HİDROLİK. Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU

Transkript

1 HİDROLİK Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU

2 Ders Hakkında Genel Bilgiler Görüşme Saatleri: Tavsiye edilen kitaplar: 1-Hidrolik (Prof. Dr. B. Mutlu SÜMER, Prof. Dr. İstemi ÜNSAL. ) 2-Akışkanlar Mekaniği ve Hidrolik Problemleri (Cemil Ilgaz, M. Emin Karahan, Atıl Bulu İTÜ) Web sayfası: Ortalama: Ödevler %10 Vizeler %40 Final %50

3 BÖLÜM 1: BORU HİDROLİĞİ BORULAR İÇERİSİNDEKİ AKIM

4 1-HAREKET DENKLEMİ Aşağıdaki şekilde gösterilen D çaplı boru içerisindeki, zamanla değişmeyen akımı düşünelim; Şekil 1

5 Şekilde gösterilen r yarıçapında, diğer boyutu Δx olan silindirik akışkan parçası için hareket denklemini yazalım; Bu akışkan parçasına eksen doğrultusunda tesir eden kuvvetler; a- Silindirik parçanın taban yüzeyine etki ederek bu parçanın yukarı doğru hareketine sebep olan basınç kuvveti; b- Silindirik parçanın diğer yüzeyini etkileyen basınç kuvveti; p r 2 c-parçanın kendi ağırlığının akım doğrultusundaki bileşeni; d-akışkanın viskozitesi sebebiyle silindirik parçanın yüzeyi boyunca etkiyen sürtünme gerilmelerinin bileşkesi olan sürtünme kuvveti;

6 Bu bilgilere göre hareket denklemi; (1) O halde denklem-1 den; (2)

7 Denklem 1 ve 2 den; (3) (4) (Şekil 1)

8 2. LAMİNER AKIM (HAGEN-POISEUILLE AKIMI) Laminer akımda akışkan parçacıkları birbiri üzerinde kayarak, birbirine paralel hareket eder. Su zerreleri birbiri içerisine karışmaz. Bu akıma düzenli akım da denir. Laminer akımın tabiatta rastlanan tipik örneği yer altı suyu akımıdır. Zemin içindeki boşluklardan her yönde akan akımı, sanki bütün toprak kesiti içinde akıyormuş gibi kabul ederek filtre akımı diye tanımlanır. Kalın yağların veya süzülmüş balın akımları laminer akıma iyi birer örnek oluştururlar. Şimdi boru içerisindeki akımın Laminer olduğunu düşünelim. Akımın laminer olması halinde, τ kayma gerilmesinin Newton un viskozite kanunundan; (5) olduğunu Akışkanlar Mekaniği dersinden biliyoruz.

9 Burada μ akışkanın dinamik viskozite katsayısıdır. u ise akım hızı olup Şekil 1 de gösterildiği gibi kesit içerisinde değişmektedir. Bu bölümde bizim amacımız u hızının kesit içerisinde nasıl değiştiğini belirlemektedir. Denklem 4 ve 5 ten; (6) İntegral alarak; (7) y=0 da u=0 sınır koşulundan sabit=0 bulunur.

10 Hemen dönmek üzere denklem 7 yi bir kenara bırakıp, şu önemli tanımı yapalım. ρ akışkanın özgül kütlesi olmak üzere, hız boyutunda bir büyüklüktür; biz bundan sonra bu büyüklüğü ile göstereceğiz ve a kayma hızı diyeceğiz; (8) O halde denklem 7 ve 8 den, da göz önünde tutarak, u hız dağılımı; (kinematik viskozite katsayısı) olduğunu (9) veya r cinsinden; (10)

11 Bu bir parabol denklemidir. Olayda eksenel simetri olduğunda, hız dağılımının bir paraboloid olması gerekir. Akımın ortalama hızı; (11) şeklinde tanımlanmıştı. Burada Q debi, A kesit alanıdır. O halde dairesel kesitli bir boru için ortalama hız (Şekil 1); (12)

12 Denklem 9 ve10 daki ifadeyi denklem 12 de yerine koyarak; (13) ifadesi elde edilir. olduğundan denklem 1 e göre; ifadesi şeklinde yazılabilir ve bu denklem 13 de (ortalama hız denklemi) yerine konularak laminer akım için ortalama hız denklemi şu şekilde bulunur. (14)

13 Bu bağıntı bize, boru boyunca birim boy için basınç düşmesi arttıkça hızında artacağını söylemektedir. Süreklilik formülünden debi değeri; (15) olur. Boru yatayda bulunuyorsa bağıntı aşağıdaki şekilde ifade edilir; (16) Buna Hagen-Poiseuille denklemi denir.

14 3-TÜRBÜLANSLI AKIM Bir borudaki akım düşük akış hızlarında laminer, büyük akım hızlarında ise türbülanslıdır. Boru cidarının yakınındaki bölgede akımın hızı çok küçüktür ve tam boru cidarı üzerinde ise sıfırdır. Bu nedenle ince bir tabaka halinde tüm cidarı sıvayan bu bölge de laminer karakterdedir. Bu bölgeye viskoz alt tabaka denir. Bunun haricindeki bölgeye de çekirdek bölgesi denir (Şekil 2). Şekil 2.

15 3.1. Viskoz Alt Tabaka Viskoz alt tabakanın kalınlığı çok ince olduğundan, bu tabaka içerisinde τ kayma gerilmesi, tam cidar üzerindeki değere, yani τ 0 a eşit alınabilir; Diğer taraftan, bu tabaka içerisindeki akım madem ki laminer karakterde bir akımdır. O halde; yazılabilir ve; (17) (18) (19) şeklini alır.

16 du u 2 * dy (20) yazılarak integral alınırsa, (21) bulunur. y=0 için u=0 olduğundan integral sabiti sıfırdır ve olduğu da gözönünde tutularak, viskoz alt tabakadaki hızın y ile değişimi için aşağıdaki bağıntı bulunur. (22) Bu bağıntıdan görüldüğü gibi, viskoz alt tabaka içerisinde hız cidardan olan uzaklıkla doğrusal olarak değişmektedir. Yapılan laboratuvar çalışmaları sonucunda viskoz alt tabakanın kalınlığı (δ) için aşağıdaki bağıntı bulunmuştur. (23)

17

18 3.2. Çekirdek Bölgesi (24) Türbülanslı akımda ifadesinin sayısal değeri (25) Şeklindedir.

19 Bu nedenle türbülanslı akımda viskozite terimi olan terimi ihmal edilerek ve bağıntı aşağıdaki şekilde yazılabilir. değerleri yaklaşık olarak sabit kabul edilerek, (26) (27) (28) Şeklinde ifade edilebilir.

20 Burada μ T türbülans viskozitesi olarak aşağıdaki şekilde tanımlanır; (29) Burada, l karışım boyudur. Yapılan deneysel çalışmalar sonucunda olduğu bölgede l=0.4 y olduğu görülmüştür. 0.4 değerine Von Karman sabiti denir. Bu değer denklem 23 de yerine konularak aşağıdaki bağıntılar bulunur Denklemin integrali alınarak (30)

21 (31) (32)

22 (33)

23 (34)

24 Şekil 3

25 3.3. Pürüzlü Cidar

26

27

28

29 (35) Denklem 30 ve 35 den; (36) Dolayısıyla denklem 30 ve 36 dan, u hız dağılımının y ile değişimi aşağıdaki şekilde olur; (37)

30 Bir önceki bölümde yapılan işleme benzer şekilde, denklem 37 denklem 12 de yerine konularak pürüzlü cidar halinde ortalama hızı V aşağıdaki şekilde elde edilir; (38)

31 4-ENERJİ (YÜK) KAYBI (39)

32 Şekil 6

33 (40) 1 ve 2 kesitleri arasındaki enerji kaybı ki buna yük kaybı da diyebiliriz; (41) Şekil 6 daki enerji yüksekliklerinin uçlarını birleştiren çizgiye enerji çizgisi ve piyezometrik basınç yüksekliklerinin uçlarını birleştiren çizgiye de piyezometre çizgisi denir.

