ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

Transkript

1 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14

2 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600 MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Analiz Yazar: Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Editör: Öğr.Gör.Dr. Mehmet ÜREYEN

3 Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Anadolu Üniversitesine aittir. "Uzaktan öğretim" tekniğine uygun olarak hazırlanan bu kitabın bütün hakları saklıdır. İlgili kuruluştan izin almadan kitabın tümü ya da bölümleri mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik kayıt veya başka şekillerde çoğaltılamaz, basılamaz ve dağıtılamaz. Copyright 1999 by Anadolu University All rights reserved No part of this book may be reproduced or stored in a retrieval system, or transmitted in any form or by any means mechanical, electronic, photocopy, magnetic tape or otherwise, without permission in writing from the University. Tasarım: Yrd.Doç.Dr. Kazım SEZGİN ISBN X

4 Limit ve Süreklilik Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 8 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; fonksiyonların iti kavramını öğrenecek, itler hakkındaki teoremleri görecek, basit itlerin hesaplanması tekniğini öğrenecek, fonksiyonların sürekliliği kavramı ile tanışacaksınız. İçindekiler Giriş 205 Fonksiyon Limitinin Tanımı 205 Limit Özellikleri 211 Süreklilik 216 Değerlendirme Soruları 219 Çalışma Önerileri Limit ve Süreklilik Kavramlarını iyi öğreniniz Çok sayıda fonksiyon örneği alıp itlerini bulmaya çalışınız

5 Çözümleri verilmiş örneklerin çözümlerini iyice inceleyiniz Çok sayıda fonksiyon örneği alıp onun sürekli olup olmadığına karar veriniz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

6 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K Giriş Geçen ünitede dizilerin itleri ile tanışmıştık. Bu ünitede fonksiyonların iti kavramını ele alacağız. Fonksiyonların iti kavramı türev, integral gibi kavramların temelini oluşturur. Ünite sonunda sürekli fonksiyonlar konusuna kısaca değineceğiz. 2. Fonksiyon Limitinin Tanımı A IR olmak üzere f: A IR, y = f() fonksiyonu verilsin. Eğer değişkeninin değerleri sabit bir a gerçel sayısına istenildiği kadar yakın ise o zaman bu yaklaşma sembolik olarak gibi gösterilir ve " değişkeni a ya yaklaşıyor" şeklinde okunur. y = f() fonksiyonunun itinin varlığı, değişkeni a ya yaklaştığı zaman f() fonksiyon değerlerinin bir gerçel sayıya yaklaşıp yaklaşmamasına bağlıdır. Örneğin, f() = 2-2 fonksiyonunu ele alalım ve 3 olduğunu varsayalım. 3 e yakın değerler aldığı zaman f() in aldığı değerleri gösteren aşağıdaki tabloyu ele alalım: 2,9 3,1 2,99 3,01 2,999 3, f() = 2-2 6,41 7,61 6,9401 7,0601 6, , Tablodan görüldüğü gibi değişkeni 3 e ister 3 den küçük değerlerle, isterse 3 den büyük değerlerle yaklaşsın f() = 2-2 nin değerleri 7 ye yaklaşmaktadır. İşte bu durumda 3 iken f() in iti 7 dir diyecek ve sembolik olarak şeklinde göstereceğiz. 3 ( 2-2) = 7 A kümesi ve a sayısı verilsin. Eğer merkezi a noktasında olan her (a - δ, a + δ) açık aralığında b a, b A koşullarını sağlayan en az bir b sayısı bulunabiliyorsa, o zaman a noktasına A kümesinin yığılma noktası denir. Bir kümenin yığılma noktası o kümenin elemanı olabilir de, olmayabilir de. Örneğin, a = 0 noktası A = (0,1) açık aralığının yığılma noktasıdır. Her bir gerçel sayı Q rasyonel sayılar kümesinin yığılma noktasıdır. f: A IR fonksiyonu verilsin ve a sayısı A kümesinin yığılma noktası olsun. Eğer her ε > 0 için bir δ >0 sayısı bulunabiliyor ve 0 < - a < δ eşitsizliğini sağlayan tüm A değerleri için f() - L < ε eşitsizliği sağlanıyorsa, o zaman iken f() in iti L dir (veya f fonksiyonunun a noktasındaki iti L dir) denir ve sembolik olarak AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

