sorusu akla gelebilir. Örneğin, O noktasından A noktasına hareket, OA sembolü ile gösterilir

Transkript

1 BÖLÜM 1: VEKTÖRLER Vektörleri taımlamak içi iki yol vardır: uzayda oktalara karşılık gele bir koordiat sistemideki oktalar veya büyüklük ve yöü ola eseler. Bu kısımda, ede iki vektör taımıı buluduğu açıklaacak ve iki kavram ilişkiledirilmeye çalışılacaktır. Vektörler geellikle büyüklük ve yöe sahip eseler olarak öreği; ötelemeler, yer değiştirmeler, hızlar, kuvvetler vb. kullaılır. Bu şekilde taımlaa vektörlere serbest vektörler deir. Dolayısıyla bu taımla bir vektör, paralel yöledirilmiş doğru parçalarıı sosuz bir kümesidir. Öreği bir uçta diğer uca üç birim ve bir birim yukarı öteleme ele alısı. Bu öteleme uyguladığıda, (0,0) oktası (3,1) oktasıa gider ve (5,7) oktası ise (8,8) oktasıa gider ve diğer her okta bezer şekilde öteleir. Buu göstermek içi diyagramlar çizilebilir. Ayı öteleme vektörüyle düzlemi tüm oktalarıı ayı ada taşıabilir. Bu edele serbest vektör bir öteleme ile ayı şey olarak düşüülebilir. Şekildeki yöledirilmiş doğru parçalarıı her biri ayı vektörü temsil eder. Her durumda vektör belirli bir oktada başlar, daha sora 2 birim sola, 5 birim yukarı hareket eder. Taım: Başlagıç oktası üzeride hiçbir kısıtı olmaya vektöre serbest vektör deir. Geellikle belirli bir taşımayı temsil etmek üzere sosuz elemalı kümede tek bir doğru parçası seçilir. Pratikte tüm kümeyi temsil etmek içi ede tek bir temsilcii seçildiği sorusu akla gelebilir. Öreği, O oktasıda A oktasıa hareket, OA sembolü ile gösterilir ve bu yer değiştirme sembolü OA vektörü olarak adladırılır. Eğer A oktasıda C oktasıa doğru hareket devam ederse, toplam yer değiştirme bu iki yer değiştirmei vektörel OA AC toplamıdır ve OC yölü doğru parçasıa eşittir.

2 Acak O belirlemiş sabit bir okta olarak dikkate alıdığıda, OA vektörü, ayı yö ve büyüklüğe sahip serbest vektörleri oluşturduğu kümede seçile bir yölü doğru parçasıdır ve koum vektörü olarak adladırılır. Diğer bir ifadeyle, koum vektörleri hakkıda kouşurke, vektörü başlagıç ve so oktası belirtilmektedir. Koordiat sistemii başlagıcıı taımlaya ve koum vektörlerii kullaılabilmesie olaak sağlaya özel bir vektör vardır. Bu vektör sıfır vektörüdür ve R uzayıda 0 (0,0, 0) ifadesi ile taımlaır. Sıfır vektörü sosuz sayıda doğrultu ve yöe sahiptir. Taım: Başlagıç ve bitim oktaları çakışık ola vektöre sıfır vektörü deir. Taım: Sabit bir başlagıç oktasıa sahip ola vektöre koum (yer) vektörü deir. Taım: Kartezye sistemide başlagıç 0 (0,0, 0) oktasıı bir A oktasıa birleştire OA vektörüe A oktasıı koum vektörü adı verilir. Matematikte oktalar ve uzaylar (meka, yer, boşluk) temel soyut kavramlar olarak düşüülür ve bir koordiat sistemi kullaarak bir uzay modeli oluşturulur. Üç boyutlu bir koordiat sistemi, basitçe gerçek sayıları ( x, y, z) sıralı üçlülerii sosuz bir kümesidir ve her okta, oktaı koordiatları olarak adladırıla bu sıralı üçlülerde birie karşılık gelir. Her serbest vektöre (veya öteleme içi), o öteleme altıda oriji ile ilişkili bir koum vektörü karşılık gelir. Böylece koum vektörleri uzayda oktalar olarak taımlaır ve her bir vektörüe, eşsiz (tek, yegae) bir OP vektörü karşılık gelir. P koum Bir koordiat sistemi seçildiğide, uzaydaki ayı yö ve büyüklüğü taımlaya serbest vektörler kümeside bir vektör, belirlee koordiat sistemideki bir oktayı temsil eder. Eğer A oktasıı uzaydaki yeri, seçile koordiat sistemi ile ( xa, ya, z a) şeklide belirlemiş ise, koum vektörü a ( x, y, z ) sıralı üçlüsü ile taımlaır. Souç olarak A oktası, a a a koum vektörü a ve serbest vektörler kümesi arasıdaki ilişki açıkça görülebilir. Serbest vektörler ile koum vektörleri arasıda kavramsal bir ayrım söz kousuysa da, her iki türü de birbirii yerie kullamak mümküdür. Acak taımlar hakkıda et bilgi yoksa bu karışıklığa ede olabilir.

