YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM

Transkript

1 YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM Yavaş değişen akımların analizinde kullanılacak genel denklem bir kanal kesitindeki toplam enerji yüksekliği: H = V g + h + z x e göre türevi alınırsa: dh d V = dx dx g + dh dx + dz dx ve ifadedeki terimler yerine; dh / dx = - S, dz / dx = -S0 d dx V g = d dx Q g A dh dh = dh dx d dh Q g A = - dh dx Q g A 3 da dh = - dh dx Q g A B 3

2 dh Q B dh Q B dh - S = S = 1- - S0 dx 3 0 g A dx 3 g A dx dh dx = 1- Q S 0 - S B / g A 3 veya Q B/gA 3 =Fr kullanılırsa dh S - S = 0 dx 1- Fr (9.30) (9.30) ifadesi yavaş değişen akım profillerinin analizinde kullanılan genel ifadedir. dh/dx in pozitif olması akımda derinliğin arttığını, dh/dx in negatif olması derinliğin azaldığını gösterir.

3 (9.30) denklemi iki özel durumda irdelenirse; 1. dh/dx = 0 : Bu durum aşağıdaki koşullarda oluşur. (a) S = S 0 ve Fr 1 olması: Bu üniform akım (b) S = S 0 ve Fr =1 olması: dh/dx = 0/0 0 Şekil de görülen kritik derinliğin oluştuğu durumdur.

4 . dh/dx= : Bu durum Fr = 1 ve S S 0. için gerçekleşir. Yani akımda Q B/gA 3 = 1 kritik akım koşulunun geçerlidir. Şekil de görüldüğü gibi bu koşulun oluştuğu yüzey eğiminin sonsuza gittiği akım hali hidrolik sıçramadır.

5 Akım Profillerinin Sınıflandırılması dh dx = S0 - S 1- Fr İfadesi ile üniform olmayan su yüzü profillerinin sınıflandırılması, yüzey profilinde derinliğin artması (dh/dx>0) veya azalmasının (dh/dx<0) niteliksel olarak tespiti, ifadede pay (S 0 -S) ve paydanın (1-Fr ) işaretlerinin tespiti ile yapılabilir. S 0 -S ve 1-Fr nin işaretleri akımın derinliği h, normal derinlik h n ve kritik derinlik h c lerin rölatif büyüklüklerine bağlıdır. Bu derinliklerin rölatif büyüklüklerini etkileyen ve sınıflandırmada esas olan iki temel kriter taban eğimi ve akım derinliğidir.

6 Taban Eğimine Göre Sınıflandırma S 0 < S c :Yumuşak eğim-mild (M) h n > h c S 0 > S c :Dik eğim-steep (S) h n < h c S 0 = S c :Kritik eğim -Critical (C) h n = h c S 0 = 0 :Yatay taban-horizontal (H) h n = (teorik) S 0 < 0 :Ters eğim-adverse (A) h n = (teorik) Yatay ve ters eğim yumuşak eğimin özel halleridir.

7 Su Derinliğine Göre Sınıflandırma Akım profilindeki h su derinliğinin, h n ve h c ye kıyasla yer alması muhtemel üç bölge için aşağıdaki eşitsizlikler yazılabilir: 1 Bölgesi (üst) : h > h n > h c veya h > h c > h n Bölgesi (orta): h n > h > h c veya h c > h > h n 3 Bölgesi (alt) : h n > h c > h veya h c > h n > h Yukarıdaki sınıflandırma kriterlerinin birleştirilmesi sonucu açık kanallardaki yavaş değişen akımlar için 1 farklı su yüzü profili Tablo da verilmiştir.

8 Tablo Üniform olmayan akım profilleri M1 M M3 S1 S S3 C C H H A A

9 Akım Profillerinin Belirlenmesi Taban eğimi ve Su derinliği ne göre tespit edilen sınıflandırma kriterlerine dayanarak tabloda verilen her bir profil türünün değişim biçimi ile memba ve mansap sınırları için bölgesel limitler belirlenebilir. Derinliğin arttığına veya azaldığına karar verebilmek için dh S0 - S = dx 1- Fr denkleminin pay ve paydasının işaretleri aşağıdaki gibi bulunur: Eğer h > h n ise S < S 0 S 0 - S > 0 Eğer h < h n ise S > S 0 S 0 - S < 0 Eğer h > h c ise Fr < Fr > 0 Eğer h < h c ise Fr > Fr < 0

10 M1 profili h > h n > h c M Türü Profiller : h n > h c S 0 - S > 0, 1 - Fr > 0 dh/dx = +/+ = +: derinlik artar. h h n için S S 0 dh/dx 0 : su yüzeyi h = h n ye asimptotik. h için S 0, Fr 0 dh/dx S 0 : su yüzeyi yataya asimptotik. M profili h n > h > h c S 0 - S < 0, 1 - Fr > 0 dh/dx = -/+ = - : derinlik azalır. h h n için S S 0 dh/dx 0 : su yüzeyi h = h n ye asimptotik. h h c için S S 0, Fr 1 dh/dx 0/0: belirsiz, gerçekte sonlu bir değer. M3 profili h n > h c > h S 0 - S < 0, 1 - Fr < 0 dh/dx = -/- = +: derinlik artar. h 0 için S, Fr dh/dx / :gerçekte pozitif sonlu bir değer. h h c için Fr 1 dh/dx : hidrolik sıçrama.

11 1 Yatay 3 dh/dx sonlu değer dh/dx= dh/dx sonlu değer M profilleri

12 S Türü Profiller: h n < h c S1 profili h > h c > h n S 0 - S > 0, 1 - Fr > 0 dh/dx = +/+ = +: derinlik artar. h h c için Fr 1 dh/dx : hidrolik sıçrama. h için S 0, Fr 0 dh/dx S 0 : su yüzeyi yataya asimptotik. S profili h c > h > h n S 0 - S > 0, 1 - Fr < 0 dh/dx = +/- = - : derinlik azalır. h h c için S S 0, Fr 1 dh/dx 0/0: belirsiz, gerçekte sonlu bir değer. h h n için S S 0 dh/dx 0 : su yüzeyi h = h n ye asimptotik. S3 profili h c > h n > h S 0 - S < 0, 1 - Fr < 0 dh/dx = -/- = +: derinlik artar. h 0 için S, Fr dh/dx / : gerçekte pozitif sonlu bir değer. h h n için S S 0 dh/dx 0 : su yüzeyi h = h n ye asimptotik.

13 1 dh/dx sonlu değer dh/dx= Yatay 3 dh/dx sonlu değer S profilleri

14 C Türü Profiller : h n = h c Bu tür profillerde h n =h c olduğundan bölgesi kaybolur ve derinlik için iki bölge tanımlanabilir C1 profili h > h n = h c S 0 - S > 0, 1 - Fr > 0 dh/dx = +/+ = + : derinlik artar. h h n = h c için S S 0, Fr 1 dh/dx 0/0: belirsiz, gerçekte sonlu değer. h için S 0, Fr 0 dh/dx S 0 : su yüzeyi yataya asimptotik. C3 profili h n = h c > h S 0 - S < 0, 1 - Fr < 0 dh/dx = -/- = + : derinlik artar. h 0 için S, Fr dh/dx / : gerçekte pozitif sonlu değer. h h n = h c için S S 0,Fr 1 dh/dx 0/0: belirsiz,gerçekte sonlu değer.

15 1 dh/dx sonlu değer Yatay 3 dh/dx sonlu değer dh/dx sonlu değer C profilleri

16 H ve A Türü Profiller : h n = H tabanlı kanalda Manning formülüne göre su derinliği sonsuza gider. Bunun sonucunda 1 bölgesi kaybolur, ve 3 bölgelerindeki profiller ise M ve M3 profillerine benzerler. A tabanındaki profiller için de benzer durum sözkonusudur 3 H profilleri

17 3 A profilleri

18 Akım Profillerinin Ortak Özellikleri 1. Üst bölgede (1 bölgesi) yeralan su yüzü eğrilerinde derinlik artar (dh/dx>0) ve bu bölgedeki eğriler kabarma eğrileri olarak, orta bölgede ( bölgesi) yeralan eğrilerde derinlik azalır (dh/dx<0) ve bu bölgedeki eğriler alçalma eğrileri olarak adlandırılır. Alt bölgede (3 bölgesi) yer alan eğrilerde derinlik artar (dh/dx>0).. Normal derinliğe yaklaşan su yüzü eğrileri h n =h c dışında bu derinliğe e asimptotik olarak yaklaşırlar 3. Kritik derinliğe yaklaşan su yüzü eğrileri bu derinliği oldukça büyük sonlu bir açı ile geçerler. Hidrolik sıçrama durumunda kritik derinlik teorik olarak dik açı ile geçilir 4. Yüzey eğrileri kanal tabanına teorik olarak sonlu bir açı ile keserler, ancak bu durum pratik olarak mümkün değildir. 5. Kritik-altı akım profilleri mansap tarafından, kritik-üstü profiller memba tarafından kontrol edilirler, yani değiştirilebilirler. Dolayısıyla bir profilin hesabına ait olduğu kontrol kesitinden başlanır.

19 Kontrol Kesitleri ve Yüzey Profillerinin Belirlenmesi Kontrol kesitleri, akım debisi ile su derinliği arasında belirli bir ilişkinin bulunduğu kesitlerdir. Su yüzü profillerinin hesabına başlamadan önce, hesapların başlangıç kesitlerini oluşturacak kontrol kesitlerinin belirlenmesi gerekir. Bir kontrol kesitinde akım derinliği, kritik derinlik, normal derinlik veya bilinen herhangi bir derinlik olabilir. Yüzey profillerinin çizimine kontrol kesitlerinden başlanarak akımın kritik-altı veya kritik-üstü olması durumuna göre membaya veya mansaba doğru ilerlenir. Üniform kesitli ve değişken eğimli uzun bir kanal boyunca çeşitli su yüzü eğrilerinden oluşan akım profilinin belirlenmesi için aşağıdaki adımlar takip edilir: (a) Kanal boyunca kritik derinlik ve normal derinlik çizgileri çizilir. (b) Akım üzerindeki kontrol kesitlerinin yerleri tespit edilir. Kontrol kesiti bir baraj, bağlama, kontrol kapağı, kanal girişi, kanal çıkışı veya serbest dökülmeşeklinde olabilir. (c) Herbir kontrol kesitinden başlayan akım profili ait olduğu sınıflandırma türüne uygun olarak çizilir.

20 E.Ç. E.Ç.

21 Su Yüzü Profillerinin Hesabı dh S0 - S = dx 1- Fr denklemi ile verilen üniform olmayan akımın genel ifadesi su yüzü profillerinin hesabında kullanılan yöntemlere temel teşkil etmektedir. 1 - Sayısalİntegrasyon Yöntemi Yukarda verilen denklemi aşağıdaki gibi ters olarak yazalım dx dh 1- Q B / g A = S - S 0 3 Verilen Q ve S 0 için denklem h ın fonksiyonudur ve dx/dh=f(h) şeklinde yazılabilir. Buna göre (9.31) denklemi Şekil de görülen 1 ve kesitleri arasında integre edilirse:

22 x x 1 dx = L = h h 1 1- Q B / g A S - S 0 3 dh = h h 1 f (h) dh Buradan, akım profilinde h 1 ve h derinlikleri arasındaki uzunluğun f(h) eğrisi altındaki alana eşit olduğu anlaşılır. f(h) f(h)dh f(h 1 ) f(h )

23 Yöntemin hesap prosedürü aşağıdaki gibidir: (a) Profilin başında ve sonundaki derinlikler belirlenir. (b) f(h) eğrisi uygun (dh) derinlik farkları ile hesaplanır. (c) f(h) eğrisi altındaki alan sayısal integrasyonla adım adım bulunarak herbir derinlikte başlangıca olan uzaklık elde edilir.