7 206 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K şeklinde gösterilir. f() = L veya iken f() L Dizi itinde olduğu gibi bu tanım da şöyle yorumlanabilir. Her ε > 0 için öyle δ > 0 vardır ki tanım kümesine ait olan ve (a - δ, a + δ) aralığına düşen a dan farklı tüm ler için f() değerleri (L - ε, L + ε) aralığına düşer. Örneğin, 3 = 8 dir, çünkü her ε > 0 için öyle δ > 0 vardır ki (2 - δ, 2 + δ) 2 Şekil 8.1 aralığındaki tüm ler için 3 ün değerleri (8 - ε, 8 + ε) aralığına düşer (ε verildiğinde δ nın ε a bağlı nasıl seçileceğini tartışmıyoruz). Şekil 8.2 Tanımdan görüldüğü gibi sabitin iti kendisidir: c = c. Dizilerin iti ile fonksiyonların iti arasında sıkı bir ilişki vardır. f() = L olması için gerek ve yeter koşul, her n A, (n N) ve ( n ) a koşulunu sağlayan ( n ) dizileri için (f( n )) L olmasıdır. Yani, f() = L olması için gerek ve yeter koşul, tanım kümesinin elemanlarından oluşan ve a ya ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

8 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K 207 yakınsayan her ( n ) dizisine karşılık, fonksiyon değerlerinden oluşan (f( n )) dizisinin L sayısına yakınsamasıdır. Örnek: f: IR IR, f() = 2-2 olmak üzere f() = 7 olduğunu göstere. Çözüm: 3 n IR için (n IN) f( n ) = n 2-2 dir. Her ( n ) 3 için ( n 2 ) 9 olduğundan (f ( n )) = ( 2 n - 2) 9-2 = 7 dir. Dolayısıyla ( 2-2) = 7 dir. 3 Örnek: f: IR IR, f() = 2 + 4, 5-1, 1 ise > 1 ise parçalı tanımlı fonksiyonun 1 için itinin olmadığını göstere. Çözüm: n IN için n = 1-1 alalım. Bu durumda ( n ) 1 olduğu açıktır. n olduğundan f( n ) = n + 4 = 6-2 n ve n = 1-1 n < 1 n f ( n ) = 6-2 n = 6 dır. n y n n Şekil 8.3 Buna karşılık, n IN için alırsak (' n ) 1 dir. Her n IN için ' n > 1 n ' = olduğundan n f( n ' ) = 5 n ' - 1 = n - 1 = n ve f( n ' ) = n n n = 4 dür. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

9 208 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K Burada tanım kümesinin elemanlarından oluşan ve 1 e yakınsayan farklı iki diziye karşı gelen fonksiyon dizileri aynı sayıya yakınsamamaktadır. Bu nedenle fonksiyonun = 1 noktasında iti yoktur. Bu durum grafikten de açıkça görülmektedir. Grafikten gördüğümüz gibi, değişkeni 1 e 1 den büyük değerlerle yaklaşırken fonksiyon değerleri 4 e yaklaşmakta, değişkeni 1 e 1 den küçük değerlerle yaklaşırken ise fonksiyon değerleri 6 ya yaklaşmaktadır. 1 için fonksiyon değerleri aynı sayıya yaklaşmadığından fonksiyonun iti yoktur.? 1) 0 2) itlerini araştırınız. Cevaplar 1) Yoktur 2) 0 olmalıydı. Örnek: 4 = 2, ln 1 = 0, = 4, e 0 = 1, 32 5 = 2, (cos) π = -1, π 2 π 2 sin = 1, cot = 1, π 4 tan - yoktur. Eğer değişkeni a ya yaklaşırken onun aldığı değerler a dan küçük kalıyorsa, o zaman " değişkeni a ya soldan yaklaşıyor" denir ve bu yaklaşma sembolik olarak - gibi gösterilir. Eğer değişkeni a ya yaklaşırken onun aldığı değerler a dan büyük kalıyorsa, o zaman " değişkeni a ya sağdan yaklaşıyor" denir ve sembolik olarak + gibi gösterilir. - iken f() in iti varsa, bu ite f() in a noktasında soldan iti denir ve bu it - f() gibi gösterilir. + iken f() in iti varsa, bu ite f() in a noktasında sağdan iti denir ve bu it + f() ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ gibi gösterilir.

