Olasılık Kuramı ve İstatistik. Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları
|
|
- Berna Zorlu
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Olasılık Kuramı ve İstatistik Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları
2 OLASILIK Olasılık teorisi, raslantı ya da kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Raslantı (rastsal) olayı, gerçekleşmesi şansa bağlı olan önceden kesinlikle bilinmeyen olaylardır. Olasılık teorisi, raslantı olayları belli kurallara göre matematiksel yöntemlerle inceleyen bir bilim dalıdır.
3 Olasılık, bir belirsizlik ölçüsü olarak tanımlanabilir. Doğruluğuna inanmadığımız ya da gerçekleşip gerçekleşmeyeceğini bilemediğimiz yani kesin olmayan bir önermeye, olaya duyulan güven derecesi olarak tanımlanabilir. Olasılığın gelişmesinde 4 anahtar sözcük önemli rol oynamaktadır
4 Rassal Deney Sonuçları kesin olarak bilinemeyen yöntemlere deney denir. Teorik olarak belirli koşullar altında sonsuz defa tekrarlanabilen, her tekrarında farklı sonuçlar elde edilebilen bir sürece rassal deneme denir. Aşağıdaki koşulları sağlayan bir deney ise rassal deney olarak adlandırılır: 1. Deney gerçekleştirilmeden önce deneyin ortaya koyabileceği sonuçlar belli olsun 2. Deneyin bu sonuçlardan hangisi ile sonuçlanacağı belli olmasın 3. Deney aynı koşullar altında tekrar edilebilsin.
5 Örnek Uzayı Bütün örnek sonuçlarının içinde bulunduğu kümeye örnek uzayı denir ve S ile gösterilir. Yani rassal deneyin ortaya koyabileceği tüm olası sonuçlar kümesine örnek uzayı denir. S ile gösterilir. Bir deneyin potansiyel hesaplamalarından her biri bir örnek sonucu olarak bilinir. s i i=1,2,3,4,. ile gösterilir. Deneyin sonuçlarından her birine veya belli özellikleri sağlayan deney sonuçlar kümesine de olay denir. Örnek uzayının alt kümeleri olay olarak adlandırılır.
6 Örnek Madeni bir paranın üç kez atıldığını göz önüne alalım. a) Örnek uzayını belirleyiniz. b) A olayı, yazıların turalardan daha fazla olduğu deneyleri göstersin. A olayını tanımlayınız. a) Böyle bir deneyde 8 tane farklı sonuç vardır. Bu sonuçlar örnek uzayını oluşturur. S={ YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT} b)örneklem uzayından, yazıların turalardan daha fazla olduğu örneklem sonuçlarının sayısı 4 tür. Buna göre A olayı, A = YYY, YYT, YTY, TYY
7 Örnek İki farklı renkteki zarın birlikte (veya farklı zamanlarda) atıldığı durumu göz önüne alalım. a) Örnek uzayını belirleyiniz. b) A olayı zarların üzerindeki sayıların toplamının 7 olmasını ve B olayı da iki zarın üzerindeki sayıların aynı olmasını göstersin. Buna göre A ve B olaylarını belirleyen kümeleri yazınız.
8 a) İki zarın atılması durumunda örneklem uzayı 6 x 6 lık bir matris olarak gösterilebilir. S = { (x, y) 1,2,3,4,5,6 } Burada x birinci zarın üste gelen yüzündeki noktaların sayısını, y de ikinci zarın üste gelen yüzündeki noktaların sayısını gösteren tam sayılardır.
9 b) A olayı zorların üzerindeki sayıların toplamlarının 7 olması olduğuna göre A ={(6,1), (5,2), (4,3), (3,4), (2,5), (1,6)} B olayı iki zarın üzerindeki sayıların aynı olması olarak tanımlanırsa B ={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
10 Bir rassaldeneye ilişkin Örnek Uzayı ağaç diyagramlardan faydalanarak bulunabilir. Örnek: Bir deney için, bir fabrikada uretilen ürünlerden arızalı olanları D (defective) arızalı olmayanlar ıda N (nondefective) ile gösterelim. Bu ürünlerden 3 adet seçileceğine göre örnek uzayını olusturalım
11 Örnek Bir başka deneyde, bir para atılıyor. Eğer para yazı geliyorsa bir daha atılıyor. Ancak tura geliyorsa bu seferde zar atılıyor. Bu durumda örnek uzayını aşağıdaki gibi verebiliriz. S = {Y Y, Y T, T 1, T 2, T 3, T 4, T5, T6}.
12 Bir deneyle bağlantılı olarak S örnek uzayında tanımlanan olaylarla ilgili bir sonuç ile değil, birkaç sonuçla ilgilenilebilir. Bu durumda Kümeler Cebrinden yararlanılır. Küme, olasılık çalışmalarında olaylarla bağlantılı olarak ortaya çıkan ve matematiksel olarak olayları değerlendiren bir kurallar dizisidir. Kümeler Cebri ise birden fazla olayla ilgilendiğinde kullanım açısından büyük yararlar sağlamaktadır.
13 Kümeler ve Olaylar Küme Belirlenmiş nesneler topluluğuna küme denir. Örnek A={sınıfta boyu 1.80 nin üzerinde olan öğrenciler} B={3,5,8} Alt Küme Bütün elemanları daha büyük bir kümenin içinde yer alan küme Örnek C={5,8} kümesi B={3,5,8} kümesinin bir alt kümesidir. Boş Küme Hiç bir elemanı olmayan küme. yada { } ile gösterilir.
14 Kesin Olay Örnek uzayının kendisi kesin olaydır. İmkansız Olay Olması mümkün olmayan olaydır. Küme teorisinde boş kümeye karşılık gelir.
15 Küme İşlemleri p A :p, A kümesinin bir elemanıdır. A B : A kümesi B kümesinin alt kümesidir (A kümesinin bütün elemanları B kümesinin de elemanıdır). A=B :A nın her elemanı B nin ve B nin her elemanı da A nın da elemanı ise A ve B kümeleri eşittir. p A, A B, A=B ifadelerinin karşıtları sırasıyla p A, A B, A B şeklinde yazılır. :Boş küme. S: Evrensel Küme (Örnek Uzayı). Herhangi bir A kümesi için A Sifadesi yazılabilir.
