KÜMELER. a. Doğal sayılar b. Elimdeki parmaklar c. Yaşayan dahi insanlar d. Üç ayaklı hayvanlar e.
|
|
- Batur Yasin
- 6 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 1 KÜMELER KÜME KVRMI Modern matematiğin en önemli ve temel öğelerinden biri küme kavramıdır. Kümeler teorisinin dili ve teknikleri matematiğe ve bilimin diğer birçok branşına temel teşkil eder. Kümenin, matematiğin tanımsız terimlerinden biri olduğunu mantık konusunda söylemiştik:. undan dolayı küme aksiyomatik bir yapıya sahiptir. Yani, kümeyi ve kümeye bağlı olan birçok terimin doğruluğunu ispatlayamayız, fakat doğru olduğunu kabul ederiz. Ünlü lman matematikçi Georg Cantor ( ) ilk kez 1875 yılında kümenin tanımım nesneler topluluğu olarak yapmış ve bu tanım anlaşılması kolay olduğu için kabullenmiştir. Örneğin, sınıfımızdaki 17 yaşın üzerindeki öğrencilerin kümesi, 3 ve 12 arasındaki tam sayıların kümesi, Türkiye'nin illerinin kümesi... v.s. nesneler topluluğuna, yani kümeye örnektir. ununla birlikte; sınıftaki yakışıklı öğrenciler, Türkiye'nin en güzel köyleri, ligin en iyi futbolcuları,... v.s. küme örnekleri olamazlar. ir küme kurulurken, nesneler topluluğu tam olarak tanımlanmış olmalıdır. ir kümeye ait nesnelerin tam olarak belirlenmesine kümenin iyi tanımlanmış olması gerekir. Yukarıdaki örneklerde, yakışıklılık, güzellik ve iyi futbolculuğun objektif olmadığına ve nesnelerin iyi tanımlanma olmadığına dikkat ediniz. şağıdaki "nesneler topluluklarından hangileri küme belirtir? Neden? a. Doğal sayılar b. Elimdeki parmaklar c. Yaşayan dahi insanlar d. Üç ayaklı hayvanlar e. 2 x 1 = 0 denklemini sağlayan tam sayılar f. Hümanistler Küme teorisi matematiğin temel konularından biridir ve küme tanımsız bir terim olarak kabul edilir. Kümeyi kavram olarak irbirinden farklı bir takım nesneler topluluğu. biçiminde anlamlandırabiliriz. ncak, bir nesne topluluğunun küme olabilmesi için, hangi nesnelerin bu topluluğa dahil olup olmadığı açık ve kesin olarak söylenebilmesi gerekir. Soru : Okulumuzdaki üç öğretmenin topluluğu ir küme midir? Niçin? Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine bu kümenin bir elemanı denir. Kümeler genel olarak,, C,... gibi büyük harflerle gösterilir. x, kümesinin elemanı ise x biçiminde; x, kümesinin elemanı değil ise x biçiminde gösterilir. ir kümesine ait olan elemanların sayısı s( ) ile gösterilir. Soru : şağıda verilen kümelerin elemanlarını yazınız. a. Okulumuzda adı ve soyadı ile başlayan öğretmenler. b. 2 x < 10 eşitsizliğini sağlayan doğal sayılar. 1 in tamsayı kuvvetleri. c. ( )
2 2 Mantık konusunda doğruluğu içindeki değişkene bağlı olan önermelere açık önerme veya önerme fonksiyonu denildiğini görmüştük. x nesnesi p önermesini sağlıyorsa, bu önerme P x veya p( x ) şeklinde gösterilir. u durumda p( x ) önermesini doğru olarak alabiliriz. p( x ) açık önermesinin değili p '( x ) veya p ( x) şeklinde gösterilir. p '( x ) veya p ( x) sembolleri, x nesnesinin p önermesini sağlamadığı anlamın gelir. ir p önermesini sağlayan x nesnelerinin oluşturduğu topluluk ( ) u topluluk p önermesini sağlayan x elemanlarının oluşturduğu kümedir. p( x ) açık önermesini doğru yapan her bir x değişkeni, kümenin bir elemanıdır. x p x şeklinde gösterilebilir. p önermesi ise, kümeyi belirleyen önermedir. Yukarıdaki sembolüne küme kurma sembolü denir ve bazen : işareti ile de gösterilir. Her iki sembolde öyle ki anlamına gelir. Örneğin, tüm rakamların kümesini K ile gösterirsek, K kümesini belirleyen p önermesini " p( x) : xbir rakamdır." şeklinde tanımlayabiliriz. u durumda tüm rakamların kümesi ; K = { x p( x) } veya K x : p( x) = şeklinde yazılabilir. KÜMELERİN GÖSTERİMİ Küme sembolü dir. Kümeler üç farklı biçimde gösterilir. 1. ORTK ÖZELLİK YÖNTEMİ: ir küme, bütün elemanlarının sağladığı ortak özelliği belirten bir açık önermeden faydalanılarak x gibi bir harf seçilir. gösterilebilir. u gösterimde, kümenin elemanlarından her birini temsil eden ( ) Elemanların sağlamış olduğu açık önerme ise x e bağlı olarak belirtilir. Dolayısı ile bu küme x p ( x ) veya x : p( x ) biçimindedir. u gösterimler, ( ) p x açık önermesini sağlayan tüm x elemanların kümesi anlamında kullanılır. Örneğin; x x iki basamaklı doğal sayı = x x doğal sayıve10 x 99 ifadelerinden = veya herhangi birisi ile gösterilebilir. Soru : { x : x,6' nın pozitif tam böleni ve x } = Z kümesini liste yöntemi ile gösteriniz. Çözüm: = { 1,2,3,6 } Soru : ( ) {, :. 12,,, } = x y x y = x < y x Z y Z kümesini liste yöntemi ile gösteriniz? Çözüm: = {( 12, 1 ), ( 6, 2), ( 4, 3 ), ( 1,12 ), ( 2,6),( 3,4) }
3 3 2. LİSTE YÖNTEMİ: azen bir kümenin elemanlarını ortak özellik yöntemi ile göstermek yerine tek tek yazmak daha uygun olmaktadır. Kümenin elemanlarının açık olarak küme parantezi içinde (sıra önemli olmamak üzere) gösterimidir. Görüldüğü gibi liste yöntemi, elemanları çok sayıda olan kümeleri göstermede kullanışlı bir yöntem değildir. un rağmen, kümenin elemanları belirli bir kurala göre birbirini takip ediyor ise, kümeyi Z kümelerinin liste yöntemi ile göstermek uygun olmaktadır. Örneğin, doğal sayılar ( N ), tam sayılar ( ) elemanları ardışık olarak birbirini izlediği için bu kümeleri; yazılabilir. gösterilemez. N = { 0,1, 2,3,... } ve = {..., 2, 1,0,1, 2,3,... } Z biçiminde gösterebiliriz. Veya; ortak özellik yöntemi ile gösterilen, x x tek basamaklı asal sayı = kümesi liste yönteminde { 2,3,5,7} = olarak a Q = a, b Z, b 0 kümesi rasyonel sayıları belirtir, ancak liste yöntemi ile b Soru : NKR kelimesindeki harflerden oluşan kümeyi liste yöntemi ile gösteriniz. Çözüm: NKR kelimesinde, N, K, R harfleri vardır. Kümede her eleman bir kez yazıldığından istenen küme {, N, K, R } dir. Soru : { a, { b}, c, { d, e } = kümesinin elemanlarını söyleyiniz. b,d,e kümesinin elemanı mıdır? kümesinin eleman sayısını söyleyiniz? Çözüm: a { b}, c, { d, e}, dır. d, kümesinin elemanı değildir. Yani d dır. ynı şekilde b ve e dır. s( ) = 4 tür. 3. VENN ŞEMSI YÖNTEMİ: Kümenin elemanlarını, kapalı bir eğri içinde gösterme yöntemine Venn Şeması Yöntemi denir. Soru : { x : x 2 1, x } gösteriniz. = Z Kümesinin elemanlarını liste yöntemi ile yazınız ve Venn Şeması ile Çözüm: x x x 3 ise = {1,2,3} 1 2 3
