kümeleri sırasıyla n 1, n 2,..., n k eleman içeriyorsa, önce A 1 nin bir elemanını seçmenin n 1

Transkript

1 3. Olasılık Hesapları ve Olasılık Dağılımları 3.3. Sayma Teknikleri Olasılık hesapları ve istatistikte birçok problem, verilen küme elemanlarının sayılmasını veya sıralanmasını gerektirir. Eğer bir olayın olasılığının hesaplanmasında, mümkün haller sayısı çok büyük ise olayın doğrudan sıralanması veya sayılması uzun zaman alır ve bazı hallerde doğrudan saymak mümkün olmaz. Bu gibi durumlarda saymayı kolaylaştırıcı bazı tekniklere ihtiyaç duyulur. Bu tekniklere sayma teknikleri (combinational analysis) adı verilir. Kural : A, A,...,A k kümeleri sırasıyla n, n,..., n k eleman içeriyorsa, önce A in sonra A nin, sonra A 3,..., A k nin bir elemanını seçmenin n n n 3,..., n k değişik yolu vardır. Yani k olay bir arada n n... n k farklı şekilde meydana gelir. Küme sayısı ne olursa olsun kuralın genel niteliği değişmemektedir. Örnek: Test şeklinde yapılan bir sınavda 5 soru ve 5 cevap şıkkı varsa bir öğrenci bu 5 soruyu değişik şekilde işaretleyebilir Permütasyon Yukarıdaki. kural aynı kümeden iadesiz olarak çekilen farklı sayıdaki elemanın sırasının önemli olduğu problemlere de uygulanabilir. Mesela 5 üyeli bir derneğe başkan ve de başkan yardımcısı seçimi 540 değişik şekilde mümkün olur. Eğer bir kümenin elemanlarının bir kısmı veya hepsi belli bir düzen içerisinde sıralanıyorsa buna permütasyon denir. Yani n elemanlı bir kümeden r eleman çekilerek belli bir düzen dahilinde sıralanırsa (sıra önemli) buna permütasyon adı verilir ve şöyle formüle edilir; n np r P n(n-) (n-)...[n-(r-)] r n! (n - r)! Burada (!) işareti faktöriyel olarak adlandırılır ve bunun altındaki bütün pozitif tam sayıların çarpılacağı anlamına gelir. n! n.(n-).(n-)... olarak yazılır

2 Yukarıdaki dernek örneğinde üye sayısı, n5 ve bunlardan seçilen eleman sayısı r olduğundan permütasyon sayısı; 5 P 5! (5 - )! 5.4.3! 540 olur. 3! n! n! n! n r özel hali için np n n! e eşittir. ( n n)! 0! n! r 0 için np 0 olur. n! Permütasyon birçok probleme uygulanabilmekle birlikte, uygulamada dikkat edilmesi gereken bazı durumlar vardır. Eğer bir problemde şu üç şart gerçekleşiyorsa permütasyon uygulamak mümkündür. - Kümedeki bütün elemanlar birbirinden farklı olmalıdır, - Herhangi bir eleman için hiçbir kısıtlama getirilmemelidir, 3- Hiçbir eleman bir defadan fazla kullanılmamalıdır Kombinasyon veya kombinezon Kombinasyon, n elemanı olan bir kümeden her biri r eleman içeren birbirinden farklı alt kümelerin sıra önemsiz olmak kaydıyla kaç farklı şekilde seçilebileceğini gösteren sayıdır ve bu sayı; nc r n n! r ( n r)! r! formülü ile hesaplanır. Bu kombinasyon sayısına aynı zamanda binom katsayısı adı da verilmektedir. Özel olarak n C 0 nc n nc n olur. Örnek: 0 üyesi olan bir dernekte 3 kişilik bir komisyon kaç değişik şekilde teşkil edilebilir. Çözüm: komisyonda bulunan şahısların seçim sırası önemli olmadığına göre kombinasyon formülü uygulanır ! (0 3)!3! 0! 7!3! ! 7!3! C değişik komisyon kurulabilir.