16 BİRLEŞİM A B={x:xЄAyadaxЄB} KESİŞİM A B={ x: x ЄA ve x ЄB} A B ile gösterilen A ve B ninarakesiti (kesişimi), A ve B kümelerinin her ikisine birden bağlı elemanların kümesidir Eğer A B = ise yani A ve B ninortak elemanı yoksa A ve B ye AYRIK kümeler denir.
17 TÜMLEYEN A = { x: x ЄSve x A } A c biçiminde gösterilen A nın tümleyenia ya bağlı olmayan ve örnek uzayına bağlı olan elemanların kümesidir. FARK A-B={x:xЄA ve x B} A ve B arasındaki ayrım ya da A-B biçiminde gösterilen B kümesinin A ya bağlı olup B ye bağlı olmayan elemanların kümesidir.
18 Tanımlama Kuralı A A=A A A=A Birliktelik (A B) C=A (B C) (A B) C =A (B C) Değişme A B=B A A B=B A KÜME KURALLARI
19 Özdeşlik Dağılma A (B C)=(A B) (A C) A (B C)=(A B) (A C)
20 Tümleme A A =S A A = (A ) =A S = = S De Morgan (A B) =A B (A B) =A B
21 Bir olayın gerçekleşme olasılığına ilişkin farklı tanımlar yapılmıştır Klasik Olasılık Tanımı Bir deneyin ya da oyunun n tane olası sonucu olduğu ve bu sonuçların her birinin eşit olasılıklı olarak ortaya çıktığını kabul edelim. Eğer A olarak tanımlanan bir olay, toplam n eşit olasılıklı durumdan m tanesinde gerçekleşiyorsa o zaman A olayının olasılığı P(A)=m/n olarak ifade edilir.
22 Örnek İki hilesiz zarın atılması durumunda A olayı iki zarın üst yüzlerindeki noktaların toplamının 7 olduğu biçiminde tanımlansın. A olayının olasılığı nedir? İki hilesiz zarın atılması durumunda 36 tane eşit olaslıklı sonuç vardır. A olayını sağlayan olası 6 sonuç vardır. A olayının gerçekleşme olasılığı
23 Klasik olasılık tanımı bazı kısıtlamalara sahiptir. Sayılamayacak kadar çok olası sonucu olan durumlarda yaklaşımlara başvurmadan çözüm üretemez. Örneğin sonuçların sayısının belli olmadığı durumda ne olacaktır? Rassal deney gerçekleştirilmeden önce, deneyin koşullarına ilişkin bilgi kaybı kabullenilerek, tüm sonuçlara eşit olasılıklar atanır. Bu varsayım rassal deneye ve deneyin nesnesine ilişkin yapılan bir soyutlamadır. Simetriye sahip olmayan bir nesne ile gerçekleştirilecek bir deneyde nesnelerin yüzlerine eşit olasılıklar tanımlamak akılcı bir hareket değildir. Eşit şansa sahip olmayan olaylar için doğru sonuç vermez
24 Relatif Frekans Yaklaşımı ile Olasılık Tanımı S bir örneklem uzayı ve A bu örneklem uzayında tanımlanmış bir olay olsun. Deney aynı koşullarda n defa tekrar edilecek olsun. Deneyin her tekrarında ya A veya A gerçekleşmiş olacaktır. Toplam n tekrar içinde A nın oluş sayısı m ise ve n sonsuz derecede büyük bir sayı ise, m/n oranının n sonsuza giderken aldığı değere A olayının relatif frekans (deneysel) olasılığı denir.
25 Hilesiz olduğuna emin olmadığımız bir madeni paranın tura gelme olasılığı ile ilgileniyorsak bu olasılığı bulmanın bir yolu söz konusu parayı yeterince atmak olabilir. Para n kez atılırsa ve n(a) kez tura gelirse n(a)/n oranı yani tura sayılarının frekans oranının tura gelme olasılığı olarak kabul edebiliriz. Para ne kadar çok atılırsa, bu oranın, gerçek olasılığa yaklaşacağı söylenebilir.
26 Olasılığın gerek oran gerekse limit olarak tanımlanmasındaki zorlukları gören modern matematikçiler olasılığı bir fonksiyon olarak ifade etmişlerdir. Rus matematikçi Kolmogorov (1933) dört aksiyomla olasılık fonksiyonunu tanımlamıştır. (Aksiyomatik Tanım)
27
28 Aksiyom 1. S örnek uzayında tanımlanmış herhangi bir olay A olmak üzere bu olayın olasılığı reel bir sayıdır. P(A) 0 0 P (A) 1
29 Aksiyom 2. Kesin olayın olasılığı 1 dir. P(S) = 1
30 Aksiyom 3. A1, A2,... olayları S örneklem uzayında tanımlanmış olsun. Her i j için A i A j = Ø ise ( i, j = 1,2,, N )
31 Olasılık Teoremlerinin İspatı 1. P(Ø) =0 P(S)=1 Ø U S = S P(Ø U S) =P( S)=1 Ø= S yani Ø ve S aynı anda imkansız olaylardır. P(Ø U S) =P( S)+P(Ø )=1 P(S) =P( S)+P(Ø )=1 P(Ø )=0
32 2. Bir olasılık uzayında A ve B kümeleri arasındaki farkın olasılığı P(A-B) = P ( A B ) = P (A) P( A B) dır. ( A B ) ve ( A B) aynı anda gerçekleşmeleri imkansız yani ayrık kümelerdir. ( A B ) U ( A B) = A (B U B ) = A S = A dağılım özelliği P( A ) = P [( A B ) U ( A B) = P ( A B ) + P ( A B) P ( A B ) =P ( A ) -P ( A B)
33 3. Bir olayın tamamlayıcısının olasılığı P( A ) = 1-P(A) dır. P(A A )=P(S)=1 A ve A ayrık (aynı anda imkansız) olaylar olduğundan,(a A =Ø) P(A A ) =P(A) + P( A ) P(A A ) =P(A) + P( A )=P(S)=1 1= P(A) + P( A ) P( A )=1-P(A)
34 4. Bir olasılık uzayında A ve B gibi iki olayın birleşiminin olasılığı P(A B) =P(A) +P(B)-P(A B) dir. A U B = A U ( B A ) Not : A U B = A U ( B A ) = (A U B ) (A U A ) = (A U B ) S (A U B ) S = (A U B ) A ve ( B A ) ayrık olduğundan P( A U B ) = P( A ) + P ( B A ) P ( B A ) = P (B) P( A B) idi. P( A U B ) = P( A ) + P (B) P( A B)
35 5. Bir alt olayın olasılığı. Eğer B Aise i ) P (A B ) = P(A)-P(B) ii)p(b) P(A) dir. i) P ( B A ) = P (B) P( A B) idi. B Aise P( A B) = P(B) P ( B A ) = P (A) P(B) ii) İlk aksiyomdan P(A B) 0 olur. P(A B ) = P (A) P(B) P (A) P(B) 0 P (A) P(B)
36 6. 0 P (A) 1 P(A) 0 A S ise P (S) P(A) böylece 0 P (A) 1
37 Olasılık Kuramı ve İstatistik Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları
38 OLASILIK Olasılık teorisi, raslantı ya da kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Raslantı (rastsal) olayı, gerçekleşmesi şansa bağlı olan önceden kesinlikle bilinmeyen olaylardır. Olasılık teorisi, raslantı olayları belli kurallara göre matematiksel yöntemlerle inceleyen bir bilim dalıdır.
