MAT 321SOYUT CEBİR I KONU TEKRAR SORULARI. ise < A > nedir?

Transkript

1 MAT 321SOYUT CEBİR I KONU TEKRAR SORULARI 1. Pozitif rasyonel sayılar kümesi Q + üzerinde x y = xy 2 işlemi tanımlansın. (Q+, ) bir grup mudur? Gösteriniz. 2. (G, ) bir grup olsun. a G olmak üzere her x, y G için x y = x a y olarak tanımlansın. Bu durumda, (G, ) bir gruptur. Gösteriniz. 3. (Q {0}, ) grubunda A = { 3, 1 2} ise < A > nedir? 4. G bir grup olsun. x G için x n = e olacak şekilde bir 1 < n sayısıvar ise x 1 = x m olacak şekilde bir 1 m sayısıda vardır. Gösteriniz. 5. G =< a > mertebesi 24 olan bir devirli grup olsun. G nin bütün altgruplarınıbulunuz. 6. f : G G bir grup homomorfizmasıve f altında görüntüsü kendisine eşit olan elemanların kümesi H olsun. H < G olduğunu gösteriniz. 7. G bir grup ve H, G grubunun boş olmayan sonlu bir altkümesi olsun. Eğer H kümesi G grubu üzerindeki işleme göre kapalıise H, G grubunun bir altgrubudur. Gösteriniz. 8. Asal mertebeli her grup devirlidir. Gösteriniz. 9. G =< a >, m. mertebeden devirli grup olsun. G =< a k > dır. ebob(k, m) = 1 dir. Gösteriniz. 10. Tamsayılardan oluşan G = {6a + 14b a, b Z} kümesini ele alalım. Bu G kümesi tamsayılardaki toplama işlemi altında bir grupmudur? Gösteriniz. 11. H = {I, R 2, T x, T y } kümesinin D 4 grubunun altgrubu olduğunu gösteriniz. 12. Bir devirli grubun her altgrubunun devirli olduğunu gösteriniz. 13. Her devirli grubun değişmeli olup olmadığınıgösteriniz. 14. K = {a, b, c, d} grubunun çarpım tablosu aşağıda verilmiştir. (a) K nın bir grup olduğunu gösteriniz. (b) K değişmeli midir? Gösteriniz. a b c d a a b c d b b a d c c c d b a d d c a b (c) K grubunun bütün altgruplarınıbulunuz. (d) K nın bütün altgruplarına göre sağ denklik sınıflarınıbulunuz. (e) K devirli grup mudur? Gösteriniz. 1

2 15. G bir grup ve x G olsun. C(G) = {g G y G için, gy = yg} kümesine G grubunun merkezi ve C(x) = {g G gx = xg} kümesine x elemanının merkezleştiricisi denir. (a) C(G) G ve C(x) < G olduğunu gösteriniz. (b) G grubunun işlem tablosu aşağıdaki gibi olsun Bu durumda C(G) ve C(7), C(3) altgruplarınıbulunuz. 16. G bir grup olmak üzere H < G ve N G ise HN < G olduğunu gösteriniz. 17. Z 12 grubu üzerinde (a) H =< 6 > altgrubunu bulunuz. (b) Z 12 H grubunu bulunuz. (c) Z 12 H grubundaki elemanların mertebelerini bulunuz. 18. G bir grup ve H < G olsun. N G (H) = {x G xhx 1 = H} kümesine H altgrubunun G grubundaki normalleyeni denir. Bu durumda, N G (H) < G ve H N G (H) olduğunu gösteriniz. 19. G bir grup olsun. H < G altgrubu "her x G için x 2 H " özelliğini sağlıyor ise (a) H G olduğunu gösterin (İpucu: xhx 1 = (xh) 2 h 1 (x 1 ) 2 ). (b) G/H ın değişmeli olup olmadığınıgösteriniz. 20. f : G H bir homomorfizma, h H ve x f 1 (h) olsun. Bu durumda, f 1 (h) = x ker f dir. Gösteriniz. 21. f : G S bir grup homomorfizmasıve ker f = {e} olsun. Bu durumda, her a G için a ile f (a) nın mertebelerinin aynıolduğunu gösteriniz. 22. G = (Q {0}, ) olsun. f : G G, f (x) = x şeklinde tanımlansın. (a) f, bir grup homomorfizmasıdır. Gösteriniz. (b) ker f yi bulunuz. (c) G/ ker f yi bulunuz. 2

3 23. G =< x > herhangi bir devirli grup olsun. tanımlansın. f : G (Z, +) x n n (a) f (b) f bir homomorfizma mıdır? Gösteriniz. homomorfizma ise ker f yi bulunuz. 24. (C, +) kompleks sayılar grubu verilsin. φ : C C x + iy x iy tanımlansın. φ dönüşümü C grubunun bir otomorfizmasıdır. Gösteriniz. 25. φ : Z 12 Z 3 örten homomorfizmasıφ(1) = 2 şeklinde veriliyor. a) K = ker f altgrubunu bulunuz. b) Z 12 /K grubunu bulunuz. 26. G = Z 24 olsun. H =< 4 > ve K =< 8 > altgrupları verilsin. (a) G/H, G/K ve H/K kalan sınıf gruplarınıyazınız. (b) (G/K) / (H/K) kalan sınıf grubunu yazınız. 27. şeklinde tanımlansın. φ : Z 18 Z (a) φ nin bir homomorfizma olduğunu gösteriniz. (b) ker φ yi bulunuz. 28. f : G H bir grup homomorfizma olsun. (a) N < G ise f (N) < H olduğunu gösterin. (b) K < H ise f 1 (K) < G olduğunu gösterin. (c) ker f G olduğunu gösteriniz. 29. Aşağıdakileri gösteriniz. (a) G bir grup ve a, b G için, ab = e olsun. Bu durumda ba = e olduğunu gösteriniz. (b) G üç elemanlıbir grup ise değişmeli olduğunu gösteriniz. (c) G bir grup ve H < G olsun. [G : H] = 1 ise G = H dır. 3

4 30. G bir grup, H < G, K < G olsun. H = 75 ve K = 57 ise H K nın devirli olduğunu gösteriniz. {[ ] } a b 31. M = a, b, c, d Z kümesi bilinen matris toplamıile bir grup olsun. Bu c d durumda, {[ ] } a b H = a, b, c Z c a kümesi tanımlansın. (a) H M dir. Gösteriniz. (b) M/H yi oluşturunuz. 32. (Z, +) grubu ve bu grubun H = 5Z altgrubu verilsin. (a) (G/H, +) grubunun işlem tablosunu oluşturunuz. (b) (G/H, +) grubunda, H + 22 elemanının toplamsal tersini bulunuz. (c) (H + 3) + x = H + 1 denklemini çözünüz. 33. (G,.) bir grup, N, K G ve N K olsun. Bu durumda K/N G/N olduğunu ispatlayınız. 34. G bir grup, n > 1 sabit bir tamsayıve her a, b G için (ab) n = a n b n olsun. G n = {a G : a n = e} ve G n = {a n : a G} kümeleri tanımlansın. (a) G n G, (b) G n G, (c) G/G n grubunu bulunuz. 35. G =< a > sonlu n mertebeli devirli grup olsun. f : G G, f(a) = a m ile tanımlanan dönüşüm bir otomorfizmadır ebob(m, n) = 1 dir. Gösteriniz. 36. σ : (G,.) (H, ) grup monomorfizmasıolsun. Bu durumda dir. Gösteriniz. σ(a) n = e H a n = e G 37. G =< a >, 9.mertebeden devirli bir grup ve f : G Z 6 a 5 4 olarak tanımlanan f bir homomorfizma olsun. (a) f homomorfizmasınıbelirleyiniz. (b) ker f ve Im f kümelerini bulunuz. 4

5 38. G grup, a G için a ile değişmeli olan elemanların kümesi C(a) olsun. (a) C(a) < G olduğunu gösteriniz. (b) C(G) = a GC(a) olduğunu gösteriniz. 39. f : Z 6 Z 4, f(x) = 2x ile tanımlanan bağıntının bir homomorfizma olup olmadığını gösteriniz. Homomorfizma ise ker f ve Im f kümelerini bulunuz. 40. G bir grup olsun. G grubu değişmelidir f : G G, f(x) = x 1 ile tanımlanan dönüşüm bir homomorfizmadır. 41. G =< a > devirli grup ve H herhangi bir grup olsun. f : G H bir grup homomorfizmasıise o zaman f(g) kümesinin de bir devirli grup olduğunu gösteriniz. 42. G mertebesi 300 olan bir grup, K < H < G ve K = 20 ise H nin alabileceği değerleri bulunuz. 43. G bir grup, H < G ve [G : H] = 2 ise her x G için x 2 H olduğunu gösteriniz. 44. Aut(Z) = Z 2 olduğunu gösteriniz. 45. Z den Z ye sonsuz sayıda homomorfizmanın var olduğunu gösteriniz. 46. Z 30 dan Z 10 grubuna tanımlıgrup homomorfizmalarınıbulunuz Z/6Z grubunun işlem tablosunu yapınız. 48. Z den Z 6 ya bütün grup homomorfizmalarınıbulunuz. 49. Üç elemanlı G = {e, a, b} kümesinin grup olabilmesi için elemanlarının sağlaması gereken koşullarıbulunuz. 50. Z 24 toplamsal grubunu ele alalım. (a) Z 24 / 8 kümesini oluşturunuz ve grup olup olmadığınıgösteriniz. (b) elemanının mertebesini bulunuz. (c) tarafından üretilen altgrubu yazınız. 51. G = a mertebesi 35 olan bir devirli grup olsun. (a) G grubunun altgruplarını, (b) a 77 elemanının mertebesini, (c) a 205 tarafından üretilen altgrubu, (d) G grubunun üreteçlerini bulunuz. 5

6 52. G bir grup olmak üzere {e G } kümesinin bir normal altgrup olduğunu gösteriniz. Ayrıca G/{e G } kalan sınıf grubunun mertebesini bulunuz. 53. G = {T a,b T a,b : R R, T a,b (r) = ar + b, 0 a, b, r R} grubu ve H = {f 1,b b R} altkümesi olsun. (a) H < G olduğunu, (b) H G olduğunu, (c) G/H kalan sınıf grubunun değişmeli olduğunu gösteriniz. 54. H ve K, G grubunun altgruplarıve g G olsun. gh gk = g (H K) olduğunu gösteriniz. 55. H = {β S 4 β(4) = 4} olsun. H kümesinin S 4 grubunun bir normal altgrubu olup olmadığınıgösteriniz. 6