3 3 3.4) Olasılık Olasılık Kavramı Olasılık objektif ve sübjektif olmak üzere iki yaklaşımla ele alınmaktadır. Bunlardan en yaygın olarak kullanılanı objektif olasılık olup klasik olasılık ve nispi frekans kavramı olmak üzere iki şekilde ele alınır. Klasik olarak olasılık şöyle tarif edilebilir; Eğer bir olay birbirini karşılıklı olarak engelleyen ve hepsi de eşit şansa sahip olan N mümkün halden sadece a kadar meydana geliyorsa (uygun a a hal), bu olayın olasılığı olup, P(A) şeklinde yazılır. O halde kısaca olasılık, uygun n n haller sayısının mümkün haller sayısına oranı olarak tarif edilebilir. Yukarıdaki tanımda iki olayın aynı anda meydana gelmesi mümkün değilse, bu iki olay birbirini karşılıklı olarak engelleyen (bağdaşmaz) olaylardır. Yani olaylardan biri meydana gelirken, diğerinin meydana gelmesinin imkansız olması hali. Benzer şekilde, iki olaydan herhangi birinin meydana gelme önceliği yoksa bu iki olay eşit şansa sahiptir. Objektif olasılık içinde yer alan ikinci kavram nispi (rölatif - izafi) frekans kavramıdır. Bu kavram deneylerin tekrarlanabilirliğine ve tekrarlarıma işleminin çok sayıda yapılabileceğine dayanır. Nispi frekans kavramına göre olasılık şu şekilde tanımlanabilir. Bir deneyin N kez tekrarlamasından sonra (N büyük bir sayı) bir olayın a kadar sayıda ortaya çıktığı gözlenirse, bu olayın olasılığı (meydana gelmesinin nispi frekansı) N a dir ve P(A) N a şeklinde yazılır. Buna aynı zamanda bir olayın tecrübi olasılığı da denir. Burada N büyük sayıdır demek belirsizlik ifade eder. Onun için olasılık kavramı Kümeler kullanılarak aksiyomatik bir yaklaşımla ele alınmaktadır.

4 4 Nispi frekans yaklaşımı ile bir olayın olasılığı, geçmişte meydana gelen benzer olaylar dikkate alınarak tahmin edilebilmektedir. Dolayısıyla P(A) N a söz konusu olayın gerçek olasılığının bir tahminidir ) Olasılık Kuralları Örnek uzay S olsun. Eğer S süreksiz ise, bütün alt kümeler birer olaya karşılık gelir. Tersine S sürekli ise, sadece bazı alt kümeler (ölçülebilir olanlar) birer olaya karşılık gelir. S örnek uzayı süreksiz olduğunda, A alt kümesini ifade eden gerçek bir sayı P(A) şeklinde yazılabilir ve A olayının olasılığı olarak adlandırılırlar. S örnek uzayındaki bir A olayının ya da alt kümesinin olasılığı 0 P(A) olur. Örnek uzayı S nin olasılığı ise P(S) olur ) Olasılıkların Toplamı Kuralı Burada iki farklı durumdan söz edilir. ) Özel toplama kuralı: Eğer olaylar birbirini karşılıklı olarak engelleyen bağımsız olaylar ise, bu olayların bileşiminin olasılığı ayrı ayrı olasılıkları toplamına eşit olur ve buna özel toplama kuralı adı verilir. P(A A A 3...) P(A )+P(A )+P(A 3 )+...olur. Örnek Bir kutuda 80 i beyaz 0 si kırmızı 00 top vardır. Beyaz topların 30 u, kırmızı topların ise 5 i kusurludur. a) Kutulardan beyaz bir top çekme olasılığı nedir? b) Kusurlu bir top çekme olasılığı nedir? Çözüm a) P(B) B N b) P(K)

