9 B ol um Türevin Uygulamaları

Transkript

1

2 2

3 Bölüm 9 Türevin Uygulamaları

4 64 BÖLÜM 9. TÜREVİN UYGULAMALARI

5 Bölüm 0 Türev Tanım 0. y = f () fonksiyonu (a,b) aralığında tanımlı ve 0 (a,b) olsun. y = f ( 0 ) h 0 f ( 0 + h) f ( 0 ) h iti varsa, bu it değeri f fonksiyonunun = 0 noktasındaki türevidir. y = f () fonksiyonunun türevi, y, f ( 0 ), d f ( 0 ) d, simgelerinden biriyle gösterilir. d d f (), D f (), D y, d f d, d y d (0.) Tanım 0. de h bir gerçel sayıdır. h 0 olabilmesi için, h sayısı 0 sayısına soldan ya da sağdan istenildiği kadar yakın olabilir. Uygulamada h sayısının çok küçük bir sayı olduğunu kabul etmek bir kısıtlama getirmez. değişkeninin sola ya da sağa doğru istenildiği kadar küçük bir hareketi, h = olmak üzere + ile gösterilir. h = alınırsa Tanım 0. şöyle de yazılabilir: y =0 = f ( 0 ) 0 f ( 0 + ) f ( 0 ) (0.2) 0. Bir Aralıkta Türetilebilme 0 noktası için yapılan türev tanımını her (a,b) noktasına yaymak isteye. = h konumuyla, türevi

6 66 BÖLÜM 0. TÜREV y = f () 0 f ( + ) f () biçiminde yazabiliriz. Bazen = 0 konularak, türev (0.3) f f () f ( 0 ) () 0 ( 0 ) biçiminde de yazılabilir. (0.4) Tanım 0.2 (a,b) aralığındaki her noktsı için 0.3 ya da ona denk olan 0.4 sağlanıyorsa, f fonksiyonu (a,b) aralığında türetilebilir (differentiable) bir fonksiyondur. 0.2 Soldan ve sağdan türev Soldan ve sağdan itler gibi soldan ve sağdan türevler de tanımlanabilir: Tanım 0.3 f ( ) = f f ( + h) f () ( 0) h 0 h değerine f fonksiyonunun soldan türevi, Tanım 0.4 f ( + ) = f f ( + h) f () ( + 0) h 0 + h eğerine f fonksiyonunun sağdan türevi denilir. noktasında f fonksiyonunun türevinin olması için, o noktada soldan ve sağdan türevlerinin var ve birbirlerine eşit olması gerekir. 0.3 Parçalı Türevlenebilme Parçalı Süreklilik Bir (a, b) aralığında incelenen fonkiyon, aralığın bazı noktalarında süreksiz olabilir. Süreksizlik noktaları c,d,e,... ise, fonksiyonu (a,c),(c,d),(d,e),... alt aralıklarında inceleriz.

7 0.4. DİFERENSİYEL 67 Tanım 0.5 f fonksiyonu söz konusu alt aralıklarının her birinde sürekli ise, f fonksiyonuna parçalı süreklidir, denilir. Parçalı Türetilebilme Tanım 0.6 Parçalı sürekli olduğu her aralıkta türevlenen fonksiyona parçalı türetilebilir (sectional differentiable) fonksiyon denilir. 0.4 Diferensiyel y = f () fonksiyonu (a,b) aralığında tanımlı ve (a,b) noktasına verilen bir artmasıyla elde edilen y = f ( + ) f () (0.5) değerine in artmasına karşılık gelen fonksiyon artması denilir. (Tabii, her iki artım negatif yönde de olabilir.) ise, f fonksiyonu (a, b) aralığında sürekli, türetilebilir ve birinci türevi sürekli eşitliğini y = d y d = f () (0.6) d y = f ()d (0.7) biçiminde yazabiliriz. (0.7) ifadesine f fonksiyonunun diferensiyeli denilir. Bu ifadede = d değerlerinin istenildiği kadar küçük ama 0 dan farklı olduğunu unutmayacağız. Diferensiyeli bazı sayıların yaklaşık değerlerini bulmak için kullanabiliriz. Bunun için, önce yaklaşık değeri verecek bir formül oluşturalım. y = f ( + ) f () (0.8) olduğunu düşünerek (0.7) ifadesini

