ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM317 Mühendislik İstatistiği İSTATİSTİKSEL TAHMİN Prof. Dr. Nihal ERGİNEL

Transkript

1 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM317 Mühendislik İstatistiği İSTATİSTİKSEL TAHMİN Prof. Dr. Nihal ERGİNEL

2 İSTATİSTİKSEL TAHMİN Örnekten anakütle parametrelerinin tahmin edilmesidir. İki tür tahminleme yöntemi vardır: 1-Nokta tahminlemesi (Point estimation) - Aralık tahminlemesi (Interval estimation)

3 İYİ BİR TAHMİNLEYİCİNİN ÖZELLİKLERİ: Yansızlık (Unbiasedness) B( θ) = B ( X) = µ (yansız tahminleyici) B( θ) = B ( X + α) = B ( X)+ B (α) = µ + α (yanlı tahminleyici) Kararlılık (Consistency) n (or N) iken X µ ise ve P( X µ ) = 1 ise kararlı tahminleyicidir.

4 Etkinlik (Efficiency) n 1 = n iken, V( θ 1 ) < V( θ ), X 1 daha etkin tahminleyicidir. Yeterlilik (Sufficiency) x i : rassal değişken f(x i ) : olasılık yoğunluk fonksiyonu iken, f(x 1, x,.., x n / θ ), θ dan bağımsız ise θ, θ için yeterli bir tahminleyicidir.

5 1-Nokta Tahminlemesi B[ X ] = µ, B[S ] = σ Risk: Anakütle ortalaması µ nün örnek ortalaması ile tahmin edilmesine ilişkin risk, X nın µ den mutlak farkın uygun bir hata düzeyi e den fazla olma olasılığıdır.

6 Risk = P( X - µ > e ) = α : anlam düzeyi

7 Ortalamalar için: X ~ N (µ, σ n ) Tek taraflı baktığımızda, P ( X - µ > e )= α ise, P (e < X - µ)= α / olur. P( e σ x < X µ σ x e ) = P ( < z) = α/ e Buradan, σ/ n σ/ n = z α/ elde edilir. n= Zα e. σ nokta tahminlemesinde alınması gereken örnek büyüklüğü

8 Anakütle az ve iadesiz örnek seçiliyorsa; alınması gereken örnek büyüklüğü: n = N.(z α/ ). σ N 1 e + (z α/ ). σ

9 Oranlar için; P( p p > e ) = Risk = α iken, P( p p > e) = P( p p < e) = α olur P( e σ p < p p σ p ) = α P( e σ p < z) z= e p(1 p) n n = (z α/ ).p(1 p) e

10 Anakütle küçük ve iadesiz örnek ise; alınması gereken örnek büyüklüğü: n = N.(z α/ ).p(1 p) N 1 e +(z α/ ).p(1 p)

11 ÖRNEK Bir bisküvi paketleme makinesinden alınan örnekler gramajlarının belirlenmesi amacıyla tartılmış ve aşağıdaki değerler elde edilmiştir Buna göre; a) Anakütlenin ortalama ve standart sapmasını tahmin ediniz. b) Örnekten anakütle ortalaması tahmin edilirken yapılacak hatanın en fazla 5gr olması istenirse, % 95 güven seviyesinde alınan örnek büyüklüğünün yeterli olup olmadığını belirleyiniz.

12 ÇÖZÜM 0 i=1 Xi a) X= 0 = = 80,9 B[ X] = µ olduğu için µ = 80,9 gr S 0 i=1 (xi x) = = 665,8/ 19 = 35, B[S ] = σ olduğu için σ = 35,04 olur.