39 Olasılık, bir belirsizlik ölçüsü olarak tanımlanabilir. Doğruluğuna inanmadığımız ya da gerçekleşip gerçekleşmeyeceğini bilemediğimiz yani kesin olmayan bir önermeye, olaya duyulan güven derecesi olarak tanımlanabilir. Olasılığın gelişmesinde 4 anahtar sözcük önemli rol oynamaktadır
40 Rassal Deney Sonuçları kesin olarak bilinemeyen yöntemlere deney denir. Teorik olarak belirli koşullar altında sonsuz defa tekrarlanabilen, her tekrarında farklı sonuçlar elde edilebilen bir sürece rassal deneme denir. Aşağıdaki koşulları sağlayan bir deney ise rassal deney olarak adlandırılır: 1. Deney gerçekleştirilmeden önce deneyin ortaya koyabileceği sonuçlar belli olsun 2. Deneyin bu sonuçlardan hangisi ile sonuçlanacağı belli olmasın 3. Deney aynı koşullar altında tekrar edilebilsin.
41 Örnek Uzayı Bütün örnek sonuçlarının içinde bulunduğu kümeye örnek uzayı denir ve S ile gösterilir. Yani rassal deneyin ortaya koyabileceği tüm olası sonuçlar kümesine örnek uzayı denir. S ile gösterilir. Bir deneyin potansiyel hesaplamalarından her biri bir örnek sonucu olarak bilinir. s i i=1,2,3,4,. ile gösterilir. Deneyin sonuçlarından her birine veya belli özellikleri sağlayan deney sonuçlar kümesine de olay denir. Örnek uzayının alt kümeleri olay olarak adlandırılır.
42 Örnek Madeni bir paranın üç kez atıldığını göz önüne alalım. a) Örnek uzayını belirleyiniz. b) A olayı, yazıların turalardan daha fazla olduğu deneyleri göstersin. A olayını tanımlayınız. a) Böyle bir deneyde 8 tane farklı sonuç vardır. Bu sonuçlar örnek uzayını oluşturur. S={ YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT} b)örneklem uzayından, yazıların turalardan daha fazla olduğu örneklem sonuçlarının sayısı 4 tür. Buna göre A olayı, A = YYY, YYT, YTY, TYY
43 Örnek İki farklı renkteki zarın birlikte (veya farklı zamanlarda) atıldığı durumu göz önüne alalım. a) Örnek uzayını belirleyiniz. b) A olayı zarların üzerindeki sayıların toplamının 7 olmasını ve B olayı da iki zarın üzerindeki sayıların aynı olmasını göstersin. Buna göre A ve B olaylarını belirleyen kümeleri yazınız.
44 a) İki zarın atılması durumunda örneklem uzayı 6 x 6 lık bir matris olarak gösterilebilir. S = { (x, y) 1,2,3,4,5,6 } Burada x birinci zarın üste gelen yüzündeki noktaların sayısını, y de ikinci zarın üste gelen yüzündeki noktaların sayısını gösteren tam sayılardır.
45 b) A olayı zorların üzerindeki sayıların toplamlarının 7 olması olduğuna göre A ={(6,1), (5,2), (4,3), (3,4), (2,5), (1,6)} B olayı iki zarın üzerindeki sayıların aynı olması olarak tanımlanırsa B ={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
46 Bir rassaldeneye ilişkin Örnek Uzayı ağaç diyagramlardan faydalanarak bulunabilir. Örnek: Bir deney için, bir fabrikada uretilen ürünlerden arızalı olanları D (defective) arızalı olmayanlar ıda N (nondefective) ile gösterelim. Bu ürünlerden 3 adet seçileceğine göre örnek uzayını olusturalım
47 Örnek Bir başka deneyde, bir para atılıyor. Eğer para yazı geliyorsa bir daha atılıyor. Ancak tura geliyorsa bu seferde zar atılıyor. Bu durumda örnek uzayını aşağıdaki gibi verebiliriz. S = {Y Y, Y T, T 1, T 2, T 3, T 4, T5, T6}.
48 Bir deneyle bağlantılı olarak S örnek uzayında tanımlanan olaylarla ilgili bir sonuç ile değil, birkaç sonuçla ilgilenilebilir. Bu durumda Kümeler Cebrinden yararlanılır. Küme, olasılık çalışmalarında olaylarla bağlantılı olarak ortaya çıkan ve matematiksel olarak olayları değerlendiren bir kurallar dizisidir. Kümeler Cebri ise birden fazla olayla ilgilendiğinde kullanım açısından büyük yararlar sağlamaktadır.