8 68 BÖLÜM 0. TÜREV f ( + ) f () + f () (0.9) biçiminde yazalım. Bu istenen yaklaşık değerleri verecektir. Örnek : 28 sayısının yaklaşık değerini bulalım. 28 sayısına en yakın olarak karekökünü tam bildiğimiz sayı 25 dir. O halde = 25 ve = = 3 alarak (0.9) ifadesini (3) + 25 biçiminde yazabiliriz. Buradan (3) + 5 = = = bulunur. 3 Örnek 2: 2 sayısının yaklaşık değerini bulmak için y = 3 fonksiyonunu kullanabiliriz. 2 sayısına en yakın olarak küp kökünü tam bildiğimiz sayı 27 dir. O halde = 27 ve = 2 27 = 6 alarak, (0.9) ifadesini 3 2 ( /3 ).( 6) = 3 ( 27 (/3) ).( 6) + 3 = /3.( 6) + 3 = ( 6) + 3 = ( 6) + 3 = 2,778 bulunur. Örnek 3: 98 sayısının yaklaşık değerini bulmak için y = fonksiyonunu kullanabiliriz. 98 sayısına en yakın olarak kare kökünü tam bildiğimiz sayı

9 0.5. TÜREV KURALLARI dür. O halde = 00 ve = = 2 alarak, (0.9) ifadesini 98 ( /2 ).( 2) + 00 bulunur. = 2 ( (/2) ).( 2) + 0 = 2 00 /2.( 2) + 0 = 2.( 2) =.( 2) Genel olarak, y d y dir. Ancak, verilen koşullar altında = d çok küçük kılındığında y d y olduğu varsayılabilir. Diferensiyel kavramı değişkeni için de ifade edebilir. Özel olarak, y = f () = alınırsa = d ifadesine değişkeninin diferensiyeli diyebiliriz. Tabii, d in küçük olaması d y nin de küçük olmasını gerektirmez. (0.3) ile (0.5) eşitliklerinden hareketle d y d = f f ( + ) f () () 0 y 0 (0.0) (0.) yazabiliriz. Burada şuna dikkat etmeliyiz. d ile d y ifadeleri 0 iken elde edilen değerler değildir. Çünkü d ile d y ifadeleri 0 değilken yukarıdaki itler 0 olabilir. 0.5 Türev Kuralları Teorem 0.. Sabit fonksiyonun türevi 0 dır: her için y = f () = c ise olur. y = d f d (c) = 0

10 70 BÖLÜM 0. TÜREV 2. Her n N için y = n fonksiyonunun türevi y = n n dir. 3. Her c sabiti için y = c f () fonksiyonunun türevi y = c f () dir. 4. y = f () ± g () için y = f () ± g () dir. 5. y = f ().g () için y = f ().g () + f ().g () dir. 6. y = g o f () = g (f ()) için y = g (f ()).f () dir. 7. y = f () g () = y = f ().g () g ()i f () ( ) 2 g () dir. 0.6 Özel Fonksiyonların Türevleri 0.6. Ters Fonksiyonun Türevi y = f () ise = f f (y) bağıntısından d y d = d d y (0.2) bağıntısı elde edilir. 0.7 Zincir Kuralı f () ile g () türetilebilie iki fonksiyon ve y = F () = f og () = f ( g () ) ise y = d d (F ()) = f ( g () ) g () (0.3) olduğunu gösteriniz.

11 0.7. ZİNCİR KURALI 7 y F ( + ) F () 0 ( ) y 0 ( ) y 0 u. u ( ) ( ) y u. 0 u 0 = d y du du d = f (u).g () = f (g ()).g () 0.7. Parametrik Fonksiyonun Türevi = g (u) ve y = f (t) fonksiyonları türetilebilir ve f () fonksiyonunun t = f ters fonksiyonu sürekli türetilebilir ise, y = d y d = d f d g = = f (t) g (t) d f d t d g d t (0.4) (0.5) olur. Türev kurallarının benzerleri diferensiyeller için de uygulanabilir: d ( f () + g () ) = d f () + d g () = f ()d + g ()d = ( f () + g () ) d (0.6) (0.7) d ( f ().g () ) = f ().d g () + d f ().g () = f ().d g () + g ()d f () = ( f ().g () + g ()f () ) d (0.8) (0.9)

12 72 BÖLÜM 0. TÜREV 0.8 y = e y = d ( e ) = e (0.20) d olduğunu gösteriniz. y e +h e h 0 h ( ) e (e h ) h 0 h ( ) = e (e h ) h 0 h = e. = e l Hopital 0.8. Logaritma Fonksiyonunun Türevi 0.9 y = ln d d (ln ) = olduğunu gösteriniz. y = ln fonksiyonunun türevini bulmak için ( + h ) h = e h 0 (0.2) eşitliğini kullanacağız. Türev tanımında logaritma farkları için bilinen eşitliği kullanırsak, ln( + h) ln h = ( ) + h h.ln =. h.ln ( + h = (.ln + h ) h ) logaritmaların farklı ile çarp ve böl kuvvetin logaritması

