SIFIR HÜCUM AÇILI BİR KONİ ÜZERİNDEKİ ŞOK AÇISINDAN HAREKETLE SÜPERSONİK AKIM HIZININ TESPİTİ. Doç. Dr. M. Adil YÜKSELEN

Transkript

1 SIFIR HÜCU AÇILI BİR KONİ ÜZERİNDEKİ ŞOK AÇISINDAN HAREKETLE SÜPERSONİK AKI HIZININ TESPİTİ Doç. D.. Ail YÜKSELEN Temmuz 997

2 SIFIR HÜCU AÇILI BİR KONİ ÜZERİNDEKİ ŞOK AÇISINDAN HAREKETLE SÜPERSONİK AKI HIZININ TESPİTİ - Giiş: Süpesonik üzga tünelleine eney hızının kalibasyonuna ilişkin çalışmala aha sona geçekleştiilecek olan eneysel çalışmalaın güvenililiği bakımınan son eece önemlii. Bu çalışmala sıasına önemli bi kontol yöntemi olaak akıma sıfı hücum açısına yeleştiilmiş olan bi koni etafınaki akıma oluşan eğik şokun açısınan yaalanılabili. Nitekim koni açısı veiliğine eğik şok açısı hassas bi şekile ölçülüse, bu iki veien yaalanaak sebest akımın ach sayısı hesaplanabili. Bulunan bu eğe e başka yöntemlele ele eilen ach sayısının tahkiki için iyi bi efeans olaak kabul eilebili. Koni etafınaki eksenel simetik akımın analitik çözümüne yönelik önemli bi çalışma liteatüe Taylo-accoll yöntemi [-3] olaak bilinmekte olup, bu yöntem çeşitli yazala taafınan genel olaak iki faklı biçime uygulanmıştı. Bi uygulamaa ach sayısı ve şok açısı seçileek bu eğelei sağlayacak koni açısı tespit eilmekte, eğişik ach sayılaı ve şok açılaı için ele eilen koni açılaı gafikle haline getiileek kullanılmaktaı []. Diğe uygulamaa ise bi koni açısı ve bu koni üzeine teğetsel hız seçileek bunlaa kaşılık sebest akım ach sayısı ve şok açısı tespit eilmektei. Yine eğişik koni açılaı ve teğetsel hızla için ach sayılaı ve şok açılaı bi gafik üzeine yeleştiileek uygulamaa bu gafikle kullanılmaktaı [,3]. Bu çalışmaa he iki tip uygulama için, tepe açısı veilmiş bi koni etafınaki eksenel simetik akıma oluşan eğik-konik şok açısı ölçülüğüne sebest akımın ach sayısının iteatif hesabına yönelik bi çalışma sunulmuştu. - Koni Etafınaki Eksenel Simetik Akımın Fiziksel Yapısı: Düzlemsel bi eğinin bi eksen etafına önüülmesiyle ele eilen şekle eksenel simetik cisim aı veilmektei. Şekil a a (, φ, z siliniik kooinat sistemine gösteilen böyle bi cisim sıfı hücum açısıyla ünifom paalel bi akıma mauz kalığına cismin etafınaki akım alanı a cismin simeti eksenine göe simetik, yani bütün akım büyüklüklei φ en bağımsız olacaktı; φ 0

3 Akım büyüklükleinin saece ve z ye bağlı oluğu böyle bi akım alanı eksenel simetik akım olaak alanıılı. Şayet eksenel simetik cismin akım oğultusunaki pofili bi oğu şekline ise bu efa bi koni etafınaki eksenel simetik akım söz konusu olup, bu tipten akımla haeket enklemlei tam (exact olaak çözülebiliğinen ve çoğu yüksek hızlı oketle biçok süpesonik uçağın buun kısımlaı konik oluğunan patikte hayli önemlii. Şekil b e göülüğü gibi yaı tepe açısı c olan keskin uçlu ve akım yönüne yaısonsuz uzunlukta bi koniyi gözönüne alalım. Koni bi süpesonik akım içeisine ye alığına tepe noktasına bağlı konik bi eğik şok meyana gelecekti. Süpesonik sebest akıman gelen bi akım çizgisi bu şoku geçeken yön eğiştiecek ve şokun geisine büküleek sonsuza asimptotik olaak koni yüzeyine paalel hale gelecekti. Iki-boyutlu akım haline bi köşe etafına oluşan eğik-şoku geçen akım çizgisinin şoku geçe geçmez hemen yüzeye paalel hale geliği hatılanısa, konik hale önemli bi faklılık oluğu ikkati çekmektei. z Işın boyunca p, T,, ρ sabit φ U > c z O U a Eksenel simetik akım b Koni etafına süpesonik akım Şekil Eksenel simetik bu akıma koni yüzeyi boyunca bütün akım büyüklüklei sabitti. Koni yüzeyi tepe noktasınan çıkan bi ışın şekline olup, koni yüzeyi ile şok algası aasına kalan benzei başka ışınla gözönüne alınısa bu ışınla boyunca a akım büyüklüklei sabitti. Akım özelliklei saece bi ışınan iğeine eğişme göstei. Konik akımın bu özelliği eneysel olaak a tespit eilmişti. 3- Konik Akım için Taylo-accoll Fomülasyonu: Daimi akım için süeklilik enklemi küesel kooinatlaa ( ρφ ( ρ ( ρ ( ρ sin 0 sin sin şekline yazılabili. Eksenel simetik konik akıma eksenel simeti ve ayal oğultua akım büyüklükleinin sabitliği şatlaı sıasıyla 3