49 Kümeler ve Olaylar Küme Belirlenmiş nesneler topluluğuna küme denir. Örnek A={sınıfta boyu 1.80 nin üzerinde olan öğrenciler} B={3,5,8} Alt Küme Bütün elemanları daha büyük bir kümenin içinde yer alan küme Örnek C={5,8} kümesi B={3,5,8} kümesinin bir alt kümesidir. Boş Küme Hiç bir elemanı olmayan küme. yada { } ile gösterilir.
50 Kesin Olay Örnek uzayının kendisi kesin olaydır. İmkansız Olay Olması mümkün olmayan olaydır. Küme teorisinde boş kümeye karşılık gelir.
51 Küme İşlemleri p A :p, A kümesinin bir elemanıdır. A B : A kümesi B kümesinin alt kümesidir (A kümesinin bütün elemanları B kümesinin de elemanıdır). A=B :A nın her elemanı B nin ve B nin her elemanı da A nın da elemanı ise A ve B kümeleri eşittir. p A, A B, A=B ifadelerinin karşıtları sırasıyla p A, A B, A B şeklinde yazılır. :Boş küme. S: Evrensel Küme (Örnek Uzayı). Herhangi bir A kümesi için A Sifadesi yazılabilir.
52 BİRLEŞİM A B={x:xЄAyadaxЄB} KESİŞİM A B={ x: x ЄA ve x ЄB} A B ile gösterilen A ve B ninarakesiti (kesişimi), A ve B kümelerinin her ikisine birden bağlı elemanların kümesidir Eğer A B = ise yani A ve B ninortak elemanı yoksa A ve B ye AYRIK kümeler denir.
53 TÜMLEYEN A = { x: x ЄSve x A } A c biçiminde gösterilen A nın tümleyenia ya bağlı olmayan ve örnek uzayına bağlı olan elemanların kümesidir. FARK A-B={x:xЄA ve x B} A ve B arasındaki ayrım ya da A-B biçiminde gösterilen B kümesinin A ya bağlı olup B ye bağlı olmayan elemanların kümesidir.
54 Tanımlama Kuralı A A=A A A=A Birliktelik (A B) C=A (B C) (A B) C =A (B C) Değişme A B=B A A B=B A KÜME KURALLARI
55 Özdeşlik Dağılma A (B C)=(A B) (A C) A (B C)=(A B) (A C)
56 Tümleme A A =S A A = (A ) =A S = = S De Morgan (A B) =A B (A B) =A B
57 Bir olayın gerçekleşme olasılığına ilişkin farklı tanımlar yapılmıştır Klasik Olasılık Tanımı Bir deneyin ya da oyunun n tane olası sonucu olduğu ve bu sonuçların her birinin eşit olasılıklı olarak ortaya çıktığını kabul edelim. Eğer A olarak tanımlanan bir olay, toplam n eşit olasılıklı durumdan m tanesinde gerçekleşiyorsa o zaman A olayının olasılığı P(A)=m/n olarak ifade edilir.
58 Örnek İki hilesiz zarın atılması durumunda A olayı iki zarın üst yüzlerindeki noktaların toplamının 7 olduğu biçiminde tanımlansın. A olayının olasılığı nedir? İki hilesiz zarın atılması durumunda 36 tane eşit olaslıklı sonuç vardır. A olayını sağlayan olası 6 sonuç vardır. A olayının gerçekleşme olasılığı
59 Klasik olasılık tanımı bazı kısıtlamalara sahiptir. Sayılamayacak kadar çok olası sonucu olan durumlarda yaklaşımlara başvurmadan çözüm üretemez. Örneğin sonuçların sayısının belli olmadığı durumda ne olacaktır? Rassal deney gerçekleştirilmeden önce, deneyin koşullarına ilişkin bilgi kaybı kabullenilerek, tüm sonuçlara eşit olasılıklar atanır. Bu varsayım rassal deneye ve deneyin nesnesine ilişkin yapılan bir soyutlamadır. Simetriye sahip olmayan bir nesne ile gerçekleştirilecek bir deneyde nesnelerin yüzlerine eşit olasılıklar tanımlamak akılcı bir hareket değildir. Eşit şansa sahip olmayan olaylar için doğru sonuç vermez
60 Relatif Frekans Yaklaşımı ile Olasılık Tanımı S bir örneklem uzayı ve A bu örneklem uzayında tanımlanmış bir olay olsun. Deney aynı koşullarda n defa tekrar edilecek olsun. Deneyin her tekrarında ya A veya A gerçekleşmiş olacaktır. Toplam n tekrar içinde A nın oluş sayısı m ise ve n sonsuz derecede büyük bir sayı ise, m/n oranının n sonsuza giderken aldığı değere A olayının relatif frekans (deneysel) olasılığı denir.
61 Hilesiz olduğuna emin olmadığımız bir madeni paranın tura gelme olasılığı ile ilgileniyorsak bu olasılığı bulmanın bir yolu söz konusu parayı yeterince atmak olabilir. Para n kez atılırsa ve n(a) kez tura gelirse n(a)/n oranı yani tura sayılarının frekans oranının tura gelme olasılığı olarak kabul edebiliriz. Para ne kadar çok atılırsa, bu oranın, gerçek olasılığa yaklaşacağı söylenebilir.