34 (42) dir. O halde denklem 41 ve 42 den; (43) Denklem 2 ve 43 ten enerji (yük) kaybı;, olduğu da hatırlanarak birim boydaki (44)

35

36 (45)

37

38

39 Şekil 7

40

41

42 Şekil 7b. Moody diyagramı

43

44

45 Problem 1:

46 Problem 2:

47 Problem 3:

48 Problem 4:

49 5. HİDROLİK YARIÇAP CİNSİNDEN ENERJİ (YÜK) KAYBI

50

51

52

53

54 Tablo 5. Dairesel kesitli olan ve olmayan borular için enerji kaybı bağıntıları

55 Problem 5: 20 C sıcaklıktaki hava, 500 m uzunluğunda dikdörtgen kesitli (30 cm x 20 cm) pürüzsüz düz bir boru içinde Q=0.24 m 3 /sn debi ile akıtılacaktır. Yük kaybını hesaplayınız

56

57 57 6.Yerel Enerji (Yük) Kayıpları Ani Genişleme Halinde Yük Kaybı Bir borunun ani genişlemesi halinde boru yüzeyi ile akışkan arasındaki sürtünmelerin ihmal edildiği halde bile, geçiş bölgesinde olan çevrintiler sebebiyle bir yük oluşur (Şekil 1.8, 1.9, 1.10). Bu enerjinin bulunması için, impuls ve süreklilik denklemleri kullanılabilir.

58 58 Süreklilik denklemi: Q = A 1.V 1 = A 2.V e = A 2.V 2 (6) V 1 = V e olduğundan ve deneylerden p 1 = p e olur, e ve 2 kesitleri arasında impuls ve momentum denklemi uygulanırsa, p e.a 1 p 2.A 2 + ρ.q.v 1 - ρ.q.v 2 = 0 (6. 1) veya

59 olur. 1 ve 2 kesitleri arasında enerji denklemi Bu üç denklemlerden yük Bu katsayı geometriye bağlıdır, akımdan bağımsızdır. K ile gösterirsek olarak bulunur. Bu denklem Borda-Carnot denklemidir. veya h k : h : Yersel yük kaybıiçin kullanılıyor. k Sürekli yük kaybıiçin

60 60

61 61 Özel hal olarak eğer boru bir hazneye giriyor ise (Şekil 1.11), A 2 >> A 1 olacağından A 1 / A 2 0,dolayısıyla K = 1 olur. O halde hazneye giriş kaybı

62 62 Ani Kesit Daralması Halinde Yük Kaybı Ani kesit daralması halinde 1-1 ve 2-2 kesitlerinde momentum denklemi uygulanamaz. Bunun sebebi ABCD yüzeyindeki belirgin olmayan basınç dağılımıdır (Şekil 1.12, 1.13).

63 63 Ölü bölgede çevrilerin büyük kısmı a-a ve 2-2 kesitleri arasında yer aldığı için, daralmanın sebep olduğu yerel enerji kaybı yaklaşık olarak a-a ve 2-2 arasında meydana gelen yerel enerji kaybına eşit alınabilir. Büzülme kesit alanı A c ile gösterilirse, ani genişleme denklemine benzeyen aşağıdaki denklemle yük kaybının hesaplanabileceği, deneysel çalışmalarla gösterilmiştir. Burada C c büzülme katsayısıdır. Parantez içindeki değer herhangi bir alan oranı için sabit olacağından, denklem aşağıdaki genel formda yazılabilir olarak bulunur..

64 64 Burada K yük kaybı katsayısıdır. Keskin kenarlı boru birleşimleri için deneysel çalışmalar sonucu bulunan C c değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Özel hal olarak eğer boru hazneden çıkıyorsa (Şekil 1.14), A 1 >> A 2 olacağından A 2 / A 1 0, dolayısıyla K = 0,5 olur. O halde hazneden çıkış kaybı 2 V2 h k 0,5. (1.60) 2g Şekil 1.14

65 65

66 66 Küresel Vana Açılı Vana

67 67 Boruların hidrolik hesabında üç denklemin kullanılması önem taşımaktadır. Bunlar: 1. Süreklilik denklemi Boruların Hidrolik Hesabı Q = V 1.A 1 = V 2.A 2 2. Enerji denklemi (1) (2) Pratikte akışkan hızlarının büyük olmadığı durumlarda (V 2 /2g) değeri ihmal edilebilecek kadar küçük olduğu için kullanılmamaktadır (örneğin, V = 1 m/sn için V 2 /2g = 0,051 m olmaktadır). Bu nedenle boruların hidrolik hesabında enerji denklemi aşağıdaki şekilde kullanılmaktadır: (3)

68 68 Bu durumda piyezometre çizgisi enerji çizgisi olarak kabul edilmektedir. Ancak akım hızlarının çok büyük olduğu durumlarda (2) denklemi kullanılır. Enerji kaybı (yük kaybı), sürekli (h k ) ve yerel (h k ) kayıplarından oluşmaktadır. Sürekli kayıplar, akım tabakaları arasındaki sürtünmeden, yersel yük kayıpları ise boru bağlantılarından geçişte oluşan sürtünmelerden kaynaklanır. f ve K katsayılarının değerleri verilen ilgili tablo, şekil ve bağıntılardan alınmalıdır. (4) (5)

69 69 3. İmpuls-momentum denklemi (6).

70

71 71

72

73 Örnek : Şekilde verilen hazne-boru sisteminde A haznesinden B haznesine geçen debiyi bulunuz. Bütün borular için sürtünme katsayısı f = 0,02 alınacaktır. Ani daralma için C c = 0,636)

74 74 Örnek 6 : 2000 m uzunlukta ve Ø400 mm çaplı üniform kesitli bir çelik boru ile A rezervuarından B rezervuarına su akacaktır. İki rezervuarın su seviyeleri arasındaki fark 30 m dir. Hattın AC kısmı L = 500 m, CB kısmı L = 1500 m dir. C noktasında boru hattı bir tepeyi aşabilmek için yükseltilecektir. (Çelik boru için k s /D = 0,00011, υ = 1, m 2 /s) a. Borudan geçen debiyi bulunuz. b. Boru hattının en yüksek noktasındaki basıncı bulunuz.

75 75 Su C noktasına itilerek mi, Yoksa Çekilerek mi getiriliyor?

76 76

77 77 İki rezervuar arasındaki toplam yük kaybı 30 m dir. Bunun değeri, hazneden çıkış kaybı (h y1 ), sürekli yük kaybı (h s ) ve hazneye giriş kaybı (h y2 ) değerlerinin toplamıdır. A ve B arasında Bernoulli denklemi: 2 2 A A B B za zb hy1 hs hy2 V p V p 2g 2g V A V B = 0 (Rezervuarda su hareketsiz kabul edilir) p A = p B (Her iki uç da atmosfere açılmaktadır. Referans = 0) z A = 30 m, z B = 0 m yazılırsa; z z 30 h h h A B y1 s y ,5. V f.. V V 30 (1, f). V 2g 0, 4 2g 2g 2g

78 78 Deneme yanılma yapılacak!.. ks 0, olarak verilmiş. D İlk yaklaşımolarak f olabilir?