13 b) e = 5 gr α = 0,05 Zα = Z0,05= 1,96 n = (z α/). σ e = 1,96.35, adet

14 Aralık Tahminlemesi Her zaman tekbir değer anakütleyi temsil etmeye yetmez. Belirli bir güvenle anakütle parametresinin belirlenmiş aralıkta çıkmasıdır. L µ u güven aralığı Güven Seviyesi: Aynı anakütleden alınan, aynı büyüklükteki örneklerden elde edilen aralık tahminlerinin µ yü içerenlerin oranı olarak tanımlanır. (1-α)

15 Şekilde 10 örnek alınmış ve 1 örnek için hesaplanan güven aralığı, anakütle parametresi µ yü içermemektedir. Güven seviyesi %90 dır. Aldığımız 1 kerelik örnek %90 güvenle µ yü içerir.

16 L: Alt güven sınırı (Lower confidence limit) U: Üst güven sınırı (Upper confidence limit) 1-α: güven seviyesi (confidence coefficient) α: anlam düzeyi (significant level) P L θ U = 1-α Çift yönlü güven aralığı P L θ = 1-α P θ U = 1-α Tek yönlü güven aralığı

17 Anakütle ortalamasının güven aralığı: σ biliniyor iken; X ~ N (µ, σ x µ ), z= ~ N (0,1) n σ/ n P z α/ z z α/ = 1-α olduğu görülmektedir.

18 P z α/ x µ z σ/ n α/ P x z α/. σ n µ x + z α/. σ n = 1-α ise ;

19 ÖRNEK: Bir tuğla üretim sürecinde tuğlanın boyutları için 5 adet örnek alınmış ve tuğlanın boyunun ortalaması 6,3 cm olarak bulunmuştur. Anakütle varyansı,56 ise %90 güven seviyesinde anakütle ortalamasının güven aralığını bulunuz.

20 ÇÖZÜM: x: tuğla boyu(cm) n = 5 adet x = 6,3 cm, σ =,56 σ biliniyor σ= 1,6 cm, α = 0,1 Anakütle µ nün % 90 güven seviyesinde güven aralığı: x z α/. σ n µ x + z α. σ n

21 = 6,3 z0,01. 1,6 5 µ 6,3 + z0,01. 1,6 5 = 6,3 1,65. 1,6 1,6 µ 6,3 + 1, = 5,77 µ 6,83 Yorum: % 90 güvenle anakütledeki tuğlaların boyu 5,77cm ile 6,83 cm arasındadır.

22 ! σ bilinmiyor ise yerine S kullanılır. x z α. S n µ x + z α. S n n 30 x t α ;n 1. S n µ x + t α ;n 1. S n n < 30 Eğer anakütle dağılımı Normal ve σ biliniyor ise, n < 30 olsa bile; güven aralığı tahmininde Normal Dağılım (z) kullanılır.

23 ÖRNEK: Bir üretim hattından alınan 0 adet seramik karonun ağırlıkları tartılmıştır. Ortalama 75,8 gr, S = 6,78 olarak bulunmuştur. Buna göre üretim hattı anakütle ortalamasının %5 anlam düzeyinde güven aralığını bulunuz.

24 ÇÖZÜM: x: seramik karonun ağırlığı (gr) n = 0 adet x = 75,8 gr; S= 6,78, α = 0,05! σ bilinmiyor ve n<30 olduğu için t dağılımı kullanıyoruz.

25 x t α ;n 1. S n µ x + t α ;n 1. S n 6,78 = 75 t 0,05. ;0 1 0 = 75,8 (,093). 6,78 0 = 7,6 µ 78,97 6,78 µ 75,8+t 0,05. ;0 1 0 µ 75,8 + (,093). 6,78 0 Yorum: %95 güven seviyesinde seramik karo ağırlıklarının anakütle ortalaması 7,6 gr ile 78,97 gr arasında değişmektedir.

26 Anakütle oranının güven aralığı p: anakütle oranı p: örnek oranı olmak üzere; σ p = p(1 p) n p p σ p ~ N (p;σ p ) ise; p z α/. σ p p p + z α/. σ p veya p z α/. p(1 p) n p p + z α/. p(1 p) n

27 ÖRNEK: Rassal olarak 75 adet otomobil mili incelenmiş ve bunlardan 1 tanesinin yüzey düzgünlüğünün verilen spesifikasyonlar dışında olduğu belirlenmiştir. Buna göre yüzey düzgünlüğü belirlenen spesifikasyonlar dışında olan millerin anakütle oranının %99 güven seviyesinde güven aralığını bulunuz.