62 Olasılığın gerek oran gerekse limit olarak tanımlanmasındaki zorlukları gören modern matematikçiler olasılığı bir fonksiyon olarak ifade etmişlerdir. Rus matematikçi Kolmogorov (1933) dört aksiyomla olasılık fonksiyonunu tanımlamıştır. (Aksiyomatik Tanım)
63
64 Aksiyom 1. S örnek uzayında tanımlanmış herhangi bir olay A olmak üzere bu olayın olasılığı reel bir sayıdır. P(A) 0 0 P (A) 1
65 Aksiyom 2. Kesin olayın olasılığı 1 dir. P(S) = 1
66 Aksiyom 3. A1, A2,... olayları S örneklem uzayında tanımlanmış olsun. Her i j için A i A j = Ø ise ( i, j = 1,2,, N )
67 Olasılık Teoremlerinin İspatı 1. P(Ø) =0 P(S)=1 Ø U S = S P(Ø U S) =P( S)=1 Ø= S yani Ø ve S aynı anda imkansız olaylardır. P(Ø U S) =P( S)+P(Ø )=1 P(S) =P( S)+P(Ø )=1 P(Ø )=0
68 2. Bir olasılık uzayında A ve B kümeleri arasındaki farkın olasılığı P(A-B) = P ( A B ) = P (A) P( A B) dır. ( A B ) ve ( A B) aynı anda gerçekleşmeleri imkansız yani ayrık kümelerdir. ( A B ) U ( A B) = A (B U B ) = A S = A dağılım özelliği P( A ) = P [( A B ) U ( A B) = P ( A B ) + P ( A B) P ( A B ) =P ( A ) -P ( A B)
69 3. Bir olayın tamamlayıcısının olasılığı P( A ) = 1-P(A) dır. P(A A )=P(S)=1 A ve A ayrık (aynı anda imkansız) olaylar olduğundan,(a A =Ø) P(A A ) =P(A) + P( A ) P(A A ) =P(A) + P( A )=P(S)=1 1= P(A) + P( A ) P( A )=1-P(A)
70 4. Bir olasılık uzayında A ve B gibi iki olayın birleşiminin olasılığı P(A B) =P(A) +P(B)-P(A B) dir. A U B = A U ( B A ) Not : A U B = A U ( B A ) = (A U B ) (A U A ) = (A U B ) S (A U B ) S = (A U B ) A ve ( B A ) ayrık olduğundan P( A U B ) = P( A ) + P ( B A ) P ( B A ) = P (B) P( A B) idi. P( A U B ) = P( A ) + P (B) P( A B)
71 5. Bir alt olayın olasılığı. Eğer B Aise i ) P (A B ) = P(A)-P(B) ii)p(b) P(A) dir. i) P ( B A ) = P (B) P( A B) idi. B Aise P( A B) = P(B) P ( B A ) = P (A) P(B) ii) İlk aksiyomdan P(A B) 0 olur. P(A B ) = P (A) P(B) P (A) P(B) 0 P (A) P(B)
72 6. 0 P (A) 1 P(A) 0 A S ise P (S) P(A) böylece 0 P (A) 1
BAYES KURAMI. Dr. Cahit Karakuş
BAYES KURAMI Dr. Cahit Karakuş Deney, Olay, Sonuç Küme Klasik olasılık Bayes teoremi Permütasyon, Kombinasyon Rasgele Değişken; Sürekli olasılık dağılımı Kesikli - Süreksiz olasılık dağılımı Stokastik
Detaylı2. Klasik Kümeler-Bulanık Kümeler
2. Klasik Kümeler-Bulanık Kümeler Klasik Küme Teorisi Klasik kümelerde bir nesnenin bir kümeye üye olması ve üye olmaması söz konusudur. Bu yaklaşıma göre istediğimiz özelliğe sahip olan bir birey, eleman
DetaylıOlasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir.
5.SUNUM Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir. Günlük hayatta sıklıkla kullanılmakta olan olasılık bir olayın ortaya
DetaylıRassal Değişken. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK
Rassal Değişken Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr S örnek uzayı içindeki her bir basit olayı yalnız bir gerçel (reel) değere dönüştüren fonksiyona rassal değişken adı verilir. O halde
DetaylıKüme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur
Kümeler Kümeler ve küme işlemleri olasılığın temellerini oluşturmak için çok önemlidir Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur Sonlu sayıda, sonsuz sayıda, kesikli
DetaylıBÖLÜM 2 : OLASILIK. Olasılığın gelişmesinde 4 anahtar sözcük önemli rol oynamaktadır. -Örneklem sonucu sample outcome
ÖLÜM : OLSLK Giriş: Olasılık kavramına. Fermat ile. ascal ın büyük katkıları olmuştur. ascal hesap makinesini geliştirerek Fermat ile birlikte olasılığın temellerini oluşturmuştur. Daha sonra Rus matematikçi
DetaylıÖrnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2
Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S
DetaylıRASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN
RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi
DetaylıDers 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar
Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Küme Kavramı Küme İşlemleri Deney, Örnek Uzay, Örnek Nokta ve Olay Kavramları Örnek Noktaları Sayma Permütasyonlar Kombinasyonlar Parçalanmalar
DetaylıBİYOİSTATİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH
BİYOİSTTİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. slı SUNER KRKÜLH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim D. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 OLSILIK Olasılık; Tablo
DetaylıOLASILIK LASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık
1-1 Click To Edit Master Title Style OLASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık Yrd.Doç.Dr Doç.Dr.. Pınar YILDIRIM Okan Üniversitesi Mühendislik ve Mimarlık Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü 1-2 GİRİŞ Olasılık,
DetaylıOlasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:
OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi
DetaylıUygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH
BİYOİSTATİSTİK Uygulama 3 Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr Olasılık Hatırlatma Olasılık teorisi,
DetaylıOlasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:
OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi
Detaylısayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye
KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile
Detaylı3.Ders Rasgele Değişkenler
3.Ders Rasgele Değişkenler Tanım:,U, P bir olasılık uzayı ve X : R X olmak üzere, a R için, : X a U oluyorsa X fonksiyonuna bir rasgele değişken denir. a R için X, a : X a U özelliğine sahip bir X rasgele
DetaylıTanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. boş olmayan bir küme olsun. ile den üzerine bire-bir fonksiyonlar kümesini
DetaylıTesadüfi Değişken. w ( )
1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere
DetaylıMATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni
DetaylıDers 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları
Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Rastgele değişken kavramı Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler İki boyutlu rastgele değişkenler Beklenen değer Varyans Örnek uzaydaki her elemanı bir sayıyla
DetaylıKÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT
KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,
Detaylıolsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)
Detaylı0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c
0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade
DetaylıOlasılık Kavramı. Recep YURTAL. Mühendislikte İstatistik Metotlar. Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü
Olasılık Kavramı Mühendislikte İstatistik Metotlar Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği ölümü OLSILIK KVRMI KÜME KVRMI irlikte ele alınan belirli nesneler topluluğuna küme, Kümede içerilen nesnelere
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
DetaylıBİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,
BİNOM AÇILIMI Binom Açılımı n doğal sayı olmak üzere, (x+y) n ifadesinin açılımını pascal üçgeni yardımıyla öğrenmiştik. Pascal üçgenindeki katsayılar; (x+y) n ifadesi 1. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar
DetaylıOlasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler.