79 k s /D = 0,00011, f = 0,025 seçilirse 79 2 V 30 (1, ,025). V 2,157 m/s 2g VD. 2,157.0, 4 5 Re 6, , Moody diyagramından f = 0,014 veya 0,015 bulunur. Bu değer seçilen f değerinden oldukça farklıdır. İkinci tahmin değeri olarak f = 0,014 seçelim. V 30 (1, ,014). V 2, 87 m/s 2g VD. 2,87.0,4 Re 8, , Moody diyagramından f = 0,014 olur. Bu durumda V = 2,87 m/s 5

80 80 a.. *(0,4) 3 Q V * A 2,87* 0,36 m /s 4 b. C noktasında basınç için A-C arasında Bernoulli denklemi yazılırsa 2 A 2 VC pc A C y1 s V pa z z h h 2g 2g 2 V A = 0 (Rezervuarda su hareketsiz kabul edilir) p A = 0 (Referans basıncı = Atmosfere açık) z A = 0 m, z C = 2 m yazılırsa; pc V V 500 V 2 0, 5. 0, g 2g 0, 4 2g p C 2 V pc 2.(1 0, 5 17, 5) 9, 98 2g 3 2 p 9,98[ m].9810[ N / m ] 97903,8 [ N / m ] Pa ( emme) C m

81 81 Örnek 7: Şekilde verilen hazne-boru sisteminde A haznesinden B haznesine geçen debiyi bulunuz. Bütün borular için sürtünme katsayısı f = 0,02 alınacaktır. Ani daralma için C c = 0,636)

82 82

83 83

84 84 Ani daralma yük kaybı için C c = 0,636 ve Kd = 0,328 olduğuna göre

85 85

86 86 Yerel yük kayıplarını ihmal ediniz.

87 87

88 88

89 BC L 2,34 2 V2 400 h h f k k 2.. D 2 g 2 0, ,32 m 0,1 2g AB BC H h h 5,10 22,32 k k 27, 42m

90 90 Yerel yük kayıplarını ihmal ediniz.

91 91

92 92

93 93

94 94 AB BnoktasınınPiyezometrekotu=(A'nınkotu)-h ,21 k 278,79m BC Chaznesininkotu=(B'ninpiyezometrekotu)+h k 278,79 14,0 292,79m

95 Boru Hattında Pompa Kullanımı Bir pompanın basma yüksekliği (veya net basma yüksekliği veya manometrik yükseklik), H, pompa girişi ve çıkışı arasında Bernoulli denklemi yazılarak gerekli sadeleştirmeler yapılarak aşağıdaki gibi yazılabilir: H p çıkış p giriş (1.66) pompalı hazne boru sisteminde A ve B noktaları arasında Bernoulli yazılırsa sistem için gerekli basma yüksekliği : 95

96 Hazne boru sistemlerine pompa konulması halinde pompanın gücü manometrik yüksekliğe bağlı olarak. QH. N m N : pompanın gücü (W) γ : N/m 3, Q = m 3 /s, H m : Manometrik yükseklik (Basma yüksekliği) η : Pompa verimi (verim katsayısı, randıman) (1.67) 96

97 97

98 98

99 99

100 100

101 101

102 102

103 Pompanın giriş piyezometrekotu (E') =Kot(A)-h AE k 50 1,80 48, 20m 103

104 104

105 D =0,19m DC 19 cm 105

106 106

107 107

108 108

109 h k B BD BD BD ,45 0, ,95m 0,4 2g L V f.. D 2 g 2 109

110 110 BD D nok. piyezometrekotu (D') =Kot(B')-h k 212,75 22,95 189,80m Türbine giren suyunenerji yüksekliği = 169,80 m H Kot(D')-Kot(E) 189,80 20 t Türbinin gücü:. QH. 9,81*0,308*169,8 N t 0, kw

111 AÇIK KANALLARDA AKIM ÜNİFORM AKIM Açık kanallardaki akım serbest yüzeyli bir akımdır. Üstü hava veya başka bir gazla sınırlandırılmış olan sıvı akımlarına serbest yüzeyli akım denir. Akarsular içerisindeki akımlar, sulama kanallarındaki akımlar, dren borularındaki akımlar, yağmur suyu, kanalizasyon kanallarındaki akımlar açık kanal akımının örnekleridir. Bir boru içerisindeki akımı doğuran etmen ne ise, bir açık kanal içerisindeki akımı doğuran etmen de odur. Bu etmen enerjidir. Akışkan, enerjisi büyük olan noktadan küçük olan noktaya doğru akar.

112 112 Akışın olabilmesi için gerekli olan enerjiyi temin eden nedir? Boru içerisindeki akımda bu enerjiyi temin eden, ya Şekil 11.1.a daki örnekte görüldüğü gibi, s su seviyesidir; ya da Şekil 11.1.b deki örnekte görüldüğü gibi bir P pompasıdır.

113 113 Bir açık kanaldaki akımın belirli olabilmesi için, akım yönünün, akış kesitinin ve kesit içerisindeki hız dağılımının tam olarak bilinmesi gerekir. Açık kanal akımı ile boru akımı arasındaki önemli fark, boru akımının boruyu tamamen doldurması, açık kanal akımında ise serbest bir yüzeyinin bulunmasıdır. Serbest su yüzeyi normal olarak, bütün kanal boyunca oldukça sabit kabul edilebilecek bir atmosfer basıncı altındadır. Bu durumda su yüzeyi piyezometre çizgisi ile çakışır. Borulardaki tam dolu akışta ise basınç boru boyunca bir kesitten diğerine değişir.

114 114

115 115 Açık kanallardaki akım çeşitleri farklı açılardan ele alınabilir: 1. Akışkanın cinsine göre: 1. Sıkıştırılabilen akışkanların akımı 2. Sıkıştırılamayan akışkanların akımı 2. Akışkanın viskozitesine göre: 1. İdeal akım 2. Gerçek akım 3. Sıvı parçacıklarının hareketine göre: 1. Laminer akım 2. Türbülanslı akım 4. Hızın zamanla değişimine göre: 1. Permenant (düzenli) akım 2. Permenant olmayan (düzensiz) akım

116 Hızın mekanla değişimine göre: 1. Üniform akım 2. Üniform olmayan akım 6. Kritik hıza göre: 1. Kritik akım 2. Kritik altı akım 3. Kritik üstü akım 7. Hızın boyutuna göre: 1. Bir boyutlu akım 2. İki boyutlu akım 3. Üç boyutlu akım

117 117 Zaman kriterine göre, açık kanal akımları, permenant akım ve permenant olmayan akım olarak sınıflandırılır. Permenant akımda bir kesitteki ortalama hız (V) ve akım derinliği (y) zamanla değişmez. Permenant olmayan akımda ise bir kesitteki ortalama hız ve akım derinliği zamanla değişir. Yer kriterine göre, açık kanal akımları üniform akım ve üniform olmayan akım olarak sınıflandırılır. Üniform akımda kanalın bütün kesitlerinde ortalama hız ve akım derinliği aynı değerdedir. Açık kanallarda üniform akım denince permenant üniform akım anlaşılır. Üniform olmayan akımda ise, su derinliği kanal boyunca alınan x uzaklığının bir fonksiyonudur.

118 Enerji Kaybı

119 Üniform Akım Denklemleri 1. Chezy Denklemi: (2.4 nolu denklemden) V yi çekersek: 8g 8g V. R. J0 yada C f f (2.5) diyecek olursak, V C. R. J (2.6) bulunur. Bu denklem Chezy denklemi olarak bilinir. Chezy katsayısının hesabı için bir çok ampirik ifade verilmiştir. C, (2.5) denklemi gereğince, f katsayısı hesaplanarak bulunacağı gibi, sözü edilen bu ampirik ifadelerden de hesaplanabilir. 0

120 Manning-Strickler Denklemi: C için verilen ampirik ifadelerden bir tanesi şudur: 1 6 C k. R (2.7) Burada k, kanalı kaplayan malzemenin cinsine bağlı bir katsayıdır. (2.6) ve (2.7) den: V k. R. J (2.8) elde edilir. Bu denklem literatürde Gauckler-Strickler denklemi olarak bilinir ve Hidrolik Mühendisliğinde çok kullanılır. Bu denklem, n=l/k olmak üzere 1 V. R. J n (2.8a) şeklinde de yazılabilir. Burada n kanal pürüzlülüğüne ait Manning pürüzlülük katsayısıdır. (2.8a) denklemi ise Manning denklemi olarak bilinir.