13 0.0. Y = A X 73 Buradan ite geçersek, y ln( + h) ln h 0 h ( h 0.ln + h ) h =.ln [ h 0 =.lne =. ( + h ) ] h = olur. 0.0 y = a y = d ( a ) = a.ln a (0.22) d olduğunu gösteriniz y a +h a h 0 h ( ) a (a h ) h 0 h ( ) = a (a h ) h 0 h ( ) = a (e h ln a ) h 0 h ( ) = a ln a.e h ln a h 0 = a.ln a l Hopital

14 74 BÖLÜM 0. TÜREV 0. y = log a ile (0.2) eşitliklerinden, kolayca he- y = log a fonksiyonunun türevi, y = l n ln a saplanabilir: y = log a y = ln ln a bağıntısı kullanılırsa çıkar. y = d d =.ln ( ) ln ln a 0.. Köklü İfadelerin Türevi y = fonksiyonunun türevini değişik yöntemlerle bulabiliriz: Türev tanımından: çıkar. y = d d ( ) + h h 0 h ( ( + h ).( + h + ) ) h 0 h( + h + ) ( ) + h h 0 h( + h + ) ( ) h h 0 h( + h + ) ( ) h 0 + h + = 2

15 0.. Y = LOG A X 75 Üstel Fonksiyonun Türevinden : y = d ( ) 2 d = 2 = ( 2 ) 2 = ( 2 ) 2 = 2 2 Ters Fonksiyonunun Türevinden : y = = = y 2 bağıntısından d d y d y = 2y = d = 2y = d y d = 2 çıkar Üstel Fonksiyonun Türevi u = u() olmak üzere y = f () = e u() fonksiyonunun türevi: d y d = eu() du d (0.23) u = u(), a > 0 olmak üzere y = f () = a u() fonksiyonunun türevi: d y d = au().ln a. du d (0.24) u = u() olmak üzere y = f () = log e (u()) fonksiyonunun türevi: d y d = d d log e(u()) = du u d (0.25) u = u(), a > 0 olmak üzere y = f () = log a (u()) fonksiyonunun türevi: d y d = d d log a(u()) = log ae du u d (0.26)

16 76 BÖLÜM 0. TÜREV 0.2 Alıştırmalar. f () = 3 fonksiyonu için d d f () türevini bulunuz. Çözüm: Türev tanımı uygulanırsa uygulanırsa d f ( + ) f () d ( ) 2 + ( ) ( ) 2 + ( ) = y = fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm: Yukarıdaki,2 ve 4.kural uygulanırsa y = (2 4 ) (4 2 ) + (3) (5) = 2( 3 ) 4( 2 ) + 3() 0 = = bulunur. 3. y = f () = ( + 2)(4 2 ) fonksiyonunun türevini bulunuz.

17 0.2. ALIŞTIRMALAR 77 Çözüm: Çarpımın türevi kuralı uygulanırsa, f () = ( 2 + 2)(42 ) + + 2)(8) = ( )(4 2 ) + 2 8( + 2) 2 = ( / /2 2 = 485/ / y = f () = ( 2 + ln( + )(4 2 ) fonksiyonunun birinci ve ikinci basamaktan türevlerini bulunuz. Çözüm: Çarpımın türevi kuralı uygulanırsa, f () = ( 2 ).ln( + ) + 2 (ln( + )) = 2.l n( + ) + 2.( + ) + = 2.ln( + ) = 2.ln( + ) ( f () = (2.ln( + )) 2 ) + + = 2ln( + ) ( + ) 2. ( + ) 2 = 2.ln( + ) ( + ) 2

18 78 BÖLÜM 0. TÜREV Şekil 0.: Fonksiyon Artması Şekil 0.2: Türev

19 0.2. ALIŞTIRMALAR 79 Şekil 0.3: Eğim Şekil 0.4: Eğim

20 80 BÖLÜM 0. TÜREV Şekil 0.5: Eğim Şekil 0.6: Eğim

21 0.3. L HÔPİTAL KURALI 8. f () = ( ) 4 (0.27) 3 f () = (0.28) f () = (3 + ) 0 (0.29) ( ) f () = + (0.30) f () = ( + ) 2 ( ) 2 (0.3) f () = 2 (0.32) + f () = (0.33) (0.34) 0.3 l Hôpital Kuralı Teorem 0.2 f (c) c g (c) = 0 0 belirsizlikleri oluşuyorsa f ile g türetilebilir ve f () c g () f () c g () f (c) ya da c g (c) = eşitliği vardır. L Hôpital Kuralı uygulamada it bulmayı çok kolaylaştırır. Örnek : sin 0 cos = 0 Örnek 2: sin(2) 0 sin(3) 2cos(2) 0 3cos(3) = = 2 3