5 5 ) Genel Toplama kuralı: Olaylar birbirini engellemeyen bağdaşır olaylar ise, yani birlikte gerçekleşebiliyorlarsa böyle olayların bileşiminin olasılığı genel toplama kuralı ile ifade edilir. Eğer A ve B olayları bağdaşır olaylar ise, P(A B)P(A)+P(B) P(A B) olur. A, B, C gibi üç bağdaşır olay için, P(A B C)P(A)+P(B)+P(C) P(A B)-P(A C)-P(B C)+P(A B C) olur. Örnek: P(A)0,60, P(B)0,30 ve P(A B)0,0 olarak verildiği taktirde aşağıdaki olasılıkları hesaplayınız. a) P(A B) b)p(a c B c ) c) P(A B c ) d) P(A c B) Çözüm: a)p(a B)P(A)+P(B) P(A B) 0,60+0,30-0,00,70 b) P(A c B c ) P(A B) c -P(A B) -0,00,80 c)p(a) P(A B c ) + P(A B) P(A B c )P(A)P(A B) 0,60-0,00,40 d) P(B) P(A B)+P(A c B)P(A c B)P(B) P(A B) 0,30-0,00, Şartlı Olasılık ve Olasılıkların çarpımı kuralı Bir olayın olasılığı araştırılırken o olayın içinde bulunduğu örnek uzayının bilinmesi gerekir. Söz konusu örnek uzay her zaman açık olarak anlaşılamaz. Bu sebeple, veri örnek uzay (S) içindeki bir olayın (A) olasılığı sorulduğunda olasılık P(A / S) şeklinde yazılır. Veri örnek uzayı böylelikle açık bir şekilde belirtilmiş olur. Burada P(A / S) sembolü S örnek uzayına göre A olayının şartlı olasılığını gösterir. Ancak, eğer örnek uzay (S) açıkça belli ise A olayının olasılığı P(A) şeklinde kısaltılmaktadır. Aslında tüm olasılıklar şartlı olasılık olarak düşünülebilir. S örnek uzayın A ve B olaylarını göz önüne alalım. Eğer P(A)>0 ise, A olayın gerçekleşmek şartıyla B olayının gerçekleşme olasılığı; P(B/A) verilir P( B A) P( A) şeklinde yazılır. Bu olasılığa B olayının A ya bağlı şartlı olasılığı adı

6 6 Benzer şekilde B olayı gerçekleşmek şartıyla A olayının gerçekleşme olasılığı de P(A/B) P( A B) P( B) şeklinde yazılır. P(B)>0 B S A ) Genel çarpım kuralı: A ve B olayları bağımlı olaylar ise, bu iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı genel çarpım kuralı olarak adlandırılan aşağıdaki kurala göre belirlenir. P(A B)P(B). P(A/B) burada P(B) >0 P(A B)P(A). P(B/A) burada P(A) >0 ) Özel çarpım kuralı: İki olay bağımsızsa bu iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı özel çarpım kuralı olarak adlandırılan aşağıdaki kurala göre bulunur. P(A B)P(A). P(B) yazılır. Bağımsız olay tanımı: Eğer A, A,...A r olaylarından,3,...,r tanesinin kesiminin olasılığı (kombinasyon olasılığı) bunların tek tek olasılıklarının çarpımına eşit ise, bu olaylar bağımsızdır Olasılık Dağılımları Rassal değişken: İstatistik ve olasılık hesaplarında birçok problemde bir deneyin belli bir yönü veya bir kaç yönü üzerinde durulmaktadır. Mesela bir öğrencinin test usulü ile yapılan bir sınavda onun için önemli olan işaretlediği doğru cevapların sayısıdır. Bir yazı-tura atışında önemli olan husus kaç yazı geldiği olabilir; bunların sıralama şekli önemli olmayabilir. Tesadüfen seçilen bir tüketici ile yapılan ankette yaşı veya boyu yerine ailesindeki kişi sayısı veya geliri ile ilgilenilir. Yukarıda olduğu gibi öğrencinin cevapladığı doğru cevap sayısı, yazı tura atışındaki gelen yazı ve tura sayısı, tüketicinin ailesindeki kişi sayısı veya aile geliri her biri birer rassal değişken olarak adlandırılır. Bir örnek uzayın her noktası bir sayı ile ifade edildiğinde, bu

