüğü arttırılmadığı sürece aralık genişler. defa örneklem alıp aralık hesaplasak ve H hipotezini reddetsek, bunların yalnızca inde reddetmememiz gerektiği halde H ı reddederiz. Anakitle Ortalaması İçin ve Güven Aralığı Anakitle standart sapması biliniyor. Anakitle Ortalaması İçin ve Güven Aralığı Anakitle standart sapması biliniyor. Aralığın güven düzeyini bu bölümden değiştirebilirsiniz. Alternatif hipotezin tipi, bu bölümden tanımlanabilir. 7

8 Anakitle Ortalaması İçin ve Güven Aralığı Anakitle standart sapması bilinmiyor. Anakitle Ortalaması İçin ve Güven Aralığı Anakitle standart sapması bilinmiyor. Anakitle standart sapması bilinmiyorsa, referans dağılım t dağılımıdır Anakitle Oranı İçin ve Güven Aralığı Bir otomobil üreticisi, Still paketine fiyatı arttıran otomatik park özelliğini eklemeyi düşünmektedir. Ancak, bu özelliğin çok az sürücü tarafından kullanılacağı ve bu özelliği satın almaya istekli olacağı düşünülmektedir. Bu düşünceyi onaylamak için rassal olarak seçilmiş 2 sürücüye bir anket uygulanmış ve bu sürücülerden sadece 7 sinin bu özelliği satın almak isteyeceği görülmüştür. a) Otomatik park özelliğini satın alacak sürücülerin oranı için % 95 lik güven aralığı hesaplayın. b) Üretici, eğer otomatik park özelliğini satın alacak müşterilerin oranının % dan küçük olduğuna ilişkin delil bulabilirse, bu özelliği Still paketine eklemekten vazgeçecektir.,5 anlam seviyesi için bu durumu analiz edin. Anakitle Oranı İçin ve Güven Aralığı Bu bölümü örneklem verisini sayısal (/) yada (Evet/Hayır) şeklinde sütuna girdiyseniz kullanın. Varsayılan değerler Elle yapılırken np>5 ve n(-p)>5 için Binom dağılımına Normal Dağılımla yaklaşılabilir. Minitab, gerçek dağılımı kullanır. 8

9 Anakitle Oranı İçin ve Güven Aralığı Normallik Testi Problemde p nin % dan küçük olduğunu göstermek istediğiniz için alternatif hipotezin less than olarak formüle edildiğine dikkat edin. Bu bölümde ya verilerin yüzdelik değerlerini yada veri değerlerini girebilir yada none seçeneğini seçebilirsiniz. Test tipi. Varsayılan olarak Anderson- Darling testi kullanılır. P=,285 değeri anlam düzeyi,5 ten çok küçük olduğu için H hipotezini reddedemeyiz. Buna göre otomatik park özelliğini kullanmak isteyen sürücülerin oranı % dan azdır. Firma bu sonuca göre bu özelliği Still paketine eklemekten vazgeçecektir. Deterjan örneğindeki ağırlık verilerinin dağılımının Normal Dağılıma uygunluğunun testi için: Stat>Basic Statistics>Normality Test Normallik Testi Normallik Testi 9

10 Normallik Testi