22 82 BÖLÜM 0. TÜREV Örnek 3: Bu problemde L Hôpital Kuralını art arda iki kez uyguluyoruz. ( 2 ) ( ) ( ) = 2 4 = 2 Örnek 4: a R ise; ( e a ) ( ae a 0 0 ) ( a 0 = a ) olur. olur. olur. Örnek 5: a R ise; ( e a ) ( ae a 0 0 ) ( a 0 = a Örnek 6: ( ) ( ) cos si n 0 0 ( ) 0 0 Örnek 7: ( ln = 0 ) ( ) () = )

23 0.3. L HÔPİTAL KURALI 83 Örnek 8: Bazı problemlerde 0. belirsizliği 0/0 ya da /i n f t y belirsizliklerine dönüştürülerek L Hôpital Kuralı uygulanabilir. ( ln ) ( ) ln ( ( ) = 0 ) Örnek 9: Bazı problemlerde belirsizliği 0/0 ya da /i n f t y belirsizliklerine dönüştürülerek L Hôpital Kuralı uygulanabilir. ( ln ) ( ) ln ( ( ) = 0 ) sin 0 3 ( ) cos 0 3 ( 2 ) sin ( cos 6 = 6 ) Örnek 0:

24 84 BÖLÜM 0. TÜREV ln 0 3 ln 0 3 Örnek : sin = 0 ( ) cos 0 3 ( 2 ) sin ( cos 6 = 6 ) Örnek 2: ln 0 3 ln 0 3 Örnek 3: = ln3 2 ln2 0 0 ln3 ln2 0 = ln 3 2

25 0.3. L HÔPİTAL KURALI 85 Örnek 3: 3 e 2 3 e e 2 6 4e 2 6 8e 2 = 0 Örnek 3: 0 +(sin )/ln = e olduğunu gösteriniz. 0 +(sin )/ln = e = e = e = e = e = e e ln(sin ) ln 0 + [ 0 + [ 0 + ] ln(sin ) ln cos sin ) ] [ 0 + cos ] sin [ ] cos sin 0 + cos

26 86 BÖLÜM 0. TÜREV 0.4 Problemler. y = t an 2. y = cot5 3. y = sec2 4. y = csc6 5. y = csc( 3 ) 6. y = t an( y = cot( 2 ) 8. y = csc6 9. y = sec 3 ( 2 3) 0. y = csc y = t an y = cot y = cot y = sec 3 ( 3 + 3) + 5. y = csc 2 (3) y = 2 + t an 3 ( + ) 7. y = t an 2 ( 2 ) 8. y = 2 cot 3 (2 5) 9. y = 2 sec y = sec Çözümlü Problemler d d ( sin 4 () olduğunu gösteriniz d d ) = 6t an3 () (cos(2) 3) 2 ( e /2 sin(a) ) = 2 e /2 (sin(a) + 2a cos(a)) +C olduğunu gösteriniz d d ( ) = (ln + ) +C olduğunu gösteriniz ln olduğunu gösteriniz ln / (ln + ) +C

27 0.6. ZOR LİMİT PROBLEMLERİ Zor Limit Problemleri 0 0,,,, 0, 0. gibi belirsiz ifadelerin itlerini bulmak için genel geçerli bir yöntem yoktur. Çoğunlukla şu eylemlerden birisini yaparız:. Değişken değiştirimi 2. Trigonometrik fonksiyonları yarım açı vb. formülleri kullanarak denk ifadelerle değiştirme, 3. Mümkünse cendere teoremini uygulama 4. Limiti alınacak fonksiyonu ilgili noktada taylor serisine açma Bu yöntenler bazı fonksiyonlar için zor işlemleri gerektirebilir. Ama l Hôpital Kuralı işlemleri çok basitleştirir. Aşağıdaki örneklerin bazılarında önce ilk üç yöntemden birisi uygulanmış, sonra l Hôpital Kuralı ile aynı işlem tekrarlanmıştır. Örneklerden de görüldüğü gibi, l Hôpital Kuralı it bulmak için çok elverişli bir yöntemdir.. sin = 0 olduğunu gösteriniz..çözüm : açısı radyan cinsinden M A ise 0 < < π 2 iken sin < < tan olduğunu şekilden görebiliyoruz. Bu eşitsizliklerden şunları yazabiliriz: sin < < tan sin sin < sin < tan sin < sin < sin sin.cos = cos Son eşits,zliklerde 0 iken cendere kuralını uygularsak, 0 cos = 0 sin = sin = 0

28 88 BÖLÜM 0. TÜREV çıkar. 2.Çözüm : (l Hôpital Kuralı) sin cos = 0 0 = 2. sin3 = 3 0 olduğunu gösteriniz..çözüm: sin3 3 sin sin3 0 3 = 3 2.Çözüm : (l Hôpital Kuralı) sin3 3cos3 = = 3 3. cos 0 2 = 2 olduğunu gösteriniz.. Çözüm: cos = 2 [ ( cos 2 (/2) sin 2 (/2) ) ] [ sin 2 (/2) (/2) 2 2 ] = 2.