7 7 örnek uzayda tarif edilen bir fonksiyon elde edilmektedir. Bu fonksiyona rassal değişken adı verilmektedir ve genellikle büyük X ve Y harfi ile gösterilmektedir. Örnek: Bir paranın 3 kez atılışında örnek uzayını teşkil edelim. S { YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TTY, TYT, TTT } Yazı gelme sayısını X (rassal değişken) ile temsil edersek, aşağıdaki tablodan görüleceği üzere X için her örnek noktasına ait olan bir sayı yazabiliriz. Örnek Noktası S YYY S S3 YY T YTY S 4 TYY S 5 YTT S 6 TTY S 7 TYT S 8 TTT X Yazı Gelme Sayısı 3 0 Görüldüğü gibi farklı durumlarda farklı değerler almaktadır.{yyy}3, {YTY}, {TTT}0 değerlerini almaktadır. Bu sebeple X rassal bir değişkendir. Kesikli ve Sürekli Rassal Değişkenler Rassal bir değişkenin içinde bulunduğu örnek uzayı veya başka bir deyişle değişim aralığı süreksiz ise, yani sonlu sayıda ya da sayılabilir sonsuz sayıda eleman içeriyorsa buna süreksiz (kesikli ) rassal değişken adı verilir. Diğer taraftan bir değişken sayılamayacak sayıda sınırsız değerler alırsa bu değişkene sürekli (kesiksiz) rassal değişken adı verilir Süreksiz (Kesikli ) Olasılık Dağılımları X ile gösterilen kesikli rassal bir değişkenin aldığı değerler,, 3... ise değişkenin bu değerlerden sadece birini alması olasılığı f() P (X) şeklinde yazılabilir ve X in olasılık yoğunluk veya olasılık fonksiyonu olarak adlandırılır. Bir dağılım ya da fonksiyonda aşağıdaki iki şart sağlanıyorsa bu fonksiyonlara olasılık fonksiyonları adı verilir. - f () 0

8 8 Olasılık yoğunluk fonksiyonunun alacağı değerler 0 ile arasında değişir. - Σ f () Bir olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanım aralığındaki değerlerinin toplamı olmalıdır. X rassal değişkenin olasılık dağılım fonksiyonu veya diğer bir deyişle kümülatif (yığılımlı, birikimli) yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki şekilde tarif edilir. F() f (t) burada - aralığında değişiyor. t Yukarıdaki eşitliğin sağ tarafına bakılırsa bu dağılım e eşit veya ten küçük t değerlerinin olasılıklarının toplamının kümülatif (birikimli) dağılımını verdiği görülür. Yani kümülatif dağılım fonksiyonu tesadüfi değişkenin belli bir değere eşit veya daha küçük olması olasılığını gösteren bir fonksiyondur Binom Dağılımı Olasılık dağılımları içersinde en yaygın olarak kullanılanıdır. Deneylerin tekrarlana bildiği durumlarda kullanılır. Bir olay n deneyde X defa vuku buluyorsa bu olayın olasılığı Binom dağılımı yardımı ile bulunur. Örnek : - Bir parti malın tesliminde örnek olarak seçilen 50 mamulden ikisinin bozuk olması olasılığı - 0 defa atılan bir para atışında üç yazı gelmesi (7 tura ) olasılığı - 50 test sorusundan 30 nun doğru cevaplandırılması olasılığı - Kansere yakalanan 30 hastadan 0 sinin kurtulması olasılığı vb. Bu gibi durumlarda aranan şey n sayıdaki mümkün halden sayıdaki uygun halin olasılığıdır. Dolayısıyla binom dağılımında birbirini karşılıklı olarak engelleyen olayda sadece birinin (bozuk veya sağlam, doğru veya yanlış, kabul veya ret, kusurlu veya kusursuz gibi ) olasılığı söz konusudur. Binom dağılımı şu varsayımlara dayanmaktadır.

