Nlαlüminyum 5. αlüminyum

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Nlαlüminyum 5. αlüminyum"

Basak Özsoy
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Soru 1. Bileşik bir çubuk iki rijit mesnet arasına erleştirilmiştir. Çubuğun sol kısmı bakır olup kesit alanı 60 cm, sağ kısmı da alüminum olup kesit alanı 40 cm dir. Sistem 7 C de gerilmesidir. Alüminum kısımdaki gerilmelerin 160 MPa lı geçmeecek şekilde, sistemin sıcaklığını düşürebileceğimi uç değeri bulunu. Bakır için : E= 1,1x 5 N/mm, αt= 1,698x -5 Alüminum için : E= 0,70x 5 N/mm, αt=,380x -5 Çöüm 1. Sistem üçüncü dereceden hiperstatiktir. Ancak sıcaklık farkından dolaı çubukta kesme kuvveti ve eğilme momenti oluşmaacağından ve alnı eksenel kuvvet medana geleceğinden sistem birinci dereceden hiperstatik kabul edilebilir. Problemi çöebilmek için bir adet geometrik ugunluk şartına ihtiacımı vardır. Sıcaklık değişiminden sonra çubuktaki toplam bo değişiminin sıfır olması gereğinden hareketle, ugunluk şartı: olacaktır. Dolaısıla, lbakır + l alüminum = 0 Nlbαkır 5 N 300 lbαkır = αt,bαkır tlbαkır + = (1, 698 t 300) + 5 EA 1, bαkır 5 7 lbαkır = (509, 40 t) + (4, 46 N) Nlαlüminum 5 N 00 lαlüminum = αt,αlüminum tlαlüminum + = (, 38 t 00) + 5 EA 0, αlüminum l (476, 00 t) (7, 14 N) 5 7 αlüminum = + olarak elde edilir. İki parçalı çubukta sıcaklığın düşmesine bağlı olarak eksenel çekme kuvveti medana gelecektir. Alüminumda medana gelen gerilmelerin 160 Mpa lı geçmemesi için sistemin eksenel kuvvetinin maksimum, Nmakσ = σ alüminuma alüminum = = N değerine eşit olması gerekir. Bulduğumu eksenel kuvveti ukarıdaki denklemlerde erine koar ve geometrik ugunluk şartımıı aarsak, İstanbul Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 / 9

2 (509, 40 t) + (4, ) + (476 t) + (7, ) = 0 (509, 40 t) + (476 t) = 854, , , 40 t 744, = t = 75, 34 C değerini elde ederi. Sistemin sıcaklığını düşürebileceğimi uç değer ise, olarak elde edilir. t = t t0 t 7 = 75,34 t = 48,34 C ---- o ---- Soru. Aşağıda ükleme durumu verilen I kesitli basit kirişte, σem= 140 MPa ve τem=80 MPa olduğuna göre, a) Kiriş kesitinde medana gelen ata ve düşe kama gerilmelerini hesaplaını, kesit dülemindeki değişimini diagram ile gösterini. b) Kiriş kesitinde medana gelen normal gerilmeleri (C ve D noktaları için de) hesaplaını ve kesit dülemindeki değişimini diagram ile gösterini. c) I kesitli kirişin boun bölgesinde (C ve D noktalarında) medana gelen maksimum gerilmeleri, eksenine dik dülem gerilme elemanı ve Mohr dairesi üerinde gösterini. d) Kesitin eterli mukavemette olup olmadığını, en büük kama gerilmesi hipotei ve biçim değiştirme enerjisi hipotei ile tahkik ederek değerlendirini. İstanbul Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü / 9