121 121 Buna göre üniform akımlı bir kanaldaki debi aşağıdaki bağıntı ile bulunabilir (2.9) Q AV. A.. R 3. J 2 n

122 122

123 123 Örnek 2.1: b = 5 m, J = 0,0006 ve n = 0,016 olan trapez kesitli bir kanalda 25 m 3 /s debili su iletilmektedir. Kanalda üniform akımın derinliğini ve ortalama hızını bulunuz.

124 124 Örnek 2.1: b = 5 m, J = 0,0006 ve n = 0,016 olan trapez kesitli bir kanalda 25 m 3 /s debili su iletilmektedir. Kanalda üniform akımın derinliğini ve ortalama hızını bulunuz A A Q A. * R * J * A* * J * * J n n U n U A 5 y * y U 5 2* y ,83y

125 125 Buradan deneme yanılma ile akımın derinliği y = A 2 m A=14 m 2 değeri ile süreklilik denkleminden ortalama hız: y * y 25 * * 0, ,83y 25*0, y * y 0, ,83y *2 14 m bulunur. V Q 25 1,79 m/s A 14

126 126 Örnek 2.2: Üniform akımlı trapez bir kanalda akan suyun derinliği 1,5 m dir. Kanalın taban genişliği 15 m, taban eğimi J 0 = 0,00001, yan şev eğimleri 1/1 ve n = 0,020 olduğuna göre hızı, debiyi ve Reynolds sayısını hesaplayınız (υ = 1, m 2 /s). 2 A 15 1,5 *1,5 24,75 m U 15 2*1, , 24 m V A 24,75 R 1,29 m U 19, * 1,29 3* 0, ,187 m/s 0,020 Q V * A 0,187*24,75 4,63 m /s 3 V*4* R 0,187*4*1,29 Re ,31.10 > 2000 akım türbülanslıdır

127 127 Örnek 2.3: Genişliği b = 3 m olan dikdörtgen kesitli bir sulama kanalında 25,3 m 3 /s debi y = 1,2 m derinliğinde akıtılacağına göre, n = 0,022 için a. a. Kanalın eğimini bulunuz. b. Kanaldaki debi 40 m 3 /s değerine çıkarılırsa normal akım derinliğini bulunuz. A b* y 3*1,2 3,6 m 2 U b 2y 3 2*1,2 5,4 m A 3,6 R U 5,4 Manning formülünden: 0,667 m J 2 Qn. 25,3*0, AR. 3 3,6*0, ,041

128 128 Örnek 2.3: Genişliği b = 3 m olan dikdörtgen kesitli bir sulama kanalında 25,3 m 3 /s debi y = 1,2 m derinliğinde akıtılacağına göre, n = 0,022 için b. b. Kanaldaki debi 40 m 3 /s değerine çıkarılırsa normal akım derinliğini bulunuz. A b* y 3* y U b 2y 3 2y A 3y R U 3 2 y y y 40.0, , 022 *. 0, y 0, y deneme yanılma yöntemi ile y = 1,69 m bulunur.

129 En Uygun Kesit Pürüzlülüğü, taban eğimi ve ıslak kesiti aynı kalmak üzere maksimum debiyi geçiren kanal kesitine veya diğer bir deyişle pürüzlülüğü, taban eğimi aynı kalmak üzere verilen bir Q debisini geçirebilen minimum kesit olarak tarif edilebilir. Süreklilik denklemine göre en küçük A için Q belli olduğuna göre V en büyük olmalıdır. Manning formülüne göre maksimum V için, n ve J belli olduğu için R en büyük olmalı; ve R = A / U dan maksimum R için U en küçük olmalıdır. 1 A 1 Q. A.. J.. J n U n U A (2.15) Aynı alana sahip kesitlerden ıslak çevresi en küçük olana en uygun kesit diyoruz. Bu durumda kaplama ve bakım masrafları da daha düşeceğinden, ekonomi biraz daha artar.

130 130 Böyle bir ekstremum problemi en iyi şekilde sağlayan kanal şekli yarım dairedir. Bununla birlikte en uygun kesit, en ekonomik kesit olmayabilir. Yarım daire kesit en kısa ıslak çevreye sahip olmakla birlikte, konvansiyonel malzemelerle inşa edilmesi daha maliyetlidir. Genellikle kullanılan alışılmış kanal kesit tipleri dikdörtgen veya trapezdir. Geniş kanallarda trapez kanallar çok kullanılır. En uygun trapez kesit, yarım altıgen kesittir. Bu trapez kesit, merkezi su yüzeyinde olan bir yarım dairenin içinde olup, yan şev açıları 60 'dir. En uygun dikdörtgen kesit, merkezi su yüzeyinde olan yarım daire içindeki yarım kare kesittir.

131 131

132 132 a. En uygun dikdörtgen kesit: Dikdörtgen kesitli bir kanal için kesit alanı A = b.y ve ıslak çevre U = b+2y olarak U A / y 2 y (2.16) yazılabilir. Minimum ıslak çevre için, du dy by y 2 A 2 0 (2.17) 2 y 2 veya b 2 y (2.18) A y R U 2 (2.19)

133 133 Geniş dikdörtgen kesitlerde b > 25y olması durumunda R y alınabilir. Genellikle R değeri y ile y/2 arasındadır.

134 134 b. En uygun trapez kesit: Kesit alanı A ve ıslak çevresi U olan trapez bir kesit için A by my 2 (2.20) 2 U b 2y 1 m (2.21) (2.20) denkleminden (b=a/y-my) değeri (2.21) de yerine konursa: A 2 U my 2y 1 m (2.22) y Islak çevrenin minimum olması için: du 2 A m 2 1 m 0 (2.23) 2 dy y

135 135 (2.23) denkleminde A değeri yerine konursa, 2 by my m m (2.24) 2 y veya: 2 Hidrolik yarıçap (R) için, b 2y 1 m m (2.25) A by my R U b 2 y 1 m 2 2 (2.26) (2.25) denkleminden b değeri yerine konursa: R y 2 (2.27)

136 136 Buna göre trapez kesitlerde en uygun kesitte hidrolik yarıçap, derinliğin yarısına eşit olmaktadır. (2.25) denklemi (2.21) de 2 2 yerine konursa: b 2y 1 m m U b 2y 1 m 2 U 2y 2 1 m m (2.28) U değerini minimum yapan m değerini bulmak için U nun m ye göre birinci türevi alınarak sıfıra eşitlenmesinden bulunan (2 m) / 1 m 1 m o denkleminden cot 60 (2.29) b 2y 1 2 y (2.30) 3 3 3

137 137 veya 3 o y b b.sin 60 (2.31) 2 U 2y 2 1 m m 2 bulunur. m değerinin (2.28) denkleminde yerine konulmasıyla elde edilen, 3 U 2 3 y, b 2 y ve A 3y 3 2 değerlerine göre U =3b olmaktadır. Buna göre en uygun kesitli trapezin kanal uzunluğu ile kenar uzunlukları birbirine eşittir. Buradan görüleceği gibi en uygun trapez kesit yarım altıgendir.

138

139 139

140 140 Hidrolik bakımdan en iyi kesit şekli yarım dairedir. Ancak yapımında güçlükler olan dairesel kesitin yerine kullanılacak herhangi bir kesitin en iyi olması için, dikdörtgen ve trapez örneklerinde görüldüğü gibi, yarım daireye teğet olacak şekilde boyutlandırılması gerekmektedir.