Bölüm 2 OLASILIK TEORİSİ Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler. Rasgele değişken, gelecekteki bir gözlemde alacağı
DetaylıMAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar
DetaylıDERS 2 : BULANIK KÜMELER
DERS 2 : BULNIK KÜMELER 2.1 Gİriş Klasik bir küme, kesin sınırlamalarla verilen bir kümedir. Örneğin, klasik bir küme aşağıdaki gibi belirtilebilir: = { x x > 6 }, Kapalı sınır noktası burada 6 dır.burada
DetaylıİÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48
İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması
DetaylıOLASILIĞA GİRİŞ P( )= =
OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması olasılığı %85 dir. Olasılık modelleri; Sıvı içindeki moleküllerin davranışlarını
DetaylıBMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1
BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Kümeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Kümeler Kümeler Ayrık Matematiğin en temel konularından biridir Sayma problemleri için önemli Programlama dillerinin
DetaylıGENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE
ÖZEL EGE LİSESİ GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Berk KORKUT DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 2013 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI 3.33 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM 3 4.
Detaylı1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Ders 4: OLASILIK TEORİSİ Giriş Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları Koşullu Olasılık
DetaylıCebir Notları. Kümeler. Gökhan DEMĐR, KÜME KAVRAMI
, 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler KÜME KVRMI Kümenin tanım yoktur. undan dolayı kümeyi tanıtmaya çalışalım. Küme kavramında bir topluluk, bir kolleksiyon ifadesi vardır.
Detaylı13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
DetaylıOlasılık: Klasik Yaklaşım
Olasılık Teorisi Olasılık: Klasik Yaklaşım Olasılık Bir olayın meydana gelme şansına olasılık denir. Örnek Türkiye nin kazanma olasılığı Hava durumu Loto Olayların Olasılığını Belirleme Rastsal (gelişigüzel)
Detaylıkümeleri sırasıyla n 1, n 2,..., n k eleman içeriyorsa, önce A 1 nin bir elemanını seçmenin n 1
3. Olasılık Hesapları ve Olasılık Dağılımları 3.3. Sayma Teknikleri Olasılık hesapları ve istatistikte birçok problem, verilen küme elemanlarının sayılmasını veya sıralanmasını gerektirir. Eğer bir olayın
Detaylıİstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik
6.SUNUM İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik özellikleri (ortalama, varyans v.b. gibi) hakkında
DetaylıOLASILIK. ihtimali Seçeneği durumu. Bir zar atma olayı. Basit kesirdir. Tüm durum. Sonuçlardan biri Çıktılardan biri. Diğer sayfaya geçiniz
OLASILIK ihtimali Seçeneği durumu Bir zar atma olayı Basit kesirdir. Tüm durum Sonuçlardan biri Çıktılardan biri 1 Soruyu DİKKATLİ OKU, soruyu ANLA, basit örnek kur. Cevabı işaretlemeden öce tekrar soruyu
DetaylıKÜMELER. İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Bir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. Bu nesneler somut veya soyut olabilir.
1 KÜMELER İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. ir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. u nesneler somut veya soyut olabilir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine eleman(öğe) denir.
DetaylıMIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk
DetaylıTanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.
BÖLÜM 1 KÜMELER CEBİRİ Küme, iyi tanımlanmış ve farklı olan nesneler topluluğudur. Yani küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir. Nesneler reel veya kavramsal olabilir. Kümede bulunan
Detaylı8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar
8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.
DetaylıİÇİNDEKİLER. Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması... 14
İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM MANTIK Giriş... 1 Genel Olarak Mantık... 1 Mantığın Tarihçesi ve Modern Mantığın Doğuşu... 1 Mantık Öğretimin Önemi ve Amacı... 2 Önerme... 3 VE İşlemi (Birlikte Evetleme, Mantıksal
DetaylıZMY501 Mühendislikte İstatistik Yöntemler
ZMY501 Mühendislikte İstatistik Yöntemler Bölüm 4 Olasılık http://www1.gantep.edu.tr/~bingul/stat Gaziantep Üniversitesi Mühendislik Yönetimi Tezsiz Yüksek Lisans Programı Aralık 016 Sayfa 1 İçerik Küme
Detaylı2. SİMETRİK GRUPLAR. Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X e birebir örten fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. X boş olmayan bir küme olsun. S X ile X den X e tüm birebir örten fonksiyonlar
DetaylıTEOG. Kümeler KÜME VE ELEMAN KAVRAMI ÖRNEK KÜMELERİN GÖSTERİMİ ÖRNEK ÖRNEK KÜMENİN ELEMAN SAYISI ÖRNEK 3. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ 1.
TEOG ümeler ÜE VE EEN VRI Elemanları belirlenebilen, belirli bir anlam taşıyan canlı ya da cansız varlıkların veya kavramların oluşturduğu topluluğa küme denir. ümeyi oluşturan varlıkların, kavramların
DetaylıSORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A
2.2 Ölçüler SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X kuvvet kümesi veriliyor. P (X üzerinde 0 ; A (A : 1 ; A şeklinde tanımlanan dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM 1: (i Tanımdan ( 0. (ii A
DetaylıBu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz.
