Rassal Değişken. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK

Transkript

1 Rassal Değişken Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK

2 S örnek uzayı içindeki her bir basit olayı yalnız bir gerçel (reel) değere dönüştüren fonksiyona rassal değişken adı verilir. O halde rassal değişken bir fonksiyon olup örnek uzaydan gerçel sayı kümesine bir dönüşüm sağlar. X: S A Є R Diğer bir ifadeyle rassal değişken deney sonuçlanmadan alacağı değer kestirilemeyen, ancak deney yapıldıktan sonra aldığı değerler gözlemlene bilen değişkene denir. Rassal değişkenleri isimlendirmek için X, Y, Z gibi büyük harfler kullanılır. Örnek: Rassal Değişken Bir futbol takımının yapacağı bir maçta atacağı gol sayısı Bir para ile yapılan 1 atışta gelecek yazı sayısı Bir beyaz eşya mağazasında herhangi bir günde satılan buzdolabı sayısı Bir Şeker fabrikasında herhangi bir günde üretilen şeker miktarı Bir dolmuşun üniversite kampüsüne geliş süresi

3 Örnek: Bir para ile yapılan 3 atış deneyinde örnek uzayını oluşturarak yazı sayısı rassal değişkenini belirleyiniz. Örnek uzay TTT TTY TYT YTT TYY YTY YYT YYY X: Yazı sayısı Örnek: Bir kutuda bulunan Mavi 1 Kırmızı toptan rasgele 3 top çekildiğinde kırmızı top sayısı rassal değişkenini oluşturunuz. Örnek uzay MMM MMK MKM KMM MKK KMK KKM KKK X: Kırmızı top sa Örnek: bir takımın yapacağı 2 maçta örnek uzayı ve kazanacağı maç sayısı rassal değişkenini oluşturunuz. Örnek uzay MM MB BM BB MG GM BG GB GG Kazandığı maç

4 Kesikli ve Sürekli rassal değişkenler Kesikli rassal değişken: Bir değişken sonlu sayıda ya da sayılabilir sonlu sayıda değerler alıyorsa bu değişkene kesikli rassal değişken adı verilir. Kısaca rassal değişken aldığı değerler tam sayılarla / tam değerlerle ifade edilebilen değişkenlerdir. Örnek: Herhangi bir ailedeki çocuk sayısı, Herhangi bir işletmede çalışan işçi sayısı, İşletmede üretilen parça sayısı, Polikliniğe gelen hasta sayısı, İşletmedeki arızalı makine sayısı, Bir öğrencinin test sınavındaki doğru cevap sayısı, Bir paranın 1 kez atılışında tura sayısı, Okul kantininde belli bir günde satılan çay sayısı

5 Örnek: Sonsuz sayıdaki bir mamul yığınından rassal olarak mamuller seçiliyor. bozuk mamule rastlanana kadar seçim devam edecektir. Rassal değişken ilk bozuk mamule rastlanana kadar seçilen mamul sayısı olmak üzere şöyle yazılabilir. Deney Seçilen mamul sayısı (X) B 1 SB 2 SSB 3 SSSB SSSSB SSSSSB 6.. Yukarıdaki deney sonsuz sayıda yapılabilir, ancak örnek uzayı sayılabilir sayıda sonuç içerir. Dolayısıyla rassal değişken kesiklidir.

6 Sürekli rassal değişken: Bir rassal değişkenin aldığı değerler tam sayılarla / tam değerlerle ifade edilmeyip bir değerler aralığı şeklinde ifade edilebiliyorsa bu değişkene sürekli rassal değişken adı verilir. Sürekli rassal değişkenin belli bir değeri tam olarak alması imkansızdır. Bu sebeple sürekli rassal değişkene ait değerler bir aralıkla ifade edilirler. Örnek: Herhangi bir kişinin ağırlığı, Bir aracın belli bir andaki hızı, Bir aracın belli bir gündeki tükettiği yakıt miktarı, Bir işletmenin ürettiği kumaş miktarı, Bir mamulün üretim süresi, 1 metreküp havadaki karbon monoksit miktarı, Konutlarda tüketilen su miktarı vs.

7 Kesikli rassal değişkenin olasılık dağılımları X ile gösterilen kesikli rassal bir değişkenin aldığı değerler 1, 2, 3,. ise değişkenin bu değerlerden sadece birini alma olasılığı f()= P(X=) şeklinde yazılabilir ve X in olasılık yoğunluk veya olasılık fonksiyonu olarak adlandırılır. Örnek: Bir para ile yapılan atış deneyinde yazı sayısı rassal değişkenini ve olasılık dağılımını yazınız. Çözüm: Mümkün hal sayısı 2 n = 2 = 32 Uygun haller: yazı, tura C = 1 1 yazı, tura C 1 = 2 yazı, 3 tura C 2 = 1 3 yazı, 2 tura C 3 = 1 yazı, 1 tura C = yazı, tura C = 1

8 Yazı sayısı Mümkün hal sayısı Uygun hal sayısı Olasılık yazı 1 1/32 1 yazı /32 2 yazı 1 1/ yazı 1 1/32 yazı /32 yazı 1 1/32 Toplam 32 1

9 Olasılık yoğunluk fonksiyonu (oyf) Bir kesikli değişkene ait fonksiyon aşağıdaki iki şartı sağlıyorsa olasılık fonksiyonu ya da olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak adlandırılır. 1) f( i ) olmalıdır. Rassal değişkenin tanım aralığındaki herhangi bir değeri alma olasılığı sıfırdan küçük olamaz. 2) Σf( i ) = 1 olmalıdır. Rassal değişkenin tanım aralığındaki bütün değerleri alma olasılığı 1 dir. Yani rassal değişkene ait değerlerin olasılıkları toplamı 1 olmalıdır. Bir para ile yapılan atış deneyi için yukarıdaki iki şart yerine geldiğinden yazı sayısı rassal değişkenine ait olan fonksiyon kesikli bir olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

10 Bir para ile yapılan atış deneyinde (n=) yazı sayısı rassal değişkeni için olasılık yoğunlu fonksiyonu (oyf) şöyle yazılır. f ( ) 2,1,2,3,, diger haller

11 Olasılık dağılım fonksiyonu (odf) Olasılık dağılım fonksiyonu kısaca kümülatif (birikimli, eklenik) olasılık yoğunluk fonksiyonu demektir. Kesikli bir rassal değişkenin belli bir değere eşit ya da küçük olma olasılığını veren fonksiyondur. X kesikli rassal değişkeninin dağılım fonksiyonu F() ile gösterilir ve şöyle ifade edilir. F ( ) f ( t) t Olasılık yoğunluk fonksiyonu f() ile gösterilir ve bireysel olasılıkları gösterir. Olasılık dağılım fonksiyonu ise F() ile gösterilir ve e eşit ya da küçük değişken değerlerinin olasılıkları toplamını verir.

12 Eğer X sadece sınırlı sayıda değerler alıyorsa, bu durumda dağılım fonksiyonu ya da kümülatif yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki şeklide yazılabilir. f f f f f f F n n 1 ) (... ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

13 Örnek: Bir para ile yapılan atış deneyinde yazı gelme sayısı rassal değişkeni için olasılık dağılım fonksiyonunu belirleyiniz F( )

14

15 Örnek: Bir beyaz eşya mağazasında günlük buzdolabı satışları için aşağıdaki fonksiyon elde edilmiştir. a) Fonksiyonun olasılık fonksiyonu olabilmesi için k ne olmalıdır? b) Olasılık yoğunluk fonksiyonunu açık olarak gösteriniz. c) Olasılık dağılım fonksiyonunu gösteriniz. f ) k ( 2 1,2,3, diger haller

16 Çözüm: a) Bilindiği gibi bir fonksiyonun olasılık fonksiyonu olabilmesi için iki şartın yerine gelmesi gerekiyordu. 1. şart f( i ) olup yukarıdaki fonksiyonda k> olursa bu şart yerine gelmiş olur. 2. şart Σ f( i ) = 1 olması idi. Fonksiyonun bu şartı yerine getirebilmesi k nın alacağı değere bağlıdır. f ( k k k k i ) k k k k k 36k 16k 9k 1 1 2k 1 1 k olur. 1 2

17 Olasılık yoğunluk fonksiyonu (oyf) f ) 1 2 ( 2 1,2,3, diger haller b) Olasılık yoğunluk fonksiyonunun açık gösterimi (oyf) f ( ) diger

18 c) Olasılık dağılım fonksiyonu (odf) ) ( F

19

20

21

22 Sürekli olasılık fonksiyonları X değişkeni (- ;+ ) aralığında tanımlanmış bir sürekli rassal değişken olsun. Aşağıdaki şartları sağlayan f() olasılık fonksiyonu X sürekli rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu olarak tanımlanır. 1) f() 2) f ( ) d 1 Sürekli bir rassal değişkenin tanım aralığındaki herhangi bir değeri tam olarak alma olasılığı sıfırdır. Bu durumda P(a X b) = P(a<X<b) = P(a X<b) = P(a<X b) olur. b P ( a X b) P( a X b) f ( ) d şeklinde hesaplanır. a

23 f() fonksiyonu olasılık yoğunluk fonksiyonu (oyf) olarak adlandırılır. F() ile gösterilen fonksiyon dağılım fonksiyonu (odf) olup olasılık yoğunluk fonksiyonunun eklenik (kümülatif) halidir. Buna göre dağılım fonksiyonu (odf) şöyle ifade edilir. F ( ) P( u ) f ( u) du Dağılım fonksiyonu (odf) bilindiği taktirde yoğunluk fonksiyonu (oyf) şöyle ifade edilir. df( ) f ( ) d Bu durumda X rassal değişkeninin (a;b) aralığında olma olasılığı şöyle yazılabilir. b P ( a X b) f ( ) d F( b) F( a) a

24 Örnek: Aşağıda bir yoğunluk fonksiyonu verilmiştir f ( ) k 3 diger a) Yukarıdaki fonksiyonun olasılık fonksiyonu olabilmesi için k ne olmalıdır? b) P(X>3) olasılığını bulunuz. c) Olasılık dağılım fonksiyonunu elde ediniz. d) P(2<X<) olasılığını hesaplayınız e) Medyanı bulunuz.

25 Çözüm: a) Fonksiyonun oyf olabilmesi için iki şart gereklidir. 1. şart f() olup k> için bu şart sağlanır. 2. şart ise fonksiyonun tanım aralığındaki integralinin 1 e eşit olmasıdır. Bunu şöyle yapabiliriz. k 3 d 1 olmalidir k 2 1 k 2 1 k 2 12 Şu halde olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle yazılır. f ( ) 3 diger

26 b) c) Olasılık dağılım fonksiyonu (odf), ) ( d X P ) ( 3 u du u F 1 ) ( F

27 d) Veya e) Medyan,38 2 ) ( (2) () ) (2 P olur F F P 2 ) ( d P,2 312,,,, 3 Medyan Med Med Medyan med Med