9 9 - Her deney birbirlerinin karşılıklı önleyen iki mümkün halden sadece birinde vuku bulur. Mümkün hallerden biri elverişli hal () diğeri elverişsiz hal (n-) olarak ifade edilir. - Bir uygun halin olasılığı (p) her deneyde aynıdır. Uygun olmayan halin olasılığı (q-p) içinde aynı durum söz konusudur.(seçim iadeli) 3- Deneyler bağımsızdır. Yani bir deneyde ister uygun ister uygun olmayan hal meydana gelsin bu durum diğer deneydeki uygun bir halin olasılığına etki etmez. Binom dağılımının formülü şöyle ifade edilebilir. n Bağımsız deneyden sayıda uygun halin gelmesi olasılığı; n n P ( X ) f ( ) b( ; n ; p) p ( p) burada 0,,,3,...n Problem: Bir acemi işçinin kusurlu mamul üretme olasılığı %0 dur. Bu işçinin ürettiği mamullerden rasgele0 tanesi seçildiğinde (kütle sonsuz) a) Mamullerin en az sinin kusurlu olma olasılığı b) En çok 3 ünü kusurlu olma olasılığı c) En az birinin kusurlu olma olasılığını bulunuz. Çözüm: a) P(X ) P( ) + P( 3) P( 0) P(X ) - 0, 0, , 0,9 9 [ P( 0) + P( ) ] b) P(X 3) P( 0) + P( ) + P( ) + P( 3) c 0 0 0, 0, , 0, ) ( 9) ( 0) 0, P X P , 0,9 0, , 0,9 3 n veya p nin her farklı değeri farklı bir dağılım gösterdiğinden, binom dağılımı gerçekte bir dağılımlar gurubu teşkil eder. p0,5 olduğu zaman dağılım simetrik bir şekil alır. p nin aldığı değere göre dağılım şekil alır. p<0,5 olursa dağılım sağa çarpık, p>0,5 olduğunda ise çarpıklık sola doğru olmaktadır.

10 Hipergeometrik Dağılım Binom dağılım genellikle yerine koymak suretiyle yapılan deneylere ya da sınırsız bir kütleden yapılan deneylere uygulanan bir dağılımdır. Örnek, kütleden yerine koymadan (iadesiz çekim) çekildiği takdirde artık bağımsız olay söz konusu olmadığından binom dağılım uygulanamaz. Bu gibi durumlarda Hipergeometrik dağılım uygulanır. İçerisinde a sayıda uygun, b sayıda uygun olmayan eleman bulunan sınırlı bir kütleden n sayıda örnek iadesiz olarak çekildiğinde, örnekteki elemanların tanesinin uygun, n- tanesinin uygun olmayan elemanlardan oluşma olasılığı hipergeometrik dağılımla aşağıdaki fonksiyonla belirlenir. a b n f ( ; n; a; b) 0,,,..., n olur. a + b n Dağılımın a, b ve n gibi üç parametresi vardır. Problem: 0 si sağlam 0 u bozuk toplam 30 parçadan 0 birimlik örnek çekildiğinde 4 ünün sağlam olma olasılığı nedir? Çözüm: :4 a:0 b:0 n:0 n-6 a b ( ; ; ; ) n n f n a b f (4,0,0,0) 0,03386 a + b n Poisson Dağılımı p 0, n ve n.p Sabit olduğu zaman Binom dağılımı, Poisson dağılımına yaklaşır. Bir olayın meydana gelme olasılığı (p) sıfıra, dolayısıyla q-p, e yaklaşırsa (terside mümkün ) ve n çok büyük olursa böyle olaylara nadir meydana gelen olaylar denir (n çok büyüdüğünde kombinasyon hesabı zor yapılır). Pratik olarak eğer bir olaydaki deney sayısı en