141 141 Örnek 2.4: Beton kaplamalı trapez bir kanal 30 m 3 /s lik su debisini 1,5 m/s ortalama hız ile iletilmesi isteniyor. a. En iyi hidrolik kesiti boyutlandırınız ve taban eğimini bulunuz. b. Aynı alan ve debide derinlik 2 m olacak şekilde kanalı boyutlandırınız ve taban eğimini bulunuz. m 1/ 3, n 0,012 a. Kesit alanı: Q A 20 m 3y 20 y 3,398 m V 1,5 b y *3,398 3,92 m 3 3 y 3,398 R 1,699m ,39 V R J 1,5 J J 0, / 6250 n 0, 012 2

142 142 Örnek 2.4: Beton kaplamalı trapez bir kanal 30 m 3 /s lik su debisini 1,5 m/s ortalama hız ile iletilmesi isteniyor. b. a. En iyi hidrolik kesiti boyutlandırınız ve taban eğimini bulunuz. b. Aynı alan ve debide derinlik 2 m olacak şekilde kanalı boyutlandırınız ve taban eğimini bulunuz. m 1/ 3, n 0,012 1 y = 2 m için A b 2 *2 20 b 8,85m 3 R 20 8,85 2* 2 1 1/ 3 1,48 m ,5 *1, 48 3 * J 2 J 0, / ,012

143 143 Örnek 2.5: Üniform akımlı 5 m 3 /s debi ile akan bir dikdörtgen kanalda taban eğimi J = 0,001 ve n = 0,015 ise, a. En uygun kesiti bulunuz. b. Bu dikdörtgen kanal ile eşit kesit alanına sahip yarım altıgen (trapez) ve yarım daire kanalların debilerini bularak karşılaştırınız. a. Dikdörtgen kanalda en uygun kesit için A = 2y 2 ve R = (1/2)y olmalıdır. Bu değerler Manning formülünde yerine konularak y bulunur. 1 Q * A* R * J n y 3 1,882 y 1,27 m *(2 y )* y *(0,001) 0, Buna göre en uygun kesit ve genişlik değerleri, A = 2y 2 = 3,23 m 2 b = 2y = 2,54 m olur.

144 144 Örnek 2.5: Üniform akımlı 5 m 3 /s debi ile akan bir dikdörtgen kanalda taban eğimi J = 0,001 ve n = 0,015 ise, b. Bu dikdörtgen kanal ile eşit kesit alanına sahip yarım altıgen (trapez) ve yarım daire kanalların debilerini bularak karşılaştırınız. b. 3,23 m 2 kesit alanlı yarım altıgen kesit için, 2 2 A 3. y 3,23 3 * y y 1,365 m R Q 1 1 * y *1,365 0, 683 m *(3,23)*(0,683) *(0,001) 5,28 m /s 0,015 bulunur. Bu değer aynı alana sahip dikdörtgen kesitin debisinin yaklaşık yüzde beş fazlasıdır.

145 145 Örnek 2.5: Üniform akımlı 5 m 3 /s debi ile akan bir dikdörtgen kanalda taban eğimi J = 0,001 ve n = 0,015 ise, b. Bu dikdörtgen kanal ile eşit kesit alanına sahip yarım altıgen (trapez) ve yarım daire kanalların debilerini bularak karşılaştırınız D. D. D A * 3,23 D 2,87 m * D *2,87 U 4,51 m 2 2 R A U 3,23 0,716 m 4, Q *(3,23)*(0,716) *(0,001) 5,45 m /s 0,015 bulunur. Bu değer aynı alana sahip dikdörtgen kesitin debisinin yaklaşık yüzde sekizinden ve yarım altıgen kesitinin yüzde üçünden fazladır.

146 146 Örnek 2.6: Bir trapez kesitli (yamuk) kanalda Q = 15 m 3 /s, taban genişliği b = 4 m ve n = 0,0143 verilmiştir. En uygun kesitin su derinliğini ve taban eğimini bulunuz.

147 147 Örnek 2.6: Bir trapez kesitli (yamuk) kanalda Q = 15 m 3 /s, taban genişliği b = 4 m ve n = 0,0143 verilmiştir. En uygun kesitin su derinliğini ve taban eğimini bulunuz. Trapez kesitte en uygun kesit yarım altıgendir. Buna göre de olup taban ve kenar uzunlukları eşittir. y o b*sin 60 4*0,866 3, 4641 m o Ө = 60 o B b (2 y / tg 60 ) b 2 b*cos 4 (2*3, 4641/1, 73) 8 m 4 8 *3, ,78 m 2 A 2 U 3*4 12 m R V 15 / 20,78 0,72 m/s A U 20,76 1,73 m , 72 *(1, 73) 3 * J 2 J 0, , 0143

148 2.3. Birleşik Kesitler Bir akarsuyun debisi zamanla değişir. Normal koşullarda çok dar bir sahayı kaplayan akarsu, fezeyan zamanında geniş bir sahaya yayılabilir. Bu durumda, akarsu yatağı veya taşkını önlemek için yapılan bir açık kanal farklı bir takım kesitlerin birleşmesinden meydana gelir. Böyle bir kesitten geçen debiyi hesaplarken kesiti bir bütün olarak almak doğru olmaz. Çünkü, birleşik kesitin her parçasında pürüzlülük ve hız farklı olabilir. Ayrıca, kanaldaki su derinliğinin küçük bir artışı ıslak çevrede büyük bir ani artışa sebep olduğu halde, ıslak alandaki artış çok küçük olabilir. Bu durumda, kesit tüm alınarak bulunan debi hatalı olur. Bu nedenle, kanal kısımlara ayrılarak debi Q = V 1 A 1 +V 2 A 2 + +V N A N şeklinde hesaplanır. Kanalın kısımlara ayrılması için tanımlanmış bir yöntem yoktur. Bunun için de şekilde kesikli çizgi ile gösterildiği gibi uzatmalar kullanılır. Uzatmalar ıslak çevre hesaplarında dikkate alınmaz. 148

149 149

150 Örnek 2.7: Bir taşkın kanalında taban eğimi J = 0,001, birinci bölgede n = 0,015, ikinci ve üçüncü bölgelerde n = 0,035 tir. Verilen boyutlara göre 4 m taşkın yüksekliğinde geçecek debiyi, hızları ve akım rejimlerini bulunuz. (10 o C de υ = 1, m 2 /s) 150

151 A *2,5 (15*1,5) 47, ,5 A2 A3 *1,5 18,38 m 2 m U1 5 (2 5 2,5 ) 16,18 m 2 2 U2 U3 10 ( 1,5 4,5 ) 14,75 m 151

152 Örnek 2.7: R 1 A U ,5 16,18 2,94 m, 18,38 R2 R3 1,25 m 14,75 1. bölgede Q1 *(47,5)*(2,94) *0, ,5 m / s 0,015 Q1 V1 4,32 m / s A V 1 *4* R 4,32*4*2,94 1,31x Re Türbülanslı akım 152

153 Örnek 2.7: 2. ve 3. bölgelerde Q2 Q3 *(18,38)*(1, 25) *0, , 27 m / s 0,035 V V 1,05 m/ s 2 3 V *4* R 1,05*4*1,25 1,31*10 Türbülanslı akım 2 2 Re Toplam debi, Q = Q 1 +Q 2 +Q 3 =205,5+19,27+19,27= 244,04 m 3 /s 153

154 ÜNİFORM OLMAYAN AKIM Açık kanallarda üniform olmayan akım ikiye ayrılır. 1. Tedrici (yavaş) değişen akım 2. Ani değişen akım 3. AÇIK KANALLARDA AKIM Açık kanallarda pek çok durumda akım derinliği (y) kanal boyunca aynı değildir. Bunun birkaç sebebi vardır: Örneğin kanalın taban eğimi sabit değildir, akış yönünde kanalın şekli veya kesiti değişebilir veya kanalın bir yerinde akımı engelleyici bir kısım (savak gibi) olabilir. 154

155 3.1. Tedrici Değişen Akım Tedrici değişen akımda, akım çizgilerinin yaklaşık olarak düzgün ve birbirine paralel olduğu kabul edilir. Bu durumda, kanalın taban eğiminin çok büyük olmaması halinde kesit içindeki basıncın üniform akımda olduğu gibi, hidrostatik basınç kurallarına göre değişeceği kabul edilebilir. 155

