TR GONOMETR. 2. Kazan m: k Z olmak üzere, k r. 2 " i say lar n n trigonometrik oranlar n i say s n n trigonometrik

Transkript

1 TRGONOMETR ÜNTE. ÜNTE. ÜNTE. ÜNTE. ÜNT Dik Üçgende Da Açlan Tigonometik Oanla. Kazanm: Dik üçgende da açlan tigonometik oanlan beliti.. Kazanm: Dik üçgen yadmyla 0, 45 ve 60 lik açlan tigonometik oanlan hesapla.. Kazanm: Tümle açlan tigonometik oanla aasndaki ilikiyi beliti. 4. Kazanm: Tigonometik oanladan bii belli iken die tigonometik oanla bulu. Yönlü Açla. Kazanm: Yönlü aç ve yönlü yay kavamn açkla.. Kazanm: Biim çembei beliti ve denklemini yaza.. Kazanm: Aç ölçü biimleini beliti ve bibiine çevii. 4. Kazanm: Açnn esas ölçüsünü açkla. Tigonometik Fonksiyonla. Kazanm: Tigonometik fonksiyonla biim çembe yadmyla ifade ede, tanm ve göüntü kümeleini belile, tigonometik özdeliklei göstei.. Kazanm: k Z olmak üzee, k " i saylann tigonometik oanlan i saysnn tigonometik oan cinsinden yaza.. Kazanm: Bi açnn tigonometik fonksiyonla altndaki göüntüsünü tigonometik dee tablosunda bulu. Tigonometik Fonksiyonlan Gafiklei. Kazanm: Peiyodu ve peiyodik fonksiyonu açkla, tigonometik fonksiyonlan peiyotlan bulu.. Kazanm: Tigonometik fonksiyonlan gafikleini çize. Tes Tigonometik Fonksiyonla. Kazanm: Tes tigonometik fonksiyonla açkla. Üçgende Tigonometik Bantla. Kazanm: Sinüs, kosinüs teoemleini beliti, göstei ve üçgenin alan fomülleini bulu. Toplam ve Fak Fomüllei. Kazanm: ki saynn toplam ve faknn tigonometik oanlan bulu.. Kazanm: Yam aç fomülleini olutuu.. Kazanm: Toplam çapma dönütüme (dönüüm) ve çapm toplama dönütüme (tes dönüüm) fomülleini olutuu. Tigonometik Denklemle. Kazanm: Tigonometik denklemlei çöze.

2

3 TRGONOMETR DAR AÇILARIN TRGONOMETRK ORANLARI Ölçülmesi çok zo, hatta imkansz gibi göünen yatay veya düey uzunluklan ölçülmesi için gelitiilmi olan tigonometi yadmyla bu uzunlukla kolaylkla hesaplanabili. m( a KOL) = açsna göe, OLK dik üçgeninde [OK] : hipotenüs [OL] : komu dik kena [KL] : ka dik kena OL cos = = OK komu dikkenauzunlu u, hipotenüs uzunlu u ÖRNEK ÖRNEK 0 < < olmak üzee, sin = 5 4 ise cos, tan ve cot de- eleini bulunuz. Yukadaki ekil döt e kaeden olumutu. Buna göe tan kaçt?

4 Tigonometi ÖRNEK ÖRNEK 4 ABC üçgeninde m( a ADC) =, AB = AC = 5 cm BD = cm, DC = 4 cm ise cot kaçt? ABC dik üçgeninde [AC] [BC], m( a ABC) = ise tan nn a, b, c tüünden deeini bulunuz. ETKNLK Çok yüksek bi dan yeden yüksekliini bulmak için bu dan en yüksek noktas (A) ile yedeki bi nokta (B) aasndaki uzakln ve m( ABC) a = nn bilinmesi yeteli olu mu? AB = 6400 mete ve sin = deelei veildiinde bu dan yeden yükseklii kaç mete olu? 4

5 Tigonometi ÖRNEK 5 Hehangi bi ABC üçgeninde, a.cosb + b.cosa = c olduunu gösteiniz. ÖRNEK 7 Bi ABC üçgeninde AB = BC ve tanc = ise sinb kaçt? ÖRNEK 6 ÖRNEK 8 ABC dik üçgeninde [AH] [BC], m( ACB) a = BC = cm ise HC nin cinsinden deeini bulunuz. Bi uçak açsyla saatte 40 km hzla havalanyo. sin = olmak üzee kaç dakika sona 8 km lik yükseklie ula?

6 Tigonometi Ölçülei 0 ve 60 Olan Açlan Tigonometik Oanla v Bi kena uzunluu cm olan ABC ekena üçgeninde [AH] [BC] çizildiinde [AH] yükseklii hem kenaotay, hem açotay olacandan BH = HC = cm, AH = v cm, m( a BAH) = m( a HAC) = 0 olu. ABH dik üçgeninde, BH sin0 = AB =, cos0 = AH BH =, tan0 = AB AH AH = =, cot0 = BH = Benze ekilde, ayn üçgende, sin60 =, cos60 =, tan60 = v, cot60 = olu. Bulunan deele kalatldnda, sin0 = cos60 =, sin60 = cos0 =, tan0 = cot60 =, tan60 = cot0 = eitliklei oluu. Bu duumu aadaki gibi kuallatabiliiz. Bibiini 90 ye tamamlayan iki açdan biinin sinüsü dieinin kosinüsüne, biinin tanjant dieinin kotanjantna eitti. + = 90 ise sin = cos, tan = cot d. ÖRNEK 9 Aada bibiini 90 ye tamamlayan açlala ilgili önekle veilmiti. nceleyiniz. sin = cos78 sin44 = cos46 ÖRNEK 0 sin 4. tan 0 cos 48. cot 80 ileminin sonucu kaçt? sin6 = cos7 tan = cot69 tan = cot88 tan5 = cot7 4

7 Tigonometi ÖRNEK < 90 ve < 90 olmak üzee sin + tan5 = cos + cot55 eitliini salayan + kaç deecedi? ÖRNEK sin40 = a ve cot5 = b olduuna göe, cos50.tan65 ifadesinin eitini bulunuz. Ölçüsü 45 Olan Açnn Tigonometik Oanla v Dik kena uzunlukla b olan ABC ikizkena dik üçgeninde, AC = BC = b, AB = v b olu. AC sin45 = AB BC = =, cos45 = AB = = AC tan45 = BC =, cot45 = tan 45 = bulunu. Hippachus (M.Ö. 90 M.Ö. 0) Yunan matematikçi ve astonomdu. znik te dodu ve muhtemelen Rodos ta öldü. lk sistematik astonomi ve tigonometiyi bulan kii olaak kabul edili. Güne ve Ay n uzakln hesaplamt. Enlem ve boylam daieleiyle, Dünya daki hehangi bi noktann konumunu belitme yöntemini bulmutu. 5

8 ALIŞTIRMALAR. Aadaki tabloyu dolduunuz. 6. ABCD kaesinde m( a ECB) =, EA = cm ve tan = ise AB kaç cm di?. b0, l ve tan = 4 olduuna göe sin, cos ve cot deeleini bulunuz. 7.. b0, l ve cos = 5 olduuna göe sin, tan ve cot deeleini bulunuz. ABCD dikdötgen DBE üçgendi. [DB] [BE], m( CBE) a =, 4. AB =. AD ise cos kaçt? 4. b0, l olmak üzee tan = ise cos.sin kaçt? ABC ekena üçgeninde m( ADB) a = BD = 5. DC ise tan kaçt? Yukadaki ekil bi küpün açlmyla olumutu. Buna göe, tan + cot kaçt? 6

9 Tigonometi YÖNLÜ AÇILAR Balangç noktala otak olan iki nn bileimi aç, açy olutuan nlan hebii de açnn kenalad. Açy, kenalann yazl sasna göe iki deiik biçimde yönlendiiiz. Yukadaki ekillein biincisinde balangç kenandan bitim kenana saat yönünün tesi yönde (pozitif yön), ikincisinde ise saat yönü ile ayn yönde (negatif yön) gidilmiti. BOA açs pozitif yönlü bi aç olup BOA a biçiminde gösteili. Balangç kena [OB, bitim kena [OA d. AOB açs negatif yönlü bi aç olup AOB a biçiminde gösteili. Balangç kena [OA, bitim kena [OB di. YÖNLÜ YAYLAR ekilde O mekezli çembe ile AOB açsnn kesiimi AB yayd ve AB h biçiminde gösteili. AB yaynn yönü olaak LOK açsnn yönü alnsa AB yay pozitif yönlü bi yay olu. A noktas bu yayn balangç noktas, B noktas da bitim noktasd. 7

10 Tigonometi BRM ÇEMBER Mekezi balangç noktas ve yaçapnn uzunluu biim olan çembee biim çembe deni. K(x, y) biim çembe üzeinde bi nokta olmak üzee; OTK dik üçgeninde, OT + KT = OK x + y = olu. x + y = bants biim çembein denklemidi. ÖRNEK Radyan Bi çembede, yaçap uzunluundaki bi yay göen mekez açnn ölçüsü adyand. adyan yaklak olaak 57. di. Bi çembe yaynn ölçüsü adyand. Aç Ölçü Biimleinin Bibiine Dönütüülmesi Bi çembe yaynn ölçüsü 60 deece veya adyan olduundan D = R 60 ÖRNEK 4 Ölçüsü 7 4 D = R 80 adyan olan aç kaç deecedi? Biim çembe üzeinde apsisi odinatna eit olan noktala bulunuz. ÖRNEK 5 Ölçüsü 40 olan aç kaç adyand? AÇI ÖLÇÜ BRMLER Deece Bi çembein n göen mekez açnn ölçüsü 60 deecedi. Deece ( ) simgesi ile gösteili. nn 60 ta bii dakikad. ( ) nn 60 ta bii saniyedi. ( ) ÖRNEK 6 = ve = 40 4 olduuna göe, + deeini bulunuz. 8

11 Tigonometi ÖRNEK 7 = 46 8 ve = 40 olduuna göe, deeini bulunuz. ÖRNEK 0 Biim çembe üzeinde, uzunlukla; 0,,, ve olan yönlü yaylan bitim noktalann koodinatlan bulunuz. ÖRNEK lik aç kaç saniyedi? ÖRNEK ÖRNEK lik aç kaç deece, kaç dakika, kaç saniyedi? 5 Biim çembe üzeinde, uzunlukla,, ve olan yönlü yaylan bitim noktalann koodinat- 4 lan bulunuz. 9

12 Tigonometi ÖRNEK Ölçüsü 4 olan açnn esas ölçüsü kaç deecedi? ÖRNEK 4 Ölçüsü adyan olan açnn esas ölçüsünü bu- lunuz. BR AÇININ ESAS ÖLÇÜSÜ 0 < 60 ve k Z olmak üzee, ölçüsü + k.60 olan açnn esas ölçüsü deecedi. 0 < ve k Z olmak üzee, ölçüsü + k. olan açnn esas ölçüsü adyand. ÖRNEK 5 4 Ölçüsü 5 ÖRNEK Ölçüsü 44 olan açnn esas ölçüsü kaç deecedi? olan açnn esas ölçüsü kaç adyand? 40

13 ALIŞTIRMALAR. Aada veilen tablodaki bolukla dolduunuz.. Aada veilen tablodaki bolukla dolduunuz.. Aadaki noktaladan hangileinin biim çembe üzeinde olduunu tespit ediniz. a. c, m b. d, n 4. Aada veilen açla çiziniz. a. a AOB c. d, n d. d, n b. a XYZ e. d, n f. d, 5 n 5. Biim çembe üzeinde apsisi olan noktala- dan biinin odinatn bulunuz. 4

14 Tigonometi 6. Biim çembe üzeinde apsisi odinatnn kat olan noktala bulunuz. 0. Aada ölçülei veilen yönlü yaylan bitim noktalann koodinatlan bulunuz. a. b. 7. = 4 5 ve = olmak üzee aadaki ifadelein he biinin eitini bulunuz. c. 4 d. 5 a. + e. 6 f. 5 6 b. g. 7 6 h. 6 c. +. Aada ölçülei veilen açlan, esas ölçüleini ayn biimde bulunuz. a. 480 b. 6 d. c. 84 d lik aç kaç deece, kaç dakika ve kaç saniyedi? e. 5 7 f lik aç kaç saniyedi? 9 g. 5 h. 4 4

15 Tigonometi TRGONOMETRK FONKSYONLAR Kosinüs ve Sinüs Fonksiyonla K(x, y) noktas biim çembe üzeindedi. m( KOL) a = olmak üzee; K(x, y) noktasnn apsisine, geçek saysnn kosinüsü deni ve cos biçiminde gösteili. geçek saysn, cos ya dönütüen fonksiyon kosinüs fonksiyonudu. K(x, y) noktasnn odinatna, geçek saysnn sinüsü deni ve sin biçiminde gösteili. geçek saysn, sin ya dönütüen fonksiyon sinüs fonksiyonudu. Biim çembe üzeindeki noktalan apsis ve odinatla [, ] aalnda bulunduundan, sinüs ve kosinüs fonksiyonlann tanm kümesi : R, göüntü kümesi : [, ] di. Yani, R için cos ve sin di. Kosinüs ve sinüs fonksiyonlan cos : R [, ], f(x) = cosx, sin : R [, ], f(x) = sinx biçiminde ifade edeiz. ÖRNEK 6 sin ve cos ifadesinin eitini bulunuz. ÖRNEK 7 sin80 ve cos80 ifadesinin eitini bulunuz. 4

16 Tigonometi Benze ekilde 0, 70 ve 60 lik açlaa kalk gelen noktala biim çembe üzeinde iaetleneek bu açlan da sinüs ve kosinüslei bulunabili. Bu de- ele aadaki tabloda veilmiti. nceleyiniz. ÖRNEK 9 A = cosx siny olmak üzee A nn en büyük tam say deei ile en küçük tam say deeini bulunuz. ÖRNEK 8 A = sinx olmak üzee A nn dee aaln bulunuz. Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonla x = ve y = doula biim çembee A ve B noktalanda teetti. m( a AOK) = olmak üzee, [OK nn, x = dousunu kestii T noktasnn odinat, eel saysnn tanjantd ve tan olaak gösteili. x = dousu tanjant eksenidi. y ekseni ile tanjant ekseni paalel olduundan, = veya = için [OK ile x = dousu kesimez. O halde; tan ve tan tanmszd. Tanjant fonksiyonunun; tanm kümesi : R { + k, k Z}, göüntü kümesi : R di. [OK nn, y = dousunu kestii K noktasnn apsisi, eel saysnn kotanjantd ve cot olaak gösteili. y = dousu kotanjant eksenidi. x ekseni ile kotanjant ekseni paalel olduundan, = 0, = veya = için [OK ile y = dousu kesimez. Dolaysyla cot0, cot ve cot tanmszd. Kotanjant fonksiyonunun; tanm kümesi : R {k, k Z}, göüntü kümesi : R di. 44

17 Tigonometi Sekant ve Kosekant Fonksiyonla KM dousu biim çembee L noktasnda teet olup eksenlei kestii noktala K ve M di. m( LOM) a = olmak üzee, M noktasnn apsisi, eel saysnn sekantd ve sec ile gösteili. K noktasnn odinat, eel saysnn kosekantd ve cosec biçiminde gösteili. B ve D noktalanda sekant deelei tanmsz olacandan sekant fonksiyonunun, tanm kümesi : R & + k, k! Z0, göüntü kümesi : R (, ) di. A ve C noktalanda kosekant deelei tanmsz olacandan kosekant fonksiyonunun, tanm kümesi: R { k, k Z }, göüntü kümesi: R (, ) di. ÖRNEK 0 A = 4 tanx olduuna göe, A nn alabilecei en küçük pozitif tam say deei kaçt? ÖRNEK 0 45 olmak üzee, sec hangi aalkta dee al? 45

18 Tigonometi TRGONOMETRK ÖZDELKLER sin + cos = OAK dik üçgeninde, OA = cos AK = sin OK = olduundan OA + KA = OK (cos) + (sin) = sin + cos = bulunu. Bu özdelii, sin = cos ve cos = sin biçimleiyle de kullanacaz. ÖRNEK sin x = cos x olduunu gösteiniz. + cos x ÖRNEK 4 sin 4 x cos 4 x + cos x = sin x olduunu gösteiniz. ÖRNEK cos x cos y sin x sin y ifadesinin eitini bulalm. ÖRNEK 5 cos x = a olduuna göe, + sin x sin x cos x in a tüünden deeini bulalm. 46

19 Tigonometi tan = sin a cos a cos a ve cot = sin a d. OMR & + OAT & olduundan OM OA = MR AT cos a sin a = tan tan a ONR & + OBK & olduundan a = sin a olu. cos a ON OB NR = BK sin a cos a cos a = cot a = olu. cot a sin a Bu iki eitlikten yaalanaak, cos 0 ve sin 0 olmak üzee, tan.cot =, tan = cot a, cot = tan a eitliklei de elde edili. ÖRNEK 6 ÖRNEK 8 ( + cot x).sin x = olduunu gösteiniz. sin x cos x = olduuna göe, tanx kaçt? sin x+ cos x ÖRNEK 7 tan x = tan x olduunu gösteiniz. cot x ÖRNEK 9 tanx cotx = olduuna göe, tan x + cot x kaçt? 47

20 Tigonometi sec = cos a ve cosec = sin a d. OLT & + OML & olduundan OL OM OT = OL LON & + KOL & olduundan LO KO ON = OL cos a = sec = sec a cos a olu. sin a = cosec a = olu. cosec a sin a ÖRNEK 40 tan sec ifadesinin eitini bulunuz. ÖRNEK 4 cosec x sec x = cotx tanx olduunu gösteiniz. ÖRNEK 4 + cos x + sin x = cosec x sin x + cos x olduunu gösteiniz. 48

21 Tigonometi TRGONOMETRK FONKSYONLARIN BRM ÇEMBERN BÖLGELERNDEK ARETLER x ekseni kosinüs ekseni, y ekseni sinüs ekseni olduundan, biim çembein hehangi bi bölgesinde bulunan bi açnn kosinüsü ile sinüsünün iaeti o bölgedeki bi noktann apsis ve odinatnn iaeti ile aynd. Tanjant ve kotanjantn iaetlei de o bölgedeki sinüs ve kosinüsün iaetleinin oanndan bulunu. Bu duumda, (0, 90 ) ise tigonometik oanlan tümü pozitifti. (90, 80 ) ise sinüs pozitif, kosinüs, tanjant ve kotanjant negatifti. (80, 70 ) ise tanjant ve kotanjant pozitif, sinüs ve kosinüs negatifti. (70, 60 ) ise kosinüs pozitif, sinüs, tanjant ve kotanjant negatifti. ÖRNEK 4 x = cos7, y = sin0, z = tan t = cot00 ise x, y, z ve t nin iaetleini bulunuz. ÖRNEK 44 a = sin40 cos95 b = tan0.cot0 b a olduuna göe, ifadesinin eiti nedi? a b 49

22 Tigonometi ÖRNEK 45 c, m olmak üzee, sin = 5 ise cos, tan ve cot deeleini bulunuz. olduuna göe, sin.cos deeini bu- ÖRNEK 47 cot = lunuz. ÖRNEK 46 x b, l olmak üzee, tanx = ise sinx, cosx ve cotx deeleini bulunuz. ÖRNEK 48 sin 5 sin + + tan tan ileminin sonucunu bulunuz. 50

23 ALIŞTIRMALAR. Aadaki tabloyu dolduunuz. 5. Aadaki özdeliklein dou olduunu gösteiniz. a. + tan x = cos x b. cos 5 x + cos x.sin x = cos x. Aadaki bolukla uygun ekilde dolduunuz. a. x = dousu... eksenidi. c. cos x = sin x sin x b. y = dousu... eksenidi. c. x = 0 dousu... eksenidi. d. sin x = cot x cos x d. y = 0 dousu... eksenidi. e. cos x sin x + + = secx + sin x cos x. 4sin x n = olduuna göe, n nin dee aaln bulunuz. cos x+ sin x f. = sin x. cos x sec x+ cosec x g. sec x cos x = tan sin x cosec x x 4. 4sin x cos x = sin x+ cos x olduuna göe, cotx kaçt? cos x cos x h. = tan x+ sec x tan x sec x 5

24 Tigonometi 6. Aadaki özdeliklein dou olduunu gösteiniz. 9. Aadaki ifadele dou ise bo kutulaa D yanl ise Y yaznz. a. + cot x = cot x + tan x. bölgede sinx > 0 d. b. cot + cot x = sinx cosx x 4. bölgede cosx < 0 d.. bölgede tanx > 0 d. c. sin 4 x cos 4 x = cos x A = sinx + cosy ise A nn en büyük deei tü. B = sinx ise B nin en küçük deei d. tan x = sin x + tan x di. 7. tanx + cotx = a ise tan x + cot x ifadesinin a cinsinden deeini bulunuz. 0. < < < < olmak üzee aadakileden kaç tanesi doudu? I. sin + tan > 0 II. cos + sin > 0 III. tan.sin > 0 8. sin 6 x + cos 6 x = k olduuna göe, sin x.cos x ifadesinin k cinsinden deeini bulunuz. IV. cot tan < 0 V. tan.cot < 0 5

25 Tigonometi. Aadaki ifadelein iaetleini tespit ediniz. a = sin40 b = cos 5. cos x =! + tan x olduunu gösteiniz. c = tan 7 4 d = cos 4 6. sin x =! + cot x olduunu gösteiniz. e = cot00 f = sec40 g = cosec4 h = sin cos x sin x = tan x + tan x olduunu gösteiniz.. c, m ve cot = olduuna göe, sin, cos ve tan deeleini bulunuz. 8. tanx + cos x = sec x olduunu gösteiniz. + sin x. c, m olmak üzee, 5 cos = ise sin kaçt? 9. (cotx + cosecx) = olduunu gösteiniz. + cos x cosx 4. tan = 0,75 olduuna göe, sin.cos kaçt? 0. 0 < x < için sinx cosx = olduuna göe, cotx kaça eitti? 5

26 Tigonometi k! a Saylann Tigonometik Oanlann, Saysnn Tigonometik Oanla Cinsinden fadesi b al I. Bölge, b + al II. Bölge, ( ) II. Bölge, ( + ) III. Bölge c am III. Bölge, c + am IV. Bölge, ( ) IV. Bölge alnaak önce bölgelee göe iaet tespit edili. ve içeenlede isim deimez. ve içeenlede isim deii. Yani sin yeine cos, tan yeine cot yazl. sin( ) = sin cos( ) = cos tan( ) = tan cot( ) = cot sin( + ) = sin cos( + ) = cos tan( + ) = tan cot( + ) = cot sin( ) = sin cos( ) = cos tan( ) = tan cot( ) = cot sinb a l = cos a cosb a l = sin a tanb a l = cot a cotb a l = tan a sinb + a l = cos a cosb + a l = sin a tanb + a l = cot a cotb + a l = tan a sinc a m = cos a cosc a m = sin a tanc a m = cot a cotc a m = tan a sinc + a m = cos a cosc + a m = sin a tanc + a m = cot a cotc + a m = tan a imdi bu özdeliklein douluunu biim çembe yadmyla gösteelim. y eksenine Göe Simeti Biim çembe üzeindeki K noktasnn y ek- senine göe simetii K olmak üzee, ölçülei ve olan açlan tigonometik oanla için aadaki eitlikle yazlabili. sin = KC ve sin( ) = K C cos = OC ve cos( ) = OC tan = TA ve tan( ) = AT cot = BM ve cot( ) = M B Ayca, KC = K C, OC = OC, TA = AT, BM = MB olduundan sin( ) = sin cos( ) = cos tan( ) = tan cot( ) = cot bulunu. Bibiini 80 ye tamamlayan açlan ölçüleinin sinüslei eit; kosinüs, tanjant ve kotanjantla tes iaetlidi. 54

27 Tigonometi ÖRNEK 49 Aada (90, 80 ) aalndaki baz açlan tigonometik oanla hesaplanmt. nceleyiniz. sin0 = sin(80 60 ) = sin60 = cos0 = cos(80 60 ) = cos60 = tan0 = tan(80 60 ) = tan60 = v cot0 = cot(80 60 ) = cot60 = ÖRNEK 5 sin 0. cos 40 sin 70. cos 40 ifadesinin eiti kaçt? sin50 = sin(80 0 ) = sin0 = cos50 = cos(80 0 ) = cos0 = tan50 = tan(80 0 ) = tan0 = cot50 = cot(80 0 ) = cot0 = v sin5, cos5, tan5 ve cot5 deeleini de siz bulunuz. ÖRNEK 5 ÖRNEK 50 Bi ABC üçgeninde aadaki ifadelein eitleini bulunuz. sin(a + B) sinc cos(a + B) + cosc tan(a + B) tanc ABCD yamuunda, [AB] // [DC] di. Veilenlee göe tan kaçt? 55

28 Tigonometi Oijine Göe Simeti Biim çembe üzeindeki K noktasnn oijine göe simetii K olmak üzee, ölçülei ve + olan açlan tigonometik oanla için aadaki eitlikle yazlabili. sin = KC ve sin( + ) = K C cos = OC ve cos( + ) = OC tan = TA ve tan( + ) = TA cot = BM ve cot( + ) = BM Ayca, KC = KC ve OC = OC olduundan sin( + ) = sin cos( +) = cos tan( +) = tan cot( + ) = cot olu. ÖRNEK 5 Aada (80, 70 ) aalndaki baz açlan tigonometik oanla hesaplanmt. nceleyiniz. sin0 = sin( ) = sin0 = ÖRNEK 54 tan 70 + cos 0 + cos 00 tan 50 ifadesinin eitini bulunuz. cos0 = cos( ) = cos0 = tan0 = tan( ) = tan0 = cot0 = cot( ) = cot0 = v sin5 = sin( ) = sin45 = cos5 = cos( ) = cos45 = ÖRNEK 55 sin( + a) sin( a) cos( + a) + cos( a) ifadesinin eitini bulunuz. tan5 = tan( ) = tan45 = cot5 = cot( ) = cot45 = 56

29 Tigonometi x Eksenine Göe Simeti Biim çembe üzeindeki K noktasnn x eksenine göe simetii K olmak üzee, ölçülei ve olan açlan tigonometik oanla için aadaki eitlikle yazlabili. sin = KC ve sin( ) = K C cos = OC ve cos( ) = OC tan = TA ve tan( ) = TA cot = BM ve cot( ) = BM Ayca, KC = KC, TA = TA ve BM = BM olduundan sin( ) = sin cos( ) = cos tan( ) = tan cot( ) = cot olu. Ölçülei ve olan açla biim çembe üzeinde ayn noktaya denk geldikleinden sin( ) = sin cos( ) = cos tan( ) = tan cot( ) = cot olu. ÖRNEK 56 Aada (70, 60 ) aalndaki baz açlan tigonometik oanla hesaplanmt. nceleyiniz. sin00 = sin(60 60 ) = sin60 = cos00 = cos(60 60 ) = cos60 = tan00 = tan(60 60 ) = tan60 = v cot00 = cot(60 60 ) = cot60 = sin5 = sin(60 45 ) = sin45 = cos5 = cos(60 45 ) = cos45 = tan5 = tan(60 45 ) = tan45 = cot5 = cot(60 45 ) = cot45 = ÖRNEK 57 Aada ( 90, 0 ) aalndaki baz açlan tigonometik oanla hesaplanmt. nceleyiniz. cos( 60 ) = cos60 = sin( 45 ) = sin45 = tan( 0 ) = tan0 = cot( 45 ) = cot45 = sin( 60 ) = sin60 = tan( 60 ) = tan60 = cos( 0 ) = cos0 = 57

30 Tigonometi ÖRNEK 58 Aada baz özdelikle en sade biçimiyle yazlmt. nceleyiniz. sin(x ) = sin[ ( x)] = sin( x) = sinx cos(5 + x) = cos( + x) = cosx ÖRNEK 59 cos 4. tan( 40 ). sin 95 cos 46. tan 0. sin 65 ifadesinin eitini bulunuz. tan(x 5) = tan(x ) = tan[ ( x)] cot( x ) = cot[ (x + )] = cot(x + ) = cotx Biim çembede, ölçüsü olan açnn bitim noktas K(cos, sin) olmak üzee bu noktay ksaca K(C, S) olaak gösteisek, a açsnn bitim noktas, T(S, C) + a açsnn bitim noktas, M( S, C) a açsnn bitim noktas, T( S, C) + a açsnn bitim noktas, M(S, C) olu. Bu duumda, K(C, S) ile T(S, C) kalatldnda, sin b al= cos a, cos b al= sin a, tan b al= cot a, cot b al = tan a bulunu. Bibiini 90 ye tamamlayan iki açdan biinin sinüsü dieinin kosinüsüne, biinin tanjant dieinin kotanjantna eitti. K(C, S) ile M( S, C) kalatldnda, sinb + a l = cos a cosb + a l = sin a tanb + a l = cot a cotb + a l = tan a özdeliklei elde edili. K(C, S) ile T( S, C) kalatldnda, sinc a m = cos a cosc a m = sin a tanc a m = cot a cotc a m = tan a K(C, S) ile M(S, C) kalatldnda, sinc + a m = cos a cosc + a m = sin a tanc + a m = cot a cotc + a m = tan a 58

31 Tigonometi ÖRNEK 60 Aada baz özdelikle en sade biçimiyle yazlmt. nceleyiniz. 9 cos c + am = cosb4 + + al = cosb + al SIRALAMA 5 sinca m = sinba l = sin tan a b l = tan: b ald = tan ÖRNEK 6 sin0 = a olduuna göe, cos0 nin a cinsinden deei nedi? m( COB) a =, m( DOB) a = olsun. CB = sin ve AD = sin olu. CB < AD olduundan sin < sin d. Yani I. bölgede sinüs fonksiyonu atand. Önein sin0 < sin5 < sin0 < sin70 di. OB = cos ve OA = cos d. OA < OB olduundan cos < cos olu. Yani I. bölgede kosinüs fonksiyonu azaland. Önein cos80 < cos60 < cos40 < cos0 di. m( a DOA) =, m( a COA) = olsun. ÖRNEK 6 9a = olduuna göe, sin 5a. tan a cos 4a. cot 7a kaçt? BA = tan ve CA = tan olu. BA < CA olduundan tan < tan d. Yani I. bölgede tanjant fonksiyonu atand. Önein tan5 < tan6 < tan < tan40 di. ED = cot ve EK = cot olu. EK < ED olduundan cot < cot olu. Yani I. bölgede kotanjant fonksiyonu azaland. Önein cot80 < cot70 < cot6 < cot5 di. 59

32 Tigonometi ÖRNEK 6 a = sin5, b = sin6 ve c = sin70 olmak üzee a, b, c deeleini küçükten büyüe dou salaynz. ÖRNEK 66 a = cos0, b = cos40 ve c = cos70 deeleini küçükten büyüe dou salaynz. ÖRNEK 64 a = sin40, b = sin0 ve c = sin00 deeleini küçükten büyüe dou salaynz. ÖRNEK 67 a = tan0, b = tan00, c = tan70 deeleini küçükten büyüe dou salaynz. ÖRNEK 65 a = cos0, b = cos40, c = cos00 deeleini küçükten büyüe dou salaynz. 45 x < 90 tanx di. Bu duumda, [45, 90 ) aalndaki açlan tigonometik oanla kalatlken tanx en büyüktü. Çünkü, sinx ve cosx di. 60

33 Tigonometi ÖRNEK 68 a = tan48, b = sin0, c = cos70 deeleini küçükten büyüe dou salaynz. Bu cetveli incelediimizde, 0 den 45 ye kada olan açla, sol bataki sütunda yukadan aaya dou 45 den 90 ye kada olan açla, sa bataki sütunda, aadan yukaya dou yazlmt. ÖRNEK 70 sin7 ifadesinin deeini bulunuz. ÖRNEK 69 a = tan0, b = sin0, c = cos0 ve d = cot0 deeleini küçükten büyüe dou salaynz. ÖRNEK 7 tan68 ifadesinin eitini bulunuz. TRGONOMETRK FONKSYONLARIN TABLOSU Esas ölçüsü; 0, 0, 45, 60, 90, 80, 70 ve 60 olan açlan tigonometik oanlan, biim çembeden veya dik üçgenleden yaalanaak hesaplamay öendik. Fakat, tüm eel saylan tigonometik oanlan bu yöntemle yadmyla hesaplayamayz. Daha geni olanaklala hazlanan tigonometi cetveli yadmyla die açlan da tigonometik oanlan hesaplayabiliiz. ÖRNEK 7 0 < < 90 olmak üzee cos = 0,8090 ise kaç deecedi? 6

34 Tigonometi 6

35 ALIŞTIRMALAR 4. Aadaki tabloyu uygun ekilde dolduunuz.. Bi ABC üçgeninde aadaki ifadelein eitleini bulunuz. a. sin( A+ B) + sin C tan( A+ B) tan C. Aadaki ifadelein en sade biçimleini bulunuz. sin 6. tan 4 a. sin 8. tan 7 b. cos 40. cot 0 cos 0. tan 0 b. cos A + B+ C cos c m c. sin( a). cos( 5 a). tanc a m cot( + a). sin( + a). cos( 7+ a) c. cot( B+ C) cot A cos( B+ C) cos A 4. d. tan C. tan A + c B m ABCD yamuunda [AB] // [CD] di. Veilenlee göe cos kaçt? 6

36 Tigonometi 5. Aadaki özdelikleden dou olanla için bo kutuya D yanl olanla için Y yaznz. sin( ) = sin 9. Tigonometi cetvelini kullanaak deeleini bulunuz. a. sin = 0,588 7 cos c am = sin a b. cos = 0,599 cos(7 ) = cos c. tan =,98 tan(5 + ) = tan 9 cotca m = tana 0. d. cot = 9,007 sin( 7) = sin 6. sin40 = a olduuna göe, cos0 nin a cinsinden deei nedi? 7. cos0 = a olduuna göe, sin80 nin a cinsinden deei nedi? ekildeki aacn uzunluu 8 m di. Güne nlann ye düzlemiyle yapt aç 6 ise aacn gölgesinin uzunluunu bulunuz. 8. Tigonometi cetvelini kullanaak aadaki ifadelein eitini bulunuz. a. sin4 b. tan70 c. cos76. Aadaki ifadelei hesaplaynz. a. sin50 + cos0.tan5 b. cos00 + sin40.cot0 4 9 c. tanc m.sinc m.cosc m 4 6 d. cot 7 d. sin(05 ).cos( 5 ).cotc m 4 64

37 Tigonometi PERYODK FONKSYON Gafiklei belli aalklala aynen tekalanan fonksiyonla peiyodik fonksiyonlad. ÖRNEK 7 Aada baz fonksiyonlan esas peiyotla bulunmutu. nceleyiniz. a. f(x) = sin(4x ) fonksiyonunun esas peiyodu, P = = di. 4 Yukadaki tabloyu incelediimizde [0, ) aalnda sinx in ald deelein [, 4) aalnda da aynen tekalandn göüüz. Bu duum [4, 6), [6, 8),... aalklanda da aynen tekalan. Ayn duum cosx için de geçelidi. Bu nedenle sinx ve cosx fonksiyonlann peiyodu k. di. (k Z + ) sinx ve cosx fonksiyonlann esas peiyodu di. x b. f(x) = 4cosb l fonksiyonunun esas peiyodu, P = = 4 di. c. f(x) = tan( 5x) fonksiyonunun esas peiyodu, P = = ti. 5 5 Yukadaki tabloyu incelediimizde sin x in esas peiyodunun, sin x in esas peiyodunun olduunu göüüz. tanx ve cotx fonksiyonlann ald deele [0, ), [, ),... aalklanda tekalandndan bu fonksiyonlan esas peiyotla di. Genel olaak d. f(x) = cos (x) fonksiyonunun esas peiyodu, P = = di. e. f(x) = sin ( x + ) fonksiyonunun esas peiyodu, P = = di. = + = + = + = + biçiminde ifade edebiliiz. = = = = = = f. f(x) = cot x c m fonksiyonunun esas peiyodu, P = = di. f(x) ve g(x) peiyodik fonksiyonla olmak üzee, f(x) ± g(x) fonksiyonu ee peiyodik ise esas peiyodu f(x) ve g(x) fonksiyonlann esas peiyotlann e.k.o.k. una eitti. 65

38 Tigonometi ÖRNEK 74 f(x) = cosx + 4sin5x fonksiyonunun esas peiyodunu bulunuz. TRGONOMETRK FONKSYONLARIN GRAFKLER Kosinüs Fonksiyonunun Gafii Kosinüs fonksiyonunun gafii {(x, cosx) : x R} kümesine analitik düzlemde kalk gelen noktala kümesidi. f(x) = cosx fonksiyonunun esas peiyodu olduundan [0, ) aalnda çizilecek gafik peiyotlala tekalan. Tablodaki bilgilei analitik düzlemde aadaki gibi ifade edeiz. ÖRNEK 75 f(x) = sin x ve g(x) = cos x fonksiyonlann esas peiyotlan bulunuz. ÖRNEK 77 [0, ] R, f(x) = cosx fonksiyonunun gafiini çizelim. ÖRNEK 76 f(x) = sin x + cos x fonksiyonunun vasa esas peiyodunu bulunuz. 66

39 Tigonometi ÖRNEK 78 f(x) = + cosx fonksiyonunun peiyodunu bulup, hehangi bi aalkta gafiini çiziniz. ÖRNEK 79 [0, ] R, f(x) = sinx + fonksiyonunun gafiini çiziniz. ÖRNEK 80 f(x) = sinx fonksiyonunun peiyodunu bulup hehangi bi peiyot aalnda gafiini çiziniz. Sinüs Fonksiyonunun Gafii Sinüs fonksiyonunun gafii {(x, sinx) : x R} kümesine analitik düzlemde kalk gelen noktala kümesidi. f(x) = sinx fonksiyonunun peiyodu olduundan gafiini [0, ) aalnda çizip peiyotlala tekalaz. 67

40 Tigonometi Tanjant Fonksiyonunun Gafii Tanjant fonksiyonunun gafii {(x, tanx) : x R, x + k, k Z} kümesine analitik düzlemde kalk gelen noktala kümesidi. f(x) = tanx fonksiyonunun esas peiyodu olduundan, gafii [0, ] & 0 aalnda çizilip, peiyot- lala tekalan. v v v v TERS TRGONOMETRK FONKSYONLAR Bi fonksiyonun tesinin de fonksiyon olabilmesi için, bu fonksiyonun bie bi ve öten olmas geeki. Tigonometik fonksiyonla R den R ye bie bi ve öten olmadklandan R den R ye tigonometik fonksiyonlan teslei fonksiyon olmaz. Bu nedenle bu fonksiyonlan bie bi ve öten olduu eel say aalkla seçeek bu aalklada tes fonksiyonlan tanmlayacaz. Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonlann teslei acsin, accos, actan, accot biçiminde yazl. v Acsin (Aksinüs) Fonksiyonu v v v Kotanjant Fonksiyonunun Gafii Kotanjant fonksiyonun gafii {(x, cotx) : x R, x k, k Z} kümesine analitik düzlemde kalk gelen noktala kümesidi. f(x) = cotx fonksiyonunun esas peiyodu oldu- undan gafii (0, ) aalnda çizilip peiyotlala tekalan. v v v v v v Sinüs fonksiyonunun bie bi ve öten olduu aalkladan bii olan :, D aaln seçesek f: :, D [, ], f(x) = sinx fonksiyonu bie bi ve öten olu. Bu fonksiyonun tes fonksiyonu sin x veya acsinx biçiminde gösteili. acsin : [, ] :, D, f (x) = acsinx y = acsinx x = siny v 68

41 Tigonometi ÖRNEK 8 Aadaki ifadelein hebiinin eitini bulalm. a. acsinc m b. acsind n c. acsin(0) d. acsin() ÖRNEK 8 Aadaki ifadelein hebiinin eitini bulalm. a. accosd n b. accosc m c. accos(0) d. accos() ÖRNEK 8 acsinc m ifadesinin eitini bulalm. Accos (Akkosinüs) Fonksiyonu Kosinüs fonksiyonu [0, ] aalnda bie bi ve ötendi. Dolaysyla bu aalkta f(x) = cosx fonksiyonunun tesi yine bi fonksiyondu. f: [ 0, ] [, ], f(x) = cosx olmak üzee, f : [, ] [0, ], f (x) = accosx y = accosx x = cosy 69

42 Tigonometi Actan (Aktanjant) Fonksiyonu f: b, l R ", f(x) = tanx fonksiyonu bie bi ve öten olduundan, f : R b, l, f (x) = actanx ti. ÖRNEK 85 actan( ) ifadesinin eitini bulalm. y = actanx x = tany Accot (Akkotanjant) Fonksiyonu f: (0, ) R, f(x) = cotx fonksiyonu bie bi ve öten olduundan f : R (0, ), f (x) = accotx di. y = accotx x = coty ÖRNEK 84 Aadaki ifadelein hebiinin eitini bulalm. a. actan() b. actan( v) c. actan(0) ÖRNEK 86 Aadaki ifadelein hebiinin eitini bulalm. a. accotd n b. accot( v) c. accot(0) 70

43 Tigonometi ÖRNEK 87 accot( ) ifadesinin eiti kaçt? ÖRNEK 90 sincaccos m ifadesinin eiti kaçt? ÖRNEK 88 actan = x 4 olduuna göe, sinx + cosx kaçt? ÖRNEK 9 ÖRNEK 89 coscacsin m ifadesinin eiti kaçt? cos(acsinx) = olduunu gösteiniz. x cos(accosx) = x sin(acsinx) = x tan(actanx) = x cot(accotx) = x 7

44 Tigonometi ÖRNEK 9 cos; actan + E ifadesinin eiti kaçt? ÖRNEK 94 accos(x) = 0 denklemini salayan x deei kaçt? ÖRNEK 95 x f : A :, D, f(x) = acsinc m fonksiyonunun tanm kümesini bulunuz. ÖRNEK 9 acsinx = accosx olduuna göe, x kaçt? ÖRNEK 96 actanx + accotx = olduunu gösteiniz. 7

45 Tigonometi ÖRNEK 97 Tanml olduu deele için f(x) = accos x ise f b l kaçt? ÖRNEK 99 f(x) = acsin b x l ve g(x) = actan c m x olduuna göe, ^fog h b l kaçt? 4 ÖRNEK 98 acsinx = actan olduuna göe, x kaçt? 7

46 ALIŞTIRMALAR 5. Aadaki ifadeleden dou olanla için bo kutulaa D yanl olanla için Y yaznz.. Aadaki fonksiyonlan gafikleini çiziniz. a. f: [0, ] R, f(x) = sinx f(x) = sin(4x + ) fonksiyonunun esas peiyodu, di. b. f: [0, 4] R, f(x) = cosx f(x) = cos( x + ) fonksiyonunun esas peiyodu, tü. f(x) = tanc x m fonksiyonunun esas 4 peiyodu, tü. 4 c. f: [, 0] R, f(x) = sin x d. f: :, D R, f(x) = tanx f(x) = sin (x) fonksiyonunun esas peiyodu, di. f(x) = cos ( x) fonksiyonunun esas peiyodu, di. f(x) = tan (4x + ) fonksiyonunun esas peiyodu, di. e. f: [0, ] R, f(x) = cotx 4. Aadaki fonksiyonlan peiyotlan bulup hehangi bi peiyot aalnda gafikleini çiziniz. a. f(x) = sin4x. Aadaki fonksiyonlan esas peiyotlan bulunuz. a. f(x) = cos(4x ) + cos (x + ) b. f(x) = cos x c. f(x) = tanx b. f(x) = tan( x) + sin (5x ) d. f(x) = cot x 74

47 Tigonometi 5. Aada sol sütundaki ifadelein eitleini sa sütunda bulup eletiiniz a. acsind n. 6 x 9. f: A [0, ], f(x) = accosc m 4 fonksiyonunun tanm kümesini bulunuz. b. acsin( ). 4 c. accosc m. 0. Tanml olduu deele için f(x) = actan b x 4 l d. actan( ) 4. ise f c m kaçt? 4 e. accot(v) accosx = accot olduuna göe, x kaçt? 6. acsin 5 = x olduuna göe, tanx + cosx kaçt?. Aadaki eitliklein dou olduunu gösteiniz. a. sin(acsinx) = x 7. sincactan m ifadesinin eiti kaçt? b. sin(accosx) = x c. tan(acsinx) = x x 8. sinbac cot l ifadesinin eiti kaçt? d. accos(sinx) = x 75

48 Tigonometi ÜÇGENDE TRGONOMETRK BAINTILAR KOSNÜS TEOREM Bi ABC üçgeninde kena uzunlukla a, b, c ve bu kenalaa ait açla A, B, C olmak üzee A a = b + c bc.cosa c b b = a + c ac.cosb c = a + b ab.cosc di. B a C spat ABC üçgeninde [AH] [BC] di. BH = x alsak, HC = a x olu. ABH dik üçgeninde, AB = BH + AH c = x + h h = c x... (I) olu. AHC dik üçgeninde AC = AH + HC b = h + (a x) h = b (a x)... (II) olu. I ve II eitlikleinden c x = b (a x) c x = b a + ax x b = a + c ax... (III) olu. ABH dik üçgeninde x cosb = c x = c.cosb olacandan bu deei III eitliinde yeine yazasak b = a + c.a.c.cosb elde edili. Elde ettiimiz bu bant kosinüs teoemidi. Benze ilemlele a = b + c bc.cosa c = a + b ab.cosc eitliklei de elde edili. Kosinüs teoemi yadmyla ki kena uzunluu ile bu kenala aasndaki açs veilen üçgenin üçüncü kena uzunluunu Üç kena uzunluu bilinen üçgenin açlann ölçüleini bulabiliiz. ÖRNEK 00 Bi ABC üçgeninde, a = cm, b = 4 cm ve m( a C) = 60 ise c kenann uzunluu kaç cm di? ÖRNEK 0 Bi ABC üçgeninde, a = c cm, b = 4 cm ve c = cm ise m( a A) kaç deecedi? 76

49 Tigonometi ÖRNEK 0 ÖRNEK 04 ABC üçgeninde [AD] [AC], AD = 4 cm AC = cm, BD = DC ise AB = x kaç cm di? Bi gölün en uzak iki noktas A ve B di. AB uzunluunu bulmak için m( ACB) a = 60 olacak ekilde uzak bi tepe üzeinde bi C noktas alnaak, A ile C aasnn 50 m, B ile C aasnn 40 mete olduu tespit ediliyo. AB uzunluu kaç metedi? ÖRNEK 0 ekilde, [AE] [BD] = {C} di. Veilenlee göe, DE = x kaç cm di? ÖRNEK 05 Bi ABC üçgeninde, a = b + c + bc bants vasa m( a A) kaç deecedi? 77

50 Tigonometi ÖRNEK 06 ÖRNEK 07 c ekilde, ABCD kiile dötgenidi. AB = cm, BC = CD = 4 cm, AD = 6 cm ise cosa kaçt? ABC üçgeninde AB = 4 cm, AC = 6 cm, AD = 9 cm ve BD = DC ise m( BAC) a kaç deecedi? 78

51 Tigonometi SNÜS TEOREM Hehangi bi ABC üçgeninde, çevel çembein yaçap R olmak üzee a b c = = = R di. sin A sin B sin C spat: m( BAC) a < 90 olmak üzee, ABC üçgeninin çevel çembeinin mekezi O olsun. Ayn yay göen çeve açlan ölçülei eit olduundan, m( a D) = m( a A) olu. Çap göen çeve aç 90 olacandan m( a DBC) = 90 di. DBC dik üçgeninde, BC sind = sind = DC a R sina = a R a sin A = R bulunu. Benze ilemlele b sin B c = R ve sin C = R eitliklei elde edili. a b c Bu duumda, = = = R olu. sin A sin B sin C ÖRNEK 08 A ÖRNEK B C ABC üçgeninde veilenlee göe sin kaçt? Samsun-Tabzon aas 40 km di. Tabzon dan kalkan bi uçak A gibi bi noktada iken uçan konumu yukadaki ekilde ifade edilmiti. A noktasnn va noktasna olan uzakln bulunuz. 79

52 Tigonometi ÖRNEK 0 Çevel çembeinin yaçap 4 cm olan ABC üçgeninde m( a A) = 0 ise a kenann uzunluu kaç cm di? ÖRNEK ABC üçgeninde m( a C) m( a B) = 90, AB = 4 cm AC = cm ise cotb kaçt? ÖRNEK Bi ABC üçgeninde sin( a A + a C ) =, b = 5 cm ise, 5 ABC üçgeninin çevel çembeinin yaçap kaç cm di? ÖRNEK 4 ABC üçgeninde AD = 4 DC, m( ABD) a = 45 m( DBC) a sin A = 0 ise kaçt? sin C ÖRNEK Bi ABC üçgeninde, sin ( a A) + sin ( a B) = sin ( a C) ise m( a C) kaç deecedi? 80

53 Tigonometi ÜÇEGENN ALANI Hehangi bi ABC üçgeninde A(ABC) = a.b.sinc A A(ABC) = b.c.sina c b A(ABC) = a.c.sinb B a C spat: ABC üçgeninde [AH] [BC] çizelim. A(ABC) = a.ha olduunu biliyouz. AHC dik üçgeninde, AH h sinc = sinc = a h AC b a = b.sinc olu. Elde ettiimiz h a deeini A(ABC) = a.ha eitliinde yeine yazasak A(ABC) = a.b.sinc bulunu. ÖRNEK 5 ÖRNEK 6 Adk iki kena uzunluu a ile b ve bu kenala aasndaki açsnn ölçüsü olan ABCD paalelkenanda A(ABCD) = a.b.sin olduunu gösteiniz. ABC üçgeninde, BC = 6 cm, AC = 4 cm m( a C) = 0 ise A(ABC) kaç cm di? 8

54 Tigonometi ÖRNEK 7 ÖRNEK 9 ABC ve BDE üçgenleinin alanla eitti. Veilenlee göe x kaç b di? ABC üçgeninde BD = DC di. Veilenlee göe sin kaçt? ÖRNEK 8 ekilde, [EC] [AC], [EC] [AD] = {B} AB = 5 cm, AC = cm ve EB = BC = BD ise A(EDB) kaç cm di? ÖRNEK 0 ekilde, [BA] [AD], [AC] [CD], AB = cm AD = 5 cm ve CD = 4 cm ise A(BAC) kaç cm di? 8

55 Tigonometi ÖRNEK Çevel çembeinin yaçap R olan ABC üçgeninde, abc.. A(ABC) = olduunu gösteiniz. 4R ÖRNEK ABC üçgeninde veilenlee göe, EC = x kaç biimdi? ABDE ( ) = ise ABAC ( ) 5 ÖRNEK ÖRNEK 4 ABC üçgeninde AB = cm, AC = 6 cm ise A(ABC) en fazla kaç cm olabili? ABC üçgeninin çevel çembeinin yaçap kaç biimdi? 8

56 ALIŞTIRMALAR 6. Aadaki soulan he biinde veilenlee göe istenilenlei bulunuz.. Aadaki soulan he biinde veilenlee göe istenilenlei bulunuz. a. a =? a. x =? b. b. cos a A =? cos a C =? c. x =? c. x =? d. x =? d. sin =? 84

57 Tigonometi. 6. ekildeki ABCD ekena dötgeninde AE = FC = cm, DF = cm, m( a ABC) = 0 ise EF = x kaç cm di? ekildeki ABCD dötgeninde AD = 4 cm AB = cm, BC = 7 cm, DC = 8 cm m( a A) = 90 ise A(ABCD) kaç cm di? ABC üçgeninde AB = 6 cm, AC = 4 cm m( a C) = 90 + m( a B) ise cot( a B) kaçt? ABD ve EBC bie üçgen, AE = cm EB = 4 cm, BD = 5 cm ve A(ABD) = A(BEC) ise DC = x kaç cm di? 5. O mekezli çembede AB = cm, BC = cm AC = 4 cm ise OA kaç cm di? 8. ABC üçgeninde AB = 4 cm, AC = 6 cm 4 BD = DC, m( DAC) a = 45 ve m( BAD) a = ise sin kaçt? 85

58 Tigonometi 9. Bi ABC üçgeninde, b = a + c + vac ise m( a B) kaç deecedi? 4. Bi ABC üçgeninde = a b a. cos B b. cos A c olduunu gösteiniz. 0. Bi ABC üçgeninde, a = b.cos a C ise b = c olduunu gösteiniz. 5.. Bi ABC üçgeninde A(ABC) = u.(u b) ise m( a B) = 90 olduunu gösteiniz. ABC üçgeninde AK = AB, 5 AL = AC AAKL ( ) ise kaça eitti? AABC ( ). Bi ABC üçgeninde h b = R.sinA.sinC olduunu gösteiniz sin A 6. =. cos C sin B olduuna göe, ABC üçgeninin ikizkena üçgen olduunu gösteiniz.. Bi ABC üçgeninde a.sina + b.sinb + c.sinc = olduunu gösteiniz. a + b + c R 7. sinc = cosa + cosb olduuna göe, ABC üçgeninin dik üçgen oldu- unu gösteiniz. 86

59 Tigonometi K YAYIN TOPLAMININ VE FARKININ TRGONOMETRK ORANLARI sin(a + b) = sin a.cos b + cos a.sin b sin(a b) = sin a.cos b cos a.sin b cos(a + b) = cos a.cos b sin a.sin b cos(a b) = cos a.cos b + sin a.sin b spat ABC ve AEC dik üçgenle FBDE dikdötgen AC = b, m( CAE) a = a, m( EAD) a = b olmak üzee, AEC dik üçgeninde, CE sin a = AC AE CE = sin a ve cos a = AC AE = cos a olu. CFE dik üçgeninde, CF cos b = CE CF cos b = sin a CF = sin a.cos b ADE dik üçgeninde, ED sin b = AE ED sin b = cos a ED = cos a.sin b olu. ABC dik üçgeninde, CB sin(a + b) = CB = sin(a + b) AC sin(a + b) = CB = CF + FB = CF + ED = sin a.cos b + cos a.sin b bulunu. sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb eitliinde b yeine b yazasak sin(a b) = sin a.cos( b) + cos a.sin( b) = sin a.cosb cos a.sin b olu. cos(a + b) = sin: ( a+ b) D = sin: b al bd = sinb alcos b cosb alsin b = cos a.cos b sin a.sin b olu. cos(a b) = cos[a + ( b)] = cos a.cos( b) sin a.sin( b) = cos a.cosb + sin a.sinb bulunu. 87

60 Tigonometi ÖRNEK 5 Aada toplam fak fomülleine veilen öneklei inceleyiniz. sin0.cos0 + cos0.sin0 = sin(0 + 0 ) = sin50 sin40.cos5 cos40.sin5 = sin(40 5 ) = sin5 cos50.cos0 + sin50.sin0 = cos(50 0 ) = cos0 cos00.cos5 sin00.sin5 = cos( ) = cos05 ÖRNEK 9 ABCD dötgeninde [DC] [BC], DC = 4 cm BC = cm, AD = cm, AB = cm ise cos( ABC) a kaçt? ÖRNEK 6 sin4.cos8 + sin8.cos4 ifadesinin eitini bulunuz. ÖRNEK 7 sin40.sin50 cos40.cos50 ifadesinin eitini bulunuz. ÖRNEK 0 sin5 ifadesinin eitini bulunuz. ÖRNEK 8 cos05 ifadesinin eitini bulunuz. 88

61 Tigonometi ÖRNEK ABCD dik yamuunda DC = cm, CE = cm EB = cm, AB = cm, m( AED) a = ise sin kaçt? ÖRNEK ABCD kae DF = FC CE = EB m( FAE) a = ise cos kaçt? ÖRNEK ABCD dikdötgeninde AE = EB = CB m( a ACE) = ise cos kaçt? 89

62 Tigonometi ÖRNEK 4 ÖRNEK 5 Bi ABC üçgeninde, Bi ABC üçgeninde 4 cosa = ve cosb = 5 ise sinc kaçt? cosa.cosb = 4, sina.sinb = ise cosc kaçt? tan(a + b) = tan(a b) = cot(a + b) = cot(a b) = tan a+ tan b tan a. tan b tan a tan b + tan a. tan b cot a. cot b cot a+ cot b cot a. cot b+ cot b cot a spat tan(a + b) = sin( a+ b) cos( a+ b) = sin a. cos b+ cos a. sin b cos a. cos b sin a. sin b olu. Bu ifadenin pay ve paydasn cosa.cosb ile bölesek, tan(a + b) = sin a. cos b cos a. sin b + cos a. cos b cos a. cos b cos a. cos b sin a. sin b cos a. cos b cos a. cos b = sin a sin b + cos a cos b sin a sin b cos a cos b = tan a+ tan b tan a. tan b bulunu. tan(a b) = tan[a + ( b)] = tan a+ tan( b) tan a. tan( b) = tan a tan b + tan a. tan b bulunu. 90

63 Tigonometi ÖRNEK 6 ÖRNEK 8 tan75 ifadesinin eitini bulalm. ABC dik üçgeninde BD = DC = cm, AB = 4 cm m( DAC) a = ise tan kaçt? ÖRNEK 9 4 coscacsin + actan m ifadesinin eitini bulunuz. 5 5 ÖRNEK 7 tan a = ve cot b = 4 olduuna göe, tan(a + b) kaçt? 9

64 Tigonometi ÖRNEK 40 sinbx l= cosbx l 4 4 olduuna göe, tanx kaçt? YARIM AÇI FORMÜLLER sinx = sinx.cosx spat sinx = sin(x + x) = sinx.cosx + cosx.sinx = sinx.cosx olu. ÖRNEK 4 sin 40 sin 0 ifadesinin eitini bulunuz. ÖRNEK 4 ÖRNEK 4 actan + accot ifadesinin eitini bulunuz. x b0, l olmak üzee, sinx = 5 ise sinx in deeini bulunuz. ÖRNEK 44 sin75.cos75 ifadesinin eitini bulalm. 9

65 Tigonometi ÖRNEK 45 sin.cos.cos 4 4 ifadesinin eitini bulalm. ÖRNEK 48 cos6.sin8 ifadesinin eitini bulunuz. ÖRNEK 46 sinx cosx = olduuna göe, sinx kaçt? ÖRNEK 49 cos 6 + sin ifadesinin eiti kaçt? ÖRNEK 47 x (0, ) olmak üzee, + sin x ifadesinin eiti nedi? 9

66 Tigonometi ÖRNEK 50 sin0.cos0.cos40 ileminin sonucu kaçt? cosx = cos x sin x spat cosx = cos(x + x) = cosx.cosx sinx.sinx = cos x sin x bulunu. Ayca, bu eitlikte cos x = sin x veya sin x = cos x yazlaak cosx = cos x cosx = sin x eitliklei de elde edili. ÖRNEK 5 cosx = olduuna göe, cosx kaçt? ÖRNEK 5 sinc accos m ifadesinin eitini bulunuz. ÖRNEK 5 sinx = 5 olduuna göe, cos4x kaçt? 94

67 Tigonometi ÖRNEK 54 cos sin 8 8 ifadesinin eitini bulunuz. ÖRNEK 57 x! b0, l olduuna göe, + cos x ifadesinin eitini bulunuz. ÖRNEK 55 cos 4 75 sin 4 75 ifadesinin eitini bulunuz. ÖRNEK 58 x (, ) olmak üzee, cos x ifadesinin eitini bulunuz. ÖRNEK 56 + cos 0 sin 0 ifadesinin eitini bulunuz. 95

68 Tigonometi ÖRNEK 59 ÖRNEK 6 cos 8 ifadesinin eitini bulunuz. sin50 = a olduuna göe, cos0 nin a tüünden deei nedi? ÖRNEK 6 sinx = sinx 4sin x eitliinin dou olduunu gösteiniz. ÖRNEK 60 sin 5 + cos ifadesinin eitini bulunuz. ÖRNEK 6 cosc acsin m 4 ifadesinin eitini bulalm. 96

69 Tigonometi tan x tanx = tanx spat tanx = tan(x + x) = = tan x+ tan x tan x. tan x tan x olu. tanx ÖRNEK 66 tan x. cot x tan x ifadesinin eiti kaçt? ÖRNEK 64 tanx = olduuna göe, tanx kaçt? ÖRNEK 67 tanx cotx = olduuna göe, tan4x kaçt? ÖRNEK 65 tanx = olduuna göe, 4 tanx in alabilecei deelei bulunuz. 97

70 Tigonometi DÖNÜÜM FORMÜLLER sin a + sin b = sin a + b a b.cos sin a sin b = cos a + b a b.sin cos a + cos b = cos a + b a b.cos cos a cos b = sin a + b a b.sin spat sin(x + y) = sinx.cosy + cosx.siny + sin(x y) = sinx.cosy cosx.siny sin(x + y) + sin(x y) = sinx.cosy... (I) a b Bu eitlikte x + y = a ve x y = b alsak, x = + ve a b y = olu. Bu deelei (I) eitliinde yeine yazasak sin a + sin b = sin a + b a b.cos I de bulduumuz eitlikte b yeine b yazasak sin a + sin( b) = sin a b.cos a ( b) sin a sin b = sin a b.cos a + b bulunu. olu. cos(x + y) = cosx.cosy sinx.siny + cos(x y) = cosx.cosy + sinx.siny cos(x + y) + cos(x y) = cosx.cosy olu. x+ y = a x y = b x a b = + a b ve y = deelei yeine yazlsa cos a + cos b = cos a + b a b.cos olu. cos(x + y) = cosx.cosy sinx.siny cos(x y) = cosx.cosy + sinx.siny eitlikleini taaf taafa çkaaak cosa cosb = sin a + b a b.sin eitliini siz bulunuz. ÖRNEK 68 cos a+ cos a sin a sin a ifadesinin eitini bulunuz. ÖRNEK 69 sin 40 + sin 0 cos 0 ifadesinin eitini bulunuz. 98

71 Tigonometi ÖRNEK 70 cos( a+ b) cos( a b) sin( a+ b) + sin( a b) ifadesinin eitini bulunuz. Patik olaak, x+ x+ 5x sin sin x+ sin x+ sin 5x = cos x+ cos x+ cos 5x x+ x+ 5x cos olaak alnabili. = tan x ÖRNEK 7 sin 0 + sin 40 + sin 80 cos 0 ifadesinin eitini bulalm. ÖRNEK 7 cos0 + cos50 v.cos0 ifadesinin eitini bulunuz. ÖRNEK 7 sin x+ sin x+ sin 5x cos x+ cos x+ cos 5x ifadesinin eitini bulunuz. ÖRNEK 74 cos 4 cos 8 ifadesinin eitini bulalm. 99

72 Tigonometi ÖRNEK 75 ÖRNEK 78 cos 75 sin 75 ifadesinin eitini bulunuz. sin 6x+ sin 4x+ sin x cos 4x+ cos x+ bulunuz. ifadesinin en sade biçimini ÖRNEK 76 ifadesinin ei- 9x = sin 5x+ sin x olmak üzee, cos x. cos 5x tini bulunuz. ÖRNEK 79 Bi ABC üçgeninde, sina + sinb + sinc = 4cos A.cos B.cos C olduunu gösteiniz. ÖRNEK 77 cos80 + sin50 cos0 ifadesinin eitini bulunuz. 00

73 Tigonometi TERS DÖNÜÜM FORMÜLLER sinx.cosy = [sin(x + y) + sin(x y)] sinx.siny = [cos(x y) cos(x + y)] cosx.cosy = [cos(x + y) + cos(x y)] spat sin(x + y) = sinx.cosy + cosx.siny + sin(x y) = sinx.cosy cosx.siny sin(x + y) + sin(x y) = sinx.cosy sinx.cosy = [sin(x + y) + sin(x y)] bulunu. cos(x + y) = cosx.cosy sinx.siny cos(x y) = cosx.cosy + sinx.siny cos(x + y) cos(x y) = sinx.siny sinx.siny = [cos(x y) cos(x + y)] bulunu. cos(x + y) = cosx.cosy sinx.siny + cos(x y) = cosx.cosy + sinx.siny cos(x + y) + cos(x y) = cosx.cosy cosx.cosy = [cos(x + y) + cos(x y)] bulunu. ÖRNEK 80 cos5.cos75 ifadesinin eiti kaçt? ÖRNEK 8 sin 4cos 0 40 ifadesinin eiti kaçt? ÖRNEK 8 5 sin cos ifadesinin eitini bulunuz

74 Tigonometi ÖRNEK 8 cos0.cos50.cos70 ifadesinin eiti kaçt? ÖRNEK 85 = olmak üzee, 6 tan( ).tan( ) ifadesinin eiti kaçt? ÖRNEK 84 cos80.cos40.cos0 ifadesinin eitini bulunuz. 0

75 ALIŞTIRMALAR 7. Aadaki eitlikleden dou olanla için bo kutulaa D yanl olanla için Y yaznz. sin48.cos + cos48.sin = 4. Bi ABC üçgeninde sina = 5, cosb = 5 sinc kaçt? ise sin50.sin40 cos50.cos40 = cos80.sin0 sin80.cos0 = sin 05 cos 05 = tan + tan = tan. tan 5. a + b = olmak üzee, (cosa cosb) + (sina + sinb) ifadesinin eitini bulunuz. cos = 8. Aadakilein hebiinin eitini bulunuz. a. sin75 6. sinx cosx = 4 olduuna göe, sinx ifadesinin eitini bulunuz. b. cos c. tan5 7. Aada sol sütunda veilen ifadelein eitini sa sütunda bulaak eletiiniz. a. cos 4 x sin 4 x. cotx 7 d. cot b. cos 6x sin 6x + sin x cos x. cot x c. sin 4x cos4x. cot4x. tana =, cotb = olduuna göe, tan(a + b) kaçt? d. + cos x cosx 4. cosx 0

76 Tigonometi 8. Aadakilein hebiinde veilenlee göe istenilenlei bulunuz. a. cos( a BCD) =? e. ABCD dik yamuk tan =? f. b. tanx =? ABCD kae DE = CE tan =? c. 9. cos6 sin6 + ifadesinin eiti nedi? ABCD kae DE = AE sin =? 0. sin0.sin50.sin70 ifadesinin eiti nedi? d. ABCD kae cot =?. sin0.cos0.cos0.cos40 = a olduuna göe, cos0 nin a cinsinden deei nedi? 04

77 Tigonometi. sin84 = a olduuna göe, sin87 nin a cinsinden deei nedi? 5. Aadakilein hebiinin eitini bulunuz. a. coscactan acsin 4 5 m. x b0, l olmak üzee, veilenlee göe iste- nenlei bulunuz. a. cosx = 5 cosx =? b. tancac cot + actan m c. sin(actan) b. sinx = cos4x =? d. tanc accos m c. cotx = 4 tanx =? 6. sin54 sin8 ifadesinin eitini bulunuz. d. sinx = 5 sinx =? 4. x b0, l olmak üzee, aadaki ifadelein eitini bulunuz. 7. cos0 sin50 cos80 ifadesinin eitini bulunuz. a. + sin x sinx b. + cos x cosx 8. cos0.cos0.cos50.cos70 = 6 eitliinin dou olduunu gösteiniz. 05

78 Tigonometi 9. sin 50 4sin 0 ifadesinin eitini bulunuz.. cos 0 sin 0 ifadesinin eitini bulunuz. 0. Aadaki ifadelein en sade biçimini elde ediniz.. cos 6 sin 8 ifadesinin eitini bulunuz. a. sin 8x+ sin x cos 8x cos x. Bi ABC üçgeninde aadaki eitliklein dou olduunu gösteiniz. b. cos 5 x+ cos x sin 5x sin x A B C a. cosa + cosb + cosc = + 4sin sin sin c. sin 80 + sin 0 cos 80 cos 0 b. tana + tanb + tanc = tana.tanb.tanc c. cos A + cos B + cos C = cosacosbcosc d. sin 0 + sin 0 + sin 50 cos 0 + cos 0 + cos tan + cot = 5 olduuna göe, sin4 kaça eitti? e. sin 0 + sin 40 + sin 60 + sin 80 cos 0 + cos 40 + cos 60 + cos sinbx l 4 = sinbx + l 4 olduuna göe, cotx kaça eitti? 06

79 Tigonometi TRGONOMETRK DENKLEMLER 5 sinx = denklemini ele alalm. Bu denklemi salayan [0, ] aalndaki deelein ve olduunu biliyouz. 6 6 Ancak daha geni aalklada bu denklemi salayan baka deele de vad. Bu deelein tümünü tek tek bulmamz mümkün olmadndan bu deelein hepsini ifade eden kümeyi otak özellik yadmyla gösteebiliiz. cosx = a Denkleminin ü cosx = denkleminin çözüm kümesini bulmaya çalalm. Kosinüsü ye eit olan [0, ) v aalndaki eel sayla; 6 ve 6 d. Ancak, k Z olmak üzee, + k. ve + k. saylann da kosinüslei ye eitti. 6 6 Dolaysyla denklemin çözüm kümesi, Ç = {x : x = 6 + k. x = 6 + k., k Z} olu. Bu duumu genel olaak aadaki biçimde ifade edebiliiz. a olmak üzee, cosx = a denkleminin [0, ) aalndaki bi kökü ise denklemin çözüm kümesi; Ç = {x : x = + k. x = + k., k Z} di. ÖRNEK 86 cosx = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 87 cos x = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 07

80 Tigonometi ÖRNEK 88 cosx = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 9 cos x cosx + = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 89 cos b x l= denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 9 0 x < 60 olmak üzee, cos(x + 0 ) = cos50 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 90 cosx = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 08

81 Tigonometi sinx = a Denklemini ü sinx = denkleminin çözüm kümesini bulmaya çalalm. Sinüsü ye eit olan [0, ) aalndaki eel sayla ve d. 6 6 Bu duumda, k Z olmak üzee + k. ve + k. saylann da sinüsü olacandan çözüm kümesi; Ç = {x : x = + k. x = + k., k Z} olu. 6 6 Bu duumu genel olaak aadaki biçimde ifade edebiliiz. a olmak üzee, sinx = a denkleminin [0, ) aalndaki bi kökü ise denklemin çözüm kümesi; Ç = {x : x = + k. x = + k., k Z} di. ÖRNEK 9 sinx = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 94 sinx = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 09

82 Tigonometi ÖRNEK 95 cos x sin x + sinx = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalm. ÖRNEK 97 cosx + sin x = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 96 cosx cosx + sinx = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 0

83 Tigonometi tanx = a Denkleminin ü ÖRNEK 99 tan b x l= 4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. tanx = denkleminin çözüm kümesini bulalm. Tanjant e eit olan [0, ) aalndaki eel sayla ve + olduundan bu iki deei de içeen 4 4 x = + k, (k R) denklemi salayan x deeleidi. Dolaysyla denklemin çözüm kümesi 4 Ç = {x : x = + k, k Z} olu. 4 a R olmak üzee, tanx = a denkleminin [0, ) aalndaki bi kökü ise denklemin çözüm kümesi Ç = {x : x = + k, k Z} di. ÖRNEK 00 cotx = v denkleminin çözüm kümesini bulunuz. cotx = a Denkleminin ü a R olmak üzee, cotx = a denkleminin [0, ) aalndaki bi kökü ise denklemin çözüm kümesi Ç = {x : x = + k, k Z} di. ÖRNEK 98 tanx = v denkleminin çözüm kümesini bulunuz. sinf(x) = sing(x) denkleminin çözüm kümesi, k R olmak üzee, f(x) = g(x) + k. f(x) = g(x) + k. eitlikleini salayan x eel saylad. cosf(x) = cosg(x) denkleminin çözüm kümesi, k R olmak üzee, f(x) = g(x) + k. f(x) = g(x) + k. eitlikleini salayan x eel saylad. tanf(x) = tang(x) veya cotf(x) = cotg(x) denklemleinin çözüm kümesi, k R olmak üzee, f(x) = g(x) + k eitliini salayan x eel saylad.

84 Tigonometi ÖRNEK 0 sin b x l = sin x 4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 0 cosbx l= cosb xl 6 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 0 sinbx l= sinbx+ l 6 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 04 cosbx l= cosbx+ l 4 4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

85 Tigonometi ÖRNEK 05 cos b x l = sin x denkleminin çözüm kümesini bulunuz. sinx ve cosx e Göe Dousal Denklemle a, b, c sfdan fakl eel sayla olmak üzee, a.cosx + b.sinx = c biçimindeki denklemle, ÖRNEK 06 tan b x l = tan x 6 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. sinx ve cosx e göe dousal denklemledi. ÖRNEK 08 sinx v cosx = denkleminin çözüm kümesini bulalm. ÖRNEK 07 tanx.cotb xl= denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

86 Tigonometi ÖRNEK 09 f(x) = a.sinx + b.cosx fonksiyonunun en büyük ve en küçük deeleini bulunuz. ÖRNEK 0 Aadaki tabloda baz fonksiyonlan en büyük ve en küçük deelei veilmiti. nceleyiniz. v v v v ÖRNEK sinx 4cosx = 5 olduuna göe, sinx kaçt? f(x) = a.sinx ± b.cosx ise f(x) in en küçük deei: a+ b en büyük deei: a+ b di. 4

87 Tigonometi sinx ve cosx e Göe Homojen Denklemle sinx cosx = 0 sinx v cosx = 0 biçimindeki denklemle,. deeceden homojen denklemledi. sin x + sinx.cosx cos x = 0 sin x + sinx + cos x = 0 biçimindeki denklemle,. deeceden homojen denklemledi. ÖRNEK sinx v cosx = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 4 cos x cosx.sinx + sin x = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK sin x + sinx.cosx cos x = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 5

88 Tigonometi TRGONOMETRK ETSZLKLER sinx > a veya sinx < a Eitsizlii sinx > a eitsizliinde a Ç = (, ) a > Ç = Ø a < Ç = R ÖRNEK 6 sinx < a eitsizliinde a Ç = [0, ) (, ) a > Ç = R a < Ç = Ø sinx eitsizliinin [0, ] aalndaki çözüm kümesini bulunuz. ÖRNEK 5 sinx > eitsizliinin [0, ] aalndaki çözüm kümesini bulunuz. 6

89 Tigonometi cosx > a veya cosx < a Eitsizlii cosx > a eitsizliinde, a Ç = (, ) veya Ç = [0, ) (, ] a > Ç = Ø a < Ç = R cosx < a eitsizliinde, a Ç = (, ) a > Ç = R a < Ç = Ø tanx > a veya tanx < a Eitsizlii tanx > a eitsizliinin çözüm kümesi, ÖRNEK 7 cosx > eitsizliinin [0, ] aalndaki çözüm kümesini bulunuz. Ç a, = b l, c+ a, m olu. tanx < a eitsizliinin çözüm kümesi, ÖRNEK 8 cos x eitsizliinin [0, ] aalndaki çözüm kümesini bulunuz. Ç = b, a l, b, + a l veya Ç = 60, h, b, + a l, c, m di. 7

90 Tigonometi ÖRNEK 9 cotx > a veya cotx < a Eitsizlii tanx > eitsizliinin [0, ] aalndaki çözüm kümesini bulunuz. cotx > a eitsizliinin çözüm kümesi, Ç = (0, ) (, + ) d. cotx < a eitsizliinin çözüm kümesi, Ç = (, ) ( +, ) di. ÖRNEK ÖRNEK 0 tanx < v eitsizliinin [0, ] aalndaki çözüm kümesini bulunuz. cotx > v denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 8

91 ALIŞTIRMALAR 8. Aadaki ifadeleden dou olanla için bo kutulaa D yanl olanla için Y yaznz. a olmak üzee, sinx = a denkleminin [0, ] aalnda kökü vad.. Aadaki tigonometik denklemlein çözüm kümeleini bulunuz. a. sinx = sinbx + l tanx = a denkleminin [0, ] aalnda kökü vad. cosx = a denkleminin [0, ] aalnda kökü vad. b. cos4x = sin 8. Aadaki tigonometik denklemlein çözüm kümeleini bulunuz. a. sinx = c. cosx = cosbx l 4 b. cosx = d. sin(x 0 ) = sin(x + 0 ) c. tanx = e. sin(x 0 ) = cos(x + 40 ) d. cotx = f. cosbx l = cosbx + l 6 9

92 Tigonometi 4. Aadaki tigonometik denklemlein [0, ] aalndaki çözüm kümeleini bulunuz. a. sin x cos x 5sinx + = 0 5. Aadaki tigonometik denklemlein çözüm kümeleini bulunuz. a. cos x + sin x 5cosx + = 0 b. sinx.cosx + cosx.sinx = b. tanx.cot x b l = c. tanx + cotx = c. cosx = sinx d. sin4x cosx = 0 d. cosx + sinx = 0 e. sinx + sinx = 0 e. sinx + cosx = f. sin x = 0 f. cosx + cosx + cosx = 0 0

93 Tigonometi g. sinx = + cosx 6. f(x) = sinx v.cosx fonksiyonunun gafiinin [0, ] aalnda x eksenini kestii noktala bulunuz. h. sinx + v cosx = 0 7. f(x) = sin5x cosx + sinx. v cosx + sinx = v6 fonksiyonunun gafii [0, ] aalnda x eksenini kaç noktada kese? j. 6 cosx + cos6x = 8. Aadaki eitsizliklein [0, ] aalndaki çözüm kümeleini bulunuz. a. sinx k. sin x + v sinx.cosx = l. cos x + 6sinx.cosx + 4sin x = 0 b. cosx m. sin x + sinx cos x = c. v sinx < 0

94 Tigonometi d. cosx Aadaki fonksiyonlan en büyük ve en küçük deeleini bulunuz. a. f(x) = v sinx cosx e. cosbx + l> 0 4 b. f(x) = sinx 4cosx f. sinx c. f(x) = sinx + 4cosx 9. Aadaki eitsizliklein çözüm kümeleini bulunuz. a. sinx < cosx d. f(x) = 5sinx cosx b. sinx.cosx < 4 e. f(x) = sinx + cosx c. cotx < f. f(x, y) = sinx + cosy

95 TEST Aç Ölçü Biimlei. 484 lik aç kaç deece, kaç dakika kaç saniyedi? A) B) 0 4 C) 7 D) 9 E) Biim çembe üzeindeki noktaladan apsisi odinatnn v katna eit olannn apsisi aadakileden hangisi olabili? A) v B) C) D) E). 0 lik aç kaç saniyedi? A) 4650 B) 4650 C) 4750 D) 4750 E) lik açnn adyan cinsinden eiti aadakileden hangisidi? A) 0 4 B) C) 9 9 D) 4 E) 9 9. = ve = 7 8 ise + aadakileden hangisine eitti? A) B) C) D) E) adyanlk açnn deece cinsinden eiti aa- 5 dakileden hangisidi? A) 96 B) 97 C) 98 D) 99 E) = 4 6 ve = 4 6 ise aadakileden hangisidi? A) B) C) D) E) lk açnn esas ölçüsü kaç deecedi? A) B) 8 C) 0 D) 08 E) 7

96 Tigonometi 9. 4 lik açnn esas ölçüsü kaç deecedi? A) 89 B) 9 C) 94 D) 99 E) adyanlk açnn esas ölçüsü kaç adyand? 7 A) 7 B) 7 C) 4 7 D) 5 7 E) 6 7 Yukadaki biim çembede m( a EOD) = 60 ise E noktas aadakileden hangisidi? A) d, n B) d, C) d, n D) d, n n E) d, n 7. adyanlk açnn esas ölçüsü kaç adyand? ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? A) B) C) D) 4 E) 5 A) 0 47 B) 0 48 C) 0 49 D) 49 E) Biim çembe üzeinde adyanlk yayn bitim 6 noktas aadakileden hangisidi? A) d, n B) d, n C) d, n D) d, n 5. Bi ABC üçgeninde m( a A) = a a, m( B) m( C) = ise 5 m( a C) kaç adyand? E) d, n A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0. C. E. A 4. A 5. B 6. E 7. A 8. A 9. D 0. E. E. D. A 4. C 5. D 8

97 TEST Tigonometik Fonksiyonla. Biim çembede açsnn bitim noktas c 4, 5 m ise tan kaçt? sin + cot + tan.cot ifadesinin eiti kaçt? A) 5 B) 4 5 C) 4 D) 4 E) A) B) C) 0 D) E). cos00 + tan40 sin50 + cot50 ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? A) v B) C) 0 D) E) v 6. sin87, tan4, cos6 ve cot78 ifadeleinin iaetlei sasyla aadakileden hangisidi? A) + + B) + C) + D) + + E) + +. cos + sec sinc m tan( ) ifadesinin eiti kaçt? A) B) C) D) 0 E) 7. A = cosx siny + 4 olduuna göe, A geçel says hangi aalkta dee al? A) [5, 9] B) [, 5] C) [, 5] D) [, 9] E) [, 9] 4. tan0.sin00 ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? A) B) C) D) E) sin x f(x) = fonksiyonunun en büyük ve en küçük deelei toplam kaçt? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 9

98 Tigonometi 9. 0 x 4 olmak üzee, tanx ifadesi hangi aalkta dee al?. tan.tan.tan...tan89 ifadesinin eiti kaçt? A) 89 B) 45 C) D) 0 E) A) [, ] B) [0, ) C) ;, E D) (, 0) E) [0, ] 4. a = cos x ve b = + sinx olduuna göe, a ile b aasndaki bant aa- dakileden hangisidi? 0. A(sin0, cos0 ) ve B(sin50, cos70 ) noktala aasndaki uzaklk kaç biimdi? A) a = b B) a + = b C) a = (b + ) D) a = b E) a = (b ) A) 4 B) C) D) v E). a = cos, b = sin.cos ve c = sin.sin olduuna göe, a + b + c ifadesinin eiti aa- dakileden hangisidi? 5. x = tan ve y = 4cot + olduuna göe, y nin x cinsinden deei aadakileden hangisidi? A) x + 0 x + D) x 8 x + 8 B) x + x + 8 E) x + C) 8 x. A) B) C) sin D) cos E) sin cos x sin x = cos x+ sin x olduuna göe, tanx kaçt? 6. < a < < i < olmak üzee aadakileden kaç tanesi doudu? I. sin + tan > 0 II. cos + sin < 0 III. sin.tan > 0 IV. tan.cot < 0 V. tan cot < 0 A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 A) B) C) D) 4 E) 5. D. C. A 4. B 5. E 6. B 7. E 8. C 9. C 0. C. B. A. C 4. E 5. A 6. E 0

99 TEST 5 Tigonometik Fonksiyonla. cosbx + l sin ifadesini en küçük yapan x deeleinden bii aadakileden hangisidi? A) B) C) D) E) f b + x l = cotx tanx olduuna göe, f(x) aadakileden hangisidi? A) tanx cotx B) cotx tanx C) cotx cotx D) tanx tanx E) tanx + tanx 6. b, l olmak üzee. sin 56 + sin 4 + cos 70 tan 56. tan 4 + sin 0 ileminin sonucu kaçt? A) cos70 B) cos0 C) sin70 D) cos70 E) sin a cos a = ise cos kaçt? sin a+ cos a A) 0 0 D) 0 5 B) 5 0 E) 0 0 C) 4 0. ^ + tan xh. c sec m x ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? A) cot x B) cotx C) D) tan x E) tanx 7. x b, l ve sinx = ise tanx.cosx kaçt? A) B) C) D) E) 4. 4sin(x + ) + cos(x ) = 0 olduuna göe, tanx nedi? A) 4 B) C) D) E) tan 40 cot 40 ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? A) tan40 B) cot40 C) D) E) 5

100 Tigonometi 9. sinx.cosx = 4 olduuna göe, sinx + cosx ifadesinin pozitif de- ei nedi? A) 6 B) 5 C) D) E). a = sin80, b = tan70, c = cot90 ve d = cos50 ise aadaki salamaladan hangisi doudu? A) a < b < c < d B) a < d < c < b C) a < b < d < c D) a < d < b < c E) d < a < b < c 0. x b0, l olmak üzee, x y = ve cosx = cot(x y) nedi? A) B) olduuna göe, C) 4. cos06 = a olduuna göe, tan44.cos6 ifadesinin eiti nedi? A) a B) C) 0 D) E) a D) E) cos x. x + y = ise cos y + ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? A) B) C) 0 D) E) 5. Aadakileden hangisi cos c m ifadesine eitti? A) sinx B) sin(x + ) C) cosx D) cos( x) E) cosb xl. sin( x ) + sin( x+ 5) cos( x+ 4) cos( x+ 5) ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? A) tanx B) cotx C) tanx D) sinx E) cotx 6. a = sin40, b = sin60, c = tan55 ise aadaki salamaladan hangisi doudu? A) a < b < c B) c < a < b C) b < c < a D) a < c < b E) b < a < c. B. A. D 4. B 5. D 6. A 7. A 8. D 9. A 0. A. B. C. D 4. A 5. B 6. E 6

101 TEST 6 Peiyot ve Gafik. f(x) = cos ( x) fonksiyonunun esas peiyodu aadakileden hangisidi? A) 4 B) C) D) E) 5. f(x) fonksiyonunun peiyodu 6 ise 4x fc m fonksiyonunun peiyodu kaçt? 6 A) B) 6 C) 8 D) 9 E) 0 x. f(x) = sin c m fonksiyonunun esas peiyodu aadakileden hangisidi? 6. f(x) fonksiyonunun peiyodu, g(x) fonksiyonunun peiyodu 4 olmak üzee, f() = 4 ve g() = ise f() + g(9) kaçt? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 A) B) C) D) E) 6 7. f:[, ] R, f(x) = cosx fonksiyonunun gafii aadakileden hangisidi?. f(x) = tan( x) + fonksiyonunun esas peiyodu aadakileden hangisidi? A) 4 B) C) D) E) 4. f(x) = sin5x sinx fonksiyonunun esas peiyodu kaç adyand? A) B) C) D) 4 E) 5 7

102 Tigonometi 8. f:[0, ] R, f(x) = sinx fonksiyonunun gafii aadakileden hangisidi? 0. Yukadaki gafik aadaki fonksiyonladan hangisine ait olabili? A) y = sinx B) y = sinx C) y = sinx D) y = + sinx E) y = + sinx. 9. Yukadaki gafik aadaki fonksiyonladan hangisine ait olabili? Yukadaki gafik aadaki fonksiyonladan hangisine ait olabili? A) y = + cosx B) y = + cosx C) y = cosx D) y = cosx E) y = + cosx A) y = cosx B) y = cosx + C) y = + cosx D) y = cosx E) y = + cosx. B. E. C 4. B 5. D 6. C 7. B 8. C 9. E 0. E. D 8

103 TEST 7 Üçgende Tigonometik Bantla. 5. ABC üçgeninde AC = 5 cm, AB = 7 cm BC = 8 cm ise m( a C) kaç deecedi? A) 0 B) 45 C) 60 D) 75 E) 50 ABC üçgeninde [DE] [BC], AD = cm BE = cm, DB = cm, EC = 4 cm ise AC = x kaç cm di? A) v5 B) v6 C) v5 D) v5 E) v6. Bi ABC üçgeninde, a = 7 cm, b = 5 cm ve c = cm ise sin( a B + a C) kaçt? A) B) C) D) 5 E) ABC üçgeninde AB = 7 cm, BD = cm AD = 5 cm, DC = 4 cm ise AC = x kaç cm di? A) v5 B) c C) c D) v6 E) 5 ekilde, [AE] [BD] = {C}, AC = 5 cm CE = 5 cm, BC = 6 cm, CD = cm AB = 7 cm ise DE = x kaç cm di? A) B) 4 C) 5 D) v5 E) 4v Kena uzunlukla a, b, c olan ABC üçgeninde, a = b + c + vbc bants salanyosa, m( a A) kaç deecedi? A) 0 B) 60 C) 0 D) 5 E) 50 ABCD kiile dötgeninde, AB = cm AD = 4 cm, m( BCD) a = 60 ise BD = x kaç cm di? A) v7 B) c0 C) v7 D) 4v5 E) c0 9

104 Tigonometi 8.. ABC üçgeninde m( BAC) a =, m( ABC) a = BC = 4 cm ise AC = x kaç cm di? A) tan B) tan C) 4tan D) 4cot E) cot ekilde AE = cm, EB = cm, BC = 4 cm A(BDE) = A(ABC) ise CD = x kaç cm di? A) 0 B) 6 C) 7 D) 5 E) ABC üçgeninde AB = 5 cm, BC = 4 cm m( BAC) a = ise cos nedi? A) 7 D) 5 7 B) 6 7 E) 6 7 C) 0 7 ABC üçgeninde AB = cm, AC = 6 cm ise A(ABC) en çok kaç cm di? A) 8 B) 9 C) 0 D) E) 0.. ABCD kiile dötgeninde, m( DAC) a = 45 m( CAB) a = 60 ve BC = 6 cm ise CD = x kaç cm di? A) 6v B) 4v C) 4v D) v6 E) v6 ABC üçgeninde AB = cm, AC = cm m( BAD) a = 0, BD = DC ve m( DAC) a = x ise sinx nedi? A) B) C) D) E) 4 5. C. C. C 4. E 5. C 6. B 7. C 8. C 9. A 0. D. A. B. C 40

105 TEST 9 Toplam Fak ve Yam Aç Fomüllei. cos75 nin eiti aadakileden hangisidi? 5. x, y R + ve x + y = 4 olduuna göe A) + D) B) E) C) ( + tanx) ( + tany) ifadesinin eiti nedi? A) B) C) D) E) 5. Aadakileden kaç tanesi yanlt? I. sin0.cos0 + cos0.sin0 = II. sin0.sin0 cos0.cos0 = 6. cos0 sin 0 III. cos50.cos40 + sin50.sin40 = 0 ileminin sonucu aadakileden hangisidi? tan 70 tan 0 IV. = + tan 70. cot 80 V. cos 5 sin 5 = A) B) C) D) 4 E) 5 A) sin0 B) sin0 C) D) 4 E) 4 7. a + b + c = olduuna göe,. 0 < x < < y < olmak üzee tanx = ve tany = ise sin(x + y) kaçt? cosa.cosb sina.sinb + cosc ifadesinin eiti kaçt? A) B) C) 0 D) E) A) B) C) D) E) Bi ABC üçgeninde sina = ve cosc = 4 5 olduuna göe, sinb kaçt? A) 6 B) 6 C) 6 D) 64 E) sin x cos x 8. sin x cos x ifadesinin eiti kaçt? A) B) C) 0 D) E) 4

106 Tigonometi 9.. cos5 = a + olduuna göe, sin0 nin a cinsinden deei nedi? A) a B) a C) a D) a + E) a ABC üçgeninde AC = AD = DE = EB [CA] [AB], m( AEC) a =, m( ABC) a = ise + kaç deecedi? A) 0 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90. sin a.cos a + cos a.sin a = k olduuna göe, cosa nn k cinsinden deei nedi? A) k B) + k C) 4k 0. D) k E) k ABCD dikdötgeninde AE = EC, m( a ACE) = x EB = cm, AD = 4 cm ise tanx kaçt? A) B) C) D) 4 E) x b0, l olmak üzee, 4 tanx = ise sinx kaçt? A) 5 B) 5 C) 5 D) 5 E) sin x sin x cos x ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? 5. tan x tan x + ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? A) cot x B) cot x C) tan x A) cosx B) cosx C) sinx D) tan x E) tan x D) sinx E) sinx. E. B. C 4. C 5. D 6. D 7. C 8. E 9. B 0. A. E. C. C 4. C 5. B 44

107 TEST Dönüüm ve Tes Dönüüm Fomüllei. sin 5 sin 5 cos 5 + cos 5 ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? 5. sin( a+ b) + sin( a b) cos( a+ b) + cos( a b) ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? A) cot5 B) tan5 C) cot5 D) tan5 E) sin5 A) cota B) tana C) sina D) cotb E) tanb. sin 0 + sin 40 + sin 70 cos 0 + cos 40 + cos 70 ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? A) cot40 B) sin40 C) tan40 D) tan80 E) cot80 6. x + y = ise aadakileden hangisidi? cos x cos y ifadesinin eiti sin y sin x A) v B) v C) D) v E) v. cos x+ cos x+ cos 5x+ cos 7x sin x+ sin x+ sin 5x+ sin 7x ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? cos 5x. cos 9x 7. x = ise cos 8x cos 4x aadakileden hangisidi? ifadesinin eiti A) tanx B) cotx C) tan4x D) sin4x E) cot4x A) B) C) D) E) 4. cos 6 + sin 6 sin 9 ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? A) vcot9 B) cot9 C) vcos9 D) vsin9 E) vsin9 8. sin8 + cos68 cos8 ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? A) B) C) 0 D) E) 49

108 Tigonometi 9. sin7 cos79 cos4 ifadesinin eiti aadakileden hangisidi?. cos0.cos50.cos70 ileminin sonucu aadakileden hangisidi? A) B) C) 0 D) E) A) 6 B) 8 C) 8 D) 8 E) 6 0. sin(a + b) + sin(a b) = cosb olduuna göe, sina ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? 4. sin x sin x+ sin x sin x+ sin x+ sin x ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? A) B) C) D) 4 E) 6 A) tan x B) tan x C) cot x D) tan x E) cot x cosec 0. cos0 ileminin sonucu aadakileden hangisidi? A) B) C) 0 D) E) 5. sin x sin x ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? A) sin5x.cosx B) sin5x.sinx C) cos5x.cosx D) cos5x.sinx E) sin5x.sinx. 4sin 0. cos 40 sin 0 ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? A) B) C) 0 D) E) 6. + cos 5 sin 5 toplamnn sonucu aadakileden hangisidi? A) v6 B) v6 C) v6 + D) v6 E) v +. D. C. E 4. A 5. B 6. E 7. C 8. C 9. C 0. B. B. E. C 4. B 5. B 6. B 50

109 TEST Tes Tigonometik Fonksiyonla. actan = x ise sinx.cosx kaçt? A) B) C) D) E) sin(accot) ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? A) B) C) 4 D) 5 E) acsind n + actan(v) ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? 4 6. tancacsin + ac cot m 5 ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? A) B) C) D) E) A) 6 B) C) 5 D) 9 E) 4. cotcacsin m 5 ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? A) B) C) 4 D) 5 E) sinc acsin + m 5 ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? A) 7 B) 8 C) 9 D) E) x 4. f(x) = acsinc m fonksiyonunun en geni tanm kümesi aadakileden hangisidi? A) ;, E B) [, ] C) ;, E D) [, ] E) ;, E 8. accosc m + accosc m ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? A) 4 B) C) 4 D) E) 5 5

110 Tigonometi 9. coscacsin m + sincactan m 5 4 ifadesinin eiti kaçt? A) B) 4 C) 6 D) 7 E) accos(cos4x) + sin(acsinx) ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? A) x B) x C) 4x D) 5x E) 6x 0. f(x) = accos(x + ) fonksiyonunun göüntü kümesi aadakileden hangisidi? A) :, 4 0 D B) :, 0 D C) :, D D) :, D E) : 0, D accosbsin l 0 ifadesinin eiti aadakileden hangisi olabili? A) B) C) 4 D) 5 E) f(x) = acsin x 4 ve g(x) = actan x olduuna göe, (fog ) b l kaçt? 4 A) B) C) D) E) actan(x + ) = 0 olduuna göe, acsinx nedi? A) B) C) D) E) sinc actan m 4 ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? A) B) C) D) E) tan c + accos m 4 5 ifadesinin eiti aadakileden hangisidi? A) 7 B) 6 C) 5 D) 5 E) 7. C. A. C 4. C 5. C 6. B 7. A 8. B 9. D 0. C. B. A. E 4. A 5. A 6. A 5

111 TEST 4 Tigonometik Denklemle ve Eitsizlikle. f(x) = 4sinx cosx ifadesinin en küçük deei kaçt? A) 6 B) 5 C) 4 D) E) 5. sinx + cosx = v denkleminin [0, ] aalndaki çözüm kümesi aadakileden hangisidi? A) &, 0 B) &, 0 C) & D) ', E) ', f(x) = sinx v7cosx ifadesinin en büyük deei kaçt? A) B) C) D) 4 E) 5 6. cosx + sinx = 0 denkleminin [0, ] aalndaki çözüm kümesi aadakileden hangisidi? A), 7 ' B), ' C), 7 ', D), ' E), 7, ' 6. cosx cosx + = 0 denkleminin (0, ) aalndaki çözüm kümesi aadakileden hangisidi? A) ', B) ', C) ', 4 5 D) ', E) ', 7. cosx cos x + = 0 denkleminin çözüm kümesi aadakileden hangisidi? A) {x : x = k., k Z} B) {x : x = k., k Z} C) {x : x = k. x = k., k Z} D) {x : x = k. 6 x = k., k Z} E) {x : x = k. x = k., k Z} 4. tanx.tanx = denkleminin (0, ) aalnda kaç kökü vad? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 8. cosx + sin x = denkleminin [0, ] aalndaki çözüm kümesi kaç elemanld? A) 0 B) C) D) E) 4 5

112 Tigonometi 9. vcosx + sinx = denkleminin çözüm kümesi aadakileden hangisidi? A) {x : x = + k., k Z}. 4cosx + sinx = 5 olduuna göe, sinx aadakileden hangisine eitti? A) B) C) 4 D) E) B) {x : x = 6 + k., k Z} C) {x : x = + k. x = 6 + k., k Z} D) {x : x = + k. x = + k., k Z} 4 E) {x : x = 4 + k. x = + k., k Z} 4. cos x + sinx + = 0 denkleminin [0, ] aalnda kaç fakl kökü vad? A) 0 B) C) D) E) 4 0. sinx + sinx + sinx = 0 denkleminin [0, ] aalndaki çözüm kümesi kaç elemanld? A) B) C) D) 4 E) 5 5. sinx 0 eitsizliinin [0, ] aalndaki çözüm kümesi aadakileden hangisidi?. 4sin x 5 = cosx cos x denkleminin [0, ] aalndaki çözüm kümesi aadakileden hangisidi? A) ' B) {} C) ', 5 5 D) ', E) ',, A) ;, E B) ;, E C) :, D D) ;, E E) ;, E 6 6. x + y [0, ] olmak üzee, cos(x 0 ) + cos(y + 5 ) = 0 ise x + y kaç adyand? A) 5 B) C) 6 4 D) E) 7 6. x [0, ) olmak üzee, cosx + < 0 eitsizliinin çözüm aal aadakileden hangisidi? A) c, m B) c, m C) c, m D) c, m E) c, 4 m. B. D. D 4. C 5. C 6. C 7. E 8. A 9. C 0. D. C. A. B 4. B 5. B 6. E 54

113 TEST 8. cosec x cot x ifadesinin en sade biçimi aadakileden hangisidi? A) B) sinx C) cosx D) secx E) tanx 5. sin7.tan6 + cos7 ifadesinin sonucu aadakileden hangisidi? A) B) sin8 C) cos8 D) tan8 E) tan7. cos + cos + cos cos79 toplamnn deei kaçt? 6. x = olmak üzee, 7 cos 4x+ cos 6x ifadesinin sonucu kaçt? cos x+ cos x A) B) C) 0 D) E) A) B) C) 0 D) E). acsin + acsinc m toplam kaç adyand? A) B) C) 4 D) E) Bi ABC üçgeninin açla aasnda cos X B + sin Y C = sin Y A ve kenala aasnda b = (a c) + ac bants vasa m( Y C ) kaç deecedi? A) 0 B) 45 C) 60 D) 90 E) 0 4. cos 5 + sin 5 ifadesinin sonucu kaçt? A) + D) B) E) 4 C) 4 8. a = cos4, b = sin6, c = cot44 olduuna göe a, b ve c nin salan aadakileden hangisidi? A) b < c < a B) b < a < c C) a < b < c D) a < c < b E) c < a < b 6

114 Tigonometi 9. AB = 6 cm AD = 8 cm BC = CD = 4 cm D 8 4 x C A 4 6 B ekildeki ABCD kiile dötgeninin köegeni olan AC = x kaç cm di? A) 7 B) 5 C) 8 D) 6 E) 5. x [0, 60 ) olmak üzee, sinx + cosx = 0 denkleminin çözüm kümesi aadakileden hangisidi? A) {45, 5, 5, 5 } B) {0, 75, 5, 5 } C) {45, 75, 65, 5 } D) {0, 65, 5, 45 } E) {45, 65, 5, 45 } 0. E A D H % Yukadaki küpte m(ahb ) = ise sin kaçt? A) D) 6 B) B E) F 6 G C C). + = olmak üzee, aadakileden kaç tanesi yanlt? I. sin = cos II. tan( ) = cot III. cos + cos = IV. cot c + am = tan V. cos b al = sin A) B) C) D) 4 E) 5. Bi ABC üçgeninde, AC = 6 cm ve sin Y A =.sin X B.cos Y C olduuna göe, AB kaç cm di? A) 6 B) 8 C) 4 D) 6 E) 4. Üst tabannn mekezi O O olan yandaki dik silindiin yaçap cm yükseklii cm ve AB = cm ise % cos( AOB ) kaçt? 7 A) 0 B) 5 4 C) 4 5. cos x sin x = 0 D) 0 7 A E) 0 denkleminin [0, ] aalnda kaç fakl kökü vad? A) B) C) D) 4 E) 5 B.A.C.B 4.D 5.A 6.E 7.A 8.B 9.C 0.B.C.E.D 4.A 5.C 6

115 ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI. 987 ÖYS m( a BAD) = AB = a CD = c a > c Yukadaki ekilde ABCD bi ikizkena teetle yamuudu. Buna göe cos nn deei nedi? A) a c a+ c a D) a + c B) a c a+ c c E) a + c C) a c a+ c ÖSS m( EBB a ) = A E = ED Yukadaki ekilde ABCDA B C D bi küp olduuna göe, tan nn deei nedi? A) v5 B) v5 C) D) 5 E) ÖYS. 987 ÖYS m( a CKA) = 90 m( a DHA) = 90 DH = HK m( a DAH) = Yukadaki ekilde ABCD bi kae olduuna göe tan nn deei kaçt? A) B) C) D) E) 4 O ve O çembe- lein mekezlei, % mao ( B) = % mao ( B) = ekildeki A ve B noktalanda kesien çembelein yaçaplann AO AO oan aadakileden hangisidi? A) sin b sin a cot a D) cot b cos b B) cos a E) cos a cos b C) tan a tan b. 987 ÖYS sinx = cos5 denkleminin [0, 90 ] aalndaki kökü kaç deecedi? A) 70 B) 65 C) 7,5 D) 7,5 E) 7, ÖYS ABCD bi dikdötgen E noktas [CD] üzeinde AB = 5 biim AD = 6 biim m( a DAE) = m( a CEB) = Yukadaki veilee göe tan nn deeleinden bii nedi? A) B) C) D) E)

116 Tigonometi ÖYS A ve C noktala çembelein mekezi, EF otak teet, AC mekezle dousu, D noktas EF ile AC doulann kesim noktas, çembele B noktasnda bibiine teet, EA = biim, FC = 8 biim Yukadaki ekilde m( EDA) a = olduuna göe tan nn deei nedi? A) 5 B) 4 C) D) E) ÖYS cos6 = olduuna göe, cos7 kaçt? A) 5 4 D). 989 ÖYS B) c = cos, s = sin + 4 E) olduuna göe c 6 + c s + s 6 ifadesinin ksaltlm aadakileden hangisidi? C) 5 A) sin B) C) sin.cos D) E) cos ÖYS cos x+ cos 6x+ cos x sin x+ sin 6x+ sin x ifadesinin ksaltlm biçimi aadakileden hangisidi? A) cot6x B) cot8x C) cotx + cot6x + cotx D) E) ÖYS sin95, cos90, tan0 nin iaetlei aadakileden hangisinde dou olaak veilmiti?. 989 ÖYS E, [CD] üzeinde ABCD bi dikdötgen AB = BC DE = EC m( a EAC) = Yukada veilen bilgilee göe tan nn deei kaçt? A) B) C) D) E) 4 sin95 cos90 tan0 A) + B) + C) + + D) + + E) ÖYS + = 8 cosx sinx denkleminin da aç olan çözümü nedi? A) B) C) D) E)

117 Tigonometi ÖYS sin x cos x + = sin x cos x olduuna göe, cos x aadakileden hangisine eitti? A) 5 B) C) D) E) ÖYS 4 = cos x + cos x denklemini salayan x da açs kaç deecedi? A) 5 B) 0 C) 45 D) 60 E) ÖYS ABC bi üçgen D, [BC] üzeinde BD = DC AB = biim AC = v biim m( BAD) a = 45 m( DAC) a = Yukadaki veilenlee göe, sin nn deei kaçt? A) B) C) D) E) ÖYS ekildeki dönel koni- nin tepesi T, taban mekezi O, yükseklii cm, taban yaçap 4 cm di. Çembe üzeindeki A ve B noktala O ve T ye biletiilmiti. m( a AOB) = 60, m( a ATB) = olduuna göe cos nn deei kaçt? A) 7 B) 9 C) D) E) ÖYS + = 6 cos x sin x denklemini salayan da aç ( x ) aadakileden hangisidi? ÖYS yaçapl bi çembe içine bi kena uzunluu olan bi düzgün çokgen çizilmiti. Buna göe düzgün çokgenin kena says kaçt? A) 0 B) 8 C) 5 D) E) A) 5 B) 0 C) 0 D) 5 E) ÖYS 4 = cos x sin x olduuna göe, cosx in pozitif deei kaçt?. 994 ÖYS cosx sinx = olduuna göe, cosx in deei aadakileden hangisidi? A) B) C) D) 4 E) A) 7 B) C) D) E) 65

118 Tigonometi. 995 ÖYS coscac cot m deei kaçt? A) B) C) D) E) ÖYS 0 < < 90 ve sin 5 cos 7 + cos 5 sin 7 = sin 4cos 84 cos 6 olduuna göe kaç deecedi? A) B) 5 C) 8 D) 0 E) ÖYS 0 x olmak üzee sin x cot x + = olduuna göe x açs aa- + cos x dakileden hangisidi? A) B) C) D) E) ÖYS A ve B çembe üzeinde, A Ox ekseni [BD] [OA] ÖYS ekildeki O mekezli biim çembede cos = AB olduuna göe, AB kaç biimdi? A) v + B) v + C) v D) v E) v ABCDEFGH bi biim küp olduuna göe, [DF] ve [DA] aasndaki açnn cosinüsü kaçt? A) B) C) D) E) ÖYS 66 sin A+ sin 4A cos A+ cos 4A ifadesi aadakileden hangisine eitti? A) sina B) tga C) tga D) cotga E) cosa ÖYS ABC bi ikizkena üçgen AB = AC m( a ABC) = m( a BAC) = Yukadaki ekilde tan = olduuna göe, tan nn deei kaçt? A) B) C) D) E)

119 Tigonometi ÖYS < x < olmak üzee, cosx tan.sinx = dakileden hangisidi? denkleminin kökü aa ÖSS A) B) 9 C) 8 D) 7 E) ekildeki O mekezli biim çembe üzeindeki P ve P noktala Ox eksenine göe bibiinin simetiidi. Buna göe, P noktas aadakileden hangisiyle ifade edilemez? A) (cos( ), sin( )) ÖYS BKA dötte bi çembe yay B) (cos( ), sin) C) (cos, sin) D) (cos, sin( )) E) (cos( ), sin) OA = OB = 5 m m( AOK) a = ekildeki O mekezli, 5 m yaçapl dötte bi çembe biçimindeki havuzun A noktasndan haeket eden ve saniyede 0, m hzla yüzen bi kii, ANK yolunu izleyeek t zamanda K noktasna geliyo. m( AOK) a = olduuna göe, t nin tüünden deei aadakileden hangisidi?. 006 ÖSS sin a ifadesinin sadeletiilmi biçimi aa- cos a dakileden hangisidi? A) sina B) cosa C) tana D) cota E) sina + cosa A) 50.sin B) 50.sin C) 00.sin. 998 ÖYS D) 00.sin i E) 50.sin i sin x + 0cosx 0 = 0 5 denkleminin ;, E aalndaki kökü aadakileden hangisidi? A) 7 6 B) 4 C) D) E) ÖSS AL KL BA // KL AL = km BA = km KL = km K noktasndaki kontol kulesinde bulunan bi göevli, yeden km yükseklikte yee paalel uçan bi uçan, A noktasndan B noktasna kada km lik haeketini adala izliyo. A noktasnn yedeki dik izdüümü L noktas ve KL = km olduuna göe, adan taad AKB açsnn tanjant kaçt? A) B) 4 C) D) E)

120 Tigonometi ÖSS sin 0 cos 40 + cos 0 sin 40 cos 50 cos 0 + sin 50 sin 0 ileminin sonucu kaçt? ÖSS cosb + xl= sinb xl olduuna göe, tanx kaçt? A) v B) v C) D) E) A) B) C) D) v E) v ÖSS cos a tana ifadesinin sadeletiilmi biçimi aadakileden hangisidi? A) sin a B) cos a C) cot a D) + sin a E) + tan a ÖSS bsin + cos l ifadesinin deei kaçt? ÖSS DC = AC 4 m( DBC) a = x A D x B C ekildeki ABC üçgeni bi ekena üçgen olduuna göe, tanx kaçt? A) B) C) D) E) A) B) C) 5 D) + v E) +v ÖSS O noktas yam A ÖSS sin x = a olduuna göe, (sin x + cos x) ifadesinin a tüünden deei aadakileden hangisidi? A) a + B) a + C) a + D) a + E) a + çembein mekezi AB = cm AC = cm m( AOC) a = x x B O Yukadaki veilee göe, sinx kaçt? A) B) C) D) 4 E) C 68

121 Tigonometi LYS sinx 4cosx = 0 olduuna göe, cosx deei kaçt? A) 4 B) 5 C) 5 4 D) 5 7 E) LYS f(x) = acsin b x + l fonksiyonunun tes fonksiyonu olan f (x) aadakileden hangisidi? A) sin(x) 6 B) sin(x) + C) sin(x) 6 D) sin(x 6) E) sin(x) LYS ( sin x cos x) + sin x cos x ifadesi aadakileden hangisine eitti? A) cos x B) sin x C) LYS 0 < x < olmak üzee, D) acsinx E) accosx cotx tanx = sin x olduuna göe, sin x kaçt? LYS A) 9 B) 8 C) 7 D) 5 E) 4 tan 60 sin 0 cos 0 ifadesi aadakileden hangisine eitti? A) 4 B) C) D) E) LYS A B LYS + cos 40 cos 55. cos 5 ifadesi aadakileden hangisine eitti? C Biim kaele üzeine çizilmi yukadaki ABC üçgeninin B açsnn tanjant kaçt? A) cos0 B) cos0 C) 4cos0 D) cos40 A) 5 4 B) 5 4 C) 9 40 D) 4 E) 5 E) cos40 69

122 Tigonometi LYS cosx = 54 olduuna göe, cosx kaçt? 5. 0 LYS cosx.cosx = 6.sin x A) 5 B) 5 C) 4 D) 5 E) 5 7 olduuna göe, sin4x kaçt? A) B) C) D) 4 E) LYS cos 5 + cos 0 sin 50 ifadesinin deei kaçt? A) B) C) D) + E) LYS x ( sin a) x ( cos a) = 0 4 denkleminin bi kökü tü. Buna göe, sin a kaçt? A) B) C) 6 D) E) 5. 0 LYS ABCD bi kae BE = 5 cm EC = 7 cm D C 7 E % m(eac ) = x x 5 Yukadaki veilee göe, tan x kaçt? A) B) C) D) 7 A B E)

123 ESEN ÜÇRENK MATEMATİK ve GEOMETRİ KİTAPLARIMIZ ESEN ÜÇRENK

124 MATEMATİK ve GEOMETRİ KİTAPLARIMIZ 9. SINIF 0. SINIF. SINIF. SINIF YGS - LYS &