11 az 50 n 50 ve n.p < 5 olursa böyle olaylar nadir meydana gelen olaylar olarak düşünülebilir. Böyle durumlarda Binom dağılımı Poisson dağılımına yaklaşır. Poisson dağılımı şöyle ifade edilir. λ e λ f(; λ) burada 0,,,...! Dağılımın bağlı olduğu tek parametre λ olup dağılımın ortalamasıdır ve λnp ye eşittir. Problem: Bir fabrikada imal edilen malların 0,03 ü bozuktur. Muayene için 5 birimlik bir örnek çekildiğinde; a) 4 bozuk mal çıkması b) 3 veya daha fazla bozuk mal çıkması, c) En fazla bozuk mal çıkması olasılığı nedir? Çözüm: a) λ n. p λ 5.0,03 0,75 4 λ 4 0,75 λ e 0,75 e 0,36.0,47 f(; λ) f(4 : 0,75) 0,006! 4! b) λ 0, ,75 0,75 0,75 0,75. e 0,75. e 0,75. e f( 3;0,75) - 0!!! - 0,47-0,75.0,47-0,8.0,47-0,47-0,3540-0,3-0,960 0,04 0 0,75 0,75 0,75 0,75. e 0,75. e 0,75. e c) f( ) + + 0!!! 0,960 olur Sürekli Olasılık Dağılımları Daha önce bir değişkenin sayılamayacak sayıda sınırsız değerler alabiliyorsa bu değişkene Sürekli rassal değişken adı verildiğini görmüştük. Bu kısımda sürekli rassal değişkenin olasılık dağılımları üzerinde durulacaktır. Sürekli rassal bir değişkenin tanım aralığındaki herhangi bir değeri tam olarak alması imkansızdır. Çünkü gerek sayılar ekseninin her aralığında sonsuz sayı (nokta) mevcuttur. Sonsuz noktadan birinin çekilmesi olasılığı / 0 dır. O halde sürekli rassal bir değişkenin

12 her hangi bir değeri tam olarak alma olasılığı sıfır olup, her hangi bir olasılığından bahsedebilmek için belli bir aralığın olasılığının araştırılması gerekir. X sürekli tesadüfi değişkenin dağılım fonksiyonu F() (kümülatif dağılım fonksiyonu) olsun. Bunun türevi olan F ()f() e olasılık fonksiyonu ( olasılık yoğunluk fonksiyonu ) denilebilmesi için şu iki şartın birlikte sağlaması gerekir. ) f () 0 ) f () d olmalıdır. Bu fonksiyondan hareketle, X değişkeninin a ve b aralığında bulunma olasılığı şöyle tarif edilir. b F(b)-F(a) P (a<x<b) a f ()d Düzgün (Üniform) Dağılım Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir. α < < β f ( ) β α 0 < 0 Burada α ve β dağılımın parametreleri olup gerçek sabitlerdir. (β>α) Bu dağılımın dağılım fonksiyonu şöyle yazılır. 0 < α α F ( ) P( X < ) α < β β α β Problem: X tesadüfi değişkeni - aralığında uniform olarak dağılmıştır. a) P(<) b)p( )yi hesaplayınız. Çözüm:

13 3 a) P( < ) 4 d b)p( ) P( < < 0,5) + P(,5 < < ) P(0,5 < <,5),5 0,5 d ( ) 4 4,5 0,5,5 0, Üstel Dağılım Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir. e f ( ) 0 ( ) > 0 için diğiğerhaller Burada >0 olup, dağılımın ortalaması ve tek parametresidir. Üstel dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir. Üstel dağılımın dağılım fonksiyonu F() e 0 > 0 aksi durum Olup bunun şekli aşağıda görülmektedir.

