δ / = P L A E = [+35 kn](0.75 m)(10 ) = mm Sonuç pozitif olduğundan çubuk uzayacak ve A noktası yukarı doğru yer değiştirecektir.

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "δ / = P L A E = [+35 kn](0.75 m)(10 ) = mm Sonuç pozitif olduğundan çubuk uzayacak ve A noktası yukarı doğru yer değiştirecektir."

Eser Mehmed Süleymanoğlu
6 yıl önce
İzleme sayısı:

A-36 malzemeden çelik çubuk, şekil a gösterildiği iki kademeli olarak üretilmiştir. AB ve BC kesitleri sırasıyla A = 600 mm ve A = 1200 mm dir.

Dış yüklerin uygulanması sonucu, AB, BC ve CD bölgelerinde, eksenel iç kuvvet tamamında farklı olacaktır.

Yer değiştirme. A-36 malzemenin elastisite modülü 210(10 ) MPa dir.

1 A-36 malzemeden çelik çubuk, şekil a gösterildiği iki kademeli olarak üretilmiştir. AB ve BC kesitleri sırasıyla A = 600 mm ve A = 1200 mm dir. A serbest ucunun ve B nin C ye göre yer değiştirmesini belirleyiniz. İç kuvvet. Dış yüklerin uygulanması sonucu, AB, BC ve CD bölgelerinde, eksenel iç kuvvet tamamında farklı olacaktır. İç kuvvetler, şekil b de görüleceği üzere, kesim metodu ve dikey doğrultudaki denge denkleminden elde edilir. İç kuvvetlerin değişimi şekil c de çizilmiştir. Yer değiştirme. A-36 malzemenin elastisite modülü 210(10 ) MPa dir. İç çekme kuvvetlerini pozitif, basınç kuvvetlerini ise negatif olarak kabul edilirse, δ = PL AE = [+75 kn](1m)(10 ) (600 mm )210(10 )kn m [+35 kn](0.75 m)(10 ) + [(1200 mm )210(10 )kn/m ] + [ 45 kn](0.5 m)(10 ) [(1200 mm )210(10 ) kn m ] = mm Sonuç pozitif olduğundan çubuk uzayacak ve A noktası yukarı doğru yer değiştirecektir. δ / = P L A E = [+35 kn](0.75 m)(10 ) [(1200 mm )210(10 )kn/m = mm ]

Şekil a görülen montajda alüminyum AB tübü 400 mm kesit alanına sahiptir. 10 mm çapa sahip çelik çubuk tübün içerisinden geçirilerek ve rijit burca bağlanmıştır.

Çubuk ve tübün serbest cisim diyagramı şekil b gösterilmiştir. Çubuk 80 kn yüke maruz kaldığında tüb de 80 kn bir basma kuvvetine maruz kalmıştır. Yer değiştirme.

2 Şekil a görülen montajda alüminyum AB tübü 400 mm kesit alanına sahiptir. 10 mm çapa sahip çelik çubuk tübün içerisinden geçirilerek ve rijit burca bağlanmıştır. Çubuğa 80 kn çekme yükü uygulandığında, çubuğun C ucunda ki yer değiştirmeyi belirleyiniz. Çelik ve alüminyum için elastisite modülleri sırasıyla E ç = 200 GPa ve E = 70 GPa dır. Çözüm İç Kuvvet. Çubuk ve tübün serbest cisim diyagramı şekil b gösterilmiştir. Çubuk 80 kn yüke maruz kaldığında tüb de 80 kn bir basma kuvvetine maruz kalmıştır. Yer değiştirme. Öncelikle, C nin B ye göre yer değiştirmesi belirlenecektir. Newton ve metre birimleri kullanılarak, δ / = PL AE = [+80(10 )N](0.6 m) π(0.005 m) [200(10 ) N m ] = m Çubuk uzadığından, pozitif işaret C ucunun B ye göre uzadığını gösterir. B ucunun sabit A ucuna göre uzaması, δ = PL AE = [ 80(10 )N](0.4 m) 400(10 ) m [70(10 ) N m = m = m ] Negatif işaret tübün kısaldığını gösterir. Bu durumda B ucu A ya göre sağa doğru hareket eder. İki yer değiştirme de sağa doğru olduğundan, C ucunun sabit A ucuna göre bileşke yer değiştirmesi, (+ ) δ = δ + δ / = m m

Şekil a da gösterilen rijit AB kirişi, iki kısa kolon üzerinde uzanmaktadır. AC çelikten yapılmış olup 20 mm çapa ve BD alüminyum malzemeden olup 40 mm çapa sahiptir.

Her bir kolondaki basınç kuvveti, şekil b görülen AB kirişinin serbest cisim diyagramından belirlenir. Bu kuvvetler her bir kolondaki iç kuvvetlere eşittir, şekil c. Yer değiştirme.

