Doğrusal Demet Işıksallığı 2. Fatma Çağla Öztürk

Transkript

1 Doğrusal Demet Işıksallığı Fatma Çağla Öztürk

2 İçerik Demet Yönlendirici Mıknatıslar Geleneksel Demir Baskın Mıknatıslar HPFBU Toplantı, OZTURK F. C.

3 Demet Yönlendirici Mıknatıslar Durgun mıknatıssal alan hesaplamalarının temeli, Maxwell denklemlerine dayanmaktadır. j akım yoğunluğu olmak üzere; H j H 0 Akım kaynaklarının yokluğunda j = 0 olmaktadır. H mıknatıssal alan ifadesini, skaler potansiyel ϕ cinsinden yazarsak; H H HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. 3

4 Demet Yönlendirici Mıknatıslar Basitlik açısından, alanın sadece enine bileşenlerinin olduğunu düşüneceğiz. Ayrıca, alanın demet ekseni (s ekseni) boyunca değişmediğini varsayıyoruz. Bu varsayımlar yardımıyla, üç boyutlu alan integrallerini x z düzleminde iki boyutta diferansiyel denklemler şeklinde çözebiliyoruz. ϕ (x,z) oluşturabilmek için eş potansiyellerin şekillerini sabitlemek gerekir ϕ (x,z) = sabit. Bu ancak manyetik geçirgenliği fazla olan malzemelerle mümkün olabilmektedir. Özellikle göreceli mıknatıssal geçirgenliği, μ r > 1000 olan demir tercih edilmektedir HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. 4

5 Demet Yönlendirici Mıknatıslar Mıknatıssal geçirgen malzeme dışında kalan bir A noktasından, mıknatıssal geçirgen malzeme içerisindeki bir B noktasına keyfi bir yol göz önüne alırsak, toplam mıknatıssal potansiyel; X B Y A. 0 H ds A H0. ds H Fe. ds H Fe. ds H. ds 0 Burada, H 0 vakum ortamındaki alan ve H Fe ise demir içerisindeki alandır. Bu iki alan bileşeni arasındaki ilişki, yüzeyde; H Fe 0 X B 1 H r Y HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. 5

6 Demet Yönlendirici Mıknatıslar μ r demir içerisinde çok büyük olduğundan, manyetik alanın H Fe bileşenini ihmal edebiliriz. X A Dolayısıyla, X ve Y noktaları eş potansiyel yüzeyleri üzerinde bulunmaktadır ve bu yüzeyler üzerindeki her nokta aynı potansiyele sahiptir. Y H 0. ds H0. ds A HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. 6

7 Demet Yönlendirici Mıknatıslar Mıknatıssal alan (H) yerine mıknatıssal akı yoğunluğu (B = μ r μ 0 H) kullanmak daha kullanışlı olmaktadır. Dolayısıyla potansiyel ifadesi, x, z r 0x, z B Manyetik akı yoğunluğu hesaplanırsa Dolayısıyla, B 0 ise Laplace Denklemi 0 olur. Yukarıdaki iki denklem, demir mıknatıs kutbu tasarımının temelini oluşturmaktadır HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. 7

8 Demet Yönlendirici Mıknatıslar Demet yönlendirmesi için gerekli enine alanın şeklinin sabitlenmesine bakalım Belirli bir eksen boyunca sadece bir alan bileşenini belirleyerek başlayalım x- ekseni boyuncaki düşey bileşen G z (x) (z 0) x, z G x f z B z Alanın düşey z koordinatına bağlı bilinmeyen bir fonksiyon HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. 8

9 Demet Yönlendirici Mıknatıslar Dolayısıyla, potansiyel; x, z B dz G xz f z z z Bilinmeyen f(z) fonksiyonu ancak Laplace denklemi aracılığıyla hesaplanabilinir. f x d z d Gz z dx Gz zdz dx x z z 1 d G x z df dz dx z z dz HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. 9

10 Demet Yönlendirici Mıknatıslar Bilinmeyen fonksiyon için elde edilen bu eşitliği Φ denkleminde yerine yazarsak; x z G x Böylece, son mıknatıssal alan dağılımını, şeklinde elde ederiz. x 3 1 d Gz, z z z 6 dx B x, z HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. 10 d x, z d dx x, z dz

11 Kutupları demirden yapılmış ve sarımlardan geçen akımın oluşturduğu mıknatıssal alana sahip olan, şimdiye kadar çıkarmış olduğumuz denklemlerin kullanımını gösteren mıknatıs tiplerinin en önemlilerini inceleyelim. Parçacıkları dairesel bir yörünge etrafında eğmek için, iki kutuplu mıknatıslar kullanılır. Bu mıknatıslar, x-ekseni boyunca sabit bir alana sahiptirler, G z x d G x B 0 sabit z dx 0 Potansiyel,, z B z x HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. 11

12 Eş potansiyel çizgisi Φ(x,z) = Φ 0 = sabit olduğundan çizgiler, x eksenine z mesafe uzaklıktan paralel olarak gösterilebilmektedir. Demir kısım (yoke?) Sarım (=bobin) Paralel demir kutupları h z HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. 1

13 I akımı ile B mıknatıssal alanı arasındaki ilişki en basit Maxwell denklemi aracılığı ile hesaplanır, μr = 1 ise, ni B0 0 h İki kutupluluk gücü H. ds I toplam n sarım sayısına sahip mıknatıs için, ni H. ds H lfe H0h 1 e e 0 B0 R p p ni h H Fe 0 h HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. 13

14 Kullanışlı alan bölgesi Kullanışlı alan bölgesi Plaka (=shim) Sınır alanı ΔB/B = x10-4 oranı ile azalmaktadır! Gerçek mıknatıslarda elde edilen mıknatıssal alan ideal olmamaktadır. Homojen (her yerinde aynı özelliğe sahip olan) bir mıknatıssal alan ancak sonsuz uzunluğa sahip bir mıknatıs kutbu ile elde edilebilmektedir. Bunun yerine (şekilden de görüldüğü üzere), merkez eksenden belirli bir yatay mesafeden sonra mıknatıssal alanın azaldığı gözlenir HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. 14

15 akım Demir baskın mıknatısların başka bir sorunu da şekilde gösterilen uyarılma eğrisinden de görüldüğü gibi satürasyondur (=doyum, doygunluk). 1 T üzerindeki mıknatıssal alan değerlerinde doygunluk gözlenirken, geleneksel mıknatıslarda ulaşılabilecek en büyük mıknatıssal alan değeri T civarındadır HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. 15

16 Parçacık demetinin odaklanması için, dört kutuplu mıknatıssal alanlar kullanılmaktadır. G z x gx g B x z Demir kısımlar Hiperbolik kutup yüzleri Bobinler Hiperbolik kutup yüzleri şekilde görülen bir dört kutuplu mıknatısın alan şekli g ifadesi ile verilmektedir. Potansiyel ifadesi de, x, z g. x. z HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. 16

17 I akımı ile g alan gradiyenti arasındaki ilişkiyi açıklamak için uygun integrasyon yolu üzerinden (bobin üzerindeki iletken etrafındaki yol - şekil) Maxwell denkleminin çözümüne bakmak gerekmektedir. Mıknatıssal alan katkı, denklemin sağ kısmındaki ifadelerden yalnızca demet ekseninden kutba kadar olan kısmı temsil eden 0 1 integrasyonundan gelmektedir HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. 17

18 Demir kısımlar içerisindeki mıknatıssal alan sıfırlanır çünkü burada mıknatıssal geçirgenlik μ r >> 1 dir. Dolayısıyla, H Fe göz ardı edilmektedir. x-ekseni boyunca etki eden mıknatıssal alan da göz ardı edilmektedir. Çünkü, burada H mıknatıssal alanı s demet eksenine dik olmaktadır. Dolayısıyla sadece demet ekseni ile mıknatıs kutbu arasındaki mıknatıssal alan göz önüne alınmaktadır. Bu mıknatıssal alan ifadesi de önceden potansiyel için verilen ifadeden elde edilmektedir (B z = gz ve B x = gx olmak üzere) HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. 18

19 Burada, x = z seçersek r, merkezden kutba olan çizgi integralini belirtecektir. Dolayısıyla r = a için; Dolayısıyla, kutup açıklığının çok küçük olduğu durumlarda dört kutupluluk gücü artmaktadır. Dolayısıyla I akımı ve mıknatısın güç tüketimi de azalmaktadır HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. 19

20 Aynı özellikleri, güçlü mıknatıssal odaklayıcı yapılarda, renklilik karşılaması için kullanılan altı kutuplu mıknatıslar için inceleyelim. x-ekseni boyunca bu mıknatısın mıknatıssal alan şekli; Altı kutuplu mıknatıslarda diğerlerinden farklı olarak G z (x) fonksiyonunun ikinci dereceden türevi bulunmaktadır. Dolayısıyla bu tip mıknatıslarda düşey koordinata bağlılık söz konusudur ve f(z) sıfırdan farklıdır! HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. 0

21 Altı kutuplu mıknatısta, yatay düzlemde parçacığın hareketi düşey düzlemdeki hareketiyle çiftlenmektedir yada tersi durumlarda söz konusudur. Aynı durum, tüm yüksek mertebeli mıknatıslar için geçerli olmaktadır. İki kutuplu ve Dört kutuplu mıknatıslar bu çiftlenim özelliğini göstermemektedirler. İşte bu sebepten ötürü, iki kutuplu ve dört kutuplu mıknatısların söz konusu olduğu durumlarda doğrusal demet ışıksallığı geçerli olmaktadır. Böylece, doğrusal demet ışıksallığı ile parçacık hareketini her iki düzlemde birbirinden bağımsız olarak inceleyebilmekteyiz HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. 1

22 Potansiyel eşitliğine altı kutuplu mıknatısın kuadratik alanını uygularsak, Sabit bir Φ 0 potansiyeli için, bu eşitliği x(z) için çözersek eş potansiyelleri tespit etmiş oluruz. z nin sıfırdan farklı olduğu durum için; Bu ifade ile altı kutuplu mıknatısın, birbirine 60 o lik açılarla duran ve kutupsallıklarını bizim belirlediğimiz altı kutbunun şekli belirlenebilmektedir HPFBU Toplantı, OZTURK F. C.

23 Altı kutuplu mıknatısın basit şekli ve eş potansiyellerin integrasyon yolu şekilde gösterilmektedir. Demir kısımlar Bobinler Kutup başına n sarım sayısına sahip, mıknatıs açıklığı a olan ve I akımına sahip altı kutuplu mıknatısın demet ekseni boyunca sahip olduğu alan gücü, dört kutuplu mıknatıs için izlenen hesaplama yolu ile; HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. 3

24 HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. 4