28 ÇÖZÜM: n: 75 adet p = 1 = 0,16, α = 0,01 75 p z α/. p(1 n p) p p + z α/. p(1 n p) = 0.16-(,58) 0,16(1 0,16) 75 p (,58) 0,16(1 016) 75 =0,05 p 0,7 Yorum: %99 güven seviyesinde yüzey düzgünlüğü belirlenen spesifikasyonlar dışında olan millerin anakütle oranı 0,05 ile 0,7 arasında değişmektedir.

29 Anakütle Ortalamaları Arasındaki Farkın Güven Aralığı σ 1 ve σ biliniyor ise; σ X1 X = σ 1 n 1 + σ n ise; X 1 - X - Z α/. σ 1 n 1 + σ n µ 1 µ X 1 - X + Z α/. σ 1 n 1 + σ n

30 ÖRNEK: 1. diyet 95 kişiye,. diyet 100 kişiye uygulanmış ve ortalama kaybedilen kilolar sırasıyla X 1 =3 kg ve X = 5 kg olarak bulunmuştur. Standart sapmaları da sırasıyla 5 kg. ve 6 kg.dır. %95 güven seviyesinde, farklı diyet uygulamak kilo kayıplarını etkilemiş midir?

31 ÇÖZÜM: X 1 - X - Z α/. σ 1 n 1 + σ n µ 1 µ X 1 - X + Z α/. σ 1 n 1 + σ n 3-5-Z 0, µ 1 µ 3-5+Z 0, (1,96).(0,7894) µ 1 µ -+(1,96).(0,7894) -3,547 µ 1 µ -0,45 Yorum: %95 güven seviyesinde. diyet 1. diyete göre daha fazla kilo kaybettirmiştir.

32 σ 1 ve σ bilinmiyor ancak varyansların eşit olduğu varsayılıyor ise; (σ 1 = σ ) S p = n 1 1 S 1 + n 1 S n 1 +n X 1 - X - tα ;(n 1+n ).S p 1 n n µ 1 µ X 1 - X + tα ;(n 1+n ).S p 1 n n

33 ÖRNEK: Bir kimyasal süreçte iki farklı katalizör devre levhalarını aşındırmak için kullanılmaktadır. Bu iki katalizörün photoresist malzemeyi yok etme zamanları ölçülmüştür. 1. Katalizör için 1 adet örnek alınmış ve zaman ortalaması X 1 = 4,6 ve standart sapması S 1 = 0,85 olarak bulunmuştur... Katalizör için 15 örnek alınmış ve X =,1 dk. ve standart sapması S = 0,98 dk. olarak bulunmuştur. İki ana kütlenin varyanslarının eşit olduğu varsayımı ile %95 güven seviyesinde ortalamalar arası farkın güven aralığını bulunuz.

34 ÇÖZÜM: S p = n 1 1 S 1 + n 1 S n 1 +n = 1 1 S S 1+15 = 0,95 X 1 - X - tα ;(n 1+n ).S p 1 n n µ 1 µ X 1 - X + tα ;(n 1+n ).S p 1 n n 4,6-,1-t 0,05;(5).0, µ 1 µ 4,6-,1+t 0,05;(5).0, ,6-,1-(,06).0, µ 1 µ 4,6-,1+(,06).0,95 1,76 µ 1 µ 3, Yorum: % 95 güven seviyesinde katalizör 1 için photoresist malzemeyi yok etme zamanı 1,76 ile 3,4 dk. daha fazladır.