3 Şekil a da gösterilen rijit AB kirişi, iki kısa kolon üzerinde uzanmaktadır. AC çelikten yapılmış olup 20 mm çapa ve BD alüminyum malzemeden olup 40 mm çapa sahiptir. AB kirişine F noktasından düşey 90 kn yük uygulanırsa, bu noktadaki yer değiştirmeyi belirleyiniz. E ç = 200 GPa ve E = 70 GPa İç kuvvet. Her bir kolondaki basınç kuvveti, şekil b görülen AB kirişinin serbest cisim diyagramından belirlenir. Bu kuvvetler her bir kolondaki iç kuvvetlere eşittir, şekil c. Yer değiştirme. Her bir kolonun üst ucunun yer değiştirmesi, AC kolonu δ = P L A E ç = BD kolonu, δ = P L A E = [ 60(10 )N](0.3 m) π(0.010 m) [200(10 ) N m ] = 286(10 ) m = mm [ 30(10 ) N](0.3 m) π(0.02 m) [70(10 ) N m ] = 102(10 ) m = mm Kiriş üzerinde A, B ve F noktalarında düşey doğrultudaki yer değiştirmeler şekil d deki diyagramda gösterilmiştir. Taralı üçgenin orantısından F noktasındaki yer değiştirme, 400 mm δ = mm + (0.184 mm) = mm 600 mm

Şekil a da görülen çelik çubuk 5 mm çapa sahiptir. Çubuk A noktasında duvara sabitlenmiştir. Yük uygulanmadan önce B deki duvar ile çubuk ucu B arasında 1 mm boşluk vardır.

Çelik malzemenin elastisite modülünü E ç = 200 GPa alınız. Denge.

4 Şekil a da görülen çelik çubuk 5 mm çapa sahiptir. Çubuk A noktasında duvara sabitlenmiştir. Yük uygulanmadan önce B deki duvar ile çubuk ucu B arasında 1 mm boşluk vardır. Çubuk, şekilde gösterildiği gibi P = 20 kn eksenel yüke maruz kalırsa A ve B deki tepki kuvvetlerini belirleyiniz. C deki burcun boyutunu ihmal ediniz. Çelik malzemenin elastisite modülünü E ç = 200 GPa alınız. Denge. Şekil b deki serbest cisim diyagramında gösterildiği gibi, uygulana kuvvetin yeterince büyük olduğunu ve çubuğun B ucunu B noktasına temasını sağlayacak kadar büyük olduğunu kabul edeceğiz. Problem, iki bilinmeyen ve sadece bir denge denklemine sahip olduğundan statikçe belirsizdir. + ΣF = 0; F F + 20(10 )N = 0 (1) Uyumluluk. Yükleme, B noktasının B noktasına hareketine sebep olur. Bu nedenle çubuk için uygunluk şartı, δ / = m Bu yer değiştirme bilinmeyen tepkiler yardımıyla yer değiştirme-yükleme ilişkisi kullanılarak ifade edilip AB ve BC kısımları için uzama denklemi uygulanırsa, δ / = m = F L AE m = F L AE F (0.4 m) π( m) [200(10 ) N/m ] F (0.8 m) π( m) [200(10 ) N/m ] F (0.4 m) F (0.8 m) = 3927 Nm (2) Denklem 1 ve 2 nin çözümünden F = 16.6 kn ve F = 3.39 kn F pozitif değer olarak hesaplandığı için gerçekten başlangıçta kabul edildiği gibi çubuğun B ucu B deki duvara temas etmektedir. Diğer taraftan, F negatif bir değer olsaydı, problem statikçe belirli olacaktı. Bu durumda, F = 0 ve F = 20 kn olurdu.

Şekil a da görülen alüminyum kolon pirinç çekirdekle takviye edilmiştir.

Alüminyum ve pirinç malzemenin elastisite modüllerini sırasıyla, E = 70 GPa ve E = 105 GPa alınız. Denge. Kolonun serbest cisim diyagramı şekil b görülmektedir.

Düşey kuvvetlerin dengesi + ΣF = 0; 45 kn + F + F = 0 (1) Uygunluk. Kolonun üstündeki rijit başlık alüminyum ve pirinç malzemenin aynı miktarda yer değiştirmesi sağlar.

5 Şekil a da görülen alüminyum kolon pirinç çekirdekle takviye edilmiştir. Kompozit kolonun rijit başlığına uygulanan P = 45 kn eksenel basınç yükünü taşımaktaysa, alüminyum ve pirinçteki ortalama normal gerilmeyi belirleyiniz. Alüminyum ve pirinç malzemenin elastisite modüllerini sırasıyla, E = 70 GPa ve E = 105 GPa alınız. Denge. Kolonun serbest cisim diyagramı şekil b görülmektedir. Burada, tabanda gösterilen bilinmeyen bileşke eksenel kuvvetler alüminyum F ve pirinç F tarafından taşınan bileşenlerini temsil etmektedir. Problem statikçe belirsizdir. Niçin? Düşey kuvvetlerin dengesi + ΣF = 0; 45 kn + F + F = 0 (1) Uygunluk. Kolonun üstündeki rijit başlık alüminyum ve pirinç malzemenin aynı miktarda yer değiştirmesi sağlar. δ = δ Bu durumda, yükleme-yer değiştirme ilişkisi kullanılarak F L = F L A E A E F = F A E = F A E π[(0.05 m) (0.025 m) ] 70 MPa π(0.025 m ) 105 MPa = 2F (2) Denklem (1) ve denklem (2) nin ortak çözümünden F = 30 kn ve F = 15 kn Sonuçlar pozitif olduğu için gerçekten gerilmeler basınç olacaktır. Bu durumda, alüminyum ve pirinçteki ortalama normal gerilme, σ = σ = 30 kn π[(0.05 m) (0.025 m) = 5.09 MPa ] 15 kn π(0.025 m = 7.64 MPa ) Gerilme dağılımları şekil c de görülmektedir.