24 - Doğrudan Adım Yötemi Adım yönteminde profil hesabı kanal boyunca belli aralıklarda adım adım yapılır. Doğrudan adım yönteminde seçilen derinliklerdeki kesit ara mesafeleri bulunur. Bu yöntem prizmatik kanallara uygulanabilir. x Kritik altı akım Sıfır düzlemi x x

25 Şekil 9.3 de görülen bir hesap adımındaki 1 ve kesitleri arasında Bernoulli denklemi V1 + h1 + z1 + S x = g V g + h + z burada enerji çizgisinin eğimi olarak 1 ve kesitlerinin ortalama değeri alınıp, z - z 1 = S 0 x ve V /g+h=e yazılırsa: 1- E = (S - S) x E 0 buradan, hesap adımındaki profil parçasının uzunluğu aşağıdaki gibi bulunur x = E - E S - S 1 0 = S 0 E - S Doğrudan adım yönteminin hesap prosedürü aşağıdaki gibidir: (a) Hesabı yapılacak akım profilinin başında ve sonundaki derinlikler belirlenir. (b) Hesap adımları için uygun görülen farklarda ara derinlikler seçilir. (c) son denklem ile seçilen derinliklerdeki ara mesafeler hesaplanır.

26 3 - Standart Adım Yöntemi Standart adım yönteminde kanalın seçilen x aralıklarında akım derinlikleri hesaplanır. Prizmatik ve prizmatik olmayan kanallara uygulanabilir. Prizmatik Kanallarİçin Son denklemden E 0 = E1 - (S - S) x Bu denklemde, kesitinde enerji çizgisi eğimi S =V n /R 4/3 değerini de içermekte olup S değeri bilinmeyen h ye bağlıdır. Dolayısıyla E nin hesabı deneme yanılma işlemini gerektirir. (a) h için bir deneme değeri tahmin edilir ve E =h +V /g hesaplanır. (b) (9.33) denkleminden E hesaplanır. (c) Eğer (a) ve (b) de hesaplanan E ler kabul edilebilir bir hassasiyet ölçüsünde eşdeğer değilse hesap prosedürü yeni bir h ile tekrarlanır.

27 Prizmatik Olmayan Kanallarİçin Standart adım yöntemi akarsular gibi prizmatik olmayan kanallardaki su yüzü profillerinin analizi için de uygundur. Bunun için profil hesabı yapılacak uzunluk hidrografik çalışmalar ile uygun hesap aralıklarına bölünür. Bu aralıkların seçiminde kesit şekli, taban eğimi ve yüzey pürüzlülüğünün mümkün olduğunca üniforma yakın olmasına özen gösterilir. Taban düzensizlikleri nedeniyle profil hesabında akım derinliği yerine su yüzü kotu hesaplanır. Şekil 9.33 teki bir hesap adımında su yüzü kotları Z 1 ve Z olarak görülmektedir x Kritik altı akım x Sıfır düzlemi

28 Şekil deki 1 ve kesitleri arasında Bernoulli denklemi: 1 V g + Z 1 + S x = V g + Z H = H1 + S x Son denklemindeki, bilinmeyen Z değerine bağlı olduğundan H nin hesabı deneme yanılma işlemini gerektirir. Yöntemin hesap prosedürü aşağıdaki gibidir: (a) Z için bir deneme değeri tahmin edilir ve H =Z +V /g hesaplanır. (b) (9.34) denkleminden H hesaplanır. (c) Eğer (a) ve (b) de hesaplanan H ler kabul edilebilir bir hassasiyet ölçüsünde eşdeğer değilse hesap prosedürü yeni bir Z ile tekrarlanır.