10 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K 209 f() itinin mevcut olması için, a noktasında sağdan ve soldan itler mevcut ve birbirine eşit olmalıdır. Yani dir. f() = f() + - = L f() = L Örnek: 0- soldan ve sağdan itleri hesaplayalım. Çözüm: ve olması < 0, 0 + ise > 0 demektir. < 0 için = -, > 0 için ise = olduğundan 0- = - 0- = = -1 = = 1 = bulunur. Soldan ve sağdan itler eşit olmadığından (-1 1), yoktur. 0 iti Örnek: f() = 2, 1 ise, , < 1 ise parçalı tanımlı fonksiyonu için 1- f(), f() 1 + itlerini bulalım. Çözüm: < 1 için f() = , > 1 için f() = 2 olduğundan 1- f() = (-2 + 3) 1- f() = 2 = = (-2) = 1, dir. Soldan ve sağdan itler eşit olduğundan 1 f() iti var ve 1 dir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

11 210? L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K f() = 2-2, -1 ise, + 2, > -1 ise fonksiyonunun = -1 noktasında soldan ve sağdan itlerini hesaplayınız. Cevaplarınız 3 ve 1 olmalıdır. a - ve a durumlarında da it tanımlanabilir. Eğer her ε > 0 için bir > 0 bulunabiliyor ve < - eşitsizliğini sağlayan tüm ler için f() - L < ε oluyorsa, o zaman " - iken f() in iti L dir" denir ve gibi yazılır. Eğer her ε > 0 için bir > 0 bulunabiliyor ve > eşitsizliğini sağlayan tüm ler için f() - L < ε oluyorsa o zaman " iken f() in iti L dir" denir ve f() = L gibi yazılır. Tanımlardan görüldüğü gibi - f() f() = L - = L (veya f() = L) olması için in aldığı değerler negatif yönde gittikçe çok küçüldüğünde (veya pozitif yönde çok büyüdüğünde) f() in aldığı değerler bir L ye istenildiği kadar yakın olmalıdır. Örnek: 1) 1 1 = 0 dır. Çünkü büyük değerler aldığında ifadesi 0 a istenildiği kadar yakın değerler alır. Aynı sebepten 1 = 0 dır. Ayrıca, - c = 0 (c-sabittir) olur.? 2) 3) bulunur itlerinin değerleri nedir? Cevaplarınız 2, 0 ve 5 olmalıdır. itini bulmak için ifadesini e böle: = 2 + 3, buradan = 0 dır. Çünkü - iken 1-1 = = = 2 ifadesi negatif değerler alarak sıfıra istenildiği kadar yakın değerler alır. (Burada, - için kesrin payı sabit kalırken paydası mutlak değerce sınırsız büyümektedir). + 2, 100, ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

12 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K Limit Özellikleri Şimdi itlerin hesaplanmasında faydalı olan aşağıdaki teoremleri vereceğiz. 1) Eğer f iti varsa bu it tekdir. 2) f() ve g() fonksiyonları verilsin. Eğer in a ya yakın tüm değerlerinde f g ise ve eşitsizliği sağlanır. f, g f itleri varsa o zaman g 3) f 1 (), f 2 (),..., f n () fonksiyonları verilsin ve f 1, f 2,..., f n itleri mevcut olsun. Bu durumda f 1 ± f 2 ±... ± f n ve f 1. f 2... f n itleri de vard ır ve f 1 ± f 2 ±... ± f n = f 1 ± f 2 ±... ± f n f 1. f 2... f n = f 1. f 2... f n dir. c bir sabit olmak üzere c = c olduğundan, son eşitliğin bir sonucu olarak, sabitin her zaman it işaretinden dışarı çıkarılabileceğini söylemek mümkündür: c f = c f. 4) Eğer pay ve paydanın iti varsa ve paydanın iti sıfırdan farklı ise o zaman kesrin iti, itler oranına eşittir: g 0 olmak üzere, dir. f g f = g 5) f(), g() ve h() fonksiyonları verilsin. Eğer in a ya yakın tüm değerleri için h() f() g() eşitsizli ği sağlanı yorsa ve a h = a g = L ise o zaman f iti de vard ır ve dir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ f = h = g = L

