DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİK KONTROL I Dr. Uğur HASIRCI

Transkript

1 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TENOLOJİ FAÜLTESİ ELETRİ-ELETRONİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİ ONTROL I ALICI DURUM HATASI ontrol sistmlrinin tasarımında üç tml kritr göz önünd bulundurulur: Gçici Durum Cvabı ararlılık alıcı Durum Hatası İlk iki prformans spsifikasyonunu daha önc açıkladık. Bugün alıcı Durum Hatası kavramı üzrind duracağız. alıcı Durum Hatası, blirli bir giriş sinyali için, zaman sonsuza gidrkn sistm girişi il çıkışı arasındaki farktır. Bir sistmin kalıcı durum hatası prformansını tst tmk için kullanılan bazı standart tst sinyallri vardır. Bu sinyallri hatırlatalım:

2 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TENOLOJİ FAÜLTESİ ELETRİ-ELETRONİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİ ONTROL I 2

3 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TENOLOJİ FAÜLTESİ ELETRİ-ELETRONİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİ ONTROL I alıcı durum hatasının grafik olarak göstrimi için aşağıdaki şkli göz önünd bulunduralım. Aşağıda iki farklı sistm adım girişi uygulanmış v sistmlrdn biri sıfır kalıcı durum hatası ürtirkn, diğri sonlu bir kalıcı durum hatası ürtmiştir. 3

4 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TENOLOJİ FAÜLTESİ ELETRİ-ELETRONİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİ ONTROL I Aşağıda is üç farklı sistm rampa girişi uygulanmış v sistmlrdn biri sıfır kalıcı durum hatası ürtirkn, diğri sonlu bir kalıcı durum hatası ürtmiştir. Üçüncüsü is zaman sonsuza gidrkn sonsuz bir kalıcı durum hatası ürtir. 4

5 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TENOLOJİ FAÜLTESİ ELETRİ-ELETRONİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİ ONTROL I Birim Gribslmli Sistmlrd alıcı Durum Hatası alıcı durum hatası, sistmin kapalı çvrim transfr fonksiyonundan hsaplanır. Ancak birim gribslmli sistmlrd ilri yol transfr fonksiyonu G(s) kullanılarak da kalıcı durum hatası hsaplanabilir. Şimdi aşağıdaki birim gribslmli sistmi gözönünd bulunduralım v hatanın, yani E(s) in ifadsini türtlim: E( s) R( s) C( s) Rs () C( s) E( s) G( s) E( s) Gs ( ) Eld ttiğimiz bu ifady son dğr tormini uygularsak, kalıcı durum hatası için gnl ifadyi ld tmiş oluruz: sr() s ( ) lim Gs ( ) Şimdi sistm girişi R(s) için üç farklı tst sinyalinin hr birinin uygulanması durumunda, bu kalıcı durum hatasının ifadsini bulalım: 5

6 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TENOLOJİ FAÜLTESİ ELETRİ-ELETRONİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİ ONTROL I Adım Girişi: Eğr R(s)=/s olursa, kalıcı durum hatasının ifadsi; sr() s ( ) lim Gs ( ) s(/ s) ( ) adım( ) lim G ( s ) lim G ( s ) Rampa Girişi: Eğr R(s)=/s 2 olursa, kalıcı durum hatasının ifadsi; 2 s(/ s ) ( ) rampa ( ) lim lim G( s) s sg( s) lim sg( s) Parabol Girişi: Eğr R(s)=/s 3 olursa, kalıcı durum hatasının ifadsi; 3 s(/ s ) G( s) 2 2 s s G( s) 2 lim s G( s) ( ) ( ) lim lim parabol 6

7 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TENOLOJİ FAÜLTESİ ELETRİ-ELETRONİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİ ONTROL I Öztl, adım ( ) lim Gs ( ) rampa ( ) lim sg( s) parabol ( ) 2 lim s G( s) 7

8 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TENOLOJİ FAÜLTESİ ELETRİ-ELETRONİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİ ONTROL I Ör: Aşağıda vriln sistmin 5u(t), 5tu(t) v 5t 2 u(t) girişlri için kalıcı durum hatasını bulunuz. C: 5u(t), yani adım girişi için, girişin Laplac dönüşümü 5/s olur. Bu durumda kalıcı durum hatası: ( ) adım( ) lim Gs ( ) 20 2 dğrini alır. 5tu(t), yani rampa girişin için, girişin Laplac dönüşümü 5/s 2 olur. Bu durumda kalıcı durum hatası: olur. 5 5 ( ) rampa ( ) lim sg( s) 0 8

9 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TENOLOJİ FAÜLTESİ ELETRİ-ELETRONİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİ ONTROL I dğrini alır. 5t 2 u(t), yani parabol girişi için, girişin Laplac dönüşümü 0/s 2 olur. Bu durumda kalıcı durum hatası: 0 0 ( ) ( ) parabol 2 lim s G( s) 0 dğrini alır. Yani bu sistm, adım girişi için sonlu, rampa v parabol girişlri için sonsuz kalıcı durum hatası ürtir. 9

10 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TENOLOJİ FAÜLTESİ ELETRİ-ELETRONİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİ ONTROL I Ör: Aşağıda vriln sistmin 5u(t), 5tu(t) v 5t 2 u(t) girişlri için kalıcı durum hatasını bulunuz. C: 5u(t), yani adım girişi için, girişin Laplac dönüşümü 5/s olur. Bu durumda kalıcı durum hatası: 5 5 ( ) adım( ) 0 lim Gs ( ) dğrini alır. 5tu(t), yani rampa girişi için, girişin Laplac dönüşümü 5/s 2 olur. Bu durumda kalıcı durum hatası: olur. 5 5 ( ) rampa ( ) lim sg( s)

11 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TENOLOJİ FAÜLTESİ ELETRİ-ELETRONİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİ ONTROL I dğrini alır. 5t 2 u(t), yani parabol girişi için, girişin Laplac dönüşümü 0/s 2 olur. Bu durumda kalıcı durum hatası: 0 0 ( ) ( ) parabol 2 lim s G( s) 0 dğrini alır. Yani bu sistm, adım girişi için sıfır, rampa girişi için sonlu v parabol girişi için sonsuz kalıcı durum hatası ürtir. Öncki örnk v bu örnk bir arada gözönünd bulundurulduğunda, bir sistmin adım, rampa v parabol girişlri için ürtcği kalıcı durum hatasının dğrini, sistmdki intgratörün (/s) varlığı v üssü blirlr. Diğr bir ifadyl, transfr fonksiyonunun paydasında çarpan durumundaki s in varlığı v üssü blirlr. Bir öncki örnkt, transfr fonksiyonunda intgratör yoktu v sistm adım girişi için sonlu, rampa v parabol girişlri için sonsuz kalıcı durum hatası ürtti. Bu örnkt sistm bir adt intgratör sahiptir v adım girişi için sıfır, rampa girişi için sonlu v parabol girişi için sonsuz bir kalıcı durum hatası ürtmktdir. Pki çift intgratör (/s 2 ) olsaydı?

12 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TENOLOJİ FAÜLTESİ ELETRİ-ELETRONİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİ ONTROL I Statik Hata atsayıları Sistmlrini gçici durum cvabını inclrkn yrlşm zamanı, yüzd aşım, tp zamanı vs. gibi ilgili sistmin gçici durum cvabını karaktriz dn bazı prformans kritrlri tanımlamıştık. Bnzr bir yaklaşım, kalıcı durum hatasının analizind d kullanılır. Yani bir sistmin kalıcı durum prformansını karaktriz tmk için bir takım prformans kritrlri tanımlanır v prformans kritrlri Statik Hata atsayıları olarak adlandırılır. Pki bu hata katsayıları nasıl tanımlanır? Daha önc, üç farklı tst sinyali için kalıcı durum hatasının ifadsini şu şkild bulmuştuk: adım( ) rampa ( ) parabol ( ) 2 lim Gs ( ) lim sg( s) lim s G( s) s 0 Bu üç formüld paydadaki limit ifadlri Statik Hata atsayıları olarak tanımlanır. Hr birinin ayrı ayrı isimlri v ifadlri şu şkilddir: Pozisyon Sabiti, p : Hız Sabiti, v : İvm Sabiti, a : a v p lim G( s) lim sg( s) 2 lim s G( s) 2

13 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TENOLOJİ FAÜLTESİ ELETRİ-ELETRONİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİ ONTROL I Ör: Aşağıda vriln sistmlrin hr biri için standart adım, rampa v parabol girişlrin karşılık gln kalıcı durum hatası dğrlrini bulunuz. 3

14 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TENOLOJİ FAÜLTESİ ELETRİ-ELETRONİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİ ONTROL I C: adım ( ) 0.6 p ( ) rampa v p v a lim G( s) lim sg( s) 0 2 lim s G( s) 0 parabol ( ) a adım ( ) 0 p rampa p v a lim G( s) ( ) v lim sg( s) lim s G( s) 0 parabol ( ) a 4

15 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TENOLOJİ FAÜLTESİ ELETRİ-ELETRONİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİ ONTROL I p v a lim G( s) lim sg( s) lim s G( s) 875 adım ( ) 0 p ( ) 0 rampa v parabol ( ).4 0 a 3 5

16 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TENOLOJİ FAÜLTESİ ELETRİ-ELETRONİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİ ONTROL I SİSTEM TİPİ Ngatif birim gribslmli sistmlr odaklanmaya dvam dlim. Statik hata katsayılarının dğri, G(s) transfr fonksiyonundaki intgratör sayısına bağlıdır. alıcı durum hatasının dğri G(s) transfr fonksiyonundaki intgratör sayısına bağlı olduğu için, bu intgratör sayısına bir isim vrilir: Aşağıdaki şkild görüldüğü gibi, paydadaki n in dğri Sistm Tipi olarak adlandırılır. Yani n=0 is bu sistm Tip 0 bir sistmdir, n= is bu sistm Tip bir sistmdir, n=2 is bu sistm Tip 2 bir sistmdir dnir. 6

17 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TENOLOJİ FAÜLTESİ ELETRİ-ELETRONİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİ ONTROL I Aşağıdaki tablo, Sistm Tipi, Statik Hata atsayısı v alıcı Durum Hatası kavramlarını birbirin bağlar. 7

18 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TENOLOJİ FAÜLTESİ ELETRİ-ELETRONİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİ ONTROL I Tıpkı yrlşm zamanı, tp zamanı, yüzd aşım, sönüm oranı gibi prformans spsifikasyonların bir sistmin gçici durum cvabını karaktriz tmk için kullanılması gibi, statik hata katsayıları da bir sistmin kalıcı durum cvabını karaktriz tmk için kullanılabilir. Örnğin bir kontrol sistmi, v =000 gibi bir spsifikasyona sahips, aşağıdaki sonuçları çıkarabiliriz: Sistm kararlıdır. Sistm Tip bir sistmdir. Çünkü sadc Tip bir sistm sonlu bir hız katsayısı dğrin sahip olabilir. Tst sinyali rampa sinyalidir. Çünkü hız hatası sonlu bir sabittir. alıcı durum hatasının dğri / v dir. Şimdi statik hata katsayılarının bir kontrol sistminin analizi v tasarımında bir prformans kritri olarak kullanılmasına ilişkin iki örnk yapalım. 8

19 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TENOLOJİ FAÜLTESİ ELETRİ-ELETRONİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİ ONTROL I Ör: Bir sistmin p =000 şklind bir spsifikasyona sahip olması, bu sistm hakkında n tür bir bilgi vrir. C: Sistm kararlıdır. Sistm Tip 0 bir sistmdir çünkü sadc Tip 0 sistmlr sonlu bir p dğrin sahip olabilir. Tst sinyali adım sinyalidir. alıcı durum hatasının dğri: ( ) p 9

20 DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TENOLOJİ FAÜLTESİ ELETRİ-ELETRONİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ EET305 OTOMATİ ONTROL I Ör: Aşağıda vriln kontrol sistmind, kalıcı durumda %0 hata olması için dğrini hsaplayınız. C: Sistm Tip bir sistm olduğu için, sonlu bir kalıcı durum hatası olması için giriş sinyalinin rampa girişi olması grkir, çünkü sadc rampa girişi Tip bir sistm için sonlu bir kalıcı durum hatası vrir. Bu durumda %0 hata olması dmk, kalıcı durum hatasının 0. olması dmktir. Bu durumda; ( ) 0. v v 0 lim sg( s)