3 Çöüm. Kirişe ait kesit tesiri diagramlarını ve kesit parametrelerini hesaplaarak gerilme tahkikinde dikkate alacağımı kritik noktaları belirlememi gerekir. Görüleceği üere kiriş ekseni üerinde tekil üklerin bulunduğu E ve F noktalarında hem kesme kuvveti hem de eğilme momenti maksimum değerlerine ulaşmaktadır. Dolaısıla apacağımı gerilme tahkiklerinde hem kama gerilmelerinin hem de normal gerilmelerin bir arada bulunması halini bu noktalar için gö önüne almamı gerekecektir. Kiriş kesiti için: Kesit alanı : A = (15 ) + (1 0) = 80cm Atalet momenti : I = = 7946,67cm Statik moment : Q = = 330,00cm Q, başlık = Q + ( 1 5) = 380, 00cm, G, başlık 4 a) Kesitte oluşan düşe (gövde doğrultusu) ve ata (başlık doğrultusu) kama gerilmeleri: Maksimum kesme kuvvetinden dolaı profilde medana gelen düşe kama gerilmeleri: İstanbul Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü 3 / 9 3

4 τ τ τ VQ başlık = = =,07 N/mm b I , 67, x, başlık 4 başlık VQ başlık = = = 31,05N/mm τ I 7946, 67, x, başlık 4 gövde VQ G, = = = 34,86 N/ mm τ I 7946, 67 x,max 4 gövde Maksimum kesme kuvvetinden dolaı profilin başlığında medana gelen ata kama gerilmeleri: τ V ( Q başlık /) = = = 7,79 N/mm τ I , 67, x, başlık 4 başlık b) Kesitte oluşan normal gerilmeler: Eğilmeden dolaı kiriş kesitinin alt kısmı çekme üst kısmı basınç gerilmeleri ile üklü olacaktır. Eksenel normal kuvvetin varlığı ise tarafsı ekseni ağırlık merkeinden farklı bir noktaa taşıacaktır. σ x N =+ 50,00 kn ; M =+ 75,00 knm 3 6 N M = + = + = 6, 5 + 0,944 4 A I , 67 İstanbul Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü 4 / 9

5 Eksenel normal kuvvet ve eğilme momentine maru kirişte, normal gerilmeleri veren ukarıdaki denkleme, kesitin herhangi bir noktası için ordinat değerini aarak normal gerilmeleri elde ederi. =+ mm σ = 6, 5 + 0, 944() = 119, 53 N/mm x,max = mm σ = 6, 5 + 0, 944( ) = 7, 03 N/mm x,min =+ 0 mm σ = 6, 5 + 0, 944(0) = 0, 65 N/mm xd, = 0 mm σ = 6, 5 + 0, 944( 0) = 88, 15 N/mm xc, c) Başlık ile gövdenin birleştiği noktalarda gerilme halinin tasviri: Başlık ile gövdenin birleştiği C Noktası için gövde düleminde medana gelen asal gerilmelerin hesabı: σ = 88,15MPa ; σ = 0 ; τ = 31,05MPa x x σ 1, σx + σ σx + σ 88,15 88,15 = ± + τx = ± + 31, 05 = 44, 075 ± 53, 914 σ = 97,99MPa 1 σ = + 9,84 MPa İstanbul Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü 5 / 9

6 Başlık ile gövdenin birleştiği D Noktası için gövde düleminde medana gelen asal gerilmelerin hesabı: σ = 0,65MPa ; σ = 0 ; τ = 31,05MPa x x σ 1, σx + σ σx + σ 0, 65 0, 65 = ± + τx = ± + 31, 05 = 50, 35 ± 59, 133 σ = + 9, 46MPa 1 σ = 8, 81MPa d) Maksimum ve minimum gerilmeler ile σem= 140 MPa ve τem=80 MPa için kesitte gerilme tahkiki: Başlık ile gövdenin birleştiği C noktasında en büük kama gerilmesi hipotei ile tahkik:? σ1 σ σem 97, 99 (9, 84) = 7, 33 MPa σem (Güvenli) Başlık ile gövdenin birleştiği C noktasında biçim değiştirme enerjisi hipotei ile tahkik: ( σ + σ ) σσ σ 1 1 ( 97, 99) + (9, 84) ( 97, 99 9, 84) = 3, 6 MPa σ (Güvenli) Başlık ile gövdenin birleştiği D noktasında en büük kama gerilmesi hipotei ile tahkik:? σ1 σ σem 9, 46 ( 8, 81) = 118, 7 MPa σem (Güvenli) Başlık ile gövdenin birleştiği D noktasında biçim değiştirme enerjisi hipotei ile tahkik:? em ( σ + σ ) σσ σ 1 1 (9, 46) + (8, 81) (9, 46 ( 8, 81)) = 114, 1 MPa σ (Güvenli) ---- o ----? em em em İstanbul Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü 6 / 9