156 Özgül Enerji Kanal tabanına göre hesaplanan akım enerjisine özgül enerji veya özgül enerji yüksekliği denir. Diğer bir tanımı ise hız yükü ile akım derinliğinin toplamıdır (E). 156

157 E 2 V 2g y (3.1) Özgül enerji, debi ve kesit alanı cinsinden aşağıdaki şekilde de yazılabilir: E 2 Q y (3.2) 2 2 g* A Bu bağıntıda yer alan A kesit alanı y derinliğinin bir fonksiyonudur: A = A(y). O halde (3.2) bağıntısı, aşağıdaki şekilde fonksiyonel bir bağıntıdır. f (E,Q,y) = 0 Bu bağıntıda, Q = sabit için E nin y ile değişimi inceleneceği gibi, E = sabit için Q nun y ile değişimi de incelenebilir. 157

158 Q = Sabit için E-y Eğrisi Belirli bir kesitte sabit ve belirli bir debi için akım derinliği değişimine bağlı olarak hesaplanan özgül enerji değerleri bir koordinat sisteminde işaretlenirse, özgül enerji eğrisi elde edilir. Özgül enerji eğrisinin AC ve CB olarak iki kolu vardır. Alttaki kol daima sağa doğru yatay eksene yaklaşırken, üstteki kol orijinden geçen 45 o lik doğruya asimptotik yaklaşır (kanal eğiminin çok büyük olması halinde doğrunun eğimi 45 o den farklı olur). Verilen bir kesit içini farklı debilere ait özgül enerji eğrileri çizilebilir. Yüksek debilerde eğri sağa (A 1 B 1 C 1 ), alçak debilerde sola (A 2 B 2 C 2 ) kayar. 158

159 Özgül enerji eğrisi üzerindeki tepe noktası (C), Q debisinin kesitten minimum enerji (E min = E c ) ile aktığı derinliği (y c ) gösterir. Bu derinliğe, belli bir kesitten akan Q debisi için kritik derinlik denir. Bu derinliğe karşılık gelen debiye de kritik debi denir. 159

160 Verilmiş sabit bir Q debisinin kanal içerisinde akıtılabilmesi için, özgül enerji minimum enerjiye eşit veya ondan büyük olmalıdır (E E min ). Dolayısıyla aynı debi çok farklı enerji seviyelerinde akıtılabilir. Özgül enerjilerin herhangi biri için iki derinlik vardır (y 1, y 2 ). Buna göre, sabit bir Q debisini belli bir E özgül enerjisinde iki farklı derinlikte akıtmak mümkündür. Bu derinliklerden biri kritik derinlikten küçük (y 1 < y c ), diğeri ise büyüktür (y 1 > y c ). (y 1 < y c < y 2 ) (3.3) Bu derinliklere karşılık düşen kesit alanları ve hızları için, (A 1 < A c < A 2 ) (V 1 >V c >V 2 ) (3.4) yazılabilir. Buna göre derinliğin kritik derinlikten büyük, hızın kritik hızdan küçük olduğu akımlara nehir rejiminde akımlar denir. Derinliğin kritik derinlikten küçük, hızın kritik hızdan büyük olduğu akımlara sel rejiminde akımlar denir. Nehir rejimine kritik altı rejim, sel rejimine ise kritik üstü rejim de denir. 160

161 161

162 E 2 Q 2gA 2 y 2 de 1 Q da (3.5) 3 dy ga dy 2 2 Q E 2gA 2 y Kanal Kesitinin Genel Şekle Sahip Olması Hali (3.2) numaralı denklemin y ye göre diferansiyeli alınarak minimum enerji koşulları elde edilebilir: Derinlikteki artışlara karşılık kesit alanı artışı da = B.dy yerine konarak, minimum enerji koşulu için (3.5) denklemi sıfıra eşitlenirse, QB 1 (3.6) 3 ga bulunur. Burada birinci terimin karekökü Froude sayısıdır. Fr 2 Q * B Q A V 3 g* A g * A B g * A B (3.7) 162

163 (A/B) oranı hidrolik derinlik veya ortalama derinlik olarak isimlendirilir. (3.6) denklemine göre minimum enerji için Froude sayısının değeri bire eşit olmalıdır (Fr = 1). Bu durumdaki akıma kritik akım denir. Nehir rejiminde Froude sayısı birden küçüktür (Fr < 1), sel rejiminde birden büyüktür (Fr > 1). Dikdörtgen Kesit Hali Dikdörtgen kesitler için özgül enerji, derinliğin (y) ve birim kanal genişliğinden geçen debinin (q = Q / B) fonksiyonu olarak ifade edilebilir. Genel kanal kesiti için yapılan incelemenin bir benzeri dikdörtgen kesitler için yapılırsa aşağıdaki denklemler yazılabilir: Q q V. y (3.8) B 2 q E y (3.9) 2 2gy Kritik derinlik için de/dy = 0 olmalıdır. de dy 2 q 1 0 (3.10) 3 gy 163

164 q = V.y olduğu için, Minimum E için, 2 V 1 0 (3.11) gy koşulu olmalıdır. Bir dikdörtgen kanalda Froude sayısı, V Fr gy q gy 3 (3.12) olduğu için (3.11) denkleminden 2 1 Fr 0 Fr 1 (3.13) olur. (3.10) denklemi derinliğe göre çözülürse, y c de q dy gy 2 q g 2 13 (3.14) 164

165 bulunur. Bu denklem, dikdörtgen kesitli kanallarda kritik derinliği birim debiye göre verir. Bu durumda (3.13) ve (3.14) denklemlerine göre, minimum enerji için kritik rejimde Froude sayısının değeri bire eşit Fr=1 veya y = y c olmalıdır. Nehir rejiminde (kritik altı) Froude sayısı birden küçük Fr < 1 veya y > y c olmalıdır. Sel rejiminde (kritik üstü) Froude sayısı birden büyük Fr > 1 veya y < y c olmalıdır. Minimum enerji değeri, (3.9) ile (3.14) denklemlerinden q yok edilerek bulunur: q q Emin y c E y 2gy 2 y c g 3 * (3.15) 2 165

166 Ayrıca dikdörtgen kesit için y c 3 2 Q (3.16) 2 g* B denklemi geçerlidir. 166

167 E Q 2 2gA E = Sabit için Q-y Eğrisi y (3.2) bağıntısı, sabit E için Q ve y nin değişimine bağlı olarak da incelenebilir. Q A 2 g( E y) (3.17) y 0 A 0 Q 0 y E Q 0 olacağından, fonksiyonun grafiği aşağıdaki şekilde olur. 167

168 168

169 Bu şekilden görüldüğü gibi, Q(y) eğrisi bir maksimumdan geçmektedir. Bu maksimum noktasının koordinatları, (3.17) denkleminin y ye göre diferansiyeli sıfıra eşitlenerek bulunabilir. da 2 g( E y) Ag dq dy dy 2 g( E y) 0 (3.18) veya da B.dy olduğu kabul edilerek, 2( E y) B A 1 (3.19) bulunur. Bu bağıntıda A ve B, y nin fonksiyonudur. E sabit olduğuna göre (3.19) denkleminin y ye göre çözümü Q debisini maksimum yapan y değerini verir. buna göre maksimum debi, Qmax A 2 g( E y ') (3.20) olur. Buradan (E-y ) çekilerek (3.19) denkleminde yerine konursa, 169

170 Q 2 * B 3 g* A 1 (3.21) 2 QB ga 3 1 Bulunur. Bu denklem (3.6) denklemiyle aynıdır. (3.6) denkleminin y ye göre çözümü kritik derinliği verdiğine göre, (3.21) denkleminin çözümü de kritik derinliği vermelidir (y=y ). Başka bir deyişle maksimum debi kritik derinlikten geçmektedir. Buna göre, bir kanal kesitinden, verilmiş sabit bir E özgül enerjisinde maksimum debi (Q max ) geçebilir. Bu durumda akım derinliği kritik derinliğe eşittir. 170