29 0.6. ZOR LİMİT PROBLEMLERİ 89 2.Çözüm : (l Hôpital Kuralı) cos sin cos 0 2 = 2 4. cos = 0 0 olduğunu gösteriniz..çözüm: [ cos cos 2 (/2) sin 2 (/2) ] 0 0 [ 2sin 2 ] (/2) 0 [ ] [ ] sin(/2) sin(/2). 0 0 (/2) = 0. = 0 2.Çözüm : (l Hôpital Kuralı) cos sin 0 0 = 0 = ( 3)csc(π) = π olduğunu gösteriniz.

30 90 BÖLÜM 0. TÜREV. Çözüm: İfadede 0 0 belirsizliği vardır. Fonksiyon = 3 komşuluğunda Taylor serisine açılırsa, ( 3)csc(π) = 3 sin(π) = π 6 π( 3) (π)3 ( 3) (π)5 ( 3) 6 +O ( ( 3) 7) olur. Buradan it alınırsa, [ ( 3)csc(π) 3 0 π 6 π( 3) π( 3) (π)5 ( 3) 6 +O ( ( 3) 7) ] çıkar. = π 2.Çözüm : (l Hôpital Kuralı) 3 ( 3)csc(π) 3 0 sin(π) 0 πcos(π) = π = 0 6. sin 0 3 = 6 olduğunu gösteriniz.. Çözüm: İfadede 0 0 belirsizliği vardır. Fonksiyon = 0 komşuluğunda Taylor serisine açılırsa, sin 3 = O ( 6) olur. Buradan it alınırsa, sin [ O ( 6) ] = 6

31 0.6. ZOR LİMİT PROBLEMLERİ 9 çıkar. 2.Çözüm : (l Hôpital Kuralı) sin cos sin 0 6 cos 0 6 = 6 7. cos a cosb) 0 2 = b2 a 2 2 olduğunu gösteriniz.. Çözüm: İfadede 0 0 belirsizliği vardır. Fonksiyon = 0 komşuluğunda Taylor serisine açılırsa, cos a cosb) 2 = 2 (b2 a 2 ) (a 4 b 4 ) (b 6 a 6 ) +O ( 6) olur. Buradan it alınırsa, çıkar. cos a cosb) 0 2 [ 0 2 (b2 a 2 ) (a 4 b 4 ) (b 6 a 6 ) +O ( 6) ] = b2 a Çözüm : (l Hôpital Kuralı)

32 92 BÖLÜM 0. TÜREV 8. cos a cosb) a sin(a) + b sin(b) a 2 cos(a) + b 2 cos(b) 0 2 a 2 + b = b2 a 2 2 e ) = 0 olduğunu gösteriniz.. Çözüm: İfadede 0 0 belirsizliği vardır. Fonksiyon = 0 komşuluğunda Taylor serisine açılırsa, e ) = O ( 6) olur. Buradan it alınırsa, çıkar. e ) [ O ( 6) ] = 2.Çözüm : (l Hôpital Kuralı) e ) e 0 0 = e0 =

33 0.6. ZOR LİMİT PROBLEMLERİ e a e b = a + b 0 olduğunu gösteriniz.. Çözüm: İfadede 0 0 belirsizliği vardır. Fonksiyon = 0 komşuluğunda Taylor serisine açılırsa, e a e b = (b a) + 2 (a2 b 2 ) (a 3 + b (a 4 b 4 ) (a 5 + b 5 ) (a 6 b 6 ) +O ( 6) olur. Buradan it alınırsa, çıkar. 0 e a e b = 0 [(b a) + 2 (a2 b 2 ) + 6 ] 2 (a 3 + b 3 [ (a 4 b 4 ) (a 5 + b 5 ) (a 6 b 6 ) +O ( 6) 2.Çözüm : (l Hôpital Kuralı) ] = b a e a e b ae a + be b 0 0 = b a = b a 0. f () = fonksiyonunun türevini bulunuz.

34 94 BÖLÜM 0. TÜREV Çözüm:. f (3 ) ( )(3 + ) () = 3 2 = f () = (2 ) fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm: f () = 2 2 (2 ) 2 = (2 ) 2 = (2 ) f (9) = 3 2. f () = fonksiyonu { sin( ), 0 0, = 0 (a) = 0 noktasında sürekli midir? (b) = 0 noktasında türetilebilir mi? Çözüm: (a) sin( ) 0 0 = 0 olduğundan f fonksiyonunun = 0 noktasında iti vardır.