3 Souç olarak grafiksel alamda, vektörler yöledirilmiş doğru parçaları ile temsil edilir. Doğru parçasıı uzuluğu vektörü büyüklüğüdür ve doğru parçasıı yöü vektörü yöüdür. Buula birlikte serbest vektörler, iceliği ya da hareketi uyguladığı yer hakkıda herhagi bir bilgi vermediğide, ayı uzuluk ve yöe sahip herhagi bir yöledirilmiş doğru parçası ayı vektörü temsil edebilecektir. Bu edele çalışmalarda geellikle koum vektörleri tercih edilir. Taım: Matematik, istatistik, mekaik gibi çeşitli bilim dallarıda uzuluk, ala, hacim, yoğuluk, kütle, elektriksel yük gibi büyüklükler, cebirsel kurallara göre ifade edilirler. Bu tür çokluklara skaler büyüklükler deir. Taım: Hareket, hız, kuvvet vs. gibi hem yöü, hem doğrultusu, hem de büyüklüğü ola çokluklara vektörel büyüklükler deir. 1.1 VEKTÖRLERİN TOPLAMI VE SKALERLE ÇARPIMI Öceki bölümlerde vektörleri e olduğu ve asıl gösterildiği hakkıda bilgiler verilmişti. Bu kısımda ise cebirde taımlaa toplama ve skalerle çarpma işlemlerii vektörler üzeride asıl uygulaacağı taıtılacaktır Vektör Toplamı Vektörleri toplamı içi iki temel yaklaşım mevcuttur. Bular; aalitik ve geometrik toplamdır. Gösterim ve kullaım açısıda farklı uygulamalara sağladığı yararlar edeiyle her iki toplamada da kısaca bahsedilecektir. Aalitik Toplam Her bir vektör ekselerde e az bir bileşee sahip olduğuda, aalitik olarak toplamıda bahsedilebilir. v 1 ve 2 v bileşelerie sahip iki boyutlu bir v vektörü ele alısı. v vektörüü sütu vektörü ciside gösterimi v v 2 1 v biçimidedir. Satır vektör ciside gösterimi ise v, v v şeklidedir. Bezer şekilde bir 1 2 w w 2 1 w vektörü taımlası. Bu durumda v ve w vektörlerii toplamı, karşılıklı bileşeleri toplamı olarak ifade edilir. Diğer bir ifadeyle, birici vektörü ilk bileşei ile diğer vektörü ilk bileşei toplaır ve bu toplam yei oluşa vektörü birici bileşei olur. Bezer şekilde ilk vektörü ikici bileşei ile diğer vektörü ikici bileşei toplaır ve bu toplam yei oluşa vektörü ikici bileşei olur. Aşağıda sütu ve satır vektör ciside toplamlar sırasıyla gösterilmiştir.