171 Örnek 3.1: Taban genişliği 5 m ve su derinliği y olan bir dikdörtgen kanal verilmektedir. Kanaldan Q = 20 m 3 /s lik bir debi geçmektedir. Sürtünme tesirlerini ihmal ederek, a. Verilen debinin E = 1,84 m lik bir enerji seviyesi ile hangi y derinliklerinde akabileceğini bulunuz. b. Bu derinliklerde akımın, rejimini bulunuz. c. Minimum enerji yüksekliğini bulunuz. 171

172 Örnek 3.1: Taban genişliği 5 m ve su derinliği y olan bir dikdörtgen kanal verilmektedir. Kanaldan Q = 20 m 3 /s lik bir debi geçmektedir. Sürtünme tesirlerini ihmal ederek, a. Verilen debinin E = 1,84 m lik bir enerji seviyesi ile hangi y derinliklerinde akabileceğini bulunuz. b. Bu derinliklerde akımın, rejimini bulunuz. c. Minimum enerji yüksekliğini bulunuz. a. Enerji denkleminden 2 V Q 20 4 E y ; V 2g A 5y y E y 1,84 y 1,84y 0, g* y Bu denklemin tatonmanla çözümünden akım derinlikleri y 1 = 1,45 m ve y 2 = 1,00 m 172

173 Örnek 3.1: Taban genişliği 5 m ve su derinliği y olan bir dikdörtgen kanal verilmektedir. Kanaldan Q = 20 m 3 /s lik bir debi geçmektedir. Sürtünme tesirlerini ihmal ederek, a. Verilen debinin E = 1,84 m lik bir enerji seviyesi ile hangi y derinliklerinde akabileceğini bulunuz. b. Bu derinliklerde akımın, rejimini bulunuz. c. Minimum enerji yüksekliğini bulunuz. b. Akımın rejimini y c 2 2 Q g* B 9,81*5 1,18 m y 1 = 1,45 m için y 1 > y c akım nehir rejimindedir. y 2 = 1,00 m için y 2 < y c akım sel rejimindedir. c. Minimum enerji yüksekliği 3 3 Emin * yc *1,18 1,77 m

174 Örnek 3.2: Taban genişliği 6 m, şev eğimi 1/2 olan trapez kesitli bir kanalda 10 m 3 /s debili su iletilmektedir. Akımda, a. Kritik derinliği b. Kritik hızı c. Minimum özgül enerjiyi bulunuz. 174

175 Trapez kesitte üst genişlik ve alan: B b 2my y 6 4. y A ( b my) y (6 2 y) y a. 2 2 Q * Bc 10 *(6 4 yc ) 1 3 g* A c 9,81*[(6 2 yc)* yc] 3 y 0,0245*[(6 2 y )* y ] 1,5 buradan deneme yanılma ile y c = 0,62 m bulunur. Q b. V c c c c A c = (6+2*0,62)*0,62 Q 10 Vc 2,23 m / s A 4,49 c A c c. 2 2 Vc 2,23 Emin yc 0, 62 0,87 m 2g 19, Q= 10 m 3 /s a. Kritik derinliği b. Kritik hızı c.minimum özgül enerjiyi bulunuz. 175

176 3.2. Nehir ve Sel Rejimlerinin Özellikleri Su yüzeyine yapılan bir etki ile oluşturulan değişiklik, bir dalga oluşumuna sebep olur. Oluşan dalganın özelliği dalganın oluştuğu ortamın y derinliğine, dalganın yüksekliğine y ve dalga boyuna λ bağlıdır. Şekil 3.1a da akım olmayan bir ortamda oluşan dalganın hareketi gösterilmektedir. Şekil 3.1b de, akım hızı (V) ile dalga yayılma hızı (c) birbirine eşit olduğu için dalga hareketsizdir. Bu durumdaki dalgaya kararlı dalga denir 176

177 Froude sayısındaki teriminin, y derinliğindeki sığ su dalgasının yayılma hızını göstermektedir. Başka bir deyişle Froude sayısı akım hızının sığ su dalgası yayılma hızına eşit olmaktadır. Buna göre: gy. Nehir rejimindeki akımlar için, V V Fr 1 Akım hızı < Sığ su dalgası hızı (3.22) gy. c Sel rejimindeki akımlar için, V V Fr 1 Akım hızı > Sığ su dalgası hızı (3.23) gy. c Kritik rejim için, V V Fr 1 gy. c Akım hızı = Sığ su dalgası hızı (3.24) sonuçları bulunur. Bu sonuçlara göre, içinde su akan bir kanalda oluşan dalgaların yayılışı için aşağıdaki sonuçlar verilebilir: 177

178 V = 0 ise dalgalar kararlıdır (stasyoner dalga). Küçük dairesel dalgalar halinde, oluşturuldukları yerden radyal olarak dağılır (Şekil 3.2a) Fr < 1 ise dalgalar dairesel formları sürerken oluşan yayılmada, V hızının etkisinde kalır. V < c olduğu için, dalganın memba tarafına doğru yayılması mansap tarafına doğru yayılmasından daha yavaştır. Yayılma formu simetrik değildir (Şekil 3.2b). Fr = 1 ise V nin c ye eşitlenmeye yakın olduğu limit durumdur. Bu nedenle memba tarafına doğru yayılma oluşmaz. Dalga sınırı oluşur (Şekil 3.2c). Fr > 1 ise V > c olması durumudur. Dalga sınırı, hızlarla ilgili bir α açısıyla mansaba kayar. Dalga, sel rejimine karşı membaya doğru hareket edemez (Şekil 3.2d). 178

179 Sonuç olarak nehir rejiminde bulunan bir akımın mansap bölgesinde, akım koşullarında değişmesi nedeniyle oluşacak bir olay, bütün akım alanında hissedileceği halde, akımın sel rejiminde bulunması halinde, bu olayın etkileri sadece mansap tarafında duyulacaktır. Bu nedenle bazı hallerde nehir rejimindeki akımlar mansap kontrollü, sel rejimindeki akımlar ise memba kontrollü olarak adlandırılır. 179

180 3.4. Açık Kanallarda Akım: Su Yüzeyinde Yerel Değişimler Açık kanallardaki akımlar üniform ve üniform olmayan akımlar olmak üzere ikiye ayrılmıştı ve daha önceki bölümlerde incelenmişti. İncelemeler sırasında değişikliğin etkisinin uzun mesafeler boyunca hissedileceği düşünülmüştü; dolayısıyla sürtünme ve eğim tesirleri göz önüne alınmıştı. Bu bölümde ele alınacak değişken hareketlerde ise, değişikliğin yerel olacağı düşünülecektir. Su yüzünde meydana gelen bu şekildeki değişimler şunlardır: Kanal enkesitinde meydana gelen değişimler (örneğin kanal tabanının bir miktar yükselmesi veya alçalması ve kanal genişliğinin daralması veya genişlemesinin) doğurduğu su yüzü değişimleri; kanal girişlerinde oluşan su yüzü değişimleri; köprü ayaklarının sebep olduğu kesit değişimleri vb 180

181 Hidrolik Sıçrama Su yüzeyinde yerel değişikliğin meydana geldiği bir akıma bakalım. Yerel değişikliğin meydana geldiği bölge içerisinde bulunan bir kesitte derinlik y c (=kritik derinliğe) eşit olsun. Yerel değişikliğin menba tarafındaki akım derinliği y 1, mansap tarafındaki akım derinliği y 2 olsun. İlk önce, y c ile y 1 ve y 2 arasındaki ilişkiyi araştırmak istiyoruz. 181