35 0.6. ZOR LİMİT PROBLEMLERİ (b) f f (0 + h) f (0) (0) h 0 h h sin( h ) 0 h 0 h h 0 sin( h ) i t yok O halde f fonksiyonunun = 0 noktasınada türevi yoktur. f () = fonksiyonu için (a) = 0 noktasında it var mıdır? (b) = 0 noktasında sürekli midir? (c) = 0 noktasında türetilebilir mi? (d) f fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm: (a) Sağ ve sol itlere bakalım: 0 0 ( ) = 0 olduğundan f fonksiyonunun = 0 noktasında soldan iti vardır (+) = 0 olduğundan f fonksiyonunun = 0 noktasında sağdan iti vardır. Soldan ve sağdan itler eşit olduğundan, f fonksiyonunun = 0 noktasında iti vardır ve bu it L = 0 dır. (b) f (0) tanımlı ve ite eşit olduğundan; yani f (0) = 0 = L olduğundan, fonksiyon = 0 noktasında süreklidir.

36 96 BÖLÜM 0. TÜREV (c) Sol ve sağ türevlere bakalım: ve f f (0 + h) f (0) (0) h 0 h h h 0 h = h 0 = f + f (0 + h) f (0) (0) h 0 + h h h 0 + h = h 0 + = + h h olur. Sol ve sağ türevler var ama birbirlerine eşit olmadığından, f fonksiyonunun = 0 noktasında türevi yoktur. (d) f () = fonksiyonunungrafiği Şekil deki gibidir. 0.7 Alıştırmalar Örnek 0. f () = fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm Üstel fonksiyon türevi olarak, f () = ( 2)3 2 ( 3)5 3 = = bulunur. Örnek 0.2

37 0.7. ALIŞTIRMALAR 97 bulunur. f () = fonksiyonunun türevini bulunuz. 2 3 Çözüm Üstel fonksiyon türevi olarak, f () = d ( ) d = ( ) + ( 2)2 2 + ( 3)3 3 = Örnek 0.3 f () = ( 2 )(2 2 ) fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm Parantezleri açıp problemi bir polinomun türevinin alınması haline getitebiliriz. olur. f () = d ( ) d = ( 4) 4 + (2) = Örnek 0.4 f () = ( 5 ) 2 fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm Üsttleri düzenleyip üstel fonksiyonun türev formülünü uygulayabiliriz. olur. f () = d ( ( 5 ) 2) d = d ( ( ) d = 0 ( 2)( 5) 5 + ( 0) 0 = = 5 6 0

38 98 BÖLÜM 0. TÜREV Örnek 0.5 f () = (+) fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm Bir bölümün türev formülünü uygulayabiliriz. f () = d ( ) d ( + ) 0.( + ). = ( + ) 2 = ( + ) 2 olur. Örnek 0.6 f () = 3 fonksiyonunun türevini bulunuz. ( 3 +) Çözüm Bir bölümün türev formülünü uygulayabiliriz. f () = d ( 3 ) d ( 3 + ) = 32 ( 3 + ) 3 2 ( 3 ) ( 3 + ) 2 = 62 ( 3 + ) 2 olur. Örnek 0.7 f () = tan fonksiyonunun türevini bulunuz.

39 0.8. TEĞET 99 Çözüm Bir bölümün türev formülünü uygulayabiliriz. f () = d (tan ) d = d ( ) sin d cos ( (sin ) (cos ) (cos ) ) (sin ) = (cos ) ( 2 ) (cos )(cos ) ( sin )(sin ) = (cos ) 2 ( cos 2 + sin 2 ) = cos 2 = + tan 2 = cos 2 = sec 2 olur. Son üç eşitlik tan fonksiyonunu içeren ifadelerde türev alırken kullanılabilir. Örnek 0.8 olur. f () = sin fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm Bir bölümün türev formülünü uygulayabiliriz. f () = d ( ) sin d ( (sin ) () () ) (sin ) = 2 cos sin = Teğet y = f () eğrisi üzerinde sabit bir P(a, f (a) noktası ile eğri üzerinde gezen bir Q(, f ()) noktası alalım. PQ kirişine, kısaca t doğrusu diye. PQ doğrusu yatay eksene dik olmasın. O zaman t doğrusunun eğimini bulabiliriz. Sözkonusu

40 200 BÖLÜM 0. TÜREV eğimi m t ile göstere. m t eğimi t doğrusu ile yatay eksen arasında oluşan α açısının tanjantıdır. O halde, m t = tanα = y b f () f (a) = a a (0.35) olur. Şimdi Q noktasını P noktasına yaklaştıralım. Tabii, Q noktası hep P noktasının aynı tarafında kalmayabilir. Dolayısıyla t doğrusunun eğimi bazen pozitif, bazen negatif olabilir. Q P iken a olacağı düşünülürse, it konumunda, yani Q noktası P noktası üzerine geldiğinde, (it varsa) t doğrusu eğriye P noktasında teğet olacaktır. Teğetin eğimine m dersek, m t = m (0.36) a olacağı görülür. Öte yandan, 0.35 ifadesinin sağ yanının a iken iti f (a) dır; yani y b m a a f () f (a) a a = f (a) (0.37) olur. Buradan şu kuralı çıkarabiliriz: Teorem 0.3 y= f() fonksiyonu = a noktasında türetilebiliyorsa, eğrinin P(a, f (a) noktasındaki teğeti yatay eksene dik değilse, eğimi m = f (a) a f () f (a) a (0.38) bağıntısı ile belirlenir. Teğet O eksenine dik ise eğriyi ancak bir nokada keseceğinden, yukarıda söylendiği gibi t doğrusu üzerinde bir PQ kirişi oluşamaz. Bu durumda, Teorem 0.4 y= f() fonksiyonu sürekli ve = a noktasında türetilebiliyorsa, eğrinin P(a, f (a) noktasındaki teğetinin eğimi f () f (a) f () f (a) = + ya da = (0.39) a a a a bağıntılarından birisini sağlar.

41 0.9. DOĞRU DEKLEMLERİ 20 Ancak, 0.39 koşulu sol ve sağ dn yaklaşoldığına teğetin dilkiği için yeterlidir, ama yeterli değildir. Gerçekten, y = f () = 2/3 eğrisi için = 0 noktasında soldan ve sağdan it alındığında 0.39 itleri vardır. Ama eğri = 0 noktasında türetilemez. Dolayısıyla söz konusu noktada teğeti yoktur. Gerçekten olur. f 2/3 0 (0) 0 0 2/3 = 0 (0.40) f + 2/3 0 (0) /3 = (0.4) Öte yandan y = f () = fonksiyonu için, = 0 noktasında soldan türev, sağdan türev + dir; yani türev yoktur. Dolayısıyla = 0 noktasında teğeti yoktur. Gerçekten, f 0 (0) 0 0 = 0 (0.42) f + 0 (0) = (0.43) olduğundan sol ve sağ türevler var ama birbirlerine eşit değildir. 0.9 Doğru deklemleri İki noktası bilinen ya da bir noktası ile eğimi bilinen doğruların denklemlerini yazabiliriz. P(a,b) ile Q(c,d) noktalarından geçen doğrunun eğimi, QPH açısının tanjantı olduğuna göre, m = tanα = d b c a (0.44) olacaktır. Şimdi PQ doğrusu üzerinde gezgin bir T(,y) noktası alırsak, PT nin eğiminin de aynı olacağını düşünerek m = tanα = d b c a = y b a (0.45)

42 202 BÖLÜM 0. TÜREV yazabiliriz. T(,y) noktası PQ doğrusu üzerindeki bütün noktaları taradığına göre P(a,b) ile Q(c,d) noktalarından geçen doğrunun denklemi y b a = d b, (a c) c a eşitliğini sağlayan T (, y) noktalarının oluşturduğu doğrudur. Buna denk olarak, yazılabilir. y b = d b ( a) (0.46) c a Örnek 0.9 P(2,5) ile Q(6, 3) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazınız. Çözüm: y b a = d b ( a) (0.47) c a y 5 = 2( 2) (0.48) y = (0.49) Örnek 0.0 P(4,) noktasından geçen ve eğimi m = 2 5 olan doğrunun denklemini yazınız. Çözüm: y 4 = 2 (0.50) y = 3 (0.5) y = (0.52) P(a,b) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemi, y = m + b (0.53) dir. Bunu görmek için 0.46 formülünde eşitliğin hemen sağındak oranın doğrunun m eğimine eşit olduğunu düşünmek yetecektir.