7 Soru 3. Şekilde boutları verilmiş kesitin çekirdek bölgesini hesap edini ve çekirdek bölgesinin ne anlama geldiğini kısaca açıklaını. Çöüm 3. Çekirdek alanını belirleen noktaları hesaplaabilmek için tarafsı eksenin kesit sınırında bulunduğu öel hal dikkate alınarak şekilde verilen teğetlerin, ağırlık merkeinden geçen eksen takımını kestiği noktaların koordinatlarının belirlenmesi gerekir. Kesit alanı : A = (300 0) + ( ) = , 00 mm Ağırlık merkei : e [ ] Atalet momentleri: I I = ( ) + ( ) / = 5, 00 mm = = 117 mm = + = 448 mm 1 1 Atalet arıçapları: i 8 4 I = = = 4375,00mm A I 448 = = = 93333,33mm A i İstanbul Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü 7 / 9

8 Şekilde verilen teğetler için çekirdek noktalarının hesabı: A i i = ; A = t A1 noktasının hesabı için ağırlık merkeinden geçen eksen takımına göre 1-1 teğetinin eksenleri kestiği koordinatlar, = ; = 375 mm olarak hesaplanır. Dolaısıla A1 noktasının koordinatları: t,1 t, A1 = 0 ; A1 = = 65,00 mm 375 olarak bulunur. A noktasının hesabı için ağırlık merkeinden geçen eksen takımına göre - teğetinin eksenleri kestiği koordinatlar, = 700 mm ; = 55mm olarak hesaplanır. Dolaısıla A noktasının koordinatları: t t, t, 93333, A = = 133,33mm ; A = = 46, 43mm olarak bulunur. A3 noktasının hesabı için ağırlık merkeinden geçen eksen takımına göre 3-3 teğetinin eksenleri kestiği koordinatlar, = 600mm ; = olarak hesaplanır. Dolaısıla A3 noktasının koordinatları: t,3 t, , 33 A3 = = 155,55mm ; A3 = olarak bulunur. A4 noktasının hesabı için ağırlık merkeinden geçen eksen takımına göre 4-4 teğetinin eksenleri kestiği koordinatlar, = ; = 5 mm olarak hesaplanır. Dolaısıla A4 noktasının koordinatları: t,4 t, A4 = 0 ; A4 = = 8, 33mm 5 olarak bulunur. Kesit eksenine göre simetrik olduğu için A ve A3 noktalarının eksenindeki değerleri eksi işaretli alınarak çekirdek bölgesi çiilir. Çekirdek bölgesinin anlamı: Dışmerke normal kuvvetin ugulama noktasının çekirdek bölgesi içinde vea sınırında olması halinde, kesitte medana gelen normal gerilmeler tek önlü olacaktır. Ugulama noktasının çekirdek bölgesinin dışına çıkması halinde kesitte medana gelen normal gerilmeler çift önlü medana gelecektir. İstanbul Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü 8 / 9

9 ---- o ---- İstanbul Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü 9 / 9

Benzer belgeler

MUKAVEMET I ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

MUKAVEMET I ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER ders notu Yard. Doç. Dr. Erd DAMCI Aralık 015 Mukavet I - Çöümlü Örnekler - 5.1.015 / 7 Örnek 1. Üerinde alnıca aılı ük bulunan ve açıklığı L olan bir basit kirişe ait eğilme