182 Şekildeki 1 ve 2 kesitleri arasında kalan kontrol hacmine impulsmomentum teoremini uygulayalım. Su yüzündeki yerel değişikliğin şekli konusunda henüz herhangi bir şey söyleyemediğimiz için, kontrol hacmini şekil üzerinde çizemiyoruz. Bununla beraber bu kontrol hacmine x doğrultusunda etkiyen kuvvetlerin düşünülen kontrol hacminin 1 ve 2 yüzeylerine etkiyen basınç kuvvetleri olduğunu söyleyebiliriz. (Su yüzündeki değişikliğin yerel olması dolayısıyla kontrol hacminin uzunluğu küçük olmakta, dolayısıyla sürtünme ve eğim etkileri ihmal edilmektedir) 182

183 Kontrol hacminin 1 ve 2 yüzeyleri, yerel değişikliğin olduğu bölgeden yeterince uzakta seçilirlerse, bu kesitlerde akım çizgileri düzgün ve paralel alınabileceğinden basınç dağılımları hidrostatik dağılıma uyacaktır; dolayısıyla kontrol hacmine x doğrultusunda etkiyen dış kuvvetlerin toplamı 2 2 y1 y2.. (3.26) 2 2 olacaktır. Buna göre impuls-momentum denklemi 2 2 y1 y2. qv. 2. qv. 1.. (3.27) 2 2 şeklinde yazılabilir. 183

184 q birim genişlikten geçen debi olmak üzere q = V 2 *y 2 = V 1 *y 1 süreklilik denklemi kullanılarak bu denklem g 2 2. g. q ( y y ). y2 y1 2 2 y y. y y ve her iki tarafı ρ.g ile bölerek q y1 y2 y1 y2. y1 y2. g y1y2 2 Şeklinde yazılabilir. Akımın üniform olmadığı kabul edildiğinden y 1 - y 2 0 dır ve denklem (y 1 - y 2 ) ile de bölünebilir: q y1 y2 2. ve buradan 2 q g. y1. y2. y1 y2 (3.28) g. y. y 2 bulunur. (3.25) bağıntısı kullanılarak y 2 q c 3 g q 2 3 g. y c yazılırsa 184

185 3 2. y c y1 y2 y1 y2 halini alır. Bu denklem iki tarafı y c3 ile bölünüp, Y y ; Boyutsuz denklemleri tanımlanarak Y Y Şeklinde Y 1 ve Y 2 ye göre simetrik bir denklem yazılabilir. Bu bağıntının değişimi incelenip grafiği çizildiğinde aşağıdaki şekildeki eğri elde edilir. Şekilden görüldüğü gibi olmaktadır veya buradan..( ) (3.29) Y y yc yc Y Y (3.30) Y Y Y 1 icin 1 ve 2 1 Y 1 icin 1 2 1

186 y y ise y y 2 c 1 y y ise y y 2 c 1 c c ve neticesine varılmaktadır. Bu bağıntı şu çok önemli sonucu göstermektedir. Kritik derinliğin bir tarafındaki akım nehir, diğer tarafındaki akım sel rejiminde olmalıdır; yani kritik derinliğin membasındaki akım nehir rejiminde ise, mansabındaki akım sel rejiminde, benzer şekilde membasındaki akım sel rejiminde ise, mansabındaki akım nehir rejiminde olmalıdır.

187 Yukarıda kritik derinliğin iki tarafındaki akımın rejimlerinin farklı olduğu görüldü. Bununla beraber nehir rejiminden sel rejimine geçiş sırasında seviye sürekli olarak değiştiği halde, sel rejiminden nehir rejimine geçiş sırasında genellikle seviye sürekli olarak değişmez. Bu olay hidrolik sıçrama olarak adlandırılır. Şimdi hidrolik sıçramanın iki tarafındaki derinlikler arasındaki bağıntıyı bulalım.

188 Hesaplar sırasında seviye artışının x 0 absisli enkesitte oluştuğunu ve bir seviye süreksizliğinin varlığını kabul edeceğiz. (3.29) ve (3.30) denklemleri genel hal için çıkarılmıştı. Bu bağıntılar yardımıyla membadaki akım parametreleri kullanılarak sıçramadan sonraki akım parametreleri (veya tersi) hesaplanabilir. Bu amaçla (3.29) denkleminde q = V 1.y 1 yazılır ve y 13 ile bölünürse 2 2V1 y2 y2 g. 1 y1 y1 y1 Bu denklemde 2 2 Fr Froude sayısı kullanılırsa 1 V1 g. y1 y2 y Fr1 0 ve buradan y1 y1 y Fr1 1 y1 2 denklemi elde edilir. Karekök önündeki (-) işareti alındığı takdirde y 2 derinliği negatif çıkacağından, bu hal çözüm olamaz; dolayısı ile,

189 Yük kaybı (h k ) hidrolik sıçramanın içindeki yüksek türbülanslı karışma nedeniyle oluşur. 2 2 V 1 V 2 hk ' y1 y2 2g 2g Bu denklemden, süreklilik denklemi kullanılarak yapılan düzenlemeler ve cebrik işlemlerle aşağıdaki yük kaybı denklemi yazılabilir: h k y y ' (3.34) 4* y * y 1 2 y 2 > y 1 olduğundan h k > 0 çıkar; böylece hidrolik sıçramada yerel enerji kaybı olduğu ve bunun (3.34) denklemi ile hesaplanacağı gösterilmiş olur.

190 (3.34) denklemi çıkarılırken, memba tarafındaki akım sel mansap taraftaki akım nehir rejimindedir diye bir şart ileri sürülmemiştir. Dolayısıyla aynı analiz, memba tarafındaki akımın nehir, mansap taraftaki sel rejiminde olması hali için de geçerli olmalıdır. Bu takdirde y 1 > y c > y 2 olacağından, (3.34) denklemi h k < 0 verir. Bu sonuç, nehir rejiminden sel rejimine geçişte herhangi bir enerji kaybı olmaması gerektiğini gösterir (zira tanıma göre enerji kaybı negatif olamaz); yerel enerji kaybının olmaması ise geçişin sürekli olduğu anlamına gelir. Bu suretle (3.34) denkleminin bir sonucu olarak nehir rejiminden sel rejimine geçişin sürekli olduğu gösterilmiş olur.

191 Hidrolik sıçrama, akımda büyük ölçüde enerji kaybına sebep olduğundan, baraj ve bağlama gibi akarsu yapılarındaki enerji kırıcı tesislerde, hidrolik sıçrama olayından akımın enerjisini kırmak amacıyla yararlanılır. 191

192 Örnek 3.4: Dikdörtgen bir kanalda akan suyun birim genişlik debisi q = 10 m 3 /sn.m ve y 1 = 1,25 m dir. Hidrolik sıçramanın oluşması halinde a. y 2 b. V 2 c. Fr 2 d. h k bulunuz. 192

193 Örnek 3.4: Dikdörtgen bir kanalda akan suyun birim genişlik debisi q = 10 m 3 /sn.m ve y 1 = 1,25 m dir. Hidrolik sıçramanın oluşması halinde a. Memba tarafındaki hız : V 1 q 10 8 m / s y 1,25 1 Memba tarafında Froude sayısı: Fr 1 V gy. 9,81*1, 25 2,285 (3.31) denkleminden y 2 bulunabilir y2 1 *( 1 8*(2,285) 2 1) 1,25 2 y2 3,46 m 193

194 Örnek 3.4: Dikdörtgen bir kanalda akan suyun birim genişlik debisi q = 10 m3/sn.m dir. Hidrolik sıçramanın oluşması halinde b. q = V 2 *y 2 = V 1 *y 1 denkleminden V 2 bulunabilir: C. V 2 Fr Vy y V 8*1, 25 3,46 2,89 m / s 2 2 2,89 gy. 9,81*3, 46 0,496 d. Enerji kaybı h k (3.34) denkleminden hk 3,46 1,25 3 4x1,25 x3,46 0,624 m 194