A-36 çelik malzemeden üç çubuk şekil a da görülen rijit elemana pimlerle bağlanmıştır. Rijit elemana uygulanan kuvvet 15 kn ise, her bir çubukta oluşan kuvveti belirleyiniz.

6 A-36 çelik malzemeden üç çubuk şekil a da görülen rijit elemana pimlerle bağlanmıştır. Rijit elemana uygulanan kuvvet 15 kn ise, her bir çubukta oluşan kuvveti belirleyiniz. AB ve EF çubukları 25 mm kesit alana sahip iken CD çubuğu 15 mm kesit alana sahiptir. Denge. Rijit elemanın serbest cisim diyagramı şekil b de verilmiştir. Bu problemde, üç bilinmeyene karşılık elverişli iki denge denklemine sahip olduğu için statikçe belirsizdir. Bu denklemler, + ΣF = 0; F + F + F 15kN = 0 (1) M = 0; F (0.4 m) + 15 kn(0.2 m) + F (0.4 m) = 0 (2) Uygunluk. Uygulanan yük şekil c de gösterilen yatay ACE çizgisinin A C E eğimli çizgisi olmasına neden olur. A, C ve E noktalarının yer değiştirmeleri orantılı üçgenlerle ilişkilendirilebilir. Bu yer değiştirmeler için uygunluk denklemi yazılırsa, δ δ 0.8 m = δ δ 0.4 m ; δ = 1 2 δ δ Yük-yer değiştirme ilişkisini ifade kullanılarak; F L (15 mm = 1 )E ç 2 F L (25 mm + 1 )E ç 2 F L (25 mm )E ç F = 0.3F + 0.3F (3) Denklem (1), (2) ve (3) birlikte çözülürse, F = 9.52 kn F = 3.46 kn F = 2.02 kn

Şekil a da görülen A-36 çelik malzemeden çubuk iki ucundan ankastre edildiği anda T = 30. Eğer sıcaklık T = 60 ye yükseltilirse çubukta meydana gelen ortalama termal normal gerilmeyi belirleyiniz.

+ ΣF = 0; F = F = F Problem statikçe belirsiz olup statik denge denklemleriyle belirlenemez. Uygunluk.

7 Şekil a da görülen A-36 çelik malzemeden çubuk iki ucundan ankastre edildiği anda T = 30. Eğer sıcaklık T = 60 ye yükseltilirse çubukta meydana gelen ortalama termal normal gerilmeyi belirleyiniz. Denge. Şekil b de çubuğun serbest cisim diyagramı görülmektedir. Dış yük olmadığı için A da oluşan kuvvet B deki kuvvete eşit ancak zıt yönlüdür. + ΣF = 0; F = F = F Problem statikçe belirsiz olup statik denge denklemleriyle belirlenemez. Uygunluk. A nın B ye göre yer değiştirmesi δ / = 0 olduğundan, A ucunda δ termal yer değiştirme oluşacaktı, şekil c, çubuğun ilk boyuna geri dönmesini δ sağlayacak F kuvvetine ihtiyaç gerektirir. Bu durumda, A için uygunluk şartları, (+ ) δ / = 0 = δ δ Termal ve yük-yer değiştirme ilişkileri uygulanmasıyla ifade şu şekle dönüşür 0 = α TL FL AE A-36 çelik malzeme verileri kullanılarak F = α TA E = [12(10 ) ](60 30 )(0.01 m) [200(10 ) kpa] F = 7.2 kn F nin büyüklüğünden sıcaklıktaki değişimin statikçe belirsiz yapı elamanlarında ne kadar büyük tepki kuvvetlerine sebep olacağı açıkça görülebilir. F aynı zamanda çubukta ortaya çıkan eksenel iç kuvveti temsil etiği için ortalama normal basınç gerilmesi σ = F A = 7.2(10 ) MN (0.01 m) = 72 MPa

Benzer belgeler

EKSENEL YÜKLERDEN OLUŞAN GERILME VE ŞEKİL DEĞİŞİMİ Eksenel yüklü elemanlarda meydana gelen normal gerilmelerin nasıl hesaplanacağı daha önce ele

EKSENEL YÜKLERDEN OLUŞAN GERILME VE ŞEKİL DEĞİŞİMİ Eksenel yüklü elemanlarda meydana gelen normal gerilmelerin nasıl hesaplanacağı daha önce ele alınmıştı. Bu bölümde ise, eksenel yüklü elemanların şekil