13 212 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K Bu teoremlerin ispatı itin tanımından yararlanarak yapılabilir. Örneğin, 1). yi ispatlamak için iken f() in L 1 ve L 2 itlerinin var olduğunu varsayalım. O zaman tanıma göre her ε > 0 için öyle δ 1 > 0 vardır ki 0 < - a < δ 1 iken f - L 1 < ε dir ve aynı zamanda öyle δ 2 > 0 vardır ki 0 < - a < δ 2 iken 2 f - L 2 < ε olur. Eğer δ 1 ve δ 2 sayılarından küçük olanına δ dersek o zaman 2 0 < - a < δ eşitsizliğini sağlayan her bir için aynı zamanda - a < δ 1 ve - a < δ 2 eşitsizlikleri de sağlanmış olur. Buna göre mutlak değerin de özelliklerini kullanırsak, L 1 - L 2 = L 1 - f + f - L 2 L 1 - f + f - L 2 f - L 1 + f - L 2 < ε 2 + ε 2 = ε, buradan L 1 - L 2 < ε yazabiliriz. ε keyfi olduğundan L 1 - L 2 = 0 veya L 1 - L 2 = 0, L 1 = L 2 olmalıdır. Dolayısıyla varlığı halinde it tekdir. Not: Yukarıdaki teoremler a - ve a için de doğrudur. Örnek: 1) = = = = 9 2 2) 4 = = 2 5 3) π 2 sin. 1 + cos = π 2 sin. π cos = = 1 4) itini hesaplamak için pay ve paydayı ile böle: = bulunur = buna göre, = = = = 2 3 5) böle: itini hesaplamak için pay ve paydayı 2 ile ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

14 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K = 2 - = bulunur = 2. 0 = 0, = = 0, veya ± için f() değerleri pozitif yönde sınırsız büyüyorsa fonksiyonunun iti dur denir. Benzer şekilde veya ± için f() değerleri negatif yönde sınırsız küçülüyorsa, bu durumda fonksiyonun iti - dur denir. Örneğin =, = -, 2-4 = dur = 0 olduğunda = = 3 Yukarıdaki 4). ve 5). örneğimizde, sırasıyla veya - için kesirlerin pay ve paydaların iti olduğu halde kesirlerin itleri sırasıyla 2/3 ve 3 tür. Bu örneklerde olduğu gibi ± (veya için) bir kesrin pay ve paydası olduğunda kesrin itinin varlığı veya varsa değeri kesre bağlıdır. Bu nedenle, bu durumda sonsuz bölü sonsuz belirsizliği vardır diyor ve sembolik olarak / şeklinde gösteriyoruz. / belirsizliği it yok demek değildir. Sadece itin varlığının ve varsa değerinin kesre bağlı olduğunu ifade eder.! 6) itini bulmak için pay ve paydada in yaklaştığı değer olan sıfırı yazarsak pay ve payda sıfır olur. Ancak bu durum itin olmadığı anlamına gelmez. Limiti bulmak için kesri sadeleştirmek gerekir. Bunun için = = yazabiliriz. Buradan elde edilir. = = = ) - 1 itini bulalım. 1 için hem pay hem de payda olmaktadır. Payı çarpanlara ayırıp kısaltma yaparsak AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

15 214 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K = = + 1 olur. Aynı sonuç, pay ve payda, paydanın eşleniği ile genişletilerek de bulunabilir: = = Buna göre, = bulunur. = = 2? 6). ve 7). örneklerde, sırasıyla 0, 1 için pay ve payda 0 a yaklaştığı halde kesirlerin itleri 1/4 ve 2 olmaktadır. Bu örneklerden görüldüğü gibi ( veya ± ) için pay ve payda 0 a yaklaşırsa kesrin iti kesre bağlıdır. Bu nedenle, bu durumda da 0 belirsizliği vardır diyoruz. Bu belirsizlik de itin 0 olmadığı anlamına gelmemekte, sadece itin varlığının ve değerinin kesre bağlı olduğunu ifade etmektedir. Aşağıdaki itleri hesaplayınız , 2 + e - 8, Cevaplarınız 4/3, 4 + e -1, -6, , π 4 ve " " olmalıdır. sin - cos 2, sin Limitinin Hesaplanması y B C 0 A K (1,0) Şekil 8.4 Şimdi, bir açının radya cinsinden ölçümünü göstermek üzere, sin 0 = 1 olduğunu ispatlayalım. Bunun için merkezi koordinat sisteminin başlangıç noktasında olan birim çemberi ele alalım (Şekil 8.4). BOA açısı, A noktasında çemberin teğeti ile OB nin uzantısının kesiştiği nokta C olsun. Şekilden görüldüğü gibi ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

