BÖLÜM 2 VİSKOZ OLMAYAN SIKIŞTIRILAMAZ AKIMIN ESASLARI

Transkript

1 ÖLÜM İSKOZ OLMAYAN SIKIŞTIRILAMAZ AKIMIN ESASLARI. Açısal hı, otisite e Sikülasyon. otisitenin eğişme Hıı.3 Sikülasyonun eğişme Hıı Kelin Teoemi.4 İotasyonel Akım Hı Potansiyeli.5 ida Üeindeki e Sonsudaki Sını Şatlaı.6 asınç İçin enoulli enklemi.7 asit e Çok ağlı ölgele.8 Çöümün Tekliği.9 Gidap büyüklüklei. İki-boyutlu gidap. iot-saat kanunu. oğusal gidabın bi paçasının indüklemesi.3 Akım fonksiyonu UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

2 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı - ÖLÜM İSKOZ OLMAYAN SIKIŞTIRILAMAZ AKIMIN ESASLARI ölüm de Reynolds sayısının yüksek olduğu akımlada iskoite etkileinin ince bi sını tabaka e i bölgesi içeisinde kaldığı göülmüştü. u nedenle, ilk yaklaşımda akımın isko olmadığı kabul edilen sını tabaka e i dışındaki bölgesi ile ilgilenmekle yetinilebili. u tipten akımlaı yöneten denklemlei e bunlaın çöümü için geeklei aaçlaı geliştimeden önce akım içeisindeki otasyonun e bunun iskoite ile ilişkisinin anlaşılmasında yaa adı. u bölümün amacı düşük-hı aeodinamiğindeki matematiksel poblemin (difeansiyel denklem e sını şatlaı) tanımlanmasıdı.. Açısal hı, otisite e Sikülasyon: i akışkan elemanının keyfi haeketi bileşenleinden oluşmaktadı. - öteleme, - dönme (otasyon) e - şekil değiştime (defomasyon) Haeket eden bi akışkan elemanının dönme haeketini göstemek için Şekil. deki kontol hacmini gö önüne alalım. u şekilde, kolaylık olması bakımından düleminde sonsu küçük dikdötgensel bi akışkan elemanı ele alınmıştı. Akışkan elemanının tt anında, e y eksenlei doğultusundaki kena uunluklaı sıasıyla e y olup numaalı köşesi (u,) hıı ile haeket etmektedi. Akışkan içeisinde hılaın konum ile değişmesi nedeniyle (öneğin 4 numaalı köşenin hıı (uu/y) y olacaktı) akışkan elemanı haeket sıasında hehangi bi bi tt t anında Şekil. in sağ üst köşesinde göüldüğü gibi şekil değiştiebili. u y 3 y y 4 u u y 4 y 3 y u ω t t t tt Şekil.: ikdötgensel akışkan elemanının şekil değiştimesi UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

3 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı - Açısal hı: Akışkan elemanının bu şekil değiştime sıasındaki açısal hıının ekseni etafındaki bileşeni ω olup poitif yönü sağ el kualına göe saat ibeleine ıt yöndedi. ω açısal hıı akışkan elemanının - e -4 kenalaının anlık açısal hılaının aitmetik otalaması olaak hesaplanabili. İki uç noktasının linee hılaı aasındaki fakın kena uunluklaına bölünmesi suetiyle -, e -4 kenalaının anlık açısal hılaı sıasıyla ; u u y u y y u y olaak elde edili. öylece bu dülemdeki açısal hı için ω u y bulunu. Akışkan elemanının açısal hıının diğe iki bileşeni de benei şekilde elde edilebili. öylece bileşke açısal hı, ektöel biçimde ωω i ω j ω k y ω (.) olu. otisite otisite açısal hıın iki katı olaak tanımlanı: ω (.) otisitenin kateyen koodinatlada bileşenlei Sikülasyon w ; u w y y ; u ω ω ω y y Şekil. de gösteilen, kapalı eğisiyle sınılanmış S açık yüeyi üeindeki otisite Stokes teoemi kullanılaak eğisi boyunca çigisel integale dönüştüülebili: S n ds S n ds dl S ds n ω u eşitliğin sağ taafındaki ifade sikülasyon olaak adlandıılı dl (.3) Şekil. dl UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

4 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı -3 Sikülasyon için yaılan bu bağıntı şekildeki dikdötgensel akışkan elemanı için uygulanısa y 4 u u y y 3 u dl u y u y y y u y y elde edili. S ds y u Sikülasyon kaamını göstemek için aşağıda iki önek eilmişti. He iki halde de eğisi bie daie çembei olaak alınmış e kesik çigilele gösteilmişti. Şekil.3a da akım çigilei eşmekeli daie çembei şeklindedi. İntegasyon yolu için için seçilen daiesel eğisi üeinde q e dl büyüklükleinin he ikisi de poitif (saat ibeleine tes yönde) olup poitif bi sikülasyon bulunduğu açıktı. Şekil.3b deki akım alanı daiesel silindii geçen bi ünifom paalel akımın yaattığı simetik akımdı. u halde simetiden dolayı sikülasyonun sıfı olduğu açıktı. Akım çigilei Akım çigilei dl a) Sikülasyonlu akım Rotasyonel e iotasyonel haeket Şekil.3 b) Sikülasyonsu akım i akışkanın otasyonlu eya otasyonsu haeketini göstemek için Şekil.4 deki gibi eğisel bi yöünge boyunca haeket eden bi kontol hacmini gö önüne alalım. Şekil.4a da isko kuetlein çok büyük olduğunu e akışkanın yöüngeyi ileken katı cisim gibi döneceğini kabul edelim. u halde q olup akım otasyonel kabul edili. Şekil.4b de ise kayma geilmelei ihmal edilebili metebelede olup, akışkan eelei komşu akışkan eeleinin kayma geilmeleinin etkisiyle döndüülemeyecekti. u halde de q olup akım iotasyonel kabul edili. a) Rotasyonel haeket l Şekil.4 a) İotasyonel haeket l UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

5 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı -4. otisitenin eğişme Hıı: i akışkan elemanının otisitesinin değişme hıına ilişkin bi denklem elde edebilmek için sıkıştıılama haldeki Naie-Stokes denklemini kateyen koodinatlada ele alalım: ( ) p f t ν ρ (.3) uadaki taşınımsal (konektif) ime teimi ( ) (.5) ektö eşitliği kullanılaak yeniden düenlenebili. öylece, p f t ν ρ şekline gelen Naie-Stokes denkleminin he iki taafındaki teimlein otasyoneli alınaak ( ) ( ) ( ) ρ p t t t ( ) ν f t (.6) otisitenin değişim hıını içeen bu denklemi daha da basitleştimek için ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.7) ektö eşitliği kullanılaak ( ) ( ) ( ) ( ) ν f t elde edili. iğe taaftan i ektöün otasyonelinin diejansı sıfı olup, ( ) Sıkıştıılama halde süeklilik denklemi ünye kuetlei konseatif (iotasyonel) kabul edileek f denklem ( ) ( ) ν t eya ( ) ν (.8)

6 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı -5 şekline geli. u denkleme otisite tanspot denklemi adı eili. otisite tanspot denklemi: isko olmayan sıkıştıılama akımla için ( ) (.9) İki-boyutlu akımda otisite akım dülemine dik olup ( ) İki-boyutlu, isko, sıkıştıılama akım için ν (.) İki-boyutlu, isko olmayan, sıkıştıılama akım halinde ise (.) şekline geli. u halde he bi akışkan elemanının otisitesi sabit kalı. otisite tanspot denklemi Naie-Stokes denklemine oldukça benedi. Reynolds sayısının çok yüksek değeleinde, katı cida üeinde üetilen otisitenin akıma dikey doğultudaki difüyonuna kıyasla akım doğultusunda daha büyük bi hıla taşındığı e bu nedenle de sını tabaka e bunun deamı olan i içeisinde kaldığı göülü. Akım alanının bunla dışında kalan bölgelei ise otasyonsu e iskoitesi kabul edili. otisite Tanspot enklemi için oyut Analii: Yukaıdaki gölemle bi boyut analiiyle de gösteilebili. Nitekim İki-boyutlu, isko, sıkıştıılama akım için yukaıda bulunan (.) denkleminde denkleminde t ( ) ν (.) L y L y u u t t L * u u y L y L ej ej L L j j * * j L j L boyutsu büyüklüklei kullanılaak t ( ) ν t ν L * * ( ) * * * * * UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

7 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı -6 eya mateyal tüe cinsinden * * * * (.a) Re elde edili. uada ( ) t * * * * * * * otisite atış hıı * * otisite üetim hıı Re olup (.a) denklemi otisite atış hıının katı cidala ciaındaki otisite üetim hıına eşit olduğunu göstemektedi. Yüksek Reynolds sayılı akımla için otisite üetimi küçük olup sını tabaka dışında ihmal edilebili..3 Sikülasyonun eğişme Hıı Kelin Teoemi: Şekildeki gibi, - ünye kuetleinin konseatif olduğu ünye kuetlei konseatif dl - sıkıştıılama, isko olmayan bi akışkanda - daima aynı akışkan patikülleinden geçen bi akışkan eğisini gö önüne alalım. u eğisi etafındaki sikülasyonun amanla değişimi c dl bi akışkan eğisi olduğundan isko olmayan sıkıştıılama akım dl ( dl ) a dl d sadece konumun e amanın fonksiyonu olup (.3) c c c a dl c d c d c d UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

8 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı -7 c a dl (.4) Sıkıştıılama halde Eule denkleminden t ( ) p q f ρ a p f ρ c f dl c p dl ρ (.5) bulunu. una göe bi akışkan eğisinin sikülasyonu sabit kalmaktadı. u sonuç açısal momentumun kounumu pensibinin bi başka fomu olup, Kelin teoemi olaak bilini. Kelin teoemi aynı akışkan elemanlaını içeen kapalı bi eği etafındaki sikülasyonun amanla değişiminin sıfı olduğunu belitmektedi Öneğin, Şekil.5 deki kanat pofili t anında haeketsi olsun e t> anında aniden ilei doğu sabit bi hıla haeket etsin. a w Pofil İ Şekil.5 Pofil akışkan içeisinde haeket ettikçe etafında bi a sikülasyonu e pofil iinde de bi w sikülasyonu oluşacaktı. Kelin teoemine göe pofil e iini içine alan bi çigi etafındaki toplam sikülasyon amanla değişmeyecek sabit kalacaktı: a t w u da ancak, başlangıç gidabının sikülasyonunun pofil sikülasyonuna eşit ama ıt yönde olmasıyla mümkündü. a w UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

9 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı -8.4 İotasyonel Akım Hı Potansiyeli: Yüksek Reynolds sayılaındaki akımlada - iskoite etkisinin sını tabaka e i bölgesi içeisinde kaldığı e bu bölge içeisinde iskoite etkileinin ihmal edilemeyeceği, - Sını tabaka e i dışında kalan bölgelede ise akımın iotasyonel e sütünmesi kabul edilebileceği göülmüştü. Şekildeki gibi basit bağlı bi bölgede bi eğisi boyunca dl ( u d dy w d) (.7) dl P integalini gö önüne alalım. Şayet bölge içindeki akım iotasyonel ise P ( u d dy wd) (.8) asit bağlı bölge büyüklüğü, integasyonun yolundan bağımsı olup P(,y,) konumuna bağlı olan bi φ potansiyel fonksiyonunun tam difeansiyelidi (bk. Keysig E., Adanced engineeing mathematics, Wiley, sayfa 74) P (, y, ) ( u d dy Φ wd) P uada P keyfi bi efeans noktası olup Φ büyüklüğü hı potansiyeli olaak adlandıılı. Hı ektöü potansiyel fonksiyonunun gadyantına eşitti: Φ (.9) Kateyen koodinatlada Φ Φ Φ u,, w (.) y Sıkıştıılama halde olup ( Φ) Laplace denklemi Φ (.) elde edili. İotasyonel, sıkıştıılama akımla için süeklilik denkleminin bi fomu olan Laplace denklemi linee bi difeansiyel denklemdi. u halde akışkanın iskoitesi ihmal edildiğinden bi katı-akışkan cidaındaki kaymama sını şatı koşulma. Sını şatı olaak sadece yüeye dik hı bileşeninin sıfı olması yetelidi. UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

10 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı -9 u sını şatının daha genel bi fomu akışkan ile yüey aasındaki iafi hıın katı yüeye dik bileşeninin sıfı olması şeklinde belitilebili. una göe n n ( ) akışkan hıı katı cida hıı katı cidaın nomal ektöü u son ifade, akış pobleminin matematiksel fomülasyonu için daha uygun bi biçimdi. (.) öylece: İotasyonel, iskoitesi e sıkıştıılama bi akım için hı alanının hı potansiyeli için yaılmış Laplace denkleminin çöümünden elde edilebileceği göülmektedi. u aada, hılaı basınçlaa bağlayan Eule denkleminden henü yaalanılmadığını belitmekte yaa adı. Akım poblemi için hı alanı bi defa çöümlendikten sona aeodinamik kuet e momentlein elde edilebilmesi için cisim yüeyi boyunca basınç dağılımının elde edilmesi geekmektedi..5 ida Üeindeki e Sonsudaki Sını Şatlaı: Hı potansiyeli için yaılan Laplace denklemi: - isko olmayan, - sıkıştıılama, - iotasyonel bi akımı yöneten e hı için yaılmış olan - eliptik tüde - kısmi tüeli bi difeansiyel denklemdi. u denklem bi sını değe poblemini ifade ede. Aeodinamik poblemle için sını şatlaının bütün katı cidala üeinde e sonsuda belitilmesi geeki. Katı-akışkan aa-yüünde sını şatının bi şekli yukaıda eilmişti. u sını şatının uygulamalada faydalı bulunan bi diğe şekli aşağıdaki gibi bulunabili: Şekildeki gibi katı bi yüeyi kateyen koodinatlada ( y,, t) F, (.3) bağıntısıyla ifade edelim. Yüey üeindeki akışkan patiküllei yüeyin hıına eşit bi hııyla haeket edecekti. Yani F kalacaktı. una göe F fonksiyonunun yüeydeki taneciklein haeketini takiben alınmış tüei sıfı olacaktı: F(,y,,t) UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

11 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı - F (.) Sını şatı n ( ) F F t (.4) Yüey nomali n F F (.5) F F (.6) F F öylece F t (.7) Sonsudaki sını şatı: aşlangıçta haeketsi olan bi akışkan içeisinde haeket eden bi cismin yaattığı bountu hıı sonsuda (cismin katı cidaından çok uaklada) sıfıa gide. una göe, yee bağlı eksen takımında dugun akışkan içeisinde Lim (.8).6 asınç İçin enoulli enklemi: Eule denklemi t p f ρ sıkıştıılama halde p ρ p ρ olup ayıca ektö eşitliği kullanılaak p f t ρ şekline getiilebili. İotasyonel akım için ( Φ) (.9) Hıın amana göe tüei Φ t t t (.3) olup, f konseatif ise E potansiyel olmak üee f E (.3) yaılabili. (Şayet f kueti ye çekimi ise iotasyonel akımla için Eule denklemi E g olacaktı.) öylece iskoitesi, sıkıştıılama, p E ρ Φ t (.3) UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

12 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı - şeklini alı. u denklem, paante içindeki teim sadece amanın bi fonksiyonu olmak kaydıyla doğudu. öylece p Φ E (t) enoulli enklemi (.33) ρ t elde edili. enoulli denkleminin daha faydalı bi şekli, denklemin sol taafındaki teimlei akışkan içeisindeki faklı iki noktada, öneğin keyfi bi nokta ile sonsudaki bi efeans noktada yaaak elde edili: EE Φ Φ pp E,Φ,,p A p E ρ Φ p E t ρ Φ t (.34) Öneğin E, Φ Sb e olaak seçilise A noktasında basınç p p Φ E ρ t (.35) bağıntısıyla hesaplanabili. NOT: Şayet akım ise (.34) enoulli denklemi - daimi (Φ /t), - sıkıştıılama (ρsb) - fakat otasyonel - amana göe tüe teimi sıfı olmak - sağda sabit akım çigisinden akım çigisine değişmek kaydıyla yine geçelidi. Nitekim bu şatlada (.9) Eule denklemi yeniden düenlenise p E ρ şekline geli ki, bu denklemin bi akım çigisi üeinde idüşümünü almak için he iki taafı akım çigisinin dl teğet ektöü ile çapılısa, çapımı dl teğet ektöüne dik olup bunlaın çapımı akım çigisi boyunca sıfıdı. unun sonucu olaak enoulli denklemi aynı akım çigisi üeindeki iki nokta aasında kullanılabili. p E ρ s UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

13 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı -.7 asit e Çok ağlı ölgele: İki-boyutlu kanat pofili, üç-boyutlu kanat eya göde gibi faklı geometile etafındaki akım bölgelei matematiksel anlamda bibiinden faklı olup, hı potansiyeli de faklı öellikle göstei. u bölgele aasındaki fakı göstemek için baı temel tanımlaı bilmek geeklidi. i bölge içindeki kapalı bi eği daaltılaak neticede bi noktaya indigenebili eya bu mümkün olmayabili. Öneğin, bi kanat pofilini çeeleyen kapalı bi eği indigenemeken, pofili çeelemeyen bi eği indigenebili. asit-bağlı bölge, içeisindeki bütün kapalı eğile bi noktaya indigenebilen bölgedi. i uçak gödesinde olduğu gibi sonlu, üç-boyutlu bi cisim etafındaki bölge basit-bağlıdı. Zia cismi çeeleyen hehangi bi eği cisim ciaından uaklaştıılıp bi noktaya indigenebili. UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

14 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı -3 aiye, bi bölge içeisine sokulan ama modifiye edilmiş bölgenin bi paçası olmayan bi eğidi. i bölgeye sokulan bi baiye çok bağlı olan bu bölgeyi basit bağlı hale getii. i bölgenin bağlılık deecesi, bu bölgeyi basit bağlı hale getimek için geeken baiye sayısına bağlı olup, baiye sayısı n ise bağlılık deecesi n olaak belitili. Şekildeki kanat pofili etafındaki çokbağlı bölge fia kenaından geiye sonsua giden bi baiye çiileek basit-bağlı hale getiilebili (ölgedeki kapalı eğile atık pofili çeelememektedi). u duumda n olup oijinal bölge çifte-bağlıdı. aiye asit bağlı bölge Çifte-bağlı (bi-defa bağlı) bölge İki-defa bağlı bölge asit e çok bağlı bölgelein fakı asit bağlı bi bölgedeki iotasyonel haeket halinde hehangi bi kapalı eği etafındaki sikülasyon için dl Φ dl dφ (.36) yaılabili. ölge içeisinde otisite sıfı olup dl dl n ds n ds (.4) S S UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

15 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı -4 denklemine göe sikülasyon sıfıdı. Ayıca, dφ nin hehangi bi eği etafındaki integali sıfı olduğundan hı potansiyeli tek-değelidi (bk ölüm.4). Şekil.7 deki kanat pofili etafında göülen çifte bağlı bölgedeki iotasyonel akım halinde: Pofili çeelemeyen hehangi bi kapalı eği boyunca, yukaıda basit bağlı bölge için bulunan sonuç uygulanaak sikülasyon değei sıfı bulunu. Şekil.7 A A aiye Şekildeki gibi bi baiye çieek pofili çeeleyen e eğilei ile baiyein iki yanından oluşan bi eğiyi gö önüne alalım.aiyei içemeyen bölge basit bağlı olduğundan, eği etafındaki sikülasyon sıfıdı. una göe dl dl A dl A dl aiyein he iki yanında alınan integalle daimi akım halinde bibiini götüü. İlk teim etafındaki sikülasyon, ikinci teim eksi işaetle etafındaki sikülasyondu. A dl A dl dl dl e eğilei (e pofili çeeleyen hehangi başka eğile) etafındaki sikülasyon aynı olup sıfıdan faklıdı. dl dl u bağıntıya göe pofil etafında sıfıdan faklı bi sikülasyon asa hı potansiyeli tek değeli değildi..8 Çöümün Tekliği: i kanat pofili eya kanadın haeketiyle oluşan akım için hı alanının bulunması şeklindeki fiiksel poblem, hı potansiyeli için tanımlanan Laplace denkleminin cisim üeindeki e sonsudaki hıla için tanımlanan uygun sını şatlaıyla çöümlenmesi biçiminde bi matematiksel pobleme dönüştüülmüştü. Yee bağlı eksen takımında matematiksel poblem Φ (.37a) şeklinde olup Sını şatlaı isim üeinde Φ n n (.37b) için Φ (.37c) şeklindedi UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

16 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı -5 Φ ²Φ Φ n n Katı cida üeindeki sını şatı potansiyel fonksiyonunun tüei cinsinden olduğundan e akım alanı cismin dışındaki bölgede bulunduğundan bu poblem Neumann dış akım poblemi olaak bilini. u poblemin çöümünün tek olup olmadığı sousunun ceabının basit bağlı e çok bağlı poblemle için faklı olduğu göülecekti. Önce şekildeki gibi üç-boyutlu bi cisim etafındaki basit bağlı bölgeyi gö önüne alalım. Sonuçla bi kanat için genelleştiiliken, akım alanın he yede iotasyonel olmadığından (i bölgelei) dikkatli olunmalıdı. Aynı basit bağlı bölge için Φ e Φ gibi iki faklı çöümü olduğunu kabul edelim. İki çöüm aasındaki ²Φ R Φ Φ Φ Σ fakı Laplace denklemini e sını şatlaını sağla. Φ üyüklüğü Laplace denkleminin bi çöümü olmak üee tanımlanan bi (Φ Φ) fonksiyonuna diejans teoemi uygulanaak R Φ ( Φ Φ) d Φ ds (.38) n S uada R akışkan bölgesini, S de bunun sını yüeyini belitmektedi. u bağıntı cismi ile bunu çeeleyen keyfi bi Σ yüeyi aasındaki bölgesinde Φ fonksiyonuna uygulanısa, R Φ Φ ( Φ Φ ) d Φ ds Φ ds (.39) n n Σ Σ yüeyinin sonsuda olduğu kabul edilise bunun üeindeki integalin değei sıfı olu. katı yüeyi üeinde sını şatı geeği Φ n ) olup geiye ( Φ Φ d (.4) R kalı. u eşitliğin geçekleşmesi için integandı sıfı olmalıdı. u duumda Φ -Φ Φ fakı da ancak bi sabit olabili. una göe: asit bağlı bi bölge içindeki Neumann dış akım poblemi bi sabit dahilinde tek-çöümlüdü. UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

17 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı -6 Şimdi de Şekil.8 de göülen kanat pofili etafındaki çifte-bağlı bölgeyi dikkate alalım. Yine çöümle Φ e Φ e Φ Φ Φ n bḇ Σ aiye n olsun. e Σ eğileini bi baiyele bileştielim e baiyein iki yanını şekilde göüldüğü gibi b - e b şeklinde adlandıalım. n ektöü b - den dışaı doğu seçilmişti. n Şekil.8 pofili ile bunu çeeleyen Σ eğisi aasında kalan R bölgesinde yine (Φ Φ) fonksiyonuna Geen teoemini uygulayalım: Φ Φ Φ Φ ( Φ ds (.4) n Φ Φ ) d Φ ds Φ ds Φ ds n n n σ Σ üeindeki integal Φ /n şeklindeki yüey sını şatından dolayı sıfıdı. Şayet Σ yüeyi sonsua götüülüse bunun üeindeki integal de sıfı olu. Φ fonksiyonun b - e b üeindeki değeleine sıasıyla Φ - e Φ diyelim. öylece Φ Φ ) d Φ ds σ b Φ Φ ( Φ ds (.4) n n b b b Φ nin baiyee dik doğultudaki tüei süekli olup Φ n baiye Φ n baiye σ ( Φ Φ Φ ) d ( Φ Φ ) n baiye ds (.43) Φ Φ e Φ büyüklükleiyle Φ ( Φ ) d ( Φ Φ Φ Φ) ds n (.44) σ baiye e akımlaına ait sikülasyonla Φ Φ Φ Φ olaak tanımlanısa, Φ bunla sabit olup sonuçta Φ ( Φ ) d ( ) ds n elde edili. (.45) σ baiye UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

18 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı -7 Genel olaak baiye boyunca integalin sıfı olması geekmediğinden, Neumann dış akım poblemi ancak olduğunda (sikülasyon poblemin bi paçası olaak belilendiğinde) bi sabit dahilinde tek çöüm ei. u sonuç çok-bağlı bölgele için de benei biçimde genelleştiilebili. Sikülasyonun değei pü matematiksel otamda belileneme. Ancak, ileide göülecek bi takım fiiksel çıkaımlala belilenecekti..9 Gidap büyüklüklei Hı ektöüyle ilişkili olaak tanımlanan - akım çigisi - akım tüpü - akım yüeyi gibi çeşitli kaamlaın benelei otisite ektöü için de tanımlanabili: - gidap çigisi - gidap tüpü - gidap yüeyi u tanımla taşıyıcı akımlaın modellenmesinde faydalı olacaktı. otisite ektöüne teğet alan çigilei gidap çiigilei olaak adlandıılı. dl (.46) l Kateyen koodinatlada için poitif yön d dy y d (.47) Şekil.9 Uayda açık bi eği üeinden geçen gidap çigilei bi gidap yüeyi, Gidap çigilei kapalı bi eği üeinden geçen gidap çigilei bi gidap tüpü oluştuu. Gidap çigilei Gidap tüpü l Gidap yüeyi i gidap filamanı sonsu küçük kesit alanlı bi gidap tüpü olaak tanımlanı. i ektöün otasyonelinin diejansı sıfı olduğundan ( ) otisitenin diejansı ödeş olaak sıfıdı: ( ) (.48) Hehangi bi anda bi S yüeyi ile çeilmiş R bölgesinde otisite ektöü için diejans teoemi UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

19 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı -8 S n ds R ( ) d (.49) Şekil. daki gibi bi gidap tüpünün S w duaı e S e S yüeyleiyle çeilen bölge içinde bu denklem uygulanısa, S w üeinde gidaplılık ektöü yüeye paalel olduğundan bunun katkısı olmayıp S n ds S n ds S n ds (.5) S S w Şekil. S n n büyüklüğü şekilde gösteildiği gibi dışa doğu yönlenmiş nomal ektöüdü. Şayet n ν gidaplılık yönünde poitif olaak belitilise S n ν ds S n ν ds sb u bağıntıdaki sabit büyüklük tüpün bütün dik-kesit yüeylei için aynıdı. (.5) Tüpü çeeleyen e duaı üeinde ye alan kapalı bi eği olsun. etafındaki sikülasyon, dl n ds sb olup büyüklüğü gidap tüpü boyunca sabitti. S ν (.5) u bağıntılaındaki sonuçla gidaplılığın uaysal kounumunu göstemekte olup, pü kinematik bi sonuçtu. u son denklem bi gidap filamanına uygulanı e n ν nomali otisite ektöüne paalel seçilise una göe: ds sb (.53) i gidap filamentinin hehangi bi kesitindeki gidaplılık dik-kesit alanıyla tes oantılıdı. unun sonucu olaak da bi gidap filamentinin akışkan içeisinde sona eemeyeceği göülmektedi. Zia kesit alanının sıfıa gitmesi için gidaplılığın sonsu olması geeki. Ancak bu limit duum modelleme amaçlaı için yaalı olup, bi gidap filamentini sabit bi sikülasyon, sıfı dik-kesit alanı e sonsu gidaplılık şiddeti ile yoğunlaştıılmış gidaplılık şiddetine sahip bi gidap filamenti olaak tanımlamak uygun olu. uadakine bene sonuçlaa dayanaak, Alman bilim adamı Hemann on Helmholt (8-894) isko olmayan akımla için gidap teoemleini geliştimişti. unlaı şu şekilde öetlemek mümkündü:. i gidap filamentinin şiddeti ekseni boyunca değişme. UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

20 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı -9. i gidap filamenti akışkan içinde başlama eya bitme (kapalı bi eği teşkil etmeli eya sonsua gitmelidi. 3. i gidap tüpü oluştuan akışkan gidap tüpü oluştumaya deam ede e gidap tüpünün şiddeti, gidap tüpü haeket ettiğinde değişme (dolayısıyla, gidap çigisi, gidap tüpü, gidap yüeyi b gibi gidap elemanlaı aman içinde gidap elemanı olaak kalacaktı). İlk teoem (.53) denklemine dayanmakta, ikinci teoem bunu ilemektedi. Üçüncü teoem aslında Helmholt un üçüncü e dödüncü teoemleinin bi bileşimi olup, isko olmayan akım kabulünün bi sonucudu.. İki-boyutlu gidap Akım çigilei d ω y R ω y d Şekil. Şekilde gösteildiği gibi eşmekeli daiesel akım çigileine sahip bi akım alanını ele alalım. u akıma iki-boyutlu gidap adı eilmektedi. Silindiik koodinat sisteminde süeklilik denklemi (.54) () (.55) UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

21 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı - Silindiik koodinat sisteminde N/S denkleminin bileşeni µ ρ ρ p f f / p ρ (.56) sadece nin fonksiyonu olup ) p( p p Silindiik koodinat sisteminde N/S denkleminin bileşeni p f µ ρ ρ t Mateyal tüe,,, t f µ Hı bileşeninin Laplasiyeni, (.57) () d d d d (.58) i ke intege edileek

22 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı - d d d d ( ) düenleneek i ke daha intege edileek (.59) Sını da (.6a) şatlaından R ω y / R de Rω y (.6b) ω y R (.6) Sikülasyon Saat ibelei yönünde poitif π d y ω y R π R ω y d πr ω y (.6) R ω y π π (.63) ω y d otisite Gidap akımında şekilde göüldüğü gibi gidap mekeini içine almayan sonsu küçük bi akışkan elemanı için otisite hesaplanısa dl R d - π - s π( ) π ( ) ( ) π Akım, çekidek bölgesi haiç iotasyoneldi. R için bu haeket noktasal potansiyel gidap olaak adlandıılı UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

23 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı -. iot-saat kanunu Şıkıştıılama bi akım alanında bi otisite dağılımı bulunduğunu asayalım. u otisite dağılımının etkisiyle oluşan hı alanını hesaplamaya çalışalım. Hı alanını bi ektö alanının otasyoneli olaak (.64) şeklinde tanımlamak mümkündü. ektöünü (.65) olacak biçimde seçelim. öylece otisite ( ) olu. Sağdaki ilk teimin sıfı olduğu dikkate alınaak ektöü için Poisson denklemi (.66) elde edili. u denklemin çöümü Geen teoemi yadımıyla, 4π υ dυ P olaak elde edili (k: Kaamcheti K., Pinciples of ideal fluid aeodynamics, 98, p:533). dυ uada büyüklüğü Şekil. de gösteilen P noktasında hesaplanmış olup, otisitenin υ kontol hacmi içeisindeki integasyonunun bi sonucudu. y Şekil. υ Hı alanı da ektöünün otasyoneli olaak 4π υ şeklinde elde edili. dυ (.67) ds dl P Şimdi Şekil.3 deki gibi bi otisite filamentinin sonsu küçük bi paçasını dikkate alalım. uada dl dl, ds, dυ ds dl y olup, dl dl ds dl dl dl dυ Şekil.3 eya dυ dl UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

24 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı -3 yaılabili. öylece eya e dl yi sabit tutaak otasyonel alınısa e (.67) de kullanılaak iot-saat kanunu dl dυ dl dl 4 ( ) 3 dl ( ) 3 π υ (.68) eya difeansiyel biçimde dl ( ) d 4π 3 (.68a) elde edili. enei işlemlele otisitenin hacimsel dağılımı için 4π υ ( ) 3 dυ (.67a) elde edilebili.. oğusal gidabın bi paçasının indüklemesi şiddetindeki bi doğusal gidabın Şekil.4 de göüldüğü gibi e ile belitilen iki noktası aasındaki paçasının bi P noktasında indüklediği hıı hesaplamaya çalışalım. l dl O d β P y u gidabın dl uunluğundaki sonsu küçük bi paçasının P noktasında indüklediği elemante hı iot-saat kanunu yadımıyla dl 4π 3 (.68b) UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

25 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı -4 şeklinde yaılabili. Şayet poblem gidap eksenine bağlı yeni bi silindiik koodinat sisteminde ele alınısa P noktasında sadece bi teğetsel hı bileşeni olacağı söylenebili. una göe yukaıdaki bağıntı dl dl sin β olduğu da dikkate alınaak sin β dl (.68c) 4π skale fomunda yaılabili. u ifade e noktalaı aasında intege edileek gidabın bu paçasının P noktasındaki toplam indüklemesi elde edili: d O β β 4π β β sin β dl P Şekil.5 uada β, e l büyüklüklei bibiine bağlı olup, bu ifade d sin( π β ) d sin β d tan ( π β ) l d l tan β d dl sin β dβ değişken dönüşümlei yapılaak intege edilise 4π d β β sin β dβ ( cos β ) β ( cos β cos β ) β 4π d (.69) 4π d elde edili. Sonsu uun gidabın ( boyutlu gidap) etkisi incelenmek istenise β e β π alınaak (.7) π d eya yaı-sonsu bi gidabın etkisini gömek için de, β π/ e β π alınaak (.7) 4π d - β d β elde edili. y P(,y,) iot-saat kanunu 3-boyutlu poblemlein sayısal incelenmesi için daha uygun bi biçimde yaılabili. Şekil.6 u amaçla Şekil.6 da göüldüğü gibi (,y,) kateyen eksen takımında e noktalaı aasında ye alan bi doğusal gidap paçasının bi P noktasındaki indüklemesi incelenise: UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

26 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı -5 d mesafesi e β açılaının kosinüslei için ektöel biçimde d, cos β, cos β bağıntılaı kullanılaak e ayıca P, e noktalaının oluştuduğu dülemin nomal ektöü için n yaılıp, gidabın indüklediği hıın bu doğultuda olacağı dikkate alınaak iot-saat kanunu 4π (.7) şeklinde elde edili..3 Akım fonksiyonu İki-boyutlu bi akım alanında Ψ(,y) gibi bi akım fonksiyon tanımlamak mümkündü. Öyle ki, bu fonksiyonun sabit değele aldığı noktalaı bileştien eğile akım çigilei olaak tanımlanı. dl Ψsb Akım çigileinin denklemi hı ektöünün akım çigisine teğet olma öelliğinden yaalanılaak elde edilebili: // dl dl d dy u Akım fonksiyonunun değeleini akım debisiyle ilişkