LĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7

Transkript

1 YILLAR ÖSS ÖYS LĐMĐT Tanım : Bir x0 A = [ a,b ] alalım, f: A R ye veya f: A - { x 0 } R ye bir fonksiyon olsun. Terimleri A - { x 0 } kümesine ait ve x 0 'a yakınsayan her ( x n ) dizisi için (f ( x n )) fonksiyon değerleri dizisi daima sonlu bir L R sayısına yakınsıyorsa bu L sayısına f fonksiyonunun x 0 noktasındaki limiti denir ve şeklinde gösterilir. Tanımdan da görüldüğü gibi limit noktasının fonksiyonunun tanım cümlesine ait olma zorunluluğu yoktur yani x 0 noktasında fonksiyon tanımsız olsa bile bu noktada limiti olabilir. SONUÇ 1: Bir f(x) fonksiyonunun herhangi bir noktada limitinin olması için o nokta da tanımlı olmak zorunda değildir. SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT * x değişkeni bir c noktasına azalan değerlerle (yani sağdan) yaklaştığı zaman bir limiti mevcutsa bu limite fonksiyonun x = c noktasındaki sağdan limiti denir ve şeklinde gösterilir. Yandaki şekilde x = 2 için fonksiyon tanımsız olmasına rağmen aynı noktada fonksiyonun limiti var ve 1 dir. * x değişkeninin c noktasına artan değerlerle (yani soldan) yaklaştığı zaman bir limiti mevcutsa bu limite fonksiyonun x = c noktasındaki soldan limiti denir ve şeklinde gösterilir. ÖRNEK 1: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7 ÖRNEK 2: SONUÇ 2: Bir f(x) fonksiyonunun limitinin olabilmesi için sağdan ve soldan limitlerinin birbirine eşit olması gerekir. ÇÖZÜM Burada x = 3 için f(x) tanımsızdır. Yani x = 3 için kesrin pay ve paydası sıfır olur ve sıfır ile bölme tanımlanamaz,, bu tanımsızlığı ortadan kaldırdıktan sonra limite geçilir. Yani x * 3, x-3 * 0 olduğundan pay ve paydadaki x - 3 'leri sadeleştirelim.

2 f(x) fonksiyonunun x = c noktasında limiti yoktur denir. Ayrıca x = b noktasındaki sol limit fonksiyonun o noktasındaki limitidir. x = b' nin sağ tarafında fonksiyon tanımsız olduğundan o noktada sağ limite bakılmaz. O halde ÖRNEK 3: ( - 3,4 ] aralığında grafiği yukarıda verilen f(x) fonksiyonunun kaç tam sayıda limiti vardır. * x = -3 de sadece sağdan limit; x = 4 noktasında da sadece soldan limitler vardır. Sonuç 3 gereğince f(x) 'in.bu noktalarda limiti vardır. * Ayrıca x 'in -2, 1,3 noktalarında da sağdan ve soldan limitler eşit olduğundan limitleri vardır. *x = -1,x = 0vex = 2 noktalarında sağdan ve soldan limitleri farklı olduğundan bu noktalarda f(x) in limiti yoktur. O halde f (x) in -3, -2, 1, 3, 4 noktalarında yani 5 tane tamsayıda limiti vardır. ÖZEL TANIMLI FONKSĐYONLARDA LĐMĐT (SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT) SONUÇ 3: Bir f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında tanımlanmış olsun f(x) fonksiyonunun x = a noktasındaki sağ limiti fonksiyonun O noktadaki limitidir. x = a noktasının sol tarafında fonksiyon tanımsız olduğundan sol limite bakmaya gerek yoktur. Sağdan ve soldan limitler her yerde sûre-a mayan aşağıdaki dört çeşit özel tanımlı fonksiyonlarda uygulanır. 1) Parçalı sürekli fonksiyonlarda 2) Mutlakdeğer fonksiyonlarında Bu fonksiyonların dışındaki sürekli fonksiyonlarda sağdan ve soldan limitler birbirine eşit olduğundan doğrudan limit alınır. Şimdi yukarıdaki özel tanımlı fonksiyonların limitlerini inceleyelim.

3 1. PARÇALI SÜREKLĐ FONKSĐYONLARDA LĐMĐT ÖRNEK 4: f :R->R UYARI: x 'in 3 den farklı bütün değerleri için, f(x) = 2x - 1 olduğuna ve limitlerinin bulunduğuna dikkat ediniz. Yukarıdaki fonksiyonun tanımından da görüldüğü gibi 3'ün sağında ve solunda fonksiyon değişik değerler almıştır. Biz de bu kritik noktada limitini araştrılalım. ÖRNEK 7: f : [ - 1, 4 ] -» R fonksiyonunun x = 2 noktasında limiti nedir? * * ÖRNEK 5: dir f :R->R fonksiyonunun x = 0 noktasında limiti kaçtır? 2. MUTLAKDEĞER FONKSĐYONLARINDA LĐMĐT * ÖRNEK 8: fonksiyonu verilsin. olduğundan x = 0 noktasında f(x) in limiti yoktur. Bunu fonksiyonun grafiğini çizerek de görebiliriz. * * Yukarıdakilerden ve f(x) grafiğinden de görüldüğü gibi ÖRNEK 6: f : R - > R 'in limiti yoktur fonksiyonunun x = 3 ve x = 4 noktalarında varsa limitleri kaçtır?

4 ÖRNEK 9: f : R - { 3 } - > R, veriliyor. x = 3 noktasında f(x) 'in sağdan ve soldan limitlerini bulunuz. SÜREKLĐ FONKSĐYONLARDA LĐMĐT LĐMĐTĐN ÖZELLĐKLERĐ (Limit Teoremleri) f: A -> R, g : A -> R tanımlı iki fonksiyon ve 1. i) Sabit bir sayının limiti o sabit sayıya eşittir. ii) Sabit terim limitin dışına alınabilir. iii) iv) ÖRNEK 10: f : R - { 1 }->R fonksiyonunun x = 1 noktasında sağdan ve soldan limitini bulunuz, v) 2. Toplamın litimi, limitlerin toplamlarına eşittir. ÖRNEK 12: = c 3-2. c bulunur. ÖRNEK 11: f : R -» R, f(x) = X 2-4 fonksiyonunun x = 2 noktasında sağdan ve soldan limitini bulunuz? Bu noktada f(x) 'in limiti var mıdır? 3. Çarpımın limiti, limitlerin çarpımına eşittir. ÖRNEK 13: 4. Bölümün limiti, pay ve paydanın limitlerinin bölümüne eşittir. Yani x = 2 noktasında f(x)'in limiti vardır ve sıfırdır.

5 UYARI: Yukarıdaki özellikte de görüldüğü gibi bütün C reel sayılar üzerinde tanımlanan bir P(x) polinomunun x = a değeri için limitleri ÖRNEK 14: Eğer x = a değerini polinomda yerine koyduğumuzda 0/0 şeklinde bir belirsizlik meydana geliyorsa, sadeleştirme yapılır ve belirsizlik ortadan kalktıktan sonra limiti alınır Gerçekten ÖRNEK 16: c) Eşitliğin sol tarafını daha açık yazacak olursak 7. g (x) fonksiyonu sınırlı ve ise I 8. f, g, t fonksiyonları A kümesinde tanımlı ve V x e A için f(x) < t(x) < g(x) ve ÖRNEK17: UYARI: -ı \ Bu bağıntı bir rasyonel fonksiyonunun m 'inci kökünün x = a için limitinin, rasyonel fonksiyonun m 'inci kökünde x yerine a 'yi koymak suretiyle elde edildiğini gösterir. a) b) c) = = 6-5 = 1 ÖRNEK 15: d)

6 e) f) TRĐGONOMETRĐK FONKSĐYONLARIN LĐMĐTLERĐ 1. g) : 2. Sonuçları BELĐRSĐZ ĐFADELER 3. limiti bulunurken Sonuçları f(x) fonk ÖRNEK 18: a) siyonunda x yerine a'yi yazdığımızda; şeklinde belirsizlikler meydana geliyorsa; bu belirsizliklerin ilk beş tanesini aşağıda vereceğimiz yöntemlerle giderilir ve sonra limit alınır. Bu belirsizliklerin tümü türev konusunda tekrar detaylı bir şekilde incelenecektir. A) 0 / 0 BELĐRSĐZLĐĞĐNĐN GĐDERĐLMESĐ b) c) belirsizliği varsa f(x) ve g(x) fonksiyonları x - a çarpanına sahiptir. d) elde edilir. bundan sonra a 'yi x yerine yazdığımızda 0/0 belirsizliği tekrar oluşuyorsa çarpanlara ayırarak sadeleştirme işlemine devam edilir. e) ÖRNEK 19:

7 limitini hesaplayınız belirsizliği vardır. Önce mutlak değeri tanımlayalım. x -> 4~ iken x - 4 < O olduğundan x - 4 = - x + 4 dür. Buna göre, belirsizlik hali vardır. ÖRNEK 20: ÖRNEK 24: ÖRNEK 21: belirsizlik hali vardır. belirsizliği vardır. ÖRNEK 21: ÖRNEK 25: f(x) = 2x-3 ise belirsizliği vardır. SONSUZ ĐÇĐN LĐMĐT ĐŞLEMĐ ÖRNEK 23:

8 ifadesinin limitini araştırırken önce ÖRNEK 28: p(x) in derecesi belirlenir. i) p(x) in derecesi çift ise ii) p(x) in derecesi tek ise ÖRNEK 29: dir yani sadece en büyük üslü terimin limitini almak yeterlidir. ÖRNEK 26: Benzer şekilde bulunur. B) BELĐRSĐZLĐĞĐN GĐDERĐLMESĐ UYARĐ: ifadesinde Belirsizliklerinden biri varsa, bu limitte ~> / ~ belirsizliği vardır denir. Bu tür belirsizlikleri dizilerde limit konusunda incelemiştik. ÖRNEK 27: Şeklindeki bir limit alınırken aşağıdaki pratik kural test sorularında kullanılabilir. i) p > q ise limit dur. ii) p = q ise limit a /b dir. yani eşit dereceli x 'in önündeki katsayıların oranıdır. iii) p < q ise limit sıfırdır. Yukarıdaki örnek 9, 10, 11 'i inceleyiniz. x->= için ~/~ belirsizliği vardır. ÖRNEK 30: bulunur. x -> ± için / şeklinde bir belirsizlik vardır.

9 ii) Tanjant ve kotanjant ifadeleri varsa yerine sinüs ve kosinüs cinsinden eşitlikleri yazılır. iii) Köklü ifade varsa bunu rasyonel yapacak genişletmeler yapılır. i, ii, iii ifadeleri uygulandığında - belirsizliği 0/0 veya / belirsizliklerinden birine dönüştürülür ve limiti bulunur. Ayrıca x -> + için, x = x x-»- için, x = x Buna göre, dir. ÖRNEK 32: limitini hesaplayınız ÖRNEK 33: ÖRNEK 31: limitinin değeri kaçtır? Sinüs fonksiyonu daima -1 < sin 2x < 1 aralığındadır. Buna göre, eşitsizliğin her üç tarafını 3x ile bölerek yine her üç tarafın limitini alalım. Yani x > 0 için - şeklinde bir belirsizlik vardır. belirsizliğine dönüşmüş olur. eşitsizliğinden dır diyebiliriz C) - BELĐRSĐZLĐĞĐNĐN GĐDERĐLMESĐ belirsizliği karşımıza çıkar. i) iki ayrı kesirli ifade varsa paydaları eşitlenerek tek kesir haline getirilir.

10 ÖRNEK 34: ÇÖZÜM 1: (l.yol) x» için verilen ifadede - belirsizliği vardır. II. Yol: bulunur. ÖRNEK 36: UYARI: Aşağıdaki çözüm şekli bazen test sorularında kolaylık sağlar. x_> için - belirsizliği vardır. I. Yol: ) ÇÖZÜM 2 : (II. Yol) ÖRNEK 35: II. Yol: limiti kaçtır? (I. Yol) x-> için - belirsizliği vardır.

11 D) O. o BELĐRSĐZLĐĞĐNĐN GĐDERĐLMESĐ belirsizliği varsa, çarpım fonksiyonlarından uygun olan biri paydaya indirilir ve bildiğimiz 0/0 veya / belirsizliğinden birine dönüştürülür ve bilinen yollarla limit alınır. ÖRNEK 37: ÖRNEK 39: in değeri kaçtır? x -> için verilen ifadede. 0 belirsizliği vardır. x çarpanını paydaya indirelim. ifadesinde x -> için1 belirsizliği vardır, yukarıdaki kural gereğince ÖRNEK 40: belirsizliği vardır. O halde x-> için 1/x->0 olduğundan 1/x = h dönüşümü yapalım. = 6. 1 = 6 ÖRNEK 38: x > TĐ için 0. belirsizliği vardır. ÖRNEK 41: belirsizliği vardır. Formül gereğince bulunur. E) 1 BELĐRSĐZLĐĞĐNĐN GĐDERĐLMESĐ Bu kural dizilerin limitinde incelendiğinden, burada örneklerle eski bilgilerimizi hatırlıyalım. UYARI:

12 SÜREKLĐLĐK olduğundan fonksiyon x = 1 noktasında süreklidir. Tanım: f(x) fonksiyonu x = a noktasında aşağıdaki üç şartı sağlıyorsa süreklidir denir. i) f(x) fonksiyonu x = a noktasında tanımlı olmalı ii) limiti olmalı SONUÇ: Bir fonksiyonun sürekli olması için incelediğimiz grafiktende görüldüğü gibi f(x) fonksiyonun grafiğinin kesiksiz olması ve grafikte boşluklar veya atlamaların bulunmaması gerekir. üj) olmalıdır. Süreklilik için aşağıdaki örneği inceleyelim. ÖRNEK42: I Yukarıdaki grafiği verilen f(x) fonksiyonunun x = - 2, x = -1,x = 0, x = 1 noktalarında sürekliliğini inceleyiniz. a) x = -2 noktasında: x = 2 noktasında fonksiyon tanımlı olmadığı için sürekli değildir. b) x = -1 noktasında: i) f(-i) = o fonksiyon bu noktada tanımlı ü) Yukarıda grafiği çizilmiş fonksiyonlar S1, S2, S3, S5, S7, S8 noktalarında süreksiz bu noktaların dışındaki bütün noktalarda süreklidir. UYARI: Sinüs ve kosinüs fonksiyonları her noktada süreklidir. Yalnız, * olduğundan tanjant fonksiyonu cosx = 0 yapan değerler için süreksiz onun dışında her yerde süreklidir. x = - 1 de f(x) in limiti olmadığından fonksiyon bu noktada sürekli değildir. c) x = 0 noktasında: i) f(0) = 1 fonksiyon bu noktada tanımlı # olduğundan cotanjant fonksiyonu sinx = 0 yapan değerler için süreksiz onun dışında her yerde süreklidir. ÖRNEK 43: ii) limiti var. fonksiyonu x = 1 noktasında süreklimidir? iii) f(0) * 1/3 olduğundan fonksiyon x = 0 noktasında sürekli değildir. i) f(1) = 0 ĐĐ) d) x = 1 noktasında: i) f(1) = 1 fonksiyon bu noktada tanımlı iii) limit değeri fonksiyon değerine eşit olmadığından f(x), x = 1 noktasında sürekli değildir. ĐĐ) limiti mevcut iii)

13 SÜREKLĐLĐKLE ĐLGĐLĐ TEOREMLER f ve g fonksiyonları x = a noktasında sürekli iki fonksiyon olduğuna göre; 1) a s R olmak üzere, a. f fonksiyonu da x = a noktasında süreklidir. 2) i) f + g, ii) f - g, iii) f. g fonksiyonları da x = a noktasında süreklidir. 3) g(a) * 0 olmak üzere i) f/g ii) 1/g iii) -g fonksiyonları da x = a noktasında süreklidir. 4) i) fog, ii) f, ĐÜ) Vf iv) f n fonksiyonları da x = a noktasında süreklidir. ÖRNEK 46: f: R -» R fonksiyonu şeklinde tanımlanan f(x) fonksiyonu x = 0 nok tasında sürekli olması için a ne olmalıdır? i) f(x), x = 0 noktasında tanımlıdır. ü) iii) ÖRNEK 44: olmalıdır. eşitliğinde a = 1 ÖRNEK 47: fonksiyonunu x = 0 noktasında sürekli midir? i) x = 0 için fonksiyon tanımlı f(0) = 1/2 ü) f: (-, 0 ] -> R şeklinde tanımlı fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaları bulunuz. Verilen f(x) fonksiyonu tanımsız olduğu yerde süreksizdir. Bundan dolayı bu fonksiyon paydayı sıfır yapan değerler için tanımsızdır. O halde, olduğundan yani sağdan soldan limitleri farklı olduğundan fonksiyon x = 0 noktasında sürekli değildir. ÖRNEK 45: f : R -> R fonksiyonu için x = - 4 v e x = 5 noktalarında fonksiyon tanımsızdır. x < 0 olduğundan tanımsız olduğu nokta x = -4 noktasıdır. f(x) fonksiyonu x = 5 noktasında sürekli midir? i) x = 5 için f(x) tanımlıdır. ĐĐ) ÖRNEK 48: 0 < x < 2n olmak şartıyla, fonksiyonu kaç noktada süreksizdir. iii) f(5) = 5 dir. O halde noktasında süreklidir. olduğundan f(x) fonksiyonu x = 5 ise paydayı sıfır yapan değer fonksiyonu tanımsız yapar, dolayısıyla o noktada fonksiyon süreksizdir. O halde, cosx = 0 ise sinx + cosx = 0 =* sinx = -cosx ise

14 f(1) = 2b = 2b + 5 dir. O halde f(x) fonksiyonu dört noktada süreksizdir, bu noktaların dışında ise süreklidir. ĐĐ) ÖRNEK 49: f : R -> R, f(2) = 3 olmak şartıyla fonksiyonunun sürekliliğini inceleyiniz. i) x = 2 noktasında f(x) tanımlıdır. Bu limitler eşit olmalıdır. 2. sina+ 3 = 1 2 sina = -2 => sina = - 1 ise a = 3TI/2 iii) f(1) = 2b + 5 = 1 olmalıdır. 2b = -4 => b = -2 bulunur. ĐĐ) O halde dir. olduğundan ÖRNEK 53: f(x) fonksiyonu x = 2 noktasındaki sürekli değildir. ÖRNEK 50: f(x) fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaların apsisler toplamı kaçtır? fonksiyonunu hangi noktalarda süreksizdir. paydayı sıfır yapan x = - 1, x = 1, x = 2 noktalarında f(x) fonksiyonu tanımsız olduğundan sürekli değildir. Bunun dışındaki bütün noktalarda fonksiyon süreklidir. ÖRNEK 51: fonksiyonu hangi noktalarda süreksizdir. x 'in - 2, 2, - 1, 1 noktaları için fonksiyon tanımsız olduğundan süreksizdir diğer bütün noktalarda süreklidir. f(x) fonksiyonu tanımsız olduğu noktalarda süreksizdir. Buna göre, kesirli fonksiyonlar paydayı sıfır yapan x değerlerinde tanımsızdır. x = -2bulunur. x > 2 olduğundan - 2 değeri fonksiyonda.yerine konulamaz. buradan x.(x-6) = 0 = > x = 0 v e x = 6 x < 2 olduğundan x = 0 apsisli noktada fonksiyon tanımsızdır, dolayısıyla bu noktada süreksizdir. * x = 2 noktasında sürekliliği inceleyelim. i) x = 2 de f(x) tanımlıdır. ĐĐ) ÖRNEK 52: f(x) fonksiyonu V x e R için sürekli ise a + b toplamı kaçtır? olduğundan x = 2 de f(x) in limiti yoktur, dolayısıyla bu noktada süreksizdir. O halde f(x) in süreksiz olduğu noktaların apsisler toplamı = 2 dir. i) x = 1 için f(x) tanımlıdır.

15 ALIŞTIRMALAR

16 ÇÖZÜMLÜ TEST

17 18. TESTĐN ÇÖZÜMLERĐ CEVAP D 2. belirsizlik olduğundan çarpanlara ayırarak sadeleştirme 21. yapalım. CEVAP B şeklinde bir belirsizlik vardır. Çarpanlara ayrılmadığından ifadenin pay ve paydasını ile çarparak bu belirsizlikten kurtaralım. 25. CEVAP A 4. belirsizliği var. Çarpanlara ayıralım. 5.

18 9. f(x) = x 2 - x, f(x - h) = (x - h) 2 - (x - h) cevap D 6. = 0-2 x + 1 =-2x+ 1 dir. CEVAP D CEVAP E cevap c 7. (2 'nin sol tarafında özel tanımlı fonksiyonların nasıl tanımlandığına dikkat ediniz.) CEVAP A 12. Sıfırın sol tarafında x = - x dir. Buna göre, cevap A CEVAP B x = 1 noktasında sağdan ve soldan limitleri eşit olduğundan = 1. /T = 1 dir. denir. CEVAP B ( olduğunu hatırlayınız CEVAP B

19 14. fonksiyo-nunun grafiği yanda görülmektedir. Buna göre, II. Yol: olduğundan, yani f(x) fonksiyonunun x = 1 noktasında sağdan ve soldan limitleri farklıdır, dolayısıyla x = 1 noktasında f(x) 'in limiti yoktur. CEVAP E CEVAP D 15. II. Yol: n iken pay ve paydanın dereceleri eşitse pratik olarak limitin değeri; eşit dereceli terimlerin katsayılarının oranıdır. Yani dir. 18. Verilen ifadedeki - belirsizliğini gidermek için pay, paydayı ifadesiyle çarparsak ) CEVAP D 16. dır. II. Yol: Pratik olarak x için paydanın derecesi büyükse limit sıfırdır. CEVAP C II. Yol: CEVAP E 17. CEVAP E 19. Payını ve paydasını x parantezine alıp, sadeleştirerek belirsizlikten kurtaralım. (x - iken x = -x'dir.) Buna göre,

20 CEVAP A CEVAP C 20. Sistemin işareti: Pay kısmındaki en büyük de receli terimin işareti (+), Paydadaki en büyük 25- belirsizliğinden kurtarmak için 5 X parantezine alarak sadeleştirme işlemi yapalım. dereceli terimin işareti (+) olduğundan + + = (+) sistemin işaretidir. Sistemin derecesi = 7 tek kuvvet olduğundan dır. CEVAP E CEVAP D 21. Bir önceki soruda anlatıldığı gibi sistemin işa reti + + = (+) ve sistemin derecesi = 8 çift olduğundan CEVAP C 22. UYARI: n için pay ve paydanın dereceleri eşit ve limitin eşit dereceli terimlerin önündeki katsayıların oranı olduğuna dikkat ediniz. CEVAPC 23. Belirsizlikten kurtarmak için 2 X parantezine alarak sadeleştirelim. DÜZENLEYEN ĐBRAHĐM HALĐL BABAOĞLU Matematik Öğretmeni bulunur. CEVAP B 24.