4 0 φ 0 şekline uygulanaak bu enklem şekline getiilebili. ρ ρ ρ cot ρ 0 ( Konik akıma meyana gelen şok algası oğusal olup, şoku geçen bütün akım çizgilei boyunca antopi atışlaı aynıı. Dolayısiyle konik akım alanına s 0 ı. Ayıca akım ayabatik ve aimi olup ı. Bu şatlaa Cocco enklemi geeği h 0 0 ele eili. Yani konik akım iotasyoneli. Küesel kooinatlaa bu son bağıntı 0 e sin e ( sin e φ ( sin φ φ 0 veya e sin ( sin ( e ( sin φ φ ( sin e φ φ φ ( 0 şekline olup, buaa e, e ve e φ sıasıyla, ve φ oğultusunaki biim vektöleii. Eksenel simetik konik akım şatlaı kullanılaak bu enklem ( şekline son eece basit bi hale geli. Bu son enklem konik akım için iotasyonellik şatı olaak a ifae eilebili. Akım iotasyonel oluğunan Eule enklemi hehangi bi oğultua tatbik eilebili: p ρ 4

5 Bu bağıntıa bileşke hız yeine hız bileşenlei cinsinen yazılaak p ρ ( ve izantopik akımla için (3 p p ρ ρ s a oluğu hatılanaak p ρ a ( (4 ele eili. Diğe taaftan sabit epo şatlaına teoik olaak ele eilebilecek bi maksimum hız taif eileek (hız maksimum oluğuna akımın teoik olaak sıfı sıcaklığa genişleiği ve böylece h0 oluğu vasayılmaktaı eneji enklemi veya yeni bi üzenleme ile h 0 Sb h a ( ( ( ( şekline yazılabili. Bu bağıntı (4 bağıntısına kullanılaak Eule enkleminin konik akımlaa uygun bi şekli ele eili. p ρ (5 (, ( ve (5 enklemlei ρ, ve bağımlı eğişkenlei için yazılmış üç enklem olup, eksenel simetik konik akım şatlaı neeniyle bu enklemleeki eğişkenleen saece bağımsız bi eğişkeni. Bu neenle enklemleineki tüevle ai tüev olaak eğeleniilebili. Bu uuma ( enklemi ve (5 enklemi e ρ cot 0 ρ 5

6 6 ρ p şekline üzenleneek ve bu sonuncu bağıntı bi öncekine kullanılaak 0 cot veya yeni bi üzenleme ile ( 0 cot ele eili. Ayıca ( bağıntısı bi efa tüetileek şekline getiilip son enkleme kullanılaak cot 0 (6 bulunu. Bu enlem konik akımla için Taylo-accoll enklemi olaak bilini. Saece f( eğişkenine bağlı bi ai ifeansiyel enklemi. Çözümü bi kez ele eilise q büyüklüğünün e ( enklemi yaımıyla ele eilmesi mümkün olu. (6 enklemi ancak nümeik olaak çözülebili. Nümeik çözümü kolaylaştımak açısınan şekline bi tanımlama yapılaak bu enklem cot

7 7 0 (7 şekline yazılabili. Buaaki boyutsuz hızı saece ach sayısının fonksiyonuu. Bunu aha açık bi şekile gömek için eneji enklemi üzenleneek a h a / ( (8 ele eili. 4- Taylo_accoll Denkleminin Sayısal Çözüm Tekniği: Konik akım için ele eilen Taylo-accoll enkleminin çözümü için liteatüe iki faklı yol öneilmişti. a Tes (Inves Yöntem: Aneson [] taafınan öneilen bu yönteme s şok açısı poblemin veisi olaak kabul eili ve seçilen bi sebest akım ach sayısına bu şoku yaatacak koni tepe açısı c aanı. Yöntemin aşamalaı şu şekile sıalanabili: - eilen şok açısı ve seçilen sebest akım ach sayısı iki-boyutlu eğik şok bağıntılaına kullanılaak şokun geisineki ach sayısı ve akımaki δ sapma açısı cos ( sin cot tan β β β δ (9 sin β n (0a /( /( n n n (0b sin ( n β δ (0c şekline hesaplanı. Bulunan bu eğele akım geometisine kullanılaak (Şekil 3 şokun geisineki bileşke hız ile hızın ayal ve nomal bileşenlei

8 ( / (a cos( β δ (b Sin( β δ (c şekline ele eili. β β n - βδ δ c z Şekil 3: Şoku geçen akımın geometisi - Bulunan ayal hız bileşeni başlangıç şatı olmak üzee, veilen şok açısınan itibaen açısı küçük aımlala küçültüleek Taylo-accoll enklemi nümeik olaak çözülü ve bu işlemle nomal hız bileşeni sıfı oluncaya kaa süüülü. - Nomal hızın sıfı oluğu uumaki açısı, veilen sebest akım ach sayısına, veilen eğimeki şoku yaatan koninin yaı-tepe açısı olacaktı. Ancak genellikle bulunan bu koni açısı uygulamaa ilgilenilen asıl koni açısıyla aynı olmayıp, aynı şok açısına sebest akım ach sayısını eğiştieek bu hesaplaın istenilen koni açısı ele eilinceye kaa iteatif olaak teka eilmesi veya bi çok çözüm bi gafik üzeine bileştiileek gafikle yaımıyla çözüme ulaşılması geeki. b Diekt yöntem [,3]: Bu yönteme koni açısı poblemin veisi olaak alını ve veilen bi sebest akım ach sayısına oluşacak şıkun açısı aanı. Yöntemin aşamalaı şu şekilei: - Koni yüzeyi üzeine teğetsel hız için bi eğe seçilip nomal hız sıfı kabul eili. Bu başlangıç şatlaıyla açısı küçük aımlala eğiştiileek Taylo-accoll enklemi nümeik olaak çözülü. - açısının he eğeine bulunan teğetsel ve ayal hızlaan akımaki sapma, bileşke hız ve buna kaşılık gelen ach sayısı δ tan (a 8

9 (b /( (c şekline hesaplanı. Aynı zamana açısı şok açısı gibi kabul eileek iki-boyutlu eğik şok bağıntılaı yaımıyla sebest akım ach sayısı ve şok geisineki ach sayısı [ tan tan δ ] (3 sin ( cos tan tan δ n Sin (4a n /( /( n n (4b n (4c sin ( δ şekline hesaplanı. n - δ δ c z Şekil 4: Diekt yöntem - nın he eğeine şok geisineki ach sayısı için iki-boyutlu eğik-şok hesabınan ve Taylo-accoll enkleminin çözümünen bulunan ach sayılaı kaşılaştıılı. Bu iki ach sayısının eşit oluğu açısı veilen şatlaa (koni açısı, sebest akım ach sayısı ve koni yüzeyineki teğetsel hız meyana gelecek şokun eğim açısı olacaktı. Ancak bu suetle bulunan şok açısı genellikle ilgilenilen şok açısınan faklı olacağınan sözü eilen bütün bu işlemlein koni yüzeyineki teğetsel hızın faklı eğelei için, istenilen şok açısına eişilinceye kaa iteatif olaak teka eilmesi veya klasik çalışmalaa oluğu gibi çeşitli çözümle bi gafik üzeine yeleştiileek çözümün gafik üzeine aanması geeki. 9

10 5. Sıfı Hücum Açılı Koni Üzeineki Eğik Şok Açısınan Haeketle Süpesonik Akım ach Sayısının Tespiti: Süpesonik üzga tüneline sıfı hücum açısıyla yeleştiilmiş bi koni üzeine oluşan eğik şok bi Schlieen onanımı ile göünü hale getiilip fotogafı alınaak eğim açısı tespit eiliği taktie, koninin tepe açısıyla şok açısınan yaalanaak sebest akımın ach sayısı hesaplanabili. Bu amaçla iteatif iki bilgisaya kou geliştiilmişti. Kolaan biisi (CONE.FOR Taylo-accoll enklemini inves moa çözeken iğei (CONE.FOR iekt moa çözmektei. a Inves Yöntem: Inves yöntem kullanan bilgisaya kouna (CONE.FOR ana pogam veilen şok açısına (BETA_SHOCK sebest akım ach sayısı için seçilen bi ilk eğeen itibaen (0 gibi bi iteasyon ahiline çeşitli eğele alaak şok geisineki akım şatlaını (Akımaki sapma, ach sayısı, hız, ayal ve teğetsel hızla gibi hesaplamakta, bu ilk şatlaan haeketle Taylo-accoll enkleminin çözümünün inves moa yapılığı ACCOLL alt pogamınan gelen koni yaı-tepe açısını veilen koni açısıyla kaşılaştımaktaı. Geekli yakınsama sağlanıncaya kaa iteasyonu evam ettimektei. ACCOL alt pogamı ana pogaman gelen ayal ve teğetsel hız bileşenleiyle şok açısı başlangıç şatlaı olmak üzee açılaı küçük aımlala azaltaak Taylo- accoll enklemini çözmekte, nomal hız bileşeninin sıfı oluğu açıyı koni açısı olaak ana pogama gönemektei. He aımına Taylo-accoll enklemi öüncü eeceen Runge-Kutta-Gill yöntemini uygulayan bi alt pogam (RKTGIL vasıtasıyla çözülmektei. Bu amaçla (7 Taylo-accoll enklemi f ve f f' olmak üzee f' ' f f' ( f f' ( f f' cot f f' (5 şekline yazılmıştı. Yöntemin uygulanmasına önemli bi kitik nokta iteasyon yakınsamaya başlaığı sıaa otaya çıkmaktaı. Şayet sebest akımın ach sayısı veilen bi koni açısına veilen şok açısı için geeken ach sayısınan aha küçük olusa eğik şok enklemi şok geisineki sapma açısını negatif eğeli vemekte bu a çözümün ilelemesini engellemektei. Bu bakıman iteasyona yüksek bi ach sayısınan itibaen 0

11 başlayıp ach sayısını iteasyon boyunca, hiçbi zaman çözüm sonucu ulaşılacak ach sayısınan aha küçük olmayacak şekile küçültmek geekmektei. b Diekt Yöntem: Diekt moa çözüm yapan koa ana pogam, veilen koni yaı-tepe-açısına (TETA_CONE kaşılık koni yüzeyi üzeine boyutsuz teğetsel hız (UBAR0 için başlangıç eğei yüksek bi eğe ( gibi olmak üzee bi iteasyon ahiline çeşitli eğele alaak he efasına ACCOLL isimli alt pogamla hesaplanan şok açısını (TETA veilen şok açısıyla (BETA_SHOCK kaşılaştımakta, eşitlik sağlanıncaya kaa bu iteatif işlemi evam ettimektei. ACCOLL alt pogamı ana pogaman gelen koni açısıyla (TETA_CONE boyutsuz teğetsel hız eğeleini (UBAR ve koni üzeine sıfı nomal hız şatını (BAR0 başlangıç eğelei olaak alıp TETA açısını attıaak Taylo-accoll enklemini çözmektei. He TETA aımına çözüm inves yönteme oluğu gibi öüncü eeceen Runge- Kutta-Gill yöntemi kullanan RKTGIL alt pogamı vasıtasıyla geçekleştiilmektei. Bu yöntem için e bi kitik uum söz konusu olup, iteasyonun başlangıcına eğik şok açısı olaak kabul eilen açı koni açısına çok yakın oluğunan iki-boyutlu eğik şok enklemi çözüm vememekte, ancak açısı makul bi eğee gelikten sona çözüm vemeye başlamaktaı. 6. Önek Uygulama ve Sonuç: He iki bilgisaya kou ITÜ 5 5 cm kesitli tisonik üzga tüneline yapılmış bi eney için uygulanaak eney sonuçlaıyla kaşılaştıılmıştı. Deneysel çalışmaa, yaı-tepe açısı 7.5 eece olan bi koni üzga tünelinin eney oasına sıfı hücum açısına yeleştiilmiş ve eney sıasına Schlieen göüntüsü fotogafa alınmıştı (Şekil 5. Oluşan konik-eğik şokun açısı 0 eece olaak ölçülmüştü.

12 Şekil 5: Schlieen fotogafı Tablo : Inves yöntemin (CONE.FOR iteasyon sonuçlaı Koni yaıtepe Açısı 7.50 Şok açısı 0.00 ITER DELTA BAR TETA FARK Deney sıasına inlenme oası ve eney oası uva basınçlaı yaımıyla hesaplanan ach sayısının aasına eğiştiği tespit eilmişti. Geliştiilen bilgisaya pogamlaının çıkışlaı ise Tablo ve e sunulmuş olup, göülüğü gibi hesaplanan sebest akım ach sayısı civaınaı. Tablo : Diekt yöntemin (CONE.FOR iteasyon sonuçlaı Koni yaıtepe Açısı 7.50 Şok açısı 0.00 ITER UBAR TETA FARK Sonuç son eece tatminka olup, ITÜ Tisonik üzga tüneli eney oasınaki sebest akım ach sayısının tespitine kullanılan yöntemin hayli hassas oluğunu göstemektei.

13 Kaynakla [] Aneson, J.D., oen compessible flow, with histoical pespective, Secon eition, cgaw-hill Publishing Company,990. [] Dailey, C.L., Woo, F.C., Computation cuves fo compessible flui poblems, John Wiley&Sons, Inc, 949. [3] Shapio, A.H., The ynamics an themoynamics of compessible flow, ol.ii, The Ronal Pess Company,