4 4 SONLU VE SONSUZ KÜMELER Tanım: Eleman sayısı sonlu olan kümeye sonlu küme, eleman sayısı sonlu olmayan kümeye sonsuz küme denir. Soru : = { x : 1 x < 20, x Z } ve { x : 2 x 4, x } sonlu veya sonsuz küme olup olmadıklarını söyleyiniz. = < R kümelerinin eleman sayılarını bularak Soru : En az iki elemanlı ardışık pozitif tamsayılardan oluşan bir kümenin elemanlarının değerleri toplamı 100 dür. u şartı sağlayan kaç küme vardır? u kümeleri bulunuz. Soru : Vücudumuzdaki hücreler kümesi ve doğal sayılar kümesi ni düşünelim. İlk küme ne kadar çok elemanlı küme de olsa sonlu sayıda eleman içerirken, ikinci kümenin sonsuz sayıda elemanı vardır. Sonsuz elemanlı bir başka küme ise bir doğru üzerindeki noktaların kümesi verilebilir. Soru : rdışık pozitif tamsayılar için { 1 },{ 2,3 },{ 4,5,6 }, 7,8,9,10,., kümeleri veriliyor. (her küme kendisinden bir önceki kümeden 1 fazla elemana sahiptir ve her kümenin ilk elemanı önceki kümenin son elemanından bir fazladır.) n. kümedeki elemanların toplamı S n olmak üzere S 21 kaçtır? (4641) LT KÜME ir kümesinde bulunan her eleman aynı zamanda kümesinin de elemanı ise kümesi kümesinin alt kümesidir denir ve ile gösterilir. ifadesi, alt küme ya da yı kapsar biçiminde okunur. x için x dir. Örneğin, tamsayılar kümesi ( Z ), doğal sayılar kümesini ( N ) kapsar. Yani her doğal sayı aynı zamanda bir tamsayıdır. O halde; N Z veya Z N yazılabilir. Diğer taraftan asal sayılar kümesi ( ) tek sayılar kümesinin ( Z T ) bir alt kümesi değildir. ( Z T ). Çünkü, 2 asal sayısı çift sayıdır., Soru : = { x : 0 x < 4, x N } ve { x : x 2 3, x } kümelerinden hangisi diğerinin alt kümesidir. = < R kümeleri verilmektedir. ve
5 5 LT KÜMENİN ÖZELLİKLERİ 1. Her kümesi için dır. (Çünkü boş kümeye ait olup ya ait olmayan eleman yoktur.) 2. Her kümesi için dır. ( x için x olduğundan dır.) ve C C 3., ve C için ( ) 4. ve kümeleri için ( ve ) = dir. Teorem : n elemanlı bir kümenin 2 n tane alt kümesi vardır. n = 1, n n n = n, = 1 olmak üzere; 1 0 n n n n = n n dir. n n x y Uyarı : = ( x = y veya n = x + y) Soru : {, { a}, b, { c, d} } dır. = kümesi veriliyor. kümesi için aşağıdaki önermelerin doğru yada yanlış olduğunu belirtiniz. a) b) c) { } d) a e) {a} f) {a} g) {b} h) {b} ı) c i) {c,d} Soru : K = { 2,3,5, 6} kümesinin a. 3 elemanlı altkümelerini, b. 2 elemanlı altkümelerini, c. 4 elemanlı altkümelerini yazınız. ÖZLT KÜME ir kümesinin kendisi dışındaki her alt kümesine, kümesinin özalt kümesi denir. Soru : = { 2,3,5} kümesinin özalt kümelerini yazınız. Soru : OŞ KÜME Elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve veya {} sembolleri ile gösterilir. a) = { x : x 2 = 1, x R } b) = { x : 2x 1 = 4, x Z } { : 3 0 1, } C = x x + x R kümelerinin eleman sayılarını bularak boş küme olup c) ( ) olmadıklarını belirtiniz.
6 6 EŞİT KÜMELER Tanım: ynı elemanlardan oluşan iki kümeye eşit kümeler denir. ve eşit kümeler ise = ile gösterilir. ve eşit kümeler değil ise ile gösterilir. Soru : { 2,0,2 } ve { x : x 3 4x 0, x } = = = R kümeleri eşit kümeler midir? DENK KÜMELER Tanım: Eleman sayıları eşit olan iki kümeye denk kümeler denir. Örnek: = { 1,2,3} ve { a, b, c} kümelerdir. = dir. fakat s( ) s( ) 3 = = olduğundan ve denk UYRI: Liste yöntemi ile yazılan bir kümede yazılış sırası değiştiğinde küme değişmez. UYRI:Eşit kümeler denktir ama bunun karşıtı doğru değildir. KUVVET KÜMESİ ir kümesinin bütün alt kümelerinin kümesine nın kuvvet kümesi denir ve P() ile gösterilir. Soru : { a, b, c} = kümesinin kuvvet kümesini yazınız. Çözüm: P = 2 =, a, b, c, a, b, a, c, b, c, a, b, c olur. ( ) Not : { a }, nın bir altkümesi iken, 2 nın bir elemanıdır. { a} ise, 2 nın bir altkümesidir. ir Kuvvet kümesinin elemanları yine kümelerdir. Dolayısı ile bu küme, kümeler ailesi veya kümeler sınıfı olarak da isimlendirilir. Örnek : = { 0,1} kümesi için aşağıdaki ifadelerin doğru yada yanlış olduğunu belirtiniz. a. { 0} b. c. 0 d. { } e. { 1} 2 f. 1 2 g. { 0,1} 2 h. 0,1 2 Sonuç : n elemanlı bir kümesinin kuvvet kümesinin eleman sayısı 2 n dir. Yani s P( ) = 2 n dir.
7 7 LT KÜME SYISI Soru : a) = b) = {a} c) C = {a,b} d) D = {a,b,c} e) F = {a,b,c,d} kümelerinin alt kümelerini yazarak sayısını bulunuz. Sonuç: s() = n olan bir kümesinin alt kümelerinin sayısı = 2 n ve özalt kümelerinin sayısı = dir. 2 n 1 Soru : ir kümesinin alt küme sayısı ile özalt küme sayısının toplamı 15 ise, kümesinin kaç elemanı vardır? Soru : = { a, b, c, d, e, f } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a eleman olarak bulunur? Uyarı: s( a) = n ise kümesinin kuvvet kümesinin (yani P ( ) kümesinin); a) Eleman sayısı = b) lt küme sayısı = n 2 tanedir. n ( 2 2 ) tanedir. Soru : ir kümesinin, kuvvet kümesinin alt kümelerinin sayısı (16) 8 kaç tanedir? ise kümesinin eleman sayısı Çözüm: s() = n olsun 2 n ( 2 ) n 5 = 16 = ( 2 ) = 2 2 = 32 = 2 n = 5 bulunur.
8 8 n ELEMNLI İR KÜMESİNİN ( r n ) r ELEMNLI LT KÜME SYISI ir kümesinin r elemanlı alt küme sayısı paskal üçgeni yardımı ile bulunabilir. KÜMENİN ELEMN SYISI TÜM LT KÜMELERİN SYISI ELEMNI OLMYN LT KÜME SYISI İR ELEMNLI LT KÜME SYISI İKİ ELEMNLI LT KÜME SYISI ÜÇ ELEMNLI LT KÜME SYISI DÖRT ELEMNLI LT KÜME SYISI : : : : : : : ::::::: n 2 n N elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısına n nin r li kombinasyonu denir ve n! C( n, r) = = formülüyle r r!( n r)! bulunur. ÖZELLİKLERİ 1. = = 1 0 n n 2. = r n r n = 2 dir n Soru : { a, b, c, d, e} = kümesinin a. 3 elemanlı, b. 3 ten az elemanlı, c. En az iki elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz. d. kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde d elemanı bulunur? a, b a, b, c, d, e şartını sağlayan kaç tane kümesi vardır? e. f. kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a varken b bulunmaz? g. kümesinin 4elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a ve b birlikte bulunur? h. kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a veya b vardır? Çözüm : a. 3 elemanlı alt küme sayısı : 5 5! = = !.2! bulunur. b = bulunur = = c. [ ] dır.
9 9 { a, b, c, e} d. urada { a, b, c, d, e} = idi. 3 elemanlı altkümelerinde d elemanı olanları bulmak için K = kümesinin iki elemanlı altkümelerine bakmamız yeterli olacaktır. Örneğin; { a, b, },{ a, c, },{ a, e, },{ b, c, },{ b, e, },{,, } yerleştirdiğimizde { a, b, c, d, e} oluruz. 4 4! = = 6 bulunur. 2 2!.2! c e bu kümelerin her birine d elemanını = kümesinin 3 elemanlı altkümelerinde d elemanı olanları bulmuş e. kümesinde { a, b } mutlaka olacağı için c, d ve e elemanlarını da bulundurabilecek 3 2 = 8 tane küme bulunabilir. f. İstenen 3 elemanlı altkümelerinde a varsa a yı 3 elemanlı altkümelerine doğrudan yerleştirirsek, 4 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı altkümelerine bakmamız yeterli olacaktır. Fakat bizden birde bu altkümelerde b elemanının olmaması istendiğine göre, bizim 3 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı altkümelerine bakmamız gerekecektir. 3 3! = = 3 2 2!.1! olacaktır. g. izden istenen 4 elemanlı altkümelerde { a, b } nin birlikte olması. una göre { a, b } kesinlikle olacağına göre 3 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı altkümelerine bakmamız yeterli olacaktır. 3 3! = = 3 2 2!.1! olacaktır. h. 1.Yol: a veya b demek; s( ) = s ( ) + s ( ) s ( ) dir. una göre; 4 a nın oldukları (burada yanında b de olabilir.) = 4dür. 3 4 b nin oldukları (burada yanında a da olabilir.) = 4dür. 3 3 a ve b nin birlikte oldukları = 3 dür. 2 iz burada a ve b nin olduklarını iki kere tekrar etmiş olduk. una göre; s( ) = s ( ) + s ( ) s ( ) mantığından hareketle; = 5 olarak bulunur
10 10 2.Yol: a veya b demek; a varken b nin olmadıkları, b varken a nın olmadıkları ve a ve b nin birlikte oldukları anlamına gelir. una göre; a veya b nin olduğu altkümeleri bulmak için; = bulunur. Soru : = {a, b, c, d, e, f } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? Soru : = {a, b, c, d, e, f, g } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a eleman olarak bulunur? Soru : ir kümenin 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı 6 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit ise, bu kümenin eleman sayısı kaçtır? Soru :6 elemanlı bir kümenin en fazla 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? Soru : 3 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 4 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin en az 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? Soru : En çok 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı 16 olan kümenin özalt küme sayısı kaçtır? Soru : = {a, b, c, d, e, f, g } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a eleman olarak bulunur ve b eleman olarak bulunmaz? { 1, 2,,,3, 4, } Soru: { a b} = kümesi veriliyor. a. s( ) =? b. nın özalt küme sayılarının toplamı kaçtır? Soru : 2 elemanlı altküme sayısı 28 olan bir kümenin en az 2 elemanlı kaç altkümesi vardır? Soru : oş olmayan bir kümesinin, m tane özalt kümesi vardır. kümesine 3 eleman daha katıldığında, kümesinin kaç tane alt kümesi olur? Çözüm: s() = n olsun. n 2 1 n = m 2 = m + 1 kümesine 3 eleman daha katıldığında s() = n + 3 olur. u durumda alt küme sayısı; 2 n+ 3 = 2 n.2 3 = ( m + 1).8 = 8m + 8 olur.
11 11 KÜMELERDE İŞLEMLER 1. KÜMELERİN İRLEŞİMİ ir şirket sahibi, ürettiği malların reklam ve promosyon işlerinde çalışmak üzere elemanlar alacaktır. Yapılan başvurular üzerine, reklam bölümü için; li, Veli ve Özlem, promosyon işi için de Ebru, Kerem, Musa ve Meryem görevlendiriliyor. yrıca şirket sahibi, Hakan, Sibel ve Gül'ün hem reklam, hem de promosyon işleriyle ilgilenmelerini istemektedir. Şirketteki bu iş bölümü aşağıdaki Venn diyagramıyla gösterilmiştir. Reklam departmanını R ve promosyon departmanını P ile ifade ettiğimizde; R = {li, Veli, Özlem, Hakan, Sibel, Gül} ve P = {Ebru, Kerem, Musa, Meryem, Hakan, Sibel, Gül} yazabiliriz. u durumda reklam ve promosyon bölümlerinin elemanlarının birlikte katıldıkları toplantıdakiler kümesi {li, Veli, Özlem, Hakan, Sibel, Gül, Ebru, Kerem, Musa, Meryem} olur. Tanım: ve kümelerinin birleşimi ; { x x veya x } kümelerinin tüm elemanlarından oluşmaktadır. = dir. birleşim kümesi ile Soru : = {1, 2, 3, 4 } ve = { 2, 4, 7, 9 } şeması ile gösteriniz. ise kümesini liste yöntemi ile yazınız ve Venn Soru : = { x : x 1 2, x R }, { x : x 3 1, x } = < R ise kümesini bulunuz. Uyarı : s( ) s( ) + s( ) olduğuna dikkat ediniz. Sonucu yorumlayınız.
12 12 İRLEŞİM İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 1. Tek Kuvvet Özelliği: Her kümesi için = 2. Değişme Özelliği: Her ve kümesi için = dır. 3. irleşme Özelliği: Her, ve C kümesi için; ( ) C = ( C) dir. 4. irim(etkisiz)eleman Özelliği : = dır. 5. Her ve kümesi için; ise = dir. İspat: 1. { x : x x } { x : x } =...( irleşimin tanımı) =...( veya nın tek kuvvet özelliği) = 3. { x : x x } { x : x x } =...( irleşimin tanımı) =...( veya nın değişme özelliği) = KÜMELERİN KESİŞİMİ Tanım: ve kümelerinin kesişimi ( rakesiti) { x x ve x } hem hem de ye ait elemanlardan oluşmaktadır. = dir. kesişim kümesi = = Soru : = { 1, a, 2, b, 3 } = {5, a, 7, b, 9 } kümeleri veriliyor. kümesini liste yöntemi ile yazınız ve Venn şeması ile gösteriniz. Soru : = { x : x 5, x R} ve = { x x 1 > 2, x R} : kümeleri veriliyor. kümesini bulunuz. Soru : = {1, 5, 8 } ve = { 2, a, b } kümeleri için =? ( ve yrık kümelerdir)
13 13 KESİŞİM İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ: 1. Tek Kuvvet Özelliği: Her kümesi için ; = dır. 2. Değişme özelliği: Her ve kümesi için = dır. 3. irleşme Özelliği: Her, ve C kümesi için; ( ) C = ( C) dir. 4. Yutan Eleman Özelliği : = dir. 5. Her ve kümesi için ; ise = dir. İspat: 4. ( ) C = x : x ( ) x C x : ( x x ) x C x : x ( x x C) { x : x x ( C) } = ( C)...(Kesişimin tanımı) =... (Kesişimin tanımı) =...( nin birleşme özelliği) =... ( Kesişimin tanımı ) DĞILM ÖZELLİĞİ 1.irleşimin Kesişim Üzerine Dağılma Özelliği: Her, ve c kümesi için ; ( C ) = ( ) ( C ) dir. 2.Kesişimin irleşim Üzerine Dağılma Özelliği: Her, ve c kümesi için ; ( C ) = ( ) ( C ) dir. İRLEŞİMİN ELEMN SYISI 1. ve kümeleri için ; s( ) = s() + s() - s( ) dir. İspat: x y z Yandaki Venn şemasında x, y, z bulundukları bölgenin eleman sayıları olsunlar. s( ) = x + y + z dir. s( ) = x + y s( ) = y + z olduğundan s( ) = y s( ) = s() + s() s( ) = (x + y) + (y + z) y = x +y +z
14 14 Soru : ve kümeleri için ; s( ) = 15, s() = 8, s( ) = 3 ise s() =? Soru : ir sporcu kafilesinde 20 kişi futbol 15 kişi basketbol ve 8 kişi hem futbol hem de basketbol oynadığına göre, bu sporcu kafilesi kaç kişidir? 2., ve C kümeleri için; s( C) = s() + s() + s(c) - s( ) - s( C) - s( C) + s( C) dir. İspat: s( C) = s( ( C)) = s() + s( C) - s( ( C)) = s() + s() + s(c) - s( C) s[( ) ( C)] = s() + s() + s(c) - s( C) [s( ) + s( C) - s[( ) ( C)]] = s() + s() + s(c) - s( C) - s( ) - s( C) + s( C) Soru :ir turist grubunda lmanca, İngilizce ve Fransızca dillerinden en az biri bilinmektedir. lmanca bilen 18, İngilizce bilen 20, Fransızca bilen 15, lmanca ve Fransızca bilen 6, lmanca ve İngilizce bilen 3, her üç dili de bilen 2 kişi vardır. Turist grubu 41 kişi ise İngilizce ve Fransızca bilen kaç kişi vardır? Soru : C ifadesini ( ) C şeklinde mi yoksa ( C) iki yazılımın hangi anlamları ifade ettiğini inceleyip, Venn şemasında gösteriniz. şeklinde mi yazmalıyız? bu Çözüm : C ( ) C C ( C) Soru : Fransızca ve lmanca bilenlerin oluşturduğu 22 kişilik bir grupta, 18 kişi Fransızca, 12 kişi de lmanca biliyor. u grupta hem Fransızca hem de lmanca bilen kaç kişi vardır? Soru : Remzi, Sabri ve Serdar kelimelerinin harflerinin kümeleri sırası ile R,S ve C olsun. una göre; a. s( R ) =?, s( C ) =?, s( S ) =? b. s( R S C) =?, s( R S C) =? c. s ( S C) R = ( )?
