Boru İçerisindeki Bir Akış Problemine Ait Analitik ve Nümerik Çözümler

Transkript

1 Afyon Kocatepe Üniesitesi Fen Bililei Degisi Afyon Kocatepe Uniesity Jounal of Sciences AKÜ FEBİD () 59 (-9) AKU J. Sci. () 59 (-9) Bou İçeisindeki Bi Akış Pobleine Ait Analitik e Nüeik Çözüle Eine Ceyan,Muhaet Yüüsoy Kastaonu Üniesitesi, Abana Sabahat-Mesut Yılaz Meslek Yüksekokulu, Doğalgaz, Isıta e Sıhhi Tesisat Teknolojisi, Kastaonu. Afyon Kocatepe Üniesitesi, Teknoloji Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölüü, Afyonkaahisa. e-posta:, eceyan@kastaonu.edu.t yuusoy@aku.edu.t Geliş Taihi: 7.Eki.; Kabul Taihi: 6 Kası Anahta keliele Newtonyen Olayan Akışkanla; Sonlu Fakla; Petübasyon Tekniği. Özet Bu çalışada, Newtonyen olayan bi akışkan odelinin bou içeisindeki akışı incelenişti. Silindiik koodinatlada üçüncü deece akışkanlaa ait genel haeket denkleleinden yaalanılaak bou içeisindeki tek boyutlu akış için oentu e eneji denklelei elde edilişti. Denklelein analitik e nüeik çözülei yapılıştı. Çözülede iskozite sabit kabul edilişti. Analitik çözülei elde etek için petübasyon tekniği, nüeik çözülee ulaşak için ise sonlu fakla yöntei kullanılıştı. Çeşitli akışkan sabitleinin hız e sıcaklık pofillei üzeindeki etkisi incelenişti. Sonuçla MATLAB pogaından yaalanılaak gafiksel olaak ifade edilişti. Son olaak, analitik e nüeik çözüleden elde edilen sonuçla kaşılaştıılıştı. Nueical Solutions fo a Flow Poble of a Pipe Key wods Non-Newtonian Fluids; Finite Diffeentiations; Petubation Techniques. Abstact In this study, the flow of a kind of non- Newtonian fluid odel in a pipe is inestigated. Moentu and enegy equations fo one-diensional flow in a pipe ae deteined by using the geneal equations of otion fo cylindical coodinates. Analytical and nueical solutions ae done fo these equations. The iscosity is assued constant in solutions. The petubation technique is used to obtain analytical solutions, the finite diffeence ethod is used to achiee nueical solutions. The effect of aious fluid constants on elocity and tepeatue pofiles is inestigated. Results ae pesented gaphically using MATLAB poga. Finally, esults fo analytical and nueical solutions ae copaed. Afyon Kocatepe Üniesitesi. Giiş Tabiatta bulunan akışkanlaın büyük bi kısı Newtonyen olayan akışkan odeline uyaktadı. Newtonyen olayan akışkanlaın çeşitliliği e kullanı alanlaının genişliliği sebebiyle özellikle son yıllada bu akışkanla üzeindeki çalışala atış gösteişti. Newtonyen olayan akışkanlaa e bou içeisindeki akışa ait yapılan bazı öneli çalışala şu şekilde özetlenebili: Massoudi e Chistie (995), bou içeisindeki üçüncü deece akışkanla için haeket e eneji denkleleinin çözüleini nüeik olaak elde etişledi. Bu çalışalaında akışkanın iskozitesinin sıcaklığa bağlı olaak değiştiğini göz önüne alışladı. Gupta (), powe-law odelindeki Newtonyen olayan akışkanın laine akış için yaklaşık bi çözüünü daiesel bi bou e düz kanal için otaya koyuştu. Yüüsoy e Pakdeili (999), kayalı yataklaın yağlanasında üçüncü deeceden Newtonyen olayan akış odelini kullanışladı. Bu çalışada; üçüncü deece akışkan etkileinin iskoz etkileden daha küçük olduğunu kabul etişledi. Malin (997), powe-law akışkanlada püüzsüz bou içindeki tübülanslı akışı sayısal olaak inceleiş e deneysel sonuçlala kaşılaştııştı. Bu çalışada, genelleştiiliş üçüncü deece Newtonyen olayan akışkan odelinin bou