16 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K 215 AOB üçgen alanı < AOB daire kesmesinin alanı < AOC üçgen alanı, BK = sin, OA = 1, AC = OA. tan = tan olduğundan AOB üçgen alanı = 1 2 sin, AOC üçgen alanı = 1 2 tan, AOB daire kesmesinin alanı =. (daire alanı) 2π =. π. 12 2π = 2 olur Buradan 1 2 sin < 1 2 < 1 2 tan veya sin < < sin cos elde edilir. dar açı olduğundan sin > 0 olur ve son eşitsizlikte tarafları sin e bölersek 1 < sin < 1 cos veya 1 > sin > cos olur. Eğer 0 ise o zaman cos 1 olur ve itler haklarındaki 5). teoremden olduğu sonucu elde edilir. a 0 olmak üzere, 0 sina a 0 sin = 1 = 1 olduğunu gösteriniz.? Örnek: 1) tan 0 = 0 sin cos = sin. 1 = 1. 1 = cos = sin cos = 0 0 sin. 1 cos 2) sin2 = 2. 0 sin2 = 2 sin2 = 2. 1 = ) = 1 0 sin 0 sin = 1 0 sin = 1 1 = 1 4) sina = sina/a 0 sinb sinb/b. a = a 0 b b. 0 sina a sinb b = a sina b. 0 a sinb 0 b AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

17 216 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K?? 0 a = b. 1 1 = a b (a ve b sabit gerçel sayılardır ve a 0, b 0 dır). cot, sin3, sin Cevaplarınız 1, 3 ve 0 olmalıdır. 0 sin 1, sin itlerini hesaplayınız. Cevaplarınız her ikisi içinde 0 olmalıydı. itlerini hesaplayınız. 4. Süreklilik A IR olmak üzere f: A IR fonksiyonu verilsin ve a A olsun. Eğer f() iti varsa ve bu it f() fonksiyonunun = a noktasındaki değeri olan f(a) ya eşitse, yani f = f a ise y = f() fonksiyonu = a noktasında sürekli dir denir. Aksi halde y = f() fonksiyonuna = a noktasında süreksiz veya sürekli olmayan fonksiyon denir. Böylece fonksiyonun = a da süreksiz olması için ya f() iti mevcut olma- malı ya da it mevcut olsa da f(a) ya eşit olmamalıdır. Not: A kümesi [a,b] kapalı aralığı ise o zaman a ve b noktalarında sağdan ve soldan süreklilikten sözedilebilir. Yani, fonksiyonun a noktasında sürekli olması + f = f a b noktasında sürekli olması ise f = f b b- anlamlarını taşımaktadır., Eğer y = f() fonksiyonu her bir a A noktasında sürekli ise o zaman bu fonksiyona A kümesi üzerinde veya A da süreklidir denir.! Önceki ünitelerden bildiğimiz polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonlar, üstel ve logaritmik fonksiyonlar, trigonometrik fonksiyonlar tanım kümeleri üzerinde sürekli fonksiyonlardır. Sürekli fonksiyonların toplamı, farkı, çarpımı yine süreklidir. Sürekli fonksiyonların oranı ise paydanın sıfır olmadığı noktalarda süreklidir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

18 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K 217 Örnek: f = 2 + 1, 0 ise, - + 1, < 0 ise fonksiyonunun = 0 da sürekli olduğunu göstere. Çözüm: f 0 = = 1 olduğundan f 0 itinin var olduğunu ve bu itin f 0 = 1 e eşit olduğunu göstermeliyiz. Bunun için sağdan ve soldan itleri hesaplayalım. f = = = 1, f = = = 1, sağdan it soldan ite eşit olduğundan 0 f 0 f iti var ve 1 e eşittir. = 1 = f 0 olduğundan fonksiyon = 0 noktasında süreklidir. Not: Fonksiyonun = a noktasında sürekli olması, geometrik olarak onun grafiğinin o noktada kesiksiz olmasını gösterir. Yukarıdaki fonksiyonun ve = 0 noktasında süreksiz olan g = + 1, > 0 ise 2, 0 ise fonksiyonlarının grafiklerine dikkat ediniz. g = + 1 = 1, g = 2 = 0 olduğundan g iti yoktur ve buna göre g() fonksiyonu = 0 da süreksizdir). Şekil ünitede öğrendiğimiz f() = (mutlak değer) fonksiyonu IR de süreklidir. f() =[] (tam değer) fonksiyonu ise her bir = 0, ±1, ±2,...tam sayı noktalarda AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