15 15 Soru : ir yaz okulundaki öğrenciler atletizm, judo ve yüzme dallarından en az birisini bilmektedirler. u yaz okulunda 45 öğrenci atletizmi, 38 öğrenci judoyu, 32 öğrenci yüzmeyi, 13 öğrenci atletizm ve judoyu, 10 öğrenci atletizm ve yüzmeyi, 8 öğrenci judo ve yüzmeyi, 5 öğrenci ise tüm branşları yapabilmektedir. una göre bu yaz okulunda kaç öğrenci vardır? Soru : 1, 2, 3,..., n kümeleri birbirinden farklı ve boş olmayan kümelerdir. una göre aşağıdaki kümelerin eleman sayıları en az kaç olur? a. 1 2 b d T c EVRENSEL KÜME Tanım: Üzerinde işlem yapılan bütün kümeleri kapsayan kümeye Evrensel küme denir ve E ile gösterilir. E E E C E ( C) E C TÜMLEME Tanım: ir kümesine ait olmayan fakat evrensel kümeye ait olan tüm elemanlardan oluşan kümeye kümesinin tümleyeni denir ' = x : x E ve x dır. ', ~ veya şeklinde gösterilir. E ' Soru : E = { a, b, c, d, e, f } evrensel küme; = { a, c, e} ise Soru : E { x : 2 x 5, x } = R evrensel küme; { x : x 1 3, x } ' kümesini bulunuz. = < R ise ' kümesini bulunuz. Soru : E = { 0,1, 2,3,4,5,6,7,8,9 } evrensel kümesinde = { x xtek sayı}, { x x 0ve x çift sayı} C = { x x asal sayı} kümeleri veriliyor. u durumda, ', ' ve = ve C ' kümelerini liste yöntemi ile yazınız.
16 16 TÜMLEME İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ 1. ' = 2. ' = E 3. ( ')' = 4. ' ' dir. 5. ( ) ' = ' '...( De Morgan Kuralı) 6. ( ) ' = ' '...( De Morgan Kuralı) 7. s ( ) + s( ' ) = s( E) 8. E ' = 9. ' = E İspat: 2. ' { x : x x ' } { x : x ( x E x ) } x :( x x E) ( x x ) = { x : x E x E} =...( irleşimin tanımı ) =...( Tümlemenin tanımı ) =...( nın üzerine dağılma özelliği) = E Soru : Kan tiplerini belirlemek için üç antijenin varlığı veya yokluğu önemlidir. unlar ve antijenleri ve Rh faktörüdür. = { x xte antijeni var}, { x xte antijeni var} + = ve R { x x te Rh faktörü var} = kümeleri için I,II,III verildiğine göre aşağıdaki kümeleri belirtiniz ve uygun Venn şemalarıyla gösteriniz. I. R ' = { x x in kanı, Rh } II. ' R = { x xin kanı, Rh + } III. ' ' R ' = { x x in kanı0, Rh } a. R b. ' R c. ' R ' d. ' R ' e. ' ' R Soru : Sarışın veya esmer çocuklardan oluşan 50 kişilik bir gruptakiler mavi veya kahverengi gözlüdürler. Esmerler 31, kahverengi gözlüler 18 ve mavi gözlü sarışınlar 14 kişi iseler kahverengi gözlü esmer sayısı kaçtır? Cevap : 13
17 17 FRK KÜMESİ Tanım: ve kümeleri için; \ { x : x ve x } = kümesine fark kümesi denir. \ \ Soru : = { a, b, c, d, e } = { a, c, k, p } kümeleri için \ ve \ kümelerini bulunuz. Soru : = a, { b},{ c, d}, e, { f } { a}, b, { c}, d, e, f } kümelerinin sayısı kaçtır? = kümeleri için \ kümesinin iki elemanlı alt FRK KÜMESİNİN ÖZELLİKLERİ 1. \ \ 2. E \ = ' 3. \ = ' 4. \ = Soru: \ =? 5. = ise \ = Soru: \ =?, \ ' =? İspat: \ = x : x x...( Fark tanımı ) 3. { x : x x '} { x : x '} =...( Tümleme tanımı ) =...( Kesişimin tanımı ) = ' Simetrik Fark ve iki küme olsun. \ ve \ kümelerinin birleşimi olan kümeye, ile nin simetrik fark kümesi denir ve şeklinde gösterilir. ( \ ) ( \ ) = dır. Diğer bir ifade ile yada de olan elemanların oluşturduğu kümeye simetrik fark kümesi denir. Soru :, ve C herhangi 3 küme olmak üzere, \ C \ \ C = \ \ C = \ C \ ve i. ( ) ( ) ( ) ( ) ii. ( ) \ ( ) = olduğunu Venn şeması çizerek gösteriniz.
18 18 iii. = { x x x } Soru : ir sınıfta 25 öğrenci yalnız Matematik veya yalnız Fizik dersi alıyor. 10 öğrenci bu iki dersten hiçbirini almıyor ve 35 öğrenci de Matematik veya Fizik dersi alıyor. u sınıfta kaç öğrenci vardır? Soru : = { x 1 < x 150, x sayısı3 e bölünür} ve { x 0 x 100, x sayısı 2 ye bölünür} veriliyor. una göre şağıdakileri hesaplayınız. = < < kümeleri a. s( ) b. s( ) c. s( ) d. s( ) Soru : ir okulda öğrenciler, Türkçe, İngilizce ve Fransızca dillerinden en az birini konuşmaktadırlar. şağıda verilen kümelerin her birisini Venn şeması ile gösteriniz. a. Yalnızca Türkçe, b. Yalnızca İngilizce, c. Yalnız Türkçe veya yalnız Fransızca, d. Yalnızca Fransızca ve İngilizce, e. Yalnızca iki dil, f. Sadece bir dil, g. En az iki dil, h. En çok iki dil, i. En az bir dil konuşan öğrenciler. Soru : 480 lman ve Türk işçisinin çalıştığı bir fabrikada, erkek işçilerin sayısı kadın işçilerden 40 eksik ve araba sahibi olan işçilerle araba sahibi olmayan işçilerin sayısı birbirine eşittir. rabası olan lman kadın işçilerin sayısı, arabası olmayan Türk erkek işçilerin sayısının iki katı ve arabası olmayan Türk kadın işçilerin sayısı ise arabası olmayan lman erkek İşçilerin sayısından 60 fazladır. yrıca arabası olan ve olmayan lman erkek işçilerin sayısı da birbirine eşinir. rabası olan Türk kadın işçilerin sayısı 40 ve arabası olan Türk erkek işçilerin sayısı 60 olduğuna göre uygun bir Venn şeması çizerek aşağıdakileri hesaplayınız. a. Türk işçilerin sayısı, b. lman işçilerin sayısı, c. rabası olmayan Türk erkek işçilerin sayısı, d. rabası olmayan Türk kadın işçilerin sayısı, e. rabası olan lman erkek işçilerin sayısı, j. rabası olmayan lman erkek işçilerin sayısı, g.rabası olmayan lman kadın işçilerin sayısı, h. rabası olan lman kadın işçilerin sayısı.
19 19 İpucu : u özelliklere uygun bir Venn şeması aşağıdaki gibi çizilebilir. lman İşçiler Türk İşçiler rabası olan İşçiler Kadın Erkek c a a+60 2b 40 a 60 b Genel Örnekler Soru : \ kümesinin 8 tane alt kümesi, \ kümesinin 15 tane özalt kümesi vardır. s( ) = 12 ise kümesinin 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? Soru : ve kümeleri için s (\) = 5 s() = 2.s() ve s ( ) = 23 ( ) kümesinin en çok 1 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? Soru :, ve C kümeleri için aşağıdaki kümeleri Venn şeması ile gösteriniz. 1. C 2. ( \ C) 3. \ ( C ) 4. ( C ) 5. ( ) \ C Soru : \ kümesinin 7 tane özalt kümesi, ' kümesinin en çok 1 elemanlı 6 alt kümesi ve s = ise ' kümesi kaç elemanlıdır? ( ) 14 Soru : ( ) ( ) aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) ) C) D) E) E Soru : = ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? ) = ) = C) = D) = E E) = Soru : ( \ ) ( ) aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) ) C) D) E) E Soru :( ) (\) aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) ) C) D) E) E Soru : E evrensel kümesinde ve kümeleri alınıyor. s() + s( ) = 19 s( ) + s() = 21 ise s(e) =?
20 20 Uyarı: Kümelerle ilgili açıklamalı problemleri çözerken Venn şemasından faydalanmak çözümü kolaylaştırır. x y z t E 1. Sadece yı yapanlar x, sadece yi yapanlar z 2. ve yi yapanlar ( Hem yı hem yi yapanlar) y 3. veya yi yapanlar x + y + z 4. veya den en çok birini yapanlar x + z + t 5. veya den en az birini yapanlar x + y + z 6. yı yapmayanlar z + t, yi yapmayanlar x + t dir. Soru : ir turist grubunda yalnız İngilizce bilen 4 kişi, lmanca bilmeyen 7 kişi, İngilizce bilmeyen 8 kişi, grup 20 kişi ise grupta hem İngilizce hem de lmanca bilen kaç kişi vardır? Soru : 21 kişilik bir sınıfta, matematik dersini alanların sayısı, İngilizce dersini alanların sayısının 3 katıdır. u sınıfta 4 öğrenci, Matematik ve İngilizce derslerinin her ikisini de almamakta ve 3 öğrenci her iki dersi aldığına göre bu sınıfta yalnızca Matematik dersini alan kaç öğrenci vardır? Soru : 36 kişilik bir grupta 15 kişi İngilizce, 16 kişi lmanca, 17 kişi Fransızca bilmektedir. Yalnız bu dillerden ikisini bilenlerin toplam sayısı bu üç dilden hiçbirini bilmeyen ve bu üç dili de bilenlerin sayısı aynıdır. Grupta bu üç dili de bilen kaç kişi vardır? Soru : 29 kişilik bir sınıfta 16 erkek ve 13 kız öğrenci vardır. Öğrencilerin 10 u Matematik dersinden geçmiştir. Matematikten geçemeyen erkek öğrenci sayısı Matematikten geçen kız öğrenci sayısının 2 katı olduğuna göre, Matematikten geçemeyen erkek öğrenci sayısı kaçtır? Soru :Gazete, dergi ve kitap okuyanlardan oluşan 40 kişilik bir grupta; I. Her üçünü okuyanların sayısı 4, II. Sadece dergi, sadece gazete ve sadece kitap okuyanların sayıları eşit, III. Gazete, dergi ve kitaptan sadece ikisini okuyanların sayısı eşittir. una göre Gazete okuyanların sayısı en az kaçtır?
21 Dosya adı: Dizin: Şablon: KÜMELER KONU NLTIMI C:\Users\TOLG\Desktop\INTERNET C:\Users\TOLG\ppData\Roaming\Microsoft\Templates\Nor mal.dotm aşlık: Konu: Yazar: TOLG KURTYEMEZ nahtar Sözcük: çıklamalar: Oluşturma Tarihi: :54:00 Düzeltme Sayısı: 2 Son Kayıt: :54:00 Son Kaydeden: TOLG Düzenleme Süresi: 1 Dakika Son Yazdırma Tarihi: :54:00 En Son Tüm Yazdırmada Sayfa Sayısı: 20 Sözcük Sayısı: 5.051(yaklaşık) Karakter Sayısı: (yaklaşık)
5. A ve B gibi iki cümleden A nın bir, B nin iki elemanı A B cümlesinin elemanı değildir. dışında A. 9. A ve B iki kümedir.
1. KÜMELER 5. A ve B gibi iki cümleden A nın bir, B nin iki elemanı A B cümlesinin elemanı değildir. dışında A B nin alt cümleleri sayısı 63 olduğuna göre, A B cümlesinin alt cümleleri sayısı kaçtır? (51)
DetaylıL İ S E S İ MATEMATİK. Kümeler. Üzerine Kısa Çalışmalar
MTEMTİK T T Ü R K N D O L U L İ S E S İ M T E M T İ K Üzerine Kısa Çalışmalar KONY \ SELÇUKLU 017 MTEMTİK KÜMELER (CÜMLELER).1 Küme (Cümle) Kavramı Matematiğin dili mantıktır., matematiğin kendisini anlatabilmesini
DetaylıKÜMELER KÜMELER. Ortak Özellik Yöntemi: Kümenin içindeki elemanlar ortak bir özelliğe yazılır.
Küme: elirli nesneler topluluğuna küme adını veriyoruz. n iyi sanatçı ( - ) n güzel şarkı ( - ) Sınıftaki en güzel kız ( - ) Sınıftaki mavi gözlü erkekler ( + ) Uçan insanlar ( + ) oş Küme: lemanı olmayan
DetaylıKÜMELER. İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Bir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. Bu nesneler somut veya soyut olabilir.
1 KÜMELER İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. ir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. u nesneler somut veya soyut olabilir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine eleman(öğe) denir.
DetaylıTEST - 1 ÖDEV TESTİ elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin. 1. A = {1, {2}, {1, 2}, 3, Ø} kümesi için aşağıdakilerden
10 Kümeler ÖDEV TESTİ TEST - 1 6. 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin en az 6 elemanlı kaç alt kümesi vardır? ) 24 ) 28 C) 37 D) 38 E) 42 1. = {1,
DetaylıÜNİTE 11 ÜNİTE 9 MATEMATİK. Kümeler. 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler. 9. Sınıf Matematik
ÜNİTE 11 ÜNİTE Kümeler 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler 9 MATEMATİK 1. ÜNİTEDE HEDEFLENEN KAZANIMLAR 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR Kazanım 9.1.1.1: Küme kavramını
DetaylıKÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT
KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,
DetaylıCebir Notları. Kümeler. Gökhan DEMĐR, KÜME KAVRAMI
, 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler KÜME KVRMI Kümenin tanım yoktur. undan dolayı kümeyi tanıtmaya çalışalım. Küme kavramında bir topluluk, bir kolleksiyon ifadesi vardır.
DetaylıTEOG. Kümeler KÜME VE ELEMAN KAVRAMI ÖRNEK KÜMELERİN GÖSTERİMİ ÖRNEK ÖRNEK KÜMENİN ELEMAN SAYISI ÖRNEK 3. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ 1.
TEOG ümeler ÜE VE EEN VRI Elemanları belirlenebilen, belirli bir anlam taşıyan canlı ya da cansız varlıkların veya kavramların oluşturduğu topluluğa küme denir. ümeyi oluşturan varlıkların, kavramların
DetaylıKÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT
KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,
DetaylıSONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler
9. SINIF SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması,
DetaylıStarboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç
Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi
DetaylıKÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez.
