2 T g ik u i u k = 1 (ρ + 3p), Burada ρ yoğunluk, p basınç ve η, ξ shear ve bulk viskozite katsayıları, θ skaler genişleme ve

Transkript

1 Perfect Fluid ideal akışkan) İçin Enerji-Momentum Tensörü T ik = ρ + p) u i u k + pg ik Burada ρ yoğunluk, p basınç ve u i 4-lü hız vektörüdür u i u i = 1). Özellikler: R ik u i u k = T ik u k = ρu i, T ik u i u k = ρ, T ik 1 ) T g ik u i u k = 1 ρ + 3p), T ik 1 T g ik = ρ + p) u i u k + 1 ρ p) g ik Burada T = g ik T ik = T i i = 3p ρ, yani T ik nın izidir. Zayıf, dominant ve kuvvetli enerji şartlarından ρ 0 ve ρ + 3p 0 elde edilir. p ile ρ arasında p = γ 1) ρ bağıntısı barotropik denklem) kabul edilir. Burada 1 γ arasında değerler alır. γ = 4 ise radiation ışınım) çağı, γ = ise stiff madde, γ = 1 ise toz 3 akışkan T ik = ρu i u k ) elde edilir. Viskoz fluid için enerji-momentum tensörü: T ik = ρ + p ξθ) u i u k + p ξθ) g ik ησ ik Burada ρ yoğunluk, p basınç ve η, ξ shear ve bulk viskozite katsayıları, θ skaler genişleme ve σ ik shear tensörüdür. Buradaki niceliklerin değerleriaşağıdadır: Skaler) Genişleme θ = u i ;i = g ik u i;k = 1 g gu i ),i Shear Tensörü µ ik = u i;k + u k;i + u i u k + u k u i olmak üzere σ ik = u i;k) + u i u k) 1 3 θh ik = 1 µ ik 1 3 θh ik dir. σ ik u k = 0, σ i i = g ik σ ik = 0, σ = 1 σ ikσ ik İvme Vektörü u i = u i;k u k, u i u i = 0 İzdüşüm Tensörü h ik = h ki = g ik + u i u k, h ik u k = 0, h i i = g ik h ik = 3, h ik u i;k = θ T ik 1 T g ik = ρ + p ξθ) u i u k + 1 ρ p + ξθ) g ik ησ ik T ik = ρ + p) u i u k + pg ik ηµ ik p = p ξ 3 ) η θ, T = 3p ρ ηθ 1

2 Rotasyon Tensörü ω ik = u [i;k] + u [i u k] = 1 u i;k u k;i + u i u k u k u i ) Vorticity Girdaplanma) Vektörü Özellikler: ω i = 1 g eiklm u k ω lm ω ik u k = 0, ω i u i = 0, ω = 1 ω ikω ik = ω i ω i R ik u i u k = Burada T = 3 p ξθ) ρ dir. Zayıf enerji şartı: T ik u i u k 0 ρ 0 Dominant enerji şartı: T il T l ku i u k 0 ρ 0 Kuvvetli enerji şartı: R ik u i u k = T ik u k = ρu i, T ik u i u k = ρ, T ik 1 ) T g ik u i u k = 1 [ρ + 3 p ξθ)] T ik 1 T g ik Isı Akısı İçin Enerji-Momentum Tensörü ) u i u k 0 1 [ρ + 3 p ξθ)] 0 ile tanılanır. doğrudur. T ik = q i u k) = q i u k + q k u i q i ısı akısı heat flow) vektörüdür ve yönü yüksek sıcaklıktan düşük sıcaklığa q i u i = 0 komoving hızlar için q 4 = 0 olur. Q = q i q i, q i = g ik q k, q i = κh k i T,k + T u k ) olarak tanmlanır. Burada κ ısı iletim katsayısı heat conduction coefficient), T sıcaklık ve h ik = g ik + u i u k izdüşüm tensörüdür. Radiation Işınım İçin Enerji-Momentum Tensörü Perfect fluid enerji-momentum tensöründe p = 1 3 ρ r alınarak bulunur. T ik = 4 3 ρ ru i u k ρ rg ik Burada ρ r ışınım yoğunluğudur. Massive Skaler Alan İçin Enerji-Momentum Tensörü T ik = 1 [ V,i V,k 1 4π g ik V,l V,l M V )]

3 where M is related to the mass m of the zero-spin particle by M = πm = m, h being Planck s h costant, = h. Skaler alan Mezon skaler alanı olarak alınabilir. Bu durumda M mezonun π durgun kütlesi olur. V,i = V ;i = V x, V,i = V ;i = g ik V i ;k = g ik V,k V,i V,i = g ik V,i V,k ) V V ;ik = V ;i;k = x i ;k ) V ;ik = V,i,k Γ l ikv,l = V x i x k Γl ik x l T = g ik T ik = T i i = M V,i V,i, R ik = χ T ik 1 ) Rg ik = χ V,i V,k 1 ) g ikm V Massive Skaler Alan İçin Klein-Gordon Skaler Dalga) Denklemi g ik V ;ik + M V = 0 veya V ;i ;i + M V = 0 M = 0 ise Zero-Mass Skaler elde edilir. Zero-Mass Massless) Skaler Alan İçin Enerji Momentum Tensörü T ik = 1 V,i V,k 1 ) 4π g ikv,l V,l Klein-Gordon Denklemi R ik = χv,i V,k g ik V ;ik = 0 veya V ;i ;i = 0, veya 1 g x i gv,i ) gv,i),i = 0 String Bulutu için enerji-momentum tensörü: T ik = ρ u i u k λx i x k Burada ρ parçacıklardan oluşan string bulutu için durgun enerji yoğunluğu, λ string gerilim yoğunluğu, u i string bulutunun 4-lü hızı ve x i string yönünü yani anizotropi yönünü gösteren 4-lü vektördür. Özellikler: u i u i = 1 u i = zamansal, x i x i = 1 x i = uzaysal, u i x i = 0 T = g ik T ik = ρ + λ), T ik u k = ρu i, T ik u i u k = ρ, R ik u i u k = T ik 1 ) T g ik u i u k = 1 ρ λ) = 1 ρ p, T ik 1 T g ik = ρ u i u k λx i x k + 1 ρ + λ) g ik Burada ρ p = ρ λ parçacık enerji yoğunludur. Stringler İçin Durum Denklemleri The State Equations for Strings): 3

4 1) Takabayashi String P-String): ρ = 1 + ω) λ, ω > 0, ρ p = ωλ, ω bir sabit. The equation of state for a cloud of Takabayashi strings or P-strings) is ρ = 1 + ω)λ, ρ p = ωλ), where ω is a constant, such that ω > 0. This equation is a direct consequence of Takabayashi s model of realistic strings. When ω is very small only geometric strings appear and for very large ω, particles dominate over strings. ) Nambu String Geometrik String): ρ = λ, ρ p = 0. The equation for a cloud of geometric Nambu) strings is ρ = λ, ρ p = 0). 3) Barotropic Denklem: ρ = ρλ) veya metrik katsayıları arasında bir bağıntı kabul edilir. A more general barotropic equation is ρ = ρλ), ρ p = ρ λ). Zayıf enerji şartı: T ik u i u k 0 ρ 0 Dominant enerji şartı: T il T l ku i u k 0 ρ 0 Kuvvetli enerji şartı: R ik u i u k = T ik 1 ) T g ik u i u k 0 1 ρ λ) = 1 ρ p 0 ρ λ Yukarıdaki şartlar λ nın işaretini kısıtlamaz. Yani λ < 0 sıfır ve λ > 0 olabilir. λ < 0 için, R ik 1Rg ik = T ik denklemleri sadece x i yönü boyunca sıfırdan farklı basınçlı anizotropik akışkan için alan denklemleridir. The equations of state are restricted by the energy conditions. We find that the weak energy condition T ik u i u k 0) as well as the strong energy condition T ik 1T g ik) u i u k 0) give us ρ λ with λ 0 or ρ 0 with λ < 0. The dominant energy condition T ik u i u k > 0, T il Tl k u i u k 0)implies ρ 0 and ρ λ. Thus, these energy conditions do not restrict the sign of λ. It may take values positive, negative or zero as well. Elektromagnetik Alan İçin Enerji-Momentum Tensörü T ik = 1 F il Fk l 1 ) 4π 4 g ikf lm F lm F ik = g il g km F lm, F k i = g lk F il, T = g ik T ik = T i i = 0. Antisimetrik Elektromagnetik Alan Tensörü 0 E x E y E z F ik = E x 0 H z H y E y H z 0 H x E z H y H x 0 F ik = A k;i A i;k = A k,i A i,k = A k x i A i x k 4

5 dir. Burada A i = φ, A) ler 4 lü potansiyellerdir φ skaler ve A vektör potansiyeldir). Birinci Grup Maxwell Denklemleri: Vektörel Gösterim E = 1 H c t, 1) H =0. ) İntegral Gösterim E.dl = 1 c t H.df, 3) H.df =0. 4) Bir kapalı kontur eğri) üzerinden bir vektörün integraline konturun etrafında vektörün dolanımı denir. Elektrik alanın dolanımına verilen konturdaki elektromotor kuvvet denir. Bu yüzden, 3) denklemi herhangi bir konturdaki elektromotor kuvvetin bu kontur tarafından sınırlanan yüzeyden geçen magnetik alanın zaman tüevinin eksi işaretlisine eşit olduğunu gösterir. Bir yüzey üzerinden bir vektörün integraline yüzeyden geçen vektörün akısı denir. Bu yüzden, 4) denklemi her kapalı yüzeyden geçen magnetik alan akısının sıfır olduğunu gösterir. Tensörel Gösterim F ik x l + F kl x i + F li x = 0 veya F k eiklm lm = 0. 5) xk Burada sadece i k l için sıfırdan farklı denklemler verir. Sadece dört tane bağımsız denklem vardır. Bu denklemler F ik;l + F li;k + F kl;i = 0 veya F [ik;l] = F [ik,l] = 0 Burada [ikl] anti- şeklindede vazılır ikl indislerinin dairesel permütasyon şeklinde yazılır). simetrizasyonu gösterir. İkinci Grup Maxwell Denklemleri: Vektörel Gösterim H = 1 E c t + 4π j, c 6) E =4πρ. 7) İntegral Gösterim H.dl = 4π c E.df =4π j + 1 4π ) E.df, 8) t ρdv. 9) 1 E ye kayma displacement) akımı denir. j = ρv akı yoğunluk vektörü, v verilen noktadaki 4π t yükün hızı, ρ yük yoğunluğu ve j i = ρ dxi = j, cρ) 4-lü akı vektörüdür. dt 5