35 σ 1 ve σ bilinmiyor ancak varyansların eşit olmadığı varsayılıyor ise; (σ 1 σ ) X 1 - X - tα ; θ. S 1 + S n 1 n µ 1 µ X 1 - X + tα ; θ. S 1 + S n 1 n θ = S1 n1 + S n S1 /n1 + S /n n1+1 n+1

36 ÖRNEK: İki farklı tip çimento karıştırma aracından birisinin alınmasına kara verebilmek için her ikisi ile de denemeler yapılmıştır. 1. tip çimento aracında 15 deneme yapılarak beton oluşturulmuş ve betonun mukavemet ortalaması X 1 = 300 nt, varyansı 16 nt olarak bulunmuştur.. tip çimento aracında 10 deneme yapılarak beton oluşturulmuş ve betonun mukavemet ortalaması X = 35 nt, varyansı 49 nt olarak tespit edilmiştir. İki ana kütlenin varyanslarının eşit olmadığı varsayımı ile %95 güven seviyesinde ortalamalar arası farkın güven aralığını bulunuz.

37 X 1 - X - tα ; θ. S 1 + S n 1 n µ 1 µ X 1 - X + tα ; θ. S 1 + S n 1 n t 0,05; µ µ (,145) ,4 µ 1 µ 19,76 θ = S1 n1 + S n S1 /n1 + S /n n1+1 n+1 =14 t 0,05;14 =.145 Yorum: % 95 güven seviyesinde. çimento makinesinin beton mukavemeti, 1. çimento makinesinin beton mukavemetinden den daha fazladır.

38 Anakütle Oranları Arasındaki Farkın Güven Aralığı p 1 - p - Z α/. p 1 (1 p 1 ) n 1 + p (1 p ) n p 1 p p 1 - p +Z α/. p 1 (1 p 1 ) n 1 + p (1 p ) n

39 ÖRNEK: 75 adet otomobil mili incelenmiş ve 1 tanesinin yüzey düzgünlüğünün spesifikasyon limitlerinin dışında olduğu görülmüştür. Mühendisler yüzey düzgünlüğünü sağlamak için iyileştirme çalışmaları yapmış ve tekrar süreçten 85 adet örnek almıştır. Alınan örneklerden 10 tanesinin yüzey düzgünlüğü hatalı çıkmıştır. Buna göre yapılan iyileştirmenin yüzey pürüzlülüğünü gidermek için faydalı olup olmadığını %95 güven seviyesinde yorumlayınız.

40 ÇÖZÜM: n 1 = 75 n = 85 p 1 = 1/75= 0,16 p = 10/85=0,1 p 1 - p - Z α/. p 1 (1 p 1 ) n 1 + p (1 p ) n p 1 p p 1 - p +Z α/. p 1 (1 p 1 ) n 1 + p (1 p ) n 0,16-0,1-(1,96) 0,16 0, ,1(0,88) 85 p 1 p 0,16-0,1+(1,96) 0,16 0, ,1(0,88) 85-0,07 p 1 p 0,15 Yorum: Güven aralığı 0 değerinin içerdiği için yapılan iyileştirmenin kusurlu oranını azalttığı söylenemez. Bunun için veriler yeterli kanıt oluşturmamaktadır.

41 Eşleştirilmiş Gözlemlerin Güven Aralığı Aynı örneklerin farklı iki durumunun incelenmesidir.

42 X 1, X Normal dağılmış ve ortalaması µ 1, µ olan rassal değişkenler olsun. D i = x 1i - x i ise; S D = D i D n 1 M D = B[D]= B(X 1 - X )= µ 1 - µ σ D = V(X 1 - X ); (σ 1 σ ) olduğu varsayılıyor. (n 30 ) t = D D S D/ n ; n-1 serbestlik derecesinde. D - tα ;n 1. S D n µ D D + tα ;n 1. S D n