MTEMTĐK ĐM YILLR 00 00 004 005 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - - - - 1 1 1/1 /LYS KÜMELER TNIM: in tam bir tanımı yoksa da matematikçiler kümeyi; iyi tanımlanmış nesneler topluluğu olarak kabul
DetaylıKÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız.
KÜMELER Küme nesneler topluluğudur. u bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. Küme kavramı matematiğe girmeden önce matematik denilince akla sayılar ve şekiller gelirdi. Kümeler kuramının
DetaylıYENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK
YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel
DetaylıSAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR
1 SAYILAR DOĞAL VE TAM SAYILAR RAKAM: Sayıları ifade etmek için kullandığımız 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerinden her birine rakam denir. Soru: a ve b farklı rakamlar olmak üzere a + b nin alabileceği
DetaylıKÜMELER Test -1. 5. A a,b,c, 1,2, 5. 1. A a,b,c,d 2. A,1,2,3, 1. 7. s(a) = 10 ve s(b) = 7. 4. B x:0 x 40 ve x 5k, k. 8. s(a) = 9 ve s(b) = 4
KÜMELER Test -1 1. A a,b,c,d kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A B) a A C) d A D) {a, c} A E) {a} A 5. A a,b,c, 1,2, 5 kümesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) s(a) = 6 B) b A C)
DetaylıA { x 3 x 9, x } kümesinin eleman sayısı A { x : x 1 3,x } kümesinin eleman sayısı KÜMELER
KÜMELER Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış bir listesidir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine kümenin elemanı denir. Kümeler genellikle A, B, C,... gibi büyük harflerle gösterilir. x nesnesi A kümesinin
DetaylıA) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 63. kaçtır?(d) A) 28 B) 44 C) 58 D) 64 E) 79 A) 16 B) 14 C) 12 D) 10 E) 8 8. ( ) veriliyor.a B kümesinin en az iki
TEST 3 1.={{x},y,{Ø}} kümesi için, aşağıdakilerden kaç tanesi yanlıştır?() i.ø ii.{x} iii.ø iv.{ø} v.{y} ) 1 ) 2 ) 3 D) 4 E) 5 2.Şekildeki taralı küme aşağıdakilerden hangisiyle ifade edilemez? 5. ( Α
Detaylı1 A IV. a. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler A II. A. a VI. A. b C ) c. 1. A kümesini venn şeması ile gösteriniz.
Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler 1. kümesini venn şeması ile gösteriniz. 6. M kümesine denk olan N kümesini ortak özellik yöntemi ile gösteriniz. 2. B kümesini liste yöntemi ile gösteriniz.
Detaylı{ x,y x y + 19 = 0, x, y R} = 3 tir. = sonlu kümesinin 32 tane alt kümesinde
1. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz küme belirtir? A) A = { x 4 < x < 36,x N} B) B = { x 19 < x,x asal sayı} C) C = { x x = 5k,0 < x < 100,k Z} D) D = { x x = 5, x Z} E) E = { x x < 19,x N}. A, B ve
DetaylıÖrnek...4 : A = { a, b, c, d, {a}, {b,c}} kümesi veriliyor. Aşağıdakilerin doğru mu yanlış mı olduğunu yazınız.
KÜME KAVRAMI Küme matematiğin tanımsız bir kavramıdır. Ancak kümeyi, iyi tanımlanmış kavram veya nesneler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi
DetaylıMATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni
Detaylıİçindekiler. 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler Denk ve Eşit Kümeler Kümelerde Birleşim ve Kesişim
İçindekiler 1. Küme Kavramı...6-7 2. Kümelerin Gösterimi...8-15 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler... 16-17 4. lt Küme Kavramı... 18-27 5. Denk ve şit Kümeler... 28-29 6. Kümelerde irleşim ve Kesişim... 31-41
Detaylıin en küçük değeri için x + y =? (24) + + =? ( a ) a a a b a
73. x, y R ve 5x + 3y = 10 dir. 5y 3x in en küçük değeri için x + y =? (4) 74. a + 1 = denkleminin çözüm kümesi nedir? ({ 1,3 } ) 75. a. b > 0 ve a. b < 0 olmak üzere, a a a b a + + =? ( a ) 76. x <
Detaylıİçindekiler. 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler Denk ve Eşit Kümeler Kümelerde Birleşim ve Kesişim
İçindekiler 1. Küme Kavramı...6-7 2. Kümelerin Gösterimi...8-15 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler... 16-17 4. lt Küme Kavramı... 18-27 5. Denk ve şit Kümeler... 28-29 6. Kümelerde irleşim ve Kesişim... 31-41
DetaylıKöklü Sayılar ,1+ 0,1+ 1, 6= m 10 ise m kaçtır? ( 8 5 ) 2x 3. + a =? (4)
Köklü Sayılar.,+ 0,+, 6= m 0 ise m kaçtır ( 8 5 ). a= ise a + a (). : :... = 8 0 0... eşitliğini sağlayan değeri nedir (). 99.0+.6+ (75) 5. + : + 8 7 8 () 6. > 0 ve = olduğuna göre ( ) + a+ b 7. a, b R
DetaylıHer türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim.
Önsöz Değerli Öğrenciler, u fasikül ortaöğretimde başarınızı yükseltmeye, üniversite giriş sınavlarında yüksek puan almanıza yardımcı olmak için özenle hazırlanmıştır. Konular anlamlı bir bütün oluşturacak
DetaylıÖrnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır?
KÜMELER 2 İKİ KÜMENİN BİRLEŞİMİ A ve B gibi iki kümeden, A' ya veya B' ye ait olan elemanlardan oluşan yeni kümeye A ile B' nin birleşimi denir ve AUB ile gösterilir. Bu gösterim A birleşim B di ye okunur.
Detaylısayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye
KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile
Detaylı1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR...
İçindekiler 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KVRMLR, KÜMELERDE İŞLEMLER... 10. KÜMELERDE TEMEL KVRMLR... 10 B. SONLU, SONSUZ VE BOŞ KÜME... 12 C. KÜMELERİN EŞİTLİĞİ... 14 D. LT KÜME, ÖZ LT KÜME... 14 E. KÜMELERDE
DetaylıBMT 206 Ayrık Matematik. Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1
BMT 206 Ayrık Matematik Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 1 Kümeler Yük. Müh. Köksal GÜNDOĞDU 2 Kümeler Kümeler Ayrık Matematiğin en temel konularından biridir Sayma problemleri için önemli Programlama dillerinin
DetaylıÖrnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : MANTIK 1. p: Bir yıl 265 gün 6 saattir. w w w. m a t b a z. c o m ÖNERMELER- BİLEŞİK ÖNERMELER
Terim: Bir bilim dalı içerisinde konuşma dilinden farklı anlamı olan sözcüklerden her birine o bilim dalının bir terimi denir. Önermeler belirtilirler. p,q,r,s gibi harflerle Örneğin açı bir geometri terimi,
DetaylıTemel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.
Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal
DetaylıMATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU
MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
DetaylıMANTIK. 3. p 0, q 1 ve r 1 iken aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulunuz. p q q. q b. ( ) ' c. ( p q) r
MANTIK 1. p : Ali esmerdir., q : Ali bir avukattır. Önermeleri verildiğine göre, sembolik olarak gösterilen aşağıdaki ifadeleri yazıya çeviriniz. a. p b. p q c. p q d. p q e. p q. p 1 ve q iken aşağıdaki
DetaylıKüme Temel Kavramları
Kümeler Kümeler Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa
DetaylıYAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ:
KONU BİLGİSİ 1.KÜME TNIMI VE GÖSTERÝM ÞEKÝLLERÝ Belli özellikleri saðlayan nesneler topluluðuna küme denir. Kümede tüm elemanlar net olmalýdýr. Kümeler büyük harflerle gösterilir. Bir kümede bir eleman
Detaylıkişi biri 4 kişilik, üçü ikişer kişilik 4 takıma kaç farklı şekilde ayrılabilir? (3150)
PERMÜTASYON KOMBİNASYON. A = {,,,,5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 elemanı bulunur? (). 7 elemanlı bir kümenin en az 5 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? (9). A { a, b, c, d, e, f, g, h}
DetaylıMateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ
Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.