2 Bou İçeisindeki Bi Akış Pobleine Ait Analitik e Nüeik Çözüle, Ceyan e Yüüsoy içeisindeki akışı incelenişti. Genelleştiiliş üçüncü deece akışkanlaa ait oentu e eneji denkleleinin çıkaılışında Rilin-Eicksen tensölei kullanılıştı. Elde edilen oentu e eneji denklelei ile sını şatlaı boyutlu paaeteleden oluşaktadı. Çözülein daha genel olabilesi aacıyla denklele boyutsuzlaştıılıştı. Elde edilen denklelein analitik e nüeik çözülei yapılaak sonuçla kaşılaştıılıştı.. Mateyal e Metot Bou içeisindeki akışı inceleek için öncelikle üçüncü deeceden Newtonyen olayan akışkanlaa ait bünye denklei elde edilişti. Genelleştiiliş üçüncü deece akışkanlaa ait bünye denklei aşağıdaki gibi eilebili: T p l ( A A A ) (t A ) A / () Buada p basınç, μ iskozite, α, α e β akışkan sabitlei, A e A Rilin-Eicksen tensöleidi. Bu tensöle şu şekilde tanılanabili: T A L L da A A L L A dt t( A ) T L () Linee oentu denklei aşağıdaki gibidi. dit t (3) Denkle () e () de eilen ifadele denkle (3) e yeleştiilip geekli işlele yapılısa; gad gadp gad A /.gad. A A A (4) genelleştiiliş üçüncü deeceden akışkanlaa ait en genel haeket denklei, denkle (4) teki gibi elde ediliş olu. Genelleştiiliş üçüncü deece akışkanlaa ait eneji denkleinin en genel hali ise aşağıdaki gibi ifade edilebili. / 4 k d gad A A A dt (5) Buada ε akışkanın iç enejisini, k ısı ileti katsayını, β üçüncü deece akışkan teiini ifade etektedi... Analitik Çözüle Bu çalışada akış tek boyutlu olaak ele alınıştı. Buna göe, denkle (4) e (5) teki gibi elde ediliş olan haeket e eneji denklelei düzenlenise; ( ) ( 3) d d d d d d dp d d d d d d dz d k d d d d d d d k şeklini alı. edilişti. (), d () d, (6) (7) Sını şatlaı aşağıdaki şekilde tespit ( ), d () d (8) Çözülein genelleştiilebilesi için denklelein boyutsuz olaak ifade edilelei geekektedi. Boyutsuzlaştıa için kullanılan dönüşüle şu şekildedi: AKÜ FEBİD () 59

3 Bou İçeisindeki Bi Akış Pobleine Ait Analitik e Nüeik Çözüle, Ceyan e Yüüsoy R w w (9) Buada efeans hızını, μ efeans iskoziteyi, θ otalaa akışkan sıcaklığını e θ w cida sıcaklığını ifade etektedi. Boyutsuz foa getiiliş haeket e eneji denklelei aşağıdaki gibidi: ( ) ( 3) C d d d d d d d d d d d d () denklelein petubatif çözülei yapılıştı. Çözülede iskozite sabit olaak kabul ediliş e iskozite değei olaak alınıştı. Moentu e eneji denkleleindeki hız e sıcaklığın yaya açılılaı aşağıdaki gibidi: (5) (6) Buada ε petubasyon paaetesidi. Ayıca çözülede Newtonyen olayan akışkan katsayısı Λ, aşağıdaki gibi seçilişti: (7) d d d d d d d d () Elde edilen denkleledeki ifadeleden e ε etebelei dikkate alınacaktı. Bu etebele açık şekilde yazılı ise; Boyutsuz hale getiiliş denkle için sını şatlaı aşağıdaki şekilde düzenlenişti. Metebesi () () d d () () d d () ( ) ( ) C (8) Denklelede boyutsuz akışkan hızını, θ boyutsuz sıcaklığı ifade etektedi. Denkle (3) te C eksenel yöndeki basınç değişiini, Λ boyutsuz Newtonyen olayan akışkan katsayısını, β boyutlu üçüncü deece akışkan katsayısını, Γ Binkan sayısını e k ısı ileti katsayısını ifade etekte e bunlaın ateatiksel açılılaı denkle (4) de eilişti. C R R ( w)k dp dz C CR R (3) (4) Bundan sonaki aşaada elde edilen boyutsuz ( ) Bu duuda sını şatlaı aşağıdaki gibi olu. () () () () ε Metebesi ( )( ) (( ) ( ) ( ) ) ( ) ( 3) (9) () ( ) ( ) 4 o () ( )( ) ( ) AKÜ FEBİD () 59 3

4 Bou İçeisindeki Bi Akış Pobleine Ait Analitik e Nüeik Çözüle, Ceyan e Yüüsoy () ε etebesine göe sını şatlaı ise aşağıda eilişti. () () () () (3) Oluştuulan yaya açılılaı elde edilen denklelede yeine yazılıp geekli işlele yapılaak çözüe ulaşılıştı. Buna göe, ana denklelein linee kısa yani etebesine ait sonuçlaı: C ( ) (4) ( ) C 3 4 ( ) 3 4 (5) ε etebesindeki sonuçla ise:.. Nüeik Çözüle Denklelein nüeik çözülei için sonlu fakla yönteinden yaalanılıştı. Çözülein elde edilesinde hata oanının daha az olasından dolayı ekezi fak denklelei kullanılıştı. düğü için h değei. olaak alınıştı. İlk olaak denkle (6) daki hız denklei için ekezi faklaı uygulanısa; d d fi fi h f f f h d i i i d (3) (3) ifadelei elde edili. Denkle (3) e (3) deki ifadele denkle () da yeine yeleştiileek hız denkleine ait ekezi fak genel denklei aşağıdaki gibi elde edili: C ( ) 4 (6) 4 C (3 6) (7) Elde edilen bu sonuçla denklelede yeine yeleştiildiğinde; fi fi i ( ) (f i fi f i ) (fi f i ) h h h fi fi i ( 3) (f i fi f i ) (fi f i ) Ci h h h (3) Denkle (7) için ekezi faklaı uygulaak için denkledeki tüelei için ekezi fakla uygulanısa; + 3 ( ) C C ( ) ( ) ( 4) ( 8 ) (8) d d gi gi h (33) C 4 C (3 6) (9) şeklinde hız e sıcaklık pofillei elde ediliş olu. d d g g g h i i i (34) elde edili. Denkle (34) e (34) deki eile denkle (8) de yeine yeleştiileek eneji denkleinin ekezi fak genel denklei elde ediliş olu. AKÜ FEBİD () 59 4

5 Bou İçeisindeki Bi Akış Pobleine Ait Analitik e Nüeik Çözüle, Ceyan e Yüüsoy g g g g g f f f f i i i i i i i i i h hi h h (35) Sonlu fakla yöntei kullanılaak genelleştiiliş üçüncü deece akışkanlaa ait oentu e eneji denkleleinin nüeik çözülei elde edilişti. 3. Bulgula Bu kısıda, ilk olaak hız e sıcaklığa ait elde edilen analitik çözülein gafiksel olaak ifadesi ye alacaktı. Analitik çözülein gafiklei Matlab paket pogaı kullanılaak elde edilişti. Gafikle denkledeki sabitlein faklı değelei için çizilişti. Faklı değelede hız e sıcaklık değişii incelenişti. Daha sona yine Matlab paket pogaı yadııyla e Sonlu Fakla yönteinden yaalanılaak hız e sıcaklığa ait nüeik çözüle de elde ediliş e analitik e nüeik çözüden elde edilen sonuçlaın kaşılaştıılası yapılıştı. Şekil. Çeşitli Λ değelei için hız pofillei (=., Γ=, C=-) Şekil e Şekil de faklı boyutsuz Newtonyen olayan akışkan katsayısını değelei için hız e sıcaklık pofillei incelenişti. Λ= olası akışkanın Newtonyen akışkan olduğunu gösteektedi. Şekil e de boyutsuz Newtonyen olayan akışkan katsayısının değei attığında hız e sıcaklığın azaldığını göülekle beabe hız e sıcaklık pofilleinin şeklinde hehangi bi değişiklik göüleektedi. Şekil. Çeşitli Λ değelei için sıcaklık pofillei (=., Γ=, C=-) Şekil 3 e Şekil 4 te faklı değeledeki Basınç fakı (C) paaetesi için hız e sıcaklık pofilleinin değişii sıasıyla gösteilişti. Şekil 3 te C değeinin utlak olaak atasıyla hızın attığı göülektedi. Şekil 4 te ise basınç fakının utlak değece atışının sıcaklığı da attıdığı gözlelenektedi. AKÜ FEBİD () 59 5

6 Bou İçeisindeki Bi Akış Pobleine Ait Analitik e Nüeik Çözüle, Ceyan e Yüüsoy Şekil 3. Çeşitli C değelei için hız pofillei (Λ=., Γ=, =. ) Şekil 5. Çeşitli Γ değelei için sıcaklık pofillei (Λ=., C=-, =.) C=-.6 C=-.55 C=-.5 Şekil 6(a) da faklı değeleinin negatif olasının hız üzeindeki etkisi eilişti. Buna göe; Şekil 6(a) da negatif değelei azaldıkça hız da azalaktadı. Şekil 6(b) de ise faklı değeleinin pozitif olasının hız üzeindeki etkisi eilişti. Buna göe; Şekil 6(b) de pozitif değelei attıkça hızın da attığı göülektedi x = =-. =-. Şekil 4. Çeşitli C değelei için sıcaklık pofillei (Λ=., Γ=, =.) Şekil 5 te değişik Binkan sayısınının sıcaklığın değişiine etkisini gösteektedi. Şekil 5 incelediğinde Γ değeinin atasının sıcaklık değeini attıdığı anlaşılaktadı (a) AKÜ FEBİD () 59 6

7 Bou İçeisindeki Bi Akış Pobleine Ait Analitik e Nüeik Çözüle, Ceyan e Yüüsoy =. =. = = =-. = (b) (b) Şekil 6. (a) negatif (b) pozitif değelei için hız pofillei (Λ=., Γ=, C=- ) Şekil 7. (a) pozitif (b) negatif değelei için sıcaklık pofillei (Λ=., Γ=, C=- ) Şekil 7(a) da pozitif değeleinin sıcaklık üzeindeki etkisi incelenişti. Şekil 7(a) ya göe sıcaklığın pozitif değeleiyle doğu oantılı bi biçide değişii söz konusudu. Şekil 7(b) de ise negatif değeleinin sıcaklık değişine etkisi inceleniş e negatif değeleinin azalasıyla sıcaklığın da azaldığı göülektedi =. =. = Şekil 8 e Şekil 9 analitik e nüeik çözülein kaşılaştıa gafikleini eektedi. Nüeik çözülein elde edilesinde Sonlu Fakla yöntei e Matlab paket pogaından yaalanılıştı. Katsayı e paaetelein belitilen değelei için nüeik e analitik çözüle gafiksel olaak belitilişti. Kesik çizgilele eilen gafik nüeik sonuçlaı, düz çizgilele eilen gafik ise analitik sonuçlaı ifade etektedi. Şekil 8 analitik e nüeik çözülein hız açısından kaşılaştıılası eilişti. Şekil 9 da ise sıcaklık analitik e nüeik çözüle bakıından kıyaslanıştı. Buna göe; he iki şekilde de sonuçlaın bibiine oldukça yakın olduğu göülektedi. Bu da yapılan analitik çözülein doğu bi yaklaşı olduğunu gösteektedi (a) AKÜ FEBİD () 59 7

8 Bou İçeisindeki Bi Akış Pobleine Ait Analitik e Nüeik Çözüle, Ceyan e Yüüsoy Şekil 8. Analitik e nüeik hız pofillei (Λ=., C=-, =., Γ=) Şekil 9. Analitik e nüeik sıcaklık pofillei (Λ=., C=-, =., Γ=) 4. Tatışa e Sonuç Analitik Nüeik Analitik Nüeik Yapılan çalışada bou içeisindeki genelleştiiliş üçüncü deeceden Newtonyen olayan akışkan akışında haeket e eneji değişii incelenişti. İlk olaak silindiik koodinatlada genelleştiiliş üçüncü deece akışkanlaa ait oentu e eneji denklelei elde edilişti. Denklelein çıkaılışında Rilin-Eicksen tensölei kullanılıştı. Bu denkle için bou içeisindeki akışı ifade eden sını şatlaı belileneek çözülein daha genel olabilesi için denklele boyutsuz hale getiilişti. Sonuçta, silindiik koodinatla için tek boyutlu akışı ifade eden adi difeansiyel denkle sistelei elde edilişti. Bu denkle sisteleinin yaklaşık analitik çözülei yapılıştı. Denklelein analitik çözüü için bi petubasyon etodu olan yaya açılıı kullanılıştı. Yaya açılıı yapılaak hız e sıcaklık pofilleine ait denklele Newtonyen e Newtonyen olayan kısılaa ayılıştı. Öncelikle Newtonyen kısın, daha sona Newtonyen olayan kısın çözülei yapılıştı. Çözülede iskozite değei sabit olaak kabul edilişti. Analitik çözülein yanı sıa nüeik çözüle de yapılıştı. Nüeik çözülein elde edilesinde sonlu fakla etodu kullanılıştı. Hata oanının az olası sebebiyle sonlu fak yaklaşılaından ekezi fakladan yaalanılıştı. Nüeik çözüle, düğü için h değei. alınaak elde edilişti. Elde edilen denklele Matlab paket pogaı yadııyla çözülüştü. Son olaak elde edilen analitik çözüle gafiksel olaak açıklanıştı. Denkleledeki katsayılaın değişiinin hız e sıcaklık üzeindeki etkisi aaştıılıştı. Ayıca, analitik e nüeik çözüle gafiksel olaak kaşılaştıılıştı. Elde edilen bilgile neticesinde Newtonyen olayan paaete (Λ) attığında hız e sıcaklık değeinin azaldığı gözlelenişti. sabitinin pozitif değeinin attıılasını ile hız e sıcaklığın da doğu oantılı olaak attığı göülektedi. sabitinin negatif olası duuu incelenişti. Negatif değeleinin azalası hız e sıcaklık değeleini düşüektedi. Basınç fakı (C) değeindeki atışın hızı e sıcaklığı attıdığı göülektedi. Binkan sayısı nın (Γ) atası hızın değeini değiştieektedi. Sıcaklık ise Γ attığı üddetçe ataktadı. Kaynakla Akgül, M.B., 8.Elektoosotik Kuetin Etkisi Altındaki Mikokanallada Üçüncü Deece AKÜ FEBİD () 59 8

9 Bou İçeisindeki Bi Akış Pobleine Ait Analitik e Nüeik Çözüle, Ceyan e Yüüsoy Akışkanlaın İncelenesi. Doktoa Tezi, Celal Baya Üniesitesi Fen Bililei Enstitüsü, Manisa,. Çengel, Y.A., Cibala, J.M., 8. Akışkanla Mekaniği Teellei e Uygulaalaı. Güen Bilisel Kitabei. Gupta, R.C.,. On Deeloping Laina non- Newtonian Flow in Pipes and Channel, Nonlinea Analysis: Real Wold Applications. Kut, B.B., 9. Zaan Otaında Sonlu Fakla Yöntei ile İki Boyutlu Ye Radaı Modelleesi. Yüksek Lisans Tezi, Ankaa Üniesitesi Fen Bililei Enstitüsü, Ankaa,. Malin, M.R., 997. Tubulent Pipe Flow of Powe-law Fluids. Intenational Counications in Heat and Mass Tansfe, 4, Massoudi, M., Chistie, I., 995. Effects of Vaiable Viscosity and Viscous Dissipation on the Flow of a Thid Gade Fluid in a Pipe. Soğukoğlu, M., 995. Akışkanla Mekaniği. Fatih Oset Yayınei. Tüke, E.S., Can, E., Bilgisaya Uygulaalı Sayısal Analiz, Değişi Yayınlaı. Wang, Y., Chuckwu, G.A., 997. Application of Unsteady Couette Flow of non-newtonian Powe-law Fluids in Concentic Annula Wellboe. Jounal of Petoleu Science and Engineeing, 7, White, F.M., Fluid Mechanics, McGaw-Hill Book Copany. Yılaz, S., 8. Non-Newtonyen Akışkanlada Paalel İki Leha Aasındaki Akışın İncelenesi. Yüksek Lisans Tezi, Afyon Kocatepe Üniesitesi Fen Bililei Enstitüsü, Afyonkaahisa, 65. Kapucu, M., 8. İki Bou Aasındaki Non-Newtonyen Akışkan Akışında Değişik Viskozite Modellei İçin Entopi Üetiinin İncelenesi. Yüksek Lisans Tezi, Afyon Kocatepe Üniesitesi Fen Bililei Enstitüsü, Afyonkaahisa, 66. Yüüsoy, M., Pakdeili M., 999. Lubication of a Slide Beaing with a Special Thid-Gade Fluid. Applied Mechanics and Engineeing, 4, Yüüsoy, M., Pakdeili, M.,. Appoxiate Analytical Solutions fot he Flow of a Thid-Gade Fluid in a Pipe. Intenational Jounal of non-linea Mechanics, 37, AKÜ FEBİD () 59 9