4 v1 w1 v1 w1 v + w v w v w v, v w, w v w, v w v w Bu toplam boyutta yapılırsa; v = v 1 + v v olmak üzere, v = v + v + + v,, v + v + + v yie bir vektör olur. Geometrik Toplam m Düzlemde vektörleri toplaması geometrik kurallara göre olur. Yaygı olarak kullaıla yötemler: uç uca ekleme ve paralel kear yötemidir. Uç Uca Ekleme (çokge) Metodu: Uç uca ekleme metodua göre, vektörleri doğrultusu, yöü ve büyüklüğü değiştirilmede, birii bitiş oktasıa diğerii başlagıç oktası gelecek şekilde uç uca ekleir. Daha sora ilk vektörü başlagıç oktasıda so vektörü bitiş oktasıa çizile vektör, toplam vektörüü (bileşke vektör) verir. Taım: Vektörler sırası ile birii başlagıç oktası diğerii bitim oktasıa gelecek şekilde yerleştirilir ve ilk vektörü başlagıç oktasıı so vektörü bitim oktası ile birleştire vektör toplam ya da bileşke vektör olarak adladırılır. Paralel Kear Metodu: Paralel kear metodu ile iki vektörü toplamak içi, bu iki vektörü başlagıç oktaları ayı olacak şekilde bir oktaya taşıır ve bir paralel kear oluşturulur. Oluşa paralel kearı köşegei toplam vektörü verir. Vektörlerde çıkarma işlemi de bezer biçimde yapılmaktadır. işlemii tersi olduğuda k l k ( l ) bağıtısı kullaılabilir. Dolayısıyla k l vektörüü bulmak içi l vektörüü ters çevrilip yukarıda sözü geçe metotlar kullılarak isteile souç elde edilebilir. Öreği paralel kear metoduu geometrisi aşağıdaki şekillerde gösterilmiştir.

5 1.1.2 Vektörleri bir Skaler ile Çarpımı Bir vektörü bir skaler ile çarpımı, vektörü doğrultusuu değiştirmeye bir işlemdir. Fakat skaleri büyüklüğü ve işareti, çarpıla vektörü yöüü ve büyüklüğüü değiştirir.öreği; v1 v v 2 vektörü içi sırasıyla c 2 ve 2v v 2, v 1 1 2v v 2 v olur. 2 c 1 skalerleriyle (reel sayı) çarpılırsa; Bir vektörü bir skaler ile çarpımıı soucu, yie bir vektördür. Vektörleri bir skaler ile çarpımı e temel öreği, doğru deklemlerii elde edilmesidir. Aşağıdaki başlıkta bu kou icelemiştir. Doğru Deklemi ve Vektörler Vektörler ile doğru deklemi arasıda bir ilişki vardır. Vektörler kullaılarak doğru deklemleri oluşturulur. İki boyutlu vektörleri kullaarak bir doğru deklemi yazılsı: Öcelikli olarak keyfi bir başlagıç oktası belirlemelidir. Kolaylık açısıda başlagıç oktası O(0,0) olsu. Düzlemde çizile keyfi bir doğru ele alısı ve bu doğruya paralel ola bir doğrultma vektör ise d [ a, b] olsu. Doğru üzeride belirlee A( x, y ) ve B( x0, y 0) oktaları olsu. A oktasıı doğru üzeride hareketli bir okta olduğu ve B oktasıı ise sabit olduğu varsayılsı. Düzlemde