14 4 Problem: Bir işletmenin üretilmiş olduğu elektronik cihazların arızasız çalışma sürelerinin (saat cinsinden ) üstel dağılıma uyduğu görülmüştür ve 4 saat olarak bulunmuştur. Buna göre; a )Bir cihazın en az saat arızasız çalışması b) En fazla 36 saat arızasız çalışması olasılığını bulunuz? c) Cihazın 30 saatten fazla çalışma olasılığı en az %80 olması için en az ne olmalıdır. Çözüm: 4 f () e > 0 4 f() 0 diğer haller a) P( ) + 4 b) P(0 < < 36) e ,5 d e e e e 0, ,5 d e e 0,3 0 0,7769

15 5 c) 30 e ( ) d.( ). e ( ) 30 0,8 - e ( ) 30 0,8 - e + e 30 0,8 e 30 0,8 30 ln0, Normal Dağılım saat olmalıdır İstatistikte en yaygın kullanılan dağılımdır. Bazı eserlerde Gauss dağılımı, çan eğrisi, normal eğri vb. gibi isimlerle adlandırılmaktadır. Normal yoğunluk fonksiyonu şöyledir: f () e πσ ( - ) - σ - < < Burada π 3,459 ve e,788 dir. Bu dağılım (ortalama) ve σ (standart sapma) parametrelerine dayanmaktadır. Dolayısıyla normal bir dağılım N(, σ ) sembolü ile gösterilir. Normal dağılım aritmetik ortalama etrafında simetrik bir dağılım olup, ortalama etrafındaki bazı alanlar aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

16 6 Normal Dağılım, ve σ parametreleri ile tespit edilmektedir. Fakat her ve σ değeri için farklı bir normal dağılım elde edilmektedir. farklı değerler alındığında şekilde görüldüğü gibi dağılım ekseni üzerinde kaymaktadır. σ nın farklı değerler alması ise dağılımın sivriliğine veya basıklığına tesir etmektedir bu durum şekilde gösterilmiştir. Standart Normal Dağılım Daha önce belirtildiği gibi ve σ nın her farklı değeri için farklı bir normal dağılım vardır. Dolayısıyla ve σ değerlerine dayanan sonsuz sayıda normal dağılım elde etmek mümkündür. Bu durumu önleyebilmek ve sadece bir tana normal dağılım elde edebilmek için normal değişken standart hale çevrilir. Böylece farklı ortalama ve varyansa sahip bütün normal dağılışlar aynı ortalama (0) ve varyansa () sahip dağılışlar haline dönüşürler. Böylece standart normal değişkene ait dağılıma standart normal dağılım adı verilir. Standart değişkene dönüştürme işlemi şöyle yapılır X X Z σ Bu Z değişkeninin dağılımının aritmetik ortalaması 0 ve varyansı dir. Standart Normal Dağılımın yoğunluk fonksiyonu normal yoğunluk fonksiyonundaki yerine 0 ve σ yerine koymak suretiyle; z f (z) e < z < elde edilir. π

17 7 Standart normal dağılımın alanları için olasılık değerlerini veren tablolar hazırlanmıştır. Bu tablolardan faydalanarak alanlara ait olasılıkları kolaylıkla hesaplamak mümkün olmaktadır. Problem: Bir fabrikada üretilen cıvataların çapları cm. Ortalama ve 0, cm. standart sapma ile normal dağılıma uymaktadır. Bu cıvataların çapı,8 ile,5cm. dışına düşerse bozuk sayılmaktadır. Bu verilere göre üretimin kusurlu oranını bulunuz. Çözüm: P(X<,8 ; X>,5)? Z X X σ,8 Z 0, Z _ X X,5 Z σ 0,,5 P(Z <- veya Z >,5)?,5 f ( z) d z 0 f ( z) d z +,5 0 f ( z) d z [ 0, ,433] 0, 0896