Detaylı1. BÖLÜM Mantık BÖLÜM Sayılar BÖLÜM Rasyonel Sayılar BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler
ORGANİZASYON ŞEMASI 1. BÖLÜM Mantık... 7. BÖLÜM Sayılar... 13 3. BÖLÜM Rasyonel Sayılar... 93 4. BÖLÜM I. Dereceden Denklemler ve Eşitsizlikler... 103 5. BÖLÜM Mutlak Değer... 113 6. BÖLÜM Çarpanlara Ayırma...
DetaylıAYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ
AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a
DetaylıTEMEL KAVRAMLAR. a Q a ve b b. a b c 4. a b c 40. 7a 4b 3c. a b c olmak üzere a,b ve pozitif. 2x 3y 5z 84
N 0,1,,... Sayı kümesine doğal sayı kümesi denir...., 3,, 1,0,1,,3,... sayı kümesine tamsayılar kümesi denir. 1,,3,... saı kümesine sayma sayıları denir.pozitif tamsayılar kümesidir. 15 y z x 3 5 Eşitliğinde
DetaylıCebir Notları. Kümeler TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006
, 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler TEST I 1. s(a) = 13 s(a \ B) = 7 s(a B) = 23 ise, s(b) nedir? A) 6 B) 7 C) 10 D) 13 E) 16 7. Üç basamaklı 5 ve 7 ile tam bölünebilen,
Detaylı140. 2< a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9 2,4 2,7 3,2 3,7. a a c b ve c a a b c
138. a ve b gerçel sayılardır. a < a, 6a b 5= 0 b ne olabilir? (11) 4 5 8 11 1 139. < 0 olmak üzere, 4 3. =? ( 3 ) a 1 140. < a< 1 ise kesrinin değeri aşağıdakilerden hangisi olamaz? (3,7) a 1,9,4,7 3,
DetaylıKÜMELER 05/12/2011 0
KÜMELER 05/12/2011 0 KÜME NEDİR?... 2 KÜMELERİN ÖZELLİKLERİ... 2 KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ... 2 EŞİT KÜME, DENK KÜME... 3 EŞİT OLMAYAN (FARKLI) KÜMELER... 3 BOŞ KÜME... 3 ALT KÜME - ÖZALT KÜME... 4 KÜMELERDE
Detaylı( ) (, ) Kombinasyon. Tanım: r n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı her alt kümesine bu n elemanın r li kombinasyonu denir.
Kombinasyon Tanım: r n olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı her alt kümesine bu n elemanın r li kombinasyonu denir. n elemanın tüm r li kombinasyonlarının sayısı; (, ) C n r ( ) r n P n, r n!
DetaylıTEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar
TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c
DetaylıSunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER
Sunum ve Sistematik. ÜNİTE: MANTIK KONU ÖZETİ Bu başlık altında, ünitenin en can alıcı bilgileri, kazanım sırasına göre en alt başlıklara ayrılarak hap bilgi niteliğinde konu özeti olarak sunulmuştur..
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Kümeler Cebiri 5 1 Kümeler Cebiri 1 Doğa olaylarının ya da sosyal olayların açıklanması için,
DetaylıİÇİNDEKİLER. Önsöz...2. Önermeler ve İspat Yöntemleri...3. Küme Teorisi Bağıntı Fonksiyon İşlem...48
İÇİNDEKİLER Önsöz...2 Önermeler ve İspat Yöntemleri...3 Küme Teorisi...16 Bağıntı...26 Fonksiyon...38 İşlem...48 Sayılabilir - Sonlu ve Sonsuz Kümeler...56 Genel Tarama Sınavı...58 Önermeler ve İspat Yöntemleri
DetaylıDers 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar
Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Küme Kavramı Küme İşlemleri Deney, Örnek Uzay, Örnek Nokta ve Olay Kavramları Örnek Noktaları Sayma Permütasyonlar Kombinasyonlar Parçalanmalar
Detaylı1. Ünite - ÜTT. 1. Ünite. Aşağıdaki karşılaştırmalardan hangisi yanlıştır? Aşağıdakilerden hangisi 256 sayısına eşit değildir? 1 57 < < 3 4
. Ünite - ÜTT. Ünite. şağıdakilerden hangisi 6 sayısına eşit değildir?. şağıdaki karşılaştırmalardan hangisi yanlıştır? < 6 < 3 = 6 3 > 3. ir postacı, her gün tane eve birer adet fatura bırakmaktadır.
Detaylıİlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN,
YAYIN KURULU Hazırlayanlar İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN, YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK & Ezgi
DetaylıMATEMATİK ADF. Önermeler - I ÜNİTE 1: MANTIK. Önerme. örnek 2. Bir önermenin değili (olumsuzu) örnek 3. Doğruluk Tablosu. örnek 1.
MATEMATİK ÜNİTE 1: MANTIK Önermeler - I ADF 01 Önerme Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere... denir. R Doğru hüküm bildiren önermeye..., Yanlış hüküm bildiren önermeye... denir. R Önermelerin
DetaylıTAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,
TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.
Detaylı7. Aşağıda verilen önermelerin değillerini yazınız. a. p: Bazı aylar 30 gündür. p : Bazı aylar 30 gün değildir.
ADIM 0. Aşağıdaki ifadelerin bir önerme olup olmadığını belirtiniz. a. Asal sayıların hepsi tek sayıdır. önerme b. Türkiye 7 farklı coğrafi bölgeden oluşur. önerme c. Çay içmeye gelen var mı? önerme değil.
Detaylı( B) ( ) PERMÜTASYON KOMBİNASYON BİNOM OLASILIK
PERMÜTASYON KOMBİNASYON BİNOM OLASILIK.... n = n! olmak üzere, ( n + )! = 0 n! + n! ise, n kaçtır? (A) ( ) A)0 B) C) D) E). ( n +,) = 6 C olduğuna göre, n kaçtır? (B) A) B)6 C) D)8 E)9. ( n, ). C( n,)
Detaylı2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.
Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS sınavlarında matematik
DetaylıYAYINLARI. ISBN:
YAYINLARI www.alpaslanceran.com.tr ISBN: - - - - Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayınlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemi
Detaylıise, a b=? (32) ile bölümünden kalan 64 ise sabit terimi kaçtır? (72)
178. P( ) + ile bölümünden kalan a+ b dir. P( + 1) in 1 ile bölümünden kalan 10, P( + ) nin + 1 ile bölümünden kalan 4 4 P 179. ( ) ise, a b=? () + = + + 9 ise P( ) ile bölümünden kalan aşağıdakilerden
Detaylı11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler
11.Konu Tam sayılarda bölünebilme, modüler aritmetik, Diofant denklemler 1. Asal sayılar 2. Bir tam sayının bölenleri 3. Modüler aritmetik 4. Bölünebilme kuralları 5. Lineer modüler aritmetik 6. Euler
Detaylı12-A. Sayılar - 1 TEST
-A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç
DetaylıBulanık Küme Kavramı BULANIK KÜME. Sonlu ve Sonsuz Bulanık Kümeler. Sonlu ve Sonsuz Bulanık Kümeler
ULNIK KÜME ulanık Küme Kavramı Elemanları x olan bir X evrensel (universal küme düșünelim. u elemanların ÌX alt kümesine aitliği, yani bu altkümelerin elemanı olup olmadığı X in {0,1} de olan karakteristik
Detaylı9. SINIF MATEMATİK SORU BANKASI. Sinan YILMAZ Dr. Sefa YILDIZ UĞURLU Ertan GÜLER
9. SINIF MTEMTİK SORU NKSI Sinan YILMZ r. Sefa YILIZ UĞURLU Ertan GÜLER Nitelik Yayınları /8 9. Sınıf Matematik Soru ankası / Sinan YILMZ - r. Sefa YILIZ UĞURLU - Ertan GÜLER Yayına Hazırlama NİTELİK izgi-grafik
Detaylı6. x. 1 x = x denkleminin çözüm kümesi A) 3 2 B) 1 C) 1 2. x x
İkinci ereceden enklem Eşitsizlikler ve Fonksiyonlar TEST-. + 9 = ) C) ise ) E) 6.. = denkleminin çözüm kümesi ile 6 + m + = 0 denkleminin çözüm kümesinin kesişimi bir elemanlı ise, m gerçel sayısının
DetaylıTEMEL SAYMA. Bill Gates
Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;
DetaylıMAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR. (b) = ise =
MAT 302 SOYUT CEBİR II SORULAR 1. : bir dönüşüm, olsunlar. a) ( ) = ( ) ( ) b) ( ) ( ) ( ) olduğunu c) ( ) nin eşitliğinin sağlanması için gerekli ve yeterli bir koşulun nin 1 1 olması ile mümkün olduğunu
Detaylı6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,
1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü
DetaylıTanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir.