19 218 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K süreksizdir, çünkü tam sayı noktalarda soldan it sağdan ite eşit değildir. İşaret fonksiyonu olan f() = sgn fonksiyonu ise = 0 noktasında süreksizdir. Bu fonksiyonların grafikleri 3. ünitede verilmişti. Bu grafikleri inceleyerek süreksizlikleri görmeye çalışınız. Not: Sürekliliğin tanımında a sayısını f() fonksiyonunun tanım kümesinin bir elemanı olarak almıştık. Bu nedenle, genel olarak bir fonksiyon bir noktada tanımlı değilse, fonksiyonun bu noktada sürekliliği veya süreksizliğinden söz edilmez. Ancak aşağıdaki gibi özel noktalarda fonksiyonun süreksizliği kavramı yaygın olarak kullanılmaktadır. Eğer a sayısı bir f fonksiyonunun tanım kümesine dahil olmayıp bu kümenin bir yığılma noktası ise ve f iti yoksa, a nın tanım kümesinde olmamasına rağmen f() fonksiyonu a noktasında süreksizdir denilir. Örneğin, = 0 noktası f = 1 fonksiyonunun tanım kümesinden olmamasına rağmen, 1 iti bulunmadığından bu fonksiyon = 0 da süreksizdir denilir. Aynı sebepten f() = 0 tan fonksiyonu için de = π 2 noktasında süreksizdir denilir. Eğer iti varsa ve a sayısı tanım kümesine dahil olmayıp bu kümenin bir yığılma noktası ise veya fonksiyon a yığılma noktasında tanımlı fakat f(a) f f sahiptir denir. Örneğin, ise o zaman f() fonksiyonu a noktasında kaldırılabilir süreksizliğe f = -, < 0 ise,, > 0 ise fonksiyonu = 0 noktasında süreksizdir, çünkü = 0 noktası tanım kümesine dahil değildir.ancak 0 f = 0 ve = 0 noktası fonksiyonun tanım kümesinin yığılma noktası olduğundan f fonksiyonunun bu noktadaki süreksizliği kaldırılabilir süreksizliktir. Çünkü f() ile sadece = 0 da farklılık gösteren g = -, < 0 ise, 0, = 0 ise, =, > 0 ise, fonksiyonu sürekli bir fonksiyondur.? 1) f = mutlak değer fonkisyonunun sürekliliğini tanımdan yararlanarak gösteriniz. 2) f [ ] tam değer fonkisyonunun tam sayı noktalarda süreksizliğini gösteriniz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

20 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K 219 Değerlendirme Soruları A. -10 B. 0 C. 2 D. 10 E. Yoktur A. -3 B. -2 C. 1 D. 2 E A. 0 B. 1/2 C. 1 D. 2 E A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 E. Yoktur A. - B. 0 C. 2 D. E AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

21 220 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K A. -1 B C. 0 D. 4 5 E. Yoktur A. - 1 B. 0 C. 1 D. 5 E. Yoktur A. - 1 B. 0 C. 1 D. 2 E. Yoktur A. - B. 0 C. 1 2 D. E A. - B. 0 C. 1 2 D. 2 E. 11. h 0 A. -3 B. -2 C. -1 D. 0 E h h h ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

22 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K A. - B. -1 C. 0 D. 1 E. sin π 2 A. 0 B. 1 3 sin 2 + cos C. 1 2 D. 1 E A. B. 3 C. 2 D. 1 E. 0 tan3 15. ln (y.g.: > e için 1 < ln < dir) A. - B. -1 C. 0 D. 1 E. 16. ln 0 + A. - B. -10 C. - e D. 0 E. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

23 222 L İ M İ T VE SÜREKLİ L İ K A. - B. -1 C. 0 D. 1 E. 18. A. 0 B. 1 C. 1 2 e - (y. g. : > 0 için e > 2 ) D. 1 e E f = 2 - a, + 4, 1 ise > 1 ise parçalı tanımlı fonksiyonun = 1 noktasında sürekli olması için a sayısı aşağıdakilerden hangisi olmalıdır? A. 1 B. 0 C. -1 D. -2 E. -3 f = a sin, 0 ise - a + 1, > 0 is parçalı tanımlı fonksiyonun = 0 noktasında sürekli olması için a sayısı aşağıdakilerden hangisi olmalıdır? A B. 0 C. 1 2 D. 1 E. 3 2 Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. D 2. B 3. A 4. C 5. D 6. A 7. E 8. B 9. B 10. B 11. A 12. C 13. C 14. B 15. C 16. A 17. C 18. A 19. E 20. C ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