6 8) denklemi herhangi bir kontur etrafında magnetik alanın dolanımı bu kontur tarafından sınırlanan yüzeyden geçen gerçek akım ve kayma akımının toplamının 4π/c katına eşit olduğunu gösterir. 9) denklemi kapalı bir yüzeyden geçen elektrik alan akısının bu yüzey ile sınırlanan hacimdeki toplam yükün 4π katına eşit olduğunu gösterir. Tensörel Gösterim F ik x k = 4π c ji veya F ik ;k = 1 g x k gf ik ) = 4π c ji. 10) Burada i = 1,, 3 için 6) denklemini i = 4 için 7) denklemi elde edilir. Süreklilik Denklemi: Vektörel gösterim: j + ρ t = 0. 4-boyutlu gösterim: j i x = 0 veya i ji ;i = 1 ) gj i = 0. g x i Birinci ve ikinci grup Maxwell denklemleri elektromagnetik alanı tamamen belirler. denklemler elektrodinamiğin temel denklemleridir. Bu S = c 4πE E, W = E + H 8π Sırasıyla Poynting vektörü ve elektromagnetik alanın enerji yoğunluğudur. Magneto Fluid İçin Enerji-Momentum Tensörü [ T ik = µ h u i u k + 1 ) ] g ik h i h k Karışık formda: [ Ti k = µ h u i u k + 1 ) ] δk i h i h k Burada µ magnetik permabilite geçirkenlik), h i magnetik akı vektörüdür. h i = 1 µ F ki u k = g µ e iklmf lm u k, F ik = 1 geiklm F lm olarak tanımlanıyor. Burada F ik elektromagnetik alan tensörü, F ik dual elektromagnetik alan tensörü ve e iklm antisimetrik Levi-Civita tensör yoğunluğudur e 134 = 1 dir). Maxwell Denklemleri: 1) F [ik;l] = 0 veya F ik,l + F li,k + F kl,i = 0 Birinci grup Maxwell denklemleri ) ) 1 1 ) µ F ik = J i veya µ F ik = J i İkinci grup Maxwell denklemleri ;k,k 6

7 Tachyon Alann Enerji Momentum Tensörü The Lagrangian L = V T ) 1 + g µν µ T ν T det g µν ) = V T ) det G µν ) where what we shall call the tachyon metric is given by G µν = G) µν = g µν + µ T ν T The potential V T ) is taken to be non-negative have a unique local maximum at the origin T = 0 and a unique global minimum away from the origin at which V vanishes. In the most interesting case the global minimum is taken to lie at T =. Obviously more complicated potentials may be contemplated but this is the simplest case to begin with. Small fluctations around the false vacuum at T = 0 have negative mass squared and so it is unstable. How does the system evolve? The equation of motion is ) g µν µ T ν T 1 + T ) µ ν T = V 1 + T ) ). 11) V From 11 we have deduce that contrary to popular prejudice: the tachyon is not a tachyon! If we define the tachyon co-metric by G 1 ) µν = g µν µ T ν T 1 + T ), 1) so that G 1 ) µν Gνλ = δ µ λ. 13) we see that the characteristic cones of 11 are given by the co-metric G 1 ) µν and the rays by the metric G µν. The energy momentum tensor T µν of the tachyon takes the form: T µν = V 1 + T ) G 1) µν 14) Specially, in a local frame in which T depends only upon time, ρ = 1 V T ), P = V T ) 1 Ṫ. 15) Ṫ Thus P = V T ). 16) ρ 7

8 Note that because of the square root, Ṫ can never exceed unity. If it were the case that V T ) were a constant, independent of T then 16 is the equation of state of what is called a Chaplygin gas. Tachyons and the strong energy condition It is clear that at high density, both the Chaplygin and tachyon case violate the strong energy condition. In fact ρ + 3P = Thus the strong energy condition fails if T < V 1 T 3 ) T. 17) 3. 1 Monopoller Enerji Momentum Tensörü Monopoller için Lagrangian L = 1 µφ a µ φ a 1 4 φ a φ a η ) olmak üzere Monopollerin enerji momentum tensörü dir. T µν = µ φ ν φ g µν L 8