2. SİMETRİK GRUPLAR Tanım 2.1. X boş olmayan bir küme olmak üzere X den X üzerine bire-bir fonksiyona permütasyon denir. Tanım 2.2. boş olmayan bir küme olsun. ile den üzerine bire-bir fonksiyonlar kümesini
DetaylıAtatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar
Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 01 MATEMATİK 1. TEMEL KAVRAMLAR 1.1. RAKAM Sayıların yazılmasında kullanılan sembollere rakam denir. Onluk
DetaylıMatematik Ders Föyü. Uygulayalım. Terim. Önerme. Doğruluk Değeri. Ortaöğretim Alanı MF - 01 NOT NOT. 1. Aşağıdaki tabloyu tanımlı veya tanımsız
Ortaöğretim Alanı MF - 01 Matematik Ders Föyü Terim Bir sözcüğün bilim, spor, sanat, meslek vb. içerisinde kazandığı özel anlama terim denir. NOT Küp Matematik Ova Coğrafya Asit Kimya Mercek Fizik Sol
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer
DetaylıÜNİTE 1: TEMEL KAVRAMLAR
MATEMATİK ÜNİTE : TEMEL KAVRAMLAR Temel Kavramlar ADF 0 RAKAM Sayı oluşturmak için kullanılan sembollere... denir. 0 luk sayma düzenindeki rakamlar 0,,,... 8 ve 9 olup 0 tanedir. örnek a, b, c sıfırdan
Detaylı2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK
2017 MÜKEMMEL YGS MATEMATİK 1. 2,31 0,33 0,65 0,13 + 3,6 0,6 işleminin sonucu kaçtır? A)0,5 B) 0,8 C)0,9 D)5 E)8 4. Üç basamaklı ABB doğal sayısı 4 e ve 9 a kalansız bölünmektedir. Buna göre, A+B toplamının
DetaylıOlasılık Kuramı ve İstatistik. Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları
Olasılık Kuramı ve İstatistik Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları OLASILIK Olasılık teorisi, raslantı ya da kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Raslantı
DetaylıTemel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b
Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri
DetaylıKÜMELER A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34 A) 30 B) 25 C) 21 D) 19 E) 17 A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32
TARAMA TESTİ 1 KÜMELER 1. A= x N : x 6 A B x N : x 8 B \ A aşağıdakikerden hangisidir? A)7,8 B)6,7,8 C)8 D)7 E) 2. A = x N : 2 x 7, B = x N : 2 x 5 olduğuna göre,a \ B nin eleman sayısı kaç? 3. A = x N
DetaylıİÇİNDEKİLER. Mantık Kurallarının Elektrik Devrelerine Uygulanması... 14
İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM MANTIK Giriş... 1 Genel Olarak Mantık... 1 Mantığın Tarihçesi ve Modern Mantığın Doğuşu... 1 Mantık Öğretimin Önemi ve Amacı... 2 Önerme... 3 VE İşlemi (Birlikte Evetleme, Mantıksal
DetaylıMATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER
ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say
Detaylı16. 6 kişinin katıldığı bir sınav başarı yönünden kaç farklı şekilde sonuçlanabilir? (64)
SAYMANIN TEMEL İLKESİ 1. Altılık sayma düzeninde dört basamaklı rakamları tekrarsız kaç sayı yazılabilir? (300) 2. 0,1,2,3,4,5,6,7 rakamları ile yazılabilecek 300 ile 700 arasında en çok kaç değişik doğal
Detaylıp sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?
07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin
DetaylıRakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.
A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı
Detaylı10.Konu Tam sayıların inşası
10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir
DetaylıÖrnek...6 : Örnek...1 : Örnek...7 : Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...4 : Örnek...8 : Örnek...5 : MANTIK 2 MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER
MANTIK MATEMATİKSEL ARAÇLAR AÇIK ÖNERMELER İçerisinde değişken olan ve değişkenin değerlerine göre doğru ya da yanlış olabilen önermelere açık önerme denir. Açık önermeler değişkenine göre P( x), Q( a)
Detaylı0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c
0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade
DetaylıMatematik Ders Föyü. Uygulayalım. Terim. Önerme. Doğruluk Değeri. Ortaöğretim Alanı MF - 01 NOT NOT. 1. Aşağıdaki tabloyu tanımlı veya tanımsız
Ortaöğretim Alanı MF - 01 Matematik Ders Föyü Terim Bir sözcüğün bilim, spor, sanat, meslek vb. içerisinde kazandığı özel anlama terim denir. NOT Küp Matematik Ova Coğrafya Asit Kimya Mercek Fizik Sol
DetaylıDikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır.
KÜMELER Kümelerin birleşimi (A B ): Kümelerin bütün elemanlarından oluşur. Kümelerin kesişimi (A B): Kümelerin ortak elemanlarından oluşur. Kümelerin Farkı (A \ B ) veya (A - B ): Birinci kümede olup ikinci
DetaylıKÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi.
KÜMELER Canlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(a) = 3 tür. tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. 2. Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarını, daha somut ya
DetaylıXII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı
XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)
DetaylıBÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14
İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi
Detaylı1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler
. ÜNİTE: MANTIK . ÜNİTE: MANTIK... Önerme Tanım (Önerme) BÖLÜM.. - Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) Eskişehir Türkiye'nin başkentidir.
DetaylıMATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 1.KONU Sembolik Mantık; Önermeler, Niceyiciler, Olumsuzluk, İspat yöntemleri KAYNAKLAR 1. Akkaş, S., Hacısalihoğlu, H.H., Özel, Z., Sabuncuoğlu, A.,
DetaylıYGS ÖNCESİ. 1) 1! + 3! + 5! ! Toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?
1) 1! + 3! + 5! +. + 1453! Toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır? 6) Rakamları sıfırdan farklı iki basamaklı bir AB doğal sayının rakamları yer değiştiğinde sayının değeri 63 artıyor. Buna göre,
Detaylı1. Bir kümenin eleman say s 3 artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r.
1. ir kümenin eleman say s artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r. una göre, ilk durumdaki kümenin eleman say - s kaçt r? ) 2 ) ) D) 5 E) 6 6. ve kümelere E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak
DetaylıBuna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.
TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }
Detaylı1) Aşağıdaki varlıklar içerisinde küme oluşturabilecek bir topluluğu yuvarlak içerisine alarak kümenin tarifini yapınız.
1ÖLÜM KÜMELER KÜMELER TEST 1 1) şağıdaki varlıklar içerisinde küme oluşturabilecek bir topluluğu yuvarlak içerisine alarak kümenin tarifini yapınız..güzelyurt.yeni İskele.Lefkoşa.Gazi Magosa.Girne 2)
DetaylıSivas Fen Lisesi Ortaokul 2. Matematik Olimpiyatı Sınavı A A) 55 B) 50 C) 45 D) 40 E) 35
Sivas Fen Lisesi Ortaokul 2. Matematik Olimpiyatı Sınavı A 1. ABC üçgeninde BF BD, EC CD olacak şekilde AC kenarı üzerinde E noktası, o BC m(ba C) 70 ise m(fd E) kaç derecedir? AB kenarı üzerinde F noktası,
DetaylıPERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:
SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=
DetaylıKÜMELER KÜMELER Kümeler Konu Özeti Konu Testleri (1 6) Kartezyen Çarpım Konu Özeti Konu Testleri (1 6)...
Sayfa No....................................................................9 - Kümeler Konu Özeti.......................................................... 9 Konu estleri ( 6)...........................................................
Detaylı