43 ÖRNEK: farklı araba markasının belirlenmiş bir park yerine paralel olarak park edilme sürelerinin birbirinden farklı olup olmadığı incelenmek istenmiş ve n=14 kişinin park etme süreleri aşağıdaki gibidir. %90 güven seviyesinde park etme süreleri arasındaki farkın güven aralığını bulunuz. Otomobil 1 Otomobil Fark 37 17,8 19, 5,8 0, 5,6 16, 16,8-0,6 4, 41,4-17, 1,4-19,4 33,4 38,4-5 3,8 16,8 7 58, 3, 6 33,6 7,8 5,8 4,4 3, 1, 3,4 9,6-6, 1, 0,6 0,6 36, 3, 4 9,8 53,8-4

44 ÇÖZÜM: d = 1,1 n=14 S d =1,68 D - tα ;n 1. S D n µ D D + tα ;n 1. S D n 1,1-t 0,05;13. 1,68 µ 14 D 1,1+t 0,05;13. 1, ,1-(1,771). 1,68 µ 14 D 1,1+(1,771). 1, ,79 µ D 7,1 Yorum: µ D aralığı 0 değerini içermektedir. Bu da % 90 güven seviyesinde iki arabanın park etme süreleri arasında fark olduğu iddiasını desteklememektedir.

45 Normal Dağılım Varyansının Güven Aralığı X ; µ ve σ bilinmeyen Normal dağılmış bir rassal değişken olsun. X 1, X,.., X n n birimlik rassal örnekler ve bunların varyansı da S olsun. Örnekleme dağılımı; χ = (n 1)S σ, n-1 serbestlik derecesinde olur

46 Anakütle varyansının güven aralığı; (n 1)S χ α ; n 1 σ (n 1)S χ 1 α ; n 1

47 ÖRNEK: Bir süt şişeleme tesisinde dolum sürecinin standart sapmasının 0 gramdan az olması isteniyor. Bu tesisten alınan 5 adet süt şişesi tartılmış ve varyansı 56 gr olarak bulunmuştur. Dolum işleminin normal dağıldığı varsayılırsa değişkenlik istenen düzeyde midir? (α = 0,05)

48 ÇÖZÜM: σ 400 gr istenmektedir. σ 0 gr n: 5 adet S = 56 gr Yorum: %95 güven seviyesinde anakütle varyansının istenen varyansı sağlamadığı görülmektedir. σ σ σ (n 1)S χ 1 α; n χ 1 0,05; ,85 σ 443 gr

49 İki Normal Dağılımın Varyanslarının Oranlarının Güven Aralığı X 1, X ortalaması µ 1, µ ve varyansları σ 1, σ bilinmeyen Normal dağılmış iki bağımsız rassal değişken iken; anakütle varyanslarının örnekleme dağılımı; F = S 1 /σ 1 S /σ (n 1), (n 1 1) serbestlik derecesinde olur.

50 Anakütle varyansları oranlarının güven aralığı; S 1 S. F 1 α ; n 1;n 1 1 σ 1 S 1 σ. Fα S ; n 1;n 1 1 olur.

51 ÖRNEK: Aynı parçayı üreten iki üretim hattının ana kütle varyansınını eşit olup olmadığını test etmek için sırasıyla 5 ve 30 birimden oluşan örnekler alınmış ve 1. Hattın varyansı 0,084;. Hattın varyansı 0,095 olarak bulunmuştur. Sonucu %90 güven seviyesinde yarumlayınız.

52 ÇÖZÜM: S 1 F α 1 ; n 1;n 1 1 = 1 Fα ;n 1 1;n 1 S. F 1 α ; n 1;n 1 1 σ 1 S 1 σ. Fα S ; n 1;n 1 1 0, σ 1 0,084.F 0,095 F 0,05; 4;9 σ 0,095 0,05; 9;4 F 0,05; 9;4 = 1,94 F 0,95; 9;4 = = 1 1,89 = 0,59 1 F 0,05; 4;9 0,084 0,095.(0,59) σ 1 0,4677 σ 1 σ 1,7 σ 0,084 0,095.(1,94) Yorum: Güven aralığı 1 i içerdiği için %90 güven seviyesinde varyanslar arasında fark olduğu söylenemez.