6 A( x, y) ve B( x, y ) 0 0 oktalarıı belirlediği AB vektörü, AB OA OB biçimide yazılabilir. Ayrıca d AB bağıtısı mevcuttur. Tüm bu bilgilerde yola çıkarak; Ayı zamada AB OA OB A( x, y) O(0,0) B( x, y ) O(0,0) A( x, y) B( x, y ) ( xx, y y ) 0 0 d AB yazılabilir. Dolayısıyla, olduğuda ve doğrultma olması edeiyle k içi kd AB,,, AB x x y y k a b ka kb. 0 0 Sıralı ikilileri taımıda, x x ka 0 y y kb 0 olup doğruu parametrik deklemi elde edilmiş olur. Deklemdeki parametre k reel sayısıdır. Dikkat edilirse bu sayı değiştikçe doğruu rastgele seçile A(x, y) oktaları elde edilecek ve AB vektörüü boyu, bu parametreye bağlı olarak değişecektir. Şimdi de elde edile bu parametrik deklemde k parametresi her bir eşitlikte yalız bırakılırsa, koordiatlar arasıda x x y y k a b 0 0 bağıtısı elde edilir. Bua doğruu Kartezye deklemi deir. Bu doğruu deklemi geellikle d ile gösterilir ve aşağıdaki biçimde yazılır. 0 0 d : x x y y. a b Bezer biçimde üç boyutlu uzayda da doğru deklemi elde edilebilir. Taım: u ile v gibi iki vektörü, yöleri ayı ve büyüklükleri eşit ise eşit vektörlerdir. Eğer k u = v ise elde edile ku vektörü, u vektörü ile ayı doğrultuda fakat zıt yödedir. Taım: u ile yöü zıt fakat büyüklüğü eşit ola vektör -u ile gösterilir.

7 Taım: Bir u vektörüü ku çarpımıda k=-1 ise, (-1)u vektörüe, u vektörüü toplamaya göre tersi deir: u+(-u)=0 Taım: u ve v herhagi iki vektör ise buları farkı, vektörleri karşılıklı elemalarıı cebirsel farkı ile elde edile vektördür: u+(-v)=u-v=w w u,, 1v1 u v temsili başlagıç ve so oktaları göz öüe alıdığıda, bir vektörü asıl oluşturulacağıda bahsedilmelidir. Verile A ( a1, a2, a3) ve B ( b1, b2, b3 ) iki okta olsu. AB doğru parçasıı temsil ede vektör, v b a, b a, b a Yukarıdaki vektör, A'da başlaya ve B'de bite vektördür. B'de başlaya ve A'da solaa vektör, diğer bir deyişle temsili BA ola vektör; w a b, a b, a b olur Bu iki vektör farklıdır. Bu edele hagi oktaı başlagıç oktası ve hagi oktaı bitiş oktası olduğua dikkat edilmelidir. İki okta arasıdaki vektörü belirlerke, başlagıç oktası her zama bitiş (termial, uç) oktasıda çıkartılır. w fark vektörü u ve v vektörlerii taımladığı paralelkearı diğer köşegeidir. Vektör toplamları ve skaler ile çarpımları içi aşağıdaki şekiller iceleebilir. Vektörler sadece büyüklük ve yö verir. Niceliği uyguladığı yer hakkıda herhagi bir bilgi vermezler. Bu bilgi, vektörler ile ilgili daima hatırlaması gereke öemli bir bilgidir.

8 1.2 VEKTÖRLERİN UZUNLUĞU VE BİRİM VEKTÖR Üç boyutlu koum vektörüü uzuluğuu karesi; Uzuluk, r OA OC CA OB BC CA x y z r x y z Taım: Bir u vektörüü uzuluğu vektör elemalarıı karelerii toplamıı kareköküdür ve taımlaır: u ile u u u u Taım: Uzuluğu ya da salt değeri 1 e eşit ola vektörlere birim vektör deir. Bir u vektörü, e u u işlemi ile birim vektöre döüştürülebilir. Bir u vektörü, birim vektör ve uzuluğu ciside yazılabilir: u u e Taım: Bir vektörü ormalize edilmesi, uzuluğuu bir birim olacak şekilde ölçeklemesidir. Bu amaçla vektörü tüm bileşeleri, vektörü uzuluğua bölüür. u ( u, u, u ) 1 2, u u u u ise ormalize edilmiş vektör u N u1 u2 u,,, u u u Taım: Üç boyutlu kartezye sistemde başlagıç (oriji) O (0,0,0) oktasıı; (1,0,0), (0,1,0) ve (0,0,1) oktalarıa birleştire vektörlere sırası ile ox, oy, oz ekselerii birim vektörleri deir. i, j, k ile gösterilirler: i (1,0,0) j (0,1,0)

9 k (0,0,1) - boyutlu uzayı birim vektörleri de bezer biçimde taımlamaktadır. Bu birim vektörler e 1 e e e 2 3 0,1,0,0,,0 0,0,1,0,, 0 1,0,0,0,,0 0,0,0, 0,, 1 biçimde ifade edilir. Teorem: Üç boyutlu uzaydaki herhagi bir u ( u1, u2, u3) vektörü, i, j, k birim vektörlerii doğrusal kombiasyou olarak yazılabilir: u u i u j u k Bu ifadeye u vektörüü aalitik gösterimi deir. Teorem: u u i u ju k u, u, u, v v v v, v, v v i j k ve k R olmak üzere, u v u v u v u + v i j k ku ku i ku j ku k ku, ku, ku Teorem: -boyutlu uzaydaki herhagi bir u ( u1, u2, u3,, u ) koum vektörü e1, e2,...,e birim vektörlerii doğrusal kombiasyou olarak yazılabilir: u u e u e u e Bu ifadeye u koum vektörüü aalitik gösterimi deir. 1.3 VEKTÖRLERİN ÇARPIMI Vektörleri çarpımı iki kısımda iceleebilir. Bular vektörleri kedileri ile skaler çarpımı ve vektörel çarpımıdır. Skaler çarpım literatürde okta çarpım veya iç çarpım olarak da adladırılmaktadır Skaler (Nokta) Çarpım İki vektörü okta çarpımı, iç çarpım uzaylarıda ayrıtılı olarak iceleecektir. Aşağıda bu çarpımı asıl yapıldığı hakkıda temel bilgiler verilmiştir.

10 u v = u. v.cos Bir vektörü kedisie izdüşümü, büyüklüğüü değiştirmede bıraktığı içi herhagi bir vektörü kedisiyle iç çarpımı, vektörü büyüklüğüü karesidir. uu uu cos0 u 2 Bu souç birim vektörlere uyguladığıda, herhagi bir birim vektörü kedisiyle çarpımıı bir olduğu soucua varılır. Bua ek olarak bir vektörü kedi başıa dik izdüşümü olmadığıda, herhagi bir birim vektörü diğeri ile okta çarpımı sıfırdır. î î ˆj ˆj kˆ k ˆ 1.1cos0 1 î ˆj ˆj k ˆ k ˆ î 1.1cos 90 0 Bu bilgi kullaılarak, Kartezye formdaki herhagi iki vektörü okta çarpımı içi bir formül elde edilebilir. Ortaya çıka souç karmaşık gibi görüür. Acak çoğulukla sıfıra eşit terimleri içermektedir. u v ( u î u ˆj u kˆ) ( v î v ˆj v k ˆ) x y z x y z u v uxvx uyvy uzvz u v u î u î u î v ˆj u î v kˆ x x x y x z u ˆj v î u ˆj v ˆj u ˆj v kˆ y x y y y z u kˆ v î u kˆ v ˆj u kˆ v kˆ z x z y z z İki vektörü okta çarpımı böylece paralel bileşeleri çarpımlarıı toplamıdır. Burada Pisagor Teoremi üç boyutta türetilebilir. uu u. u cos(0) uxux uyuy uzuz u u u u x y z Nokta çarpımı geometrik olarak icelediğide, iki vektör arasıdaki açıı oldukça kolay elde edilebildiği görülmektedir. Aşağıdaki şekilde u ve v vektörlerii iç çarpımıı geometrik alamı verilmiştir:

11 uv = OAOB OC OB A oktasıı v vektörü üzerideki dik izdüşümü C oktasıdır. Böylece AOC üçgei ortaya çıkar. OC vektörüü uzuluğu, u vektörü ve açısı kullaarak yazılabilir. Trigoometride bilidiği gibi, cos OC OA olup OC OA cos yazılırsa, elde edilir. Souçlar: u v OA. OB.cos u. v.cos a- İki vektör birbirlerie dik (ortogoal) ise aralarıdaki açı sıfır olur; u v u v cos 2 0 olup iç çarpım soucu 2 b- İki vektör ayı doğrultu ve ayı yölü ise aralarıdaki açı 0olup iç çarpım e büyük değerii alır; u v u v cos0 u v c- İki vektör ayı doğrultu ve zıt yölü ise aralarıdaki açı olup iç çarpım e küçük değerii alır; u v u v cos( ) u v d- -boyutlu uzayda iki vektör arasıdaki açı aşağıdaki formül ile buluabilir; cos u v u1v 1 u2v2 uv u. v u. v

12 Nokta çarpımı özellikleri: u, v, w herhagi üç vektör ve R olmak üzere, 1. u (v + w) = u v + u w 2. uv = vu 3. u v u v uv 4. u v u v 0 5. u 1uu 1 6. u u u 2, u 2 u Vektörel Çarpım İki vektörü birbirleriyle çarpılması soucuda bu iki vektöre dik bir vektör türete işleme vektörel çarpım deir. Literatürde çapraz çarpım veya dış çarpım olarak da bilimektedir. Aşağıdaki biçimde taımlaır: C = A B C A B A. B.si Aalitik olarak taımıa geçmede öce birim vektörleri vektörel çarpımlarıı eşitlerii bilmek gerekir. Buu içi sağ el kuralı olarak adladırıla kural ile vektörel çarpımı yöü tayi edilebilir. Bu kurala göre saat yöüü tersi pozitif + yö olarak seçildikte sora, 1-4 parmağımız ilk vektörü (çarpıma ilk sırada girecek ola vektörü) yöüü gösterecek şekilde sağ el düz olarak birici vektörü üzerie koulur. 2- Elimiz hala düz ike, avucumuzu içi ile iki vektör arasıdaki küçük açı taraır. 3- Dört parmağımıza dik tuttuğumuz baş parmağımız souç vektörüü yöüü verir.

13 u u, u, u ui u ju k ve v,, vektörel çarpımı aalitik olarak, v v v vi v j v k olmak üzere bu iki vektörü u v u v u v u v u v u v u v i j k u v u v, u v u v, u v u v biçimide yazılabilir. Bu çarpım, determiatlar kullaılarak aşağıdaki şekilde yapılabilmektedir. i j k uv u u u v v v Vektörel çarpımı e öemli geometrik alamlarıda birisi; u vçarpımıı uzuluğu yai u v değeri, u ve vektörleri ile oluşa paralelkearı alaıa eşittir. Yadaki şekilde paralel kearı yüksekliği v si, taba v uzuluğu ise u olup paralel kearı alaı A v. usi uv olur. Taım: u, v,w R ayı düzlemde bulumaya üç vektör olmak üzere, u v w 3, determiat taımı ile u v w u u u v v v w w w biçimide taımlaa işleme karma çarpım deir. Karma çarpımıı soucu daima bir skalerdir. Çükü, uve v w birer vektör olduğuda bu vektörleri okta (iç) çarpımı bir skaler taımlar.

14 Karma çarpımı büyüklüğü, bu çarpımı geometrik alamıı ortaya çıkarmaktadır. u, v, w vektörleri üzerie kurula paralel yüzlüü hacmi u v w u. v w.cos formülü ile bu hacim hesaplaabilir. Vektörel Çarpımı özellikleri: u, v,w R 3, ve cr olmak üzere; 1. u (v + w) = u v + u w 2. u v v u fakat, u v vu c u v cu v u cv u0 = 0u = 0 5. uu = 0 6. u. v w u vw u v w eşittir ve