1 BİR İŞLEMLİ SİSTEMLER Bu bölümde cebirsel yapıların temelini oluşturan Grup ve özelliklerini inceleyeceğiz. 1.1 İŞLEMLER Bir kümeden kendisine tanımlı olan her fonksiyona birli işlem denir. Örneğin Z
DetaylıDers 6 OLASILIK KURAMI. Örnek Uzaylar, Örnek Noktalar ve Olaylar. Örnek Uzaylar, Örnek Noktalar ve Olaylar
Ders 6 Olasılık Teorisi Permutasyonlar ve Kombinasyonlar OLASILIK KURAMI Geçtiğimiz 5 hafta boyunca serilerin temel özelliklerini gösteren grafiklerin neler olduğunu ve Serilerin temel özelliklerini anlamada
DetaylıÜNİTE 11 ÜNİTE 9 MATEMATİK. Kümeler. 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler. 9. Sınıf Matematik
ÜNİTE 11 ÜNİTE Kümeler 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler 9 MATEMATİK 1. ÜNİTEDE HEDEFLENEN KAZANIMLAR 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR Kazanım 9.1.1.1: Küme kavramını
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
Detaylı9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı
9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,
DetaylıFaktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, biçiminde gösterilir. Aynca; 0! = 1 ve 1!=1 1 dir. [Bunlar kabul değildir,
14. Binom ve Poisson olasılık dağılımları Faktöriyeller ve kombinasyonlar Faktöriyel: 1'den n'ye kadar olan tüm pozitif tamsayıların çarpımına, n! denir ve n! = 1.2.3...(n-2).(n-l).n biçiminde gösterilir.
DetaylıBULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1. Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı
BULANIK MANTIK VE SİSTEMLERİ 2014 2015 BAHAR DÖNEMİ ÖDEV 1 Müslüm ÖZTÜRK 148164001004 Bilişim Teknolojileri Mühendisliği ABD Doktora Programı Mart 2015 0 SORU 1) Bulanık Küme nedir? Bulanık Kümenin (fuzzy
DetaylıOLASILIK (Probability)
OLASILIK (Probability) Olasılık, bir olayın meydana gelme, ortaya çıkma şansını ifade eder ve P ile gösterilir. E i ile gösterilen bir basit olayın olasılığı P (E i ), A bileşik olayının olasılığıysa P
DetaylıMIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009
MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.
Detaylıiçin Örnek 7.1. simetri grubunu göz önüne alalım. Şu halde dür. Şimdi kalan sınıflarını göz önüne alalım. Eğer ve olarak alırsak işlemini kullanarak
7. Bölüm Grupları olmak üzere grubunu nasıl inşa ettiğimizi hatırlayalım. grubunun alt grubu grubu tüm olacak şekilde tüm sınıflardan oluşmuştur. Sınıfların toplamını ile, yani ile tanımlamıştık. Şimdi
Detaylı1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)
DetaylıL İ S E S İ MATEMATİK. Kümeler. Üzerine Kısa Çalışmalar
MTEMTİK T T Ü R K N D O L U L İ S E S İ M T E M T İ K Üzerine Kısa Çalışmalar KONY \ SELÇUKLU 017 MTEMTİK KÜMELER (CÜMLELER).1 Küme (Cümle) Kavramı Matematiğin dili mantıktır., matematiğin kendisini anlatabilmesini
DetaylıMOMENTLER, ÇARPIKLIK VE BASIKLIK. Moment: Bir değişkenin gözlemleri X 1, X 2, X 3, X 4.X n olsun. Bu serinin r inci momenti:
MOMENTLER, ÇARPIKLIK VE BASIKLIK Moment: Bir değişkenin gözlemleri X 1, X 2, X 3, X 4.X n olsun. Bu serinin r inci momenti: İşletme no 1 2 3 4 5 Arazi genişliği (da) 5 10 4 3 8 Aritmetik ortalamaya göre
DetaylıRastgelelik, Rastgele Sinyaller ve Sistemler Rastgelelik Nedir?
Rastgelelik, Rastgele Sinyaller ve Sistemler Rastgelelik Nedir? Rastgelelik en basit anlamda kesin olarak bilinememektir. Rastgele olmayan deterministiktir (belirli). Bazı rastgele olgu örnekleri şöyle
DetaylıÖrnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız.
OLASILIK (İHTİMALLER HESABI) Olasılık kavram ı ilk önceleri şans oyunları ile başlamıştır. Örneğin bir oyunda kazanıp kazanmama, bir paranın atılmasıyla tura gelip gelmemesi gibi. Bu gün bu kavramın birçok
DetaylıKüme Temel Kavramları
Kümeler Kümeler Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa
Detaylı8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR
8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: ve iki grup ve f : G H bir fonksiyon
DetaylıOlasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:
OLSILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi
DetaylıÖrnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. w w w. m a t b a z. c o m ÖNERMELER- BİLEŞİK ÖNERMELER
Terim: Bir bilim dalı içerisinde konuşma dilinden farklı anlamı olan sözcüklerden her birine o bilim dalının bir terimi denir. Önermeler belirtilirler. p,q,r,s gibi harflerle Örneğin açı bir geometri terimi,
DetaylıDr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK. Ders 3 / 1
Dr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK Ders 3 / 1 1 0 Kesin İmkansız OLASILIK; Bir olayın gerçekleşme şansının sayısal değeridir. N adet denemede s adet başarı söz konusu ise, da başarının nisbi frekansı lim (s/n)
DetaylıProgramlama Dilleri 1. Ders 3: Rastgele sayı üretimi ve uygulamaları
Ders 3: Rastgele sayı üretimi ve uygulamaları Ders 3 Genel Bakış Giriş Rastgele Sayı Rastgele Sayı Üreteci rand Fonksiyonunun İşlevi srand Fonksiyonunun İşlevi Monte Carlo Yöntemi Uygulama 1: Yazı-Tura
DetaylıAyrık Olasılık. Ayrık Olasılığa Giriş
Ayrık Olasılık CC-59 Ayrık Yaılar Konstantin Busch - LU Ayrık Olasılığa Giriş Hilesiz zar Örnek uzay: {,,3,4,5,6} Olası tüm sonuçlar olayının olasılığı: olay kümesinin buyuklugu örnek uzayin buyuklugu
DetaylıYrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü
Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 GİRİŞ Olasılık Teorisi: Matematiğin belirsizlik taşıyan
DetaylıKÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT
KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,
DetaylıMATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri
DetaylıKesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları
Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.
DetaylıOLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir.
OLASILIK Olasılık belirli bir olayın olabilirliğinin sayısal ölçüsüdür. Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. 17 yy. da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya
DetaylıOlasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir.
OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi
Detaylı8. SINIF MATEMATiK OLASILIK. Murat ÇAVDAR OLASILIK. Olasılık: Sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen rastlantıya bağlı olaylara olasılık denir.
04 8. SINIF MATEMATiK OLASILIK OLASILIK Olasılık: Sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen rastlantıya bağlı olaylara olasılık denir. Bir zarın atılması, bir torbadan top çekilmesi, bir paranın yazı veya
DetaylıMATEMATİK ADF. Önermeler - I ÜNİTE 1: MANTIK. Önerme. örnek 2. Bir önermenin değili (olumsuzu) örnek 3. Doğruluk Tablosu. örnek 1.
MATEMATİK ÜNİTE 1: MANTIK Önermeler - I ADF 01 Önerme Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere... denir. R Doğru hüküm bildiren önermeye..., Yanlış hüküm bildiren önermeye... denir. R Önermelerin
DetaylıOLASILIK. Dr. Cahit Karakuş
OLASILIK Dr. Cahit Karakuş Deney, Olay, Sonuç Küme Klasik olasılık Bayes teoremi Permütasyon, Kombinasyon Rasgele Değişken; Sürekli olasılık dağılımı Kesikli - Süreksiz olasılık dağılımı Stokastik KOLMOGOROV
DetaylıEsnek Hesaplamaya Giriş
Esnek Hesaplamaya Giriş J E O L O J İ M Ü H E N D İ S L İ Ğ İ A. B. D. E S N E K H E S A P L A M A Y Ö N T E M L E R İ - I DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Esnek Hesaplama Nedir? Esnek hesaplamanın temelinde yatan
DetaylıOLASILIK (İHTİMAL) TEORİSİ. DENEY (experiment),sonuç (outcome), OLAY (event) DENEY:Bir aktivitenin gözlemlenmesi ve ölçüm yapma şekilleridir.
OLASILIK (İHTİMAL) TEORİSİ 1 DENEY (experiment),sonuç (outcome), OLAY (event) DENEY:Bir aktivitenin gözlemlenmesi ve ölçüm yapma şekilleridir. SONUÇ:Deneylerin tamamlanması ile elde edilen verilerdir.
DetaylıRastgele değişken nedir?
Rastgele değişken nedir? Şİmdiye kadar hep, kümelerden ve bu kümelerin alt kümelerinden (yani olaylar)dan bahsettik Bu kümelerin elemanları sayısal olmak zorunda değildi. Örneğin, yazı tura, kız erkek
DetaylıMATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 1.KONU Sembolik Mantık; Önermeler, Niceyiciler, Olumsuzluk, İspat yöntemleri KAYNAKLAR 1. Akkaş, S., Hacısalihoğlu, H.H., Özel, Z., Sabuncuoğlu, A.,
Detaylı2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k Ba¼glant l Topolojik Uzaylar. Tan m (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k
2. Topolojik Uzaylarda Ba¼glant l l k 2.1. Ba¼glant l Topolojik Uzaylar Tan m 2.1.1. (X; ) topolojik uzay n n her biri boş kümeden farkl olan ayr k iki aç ktan oluşan bir örtüsü yok ise, (X; ) topolojik
Detaylı1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR...
İçindekiler 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KVRMLR, KÜMELERDE İŞLEMLER... 10. KÜMELERDE TEMEL KVRMLR... 10 B. SONLU, SONSUZ VE BOŞ KÜME... 12 C. KÜMELERİN EŞİTLİĞİ... 14 D. LT KÜME, ÖZ LT KÜME... 14 E. KÜMELERDE
DetaylıMATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 4.KONU Latisler, Boole Cebri 1. Kısmi sıralı kümeler 2. Hasse Diyagramı 3. Infimum, Supremum 4. Latis (Kafes Lattice) 5. Latis (Kafes) Yapıları ve Özellikleri
DetaylıÖrnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır?
KÜMELER 2 İKİ KÜMENİN BİRLEŞİMİ A ve B gibi iki kümeden, A' ya veya B' ye ait olan elemanlardan oluşan yeni kümeye A ile B' nin birleşimi denir ve AUB ile gösterilir. Bu gösterim A birleşim B di ye okunur.
DetaylıŞimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak
10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.
DetaylıSONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler
9. SINIF SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması,
DetaylıOLASILIK TEORİSİ VE İSTATİSTİK
OLASILIK TEORİSİ VE İSTATİSTİK İki Değişkenli Olasılık Bu bölümde yapılan bir deneyin iki değişkene bağlı olan sonuçları dikkate alınacaktır. Örneğin: Bir gazete yöneticisi, politikasını belirlemek için
DetaylıÖDEV 5 ÇÖZÜMLERİ. 1. A, B, C Ω olmak üzere A B ve A B C olaylarını ayrık olayların birleşimi olarak yazınız.
OLASILIĞA GİRİŞ IDERSİ ÖDEV 5 ÇÖZÜMLERİ 1. A, B, C Ω olmak üzere A B ve A B C olaylarını ayrık olayların birleşimi olarak yazınız. A B = A (B A) =A (B A c ) A B C = A (B A) (C (A B)) = A (B A c ) (C B
DetaylıKesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları
Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli ġans DeğiĢkenlerinin Olasılık Fonksiyonları X, şans değişkeni ve, 2,.., n ise bu tesadüfi değişkenin
DetaylıLevent Özbek Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü
Bilim ve Bilimsel Felsefe Çevresi Etkinliği Bilimsel Felsefe ve Bilimler Hans Reichenbach ın Ölümünün 50.yılı Anısına 12 Aralık 2003 Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Levent Özbek Ankara Üniversitesi Fen
DetaylıHOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Rasyonel Fonksiyonlar 5 Bibliography 35 Inde 39 Rasyonel Fonksiyonlar Polinomlar Yetmez! Bölme
Detaylı