43 0.9. DOĞRU DEKLEMLERİ 203 Doğrunun Genel Denklemi Doğrunun genel denklemi a + by + c = 0 (0.54) biçimindedir. Buradan eksenlerl kesişim noktalarının koordinatları = c a, y = 0 ve = 0, y = c b olur. Bu noktalardan geçen doğrunun denklemi y = a b c b (0.55) olarak yazılabilir. Teğetin Denklemi Bir P(a, b) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denkleminin y = m( a) + b olduğunu biliyoruz. O halde P(a, f (a) noktasındaki teğetin denklemi, olur. y = f (a)( a) + f (a) (0.56) Örnek 0. Bir doğrunun her noktasındaki teğetinin kendisi ile çakıştığını gösteriniz. Çözüm: a eğim, ve b bir sayı olmak üzere O eksenine dik olmayan her doğru y = a+b biçiminde bir denkleme sahiptir bağıntısına göre teğetin denklemini yazarsak, y = a + b olduğunu görürüz. Örnek 0.2 y = f () = 2 parabolünün = 0 noktasındaki teğetinin denklemini yazınız. Çözüm: f (0) = 2.0 = 0 olduğundan, = 0 noktasındaki teğeti y = 0( 0) + 0 = 0 olacaktır. O halde teğet O eksenidir. Örnek 0.3 y = f () = 2 parabolünün = noktasındaki teğetinin denklemini yazınız. Çözüm: f ( ) = 2.( ) = 2 olduğundan, = 0 noktasındaki teğeti y = 2( ) + 0 = 2 olacaktır.

44 204 BÖLÜM 0. TÜREV Örnek 0.4 y = f () = 3+2 eğrisinin = 2 noktasındaki teğetinin denklemini yazınız. Çözüm: f (2) = 2 ol duğund an olduğundan, = 2 noktasındaki teğetin eğimi, m h 0 2+h 3( 2+hy)+2 2 h 4 + 2h ( 6 + 3h + 2) h 0 2( 6 + 3h + 2)h h 0 2( 4 + 3h) = 8 (0.57) (0.58) (0.59) (0.60) 0.20 Problemler. Aşağıdaki fonksiyonların karşılatında belirilen noktalarındaki teğetlerini bulunuz. Fonksiyon Nokta Yanıt. y = 3, (,2), y = 3 2. y = 2 2 5, (2,3), y = y = , (,), y = 4. y = , ( = 2), y = y =, ( = 3), y = 2 6. y = +, ( = 3), 4y = 5 7. y = 2, ( = 2), 4y = y = 2, ( = a), y = 2a a y = +, (4,), y = y =, ( = 0), türev yok. y = ( + 2) 3/5, ( = 2), = 2

45 0.2. NORMAL y = f () = {, 0, < 0, fonksiyonunun = 0 noktasındaki teğetinin denklemini yazınız. (Yanıt: =0 ) 0.2 Normal Tanım 0.7 y = f () eğrisinin P(a, f (a)) noktasındaki normali, P noktasından geçen ve P noktasındaki teğete dik olan doğrudur. Teğetin eğimi m ise, ona dik olan normalin eğimi m olacağından, bir noktadan geçen ve eğimi bilinen doğru olarak yazılabiliranımsayacağınız gibi (a, b) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemi y b = m( a) dır. O halde, P noktasından geçen normalin denklemi olur. y f (a) = f ( a) (0.6) (a) 0.22 Türevin uygulamaları 0.23 Fonksiyonlar Üzerinde Cebisel İşlemler Fonksiyonlar kümesinde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri aşağıda olduğu gibi tanımlanır: Tanım 0.8 {f ()} ve {g ()} iki dizi ve λ bir sabit sayı ise (λf )() = λf ()} (0.62) (f + g )() = f () + g () (0.63) (f g )() = f () g () (0.64) (f.g )() = f ().g () (0.65) ( ) f () = f () (g () 0) (0.66) g g ()

46 206 BÖLÜM 0. TÜREV Bu tanımlaradan anlaşıldığı üzere, bir fonksiyonlar kümesinde dört işlem, fonksiyonların aynı değişken için aldığı değerler üzerinde yapılan işlemlere dönüşmektedir. Cebirsel işlemleri böyle tanımlayınca, fonksiyonların itleri için de benzer kurallar çıkarılabilir Limit Kuralları Teorem 0.5 n f () = a, n g () = b ve α sabit gerçel sayı ise, ( ) λ{f ()} {λf ()} = λa n (f + g )() f () + g () = a + b n n (f g )() f () g () = a b n n (f.g )() f (). g () = a.b n n ( ) ( f f () () g n g () ) n f () n g () = a b (g (),b 0) Örnek 0.5 α itini bulunuz. Buradan, bulunur. Çözüm: f () = α konumuyla ln ( f () ) = ( ln ln( α ) ) = αln() = f () = e = 0

47 94 BÖLÜM 0. TÜREV

48 Dizin derivative, 65, 67 diferensiyel, 67 differentiable, 65 parçalı türetilebilme, 67 parçalı türev, 66 sağ türev, 66 sec:differential, 67 sectional derivative, 66 sol türev, 66 türetilebilme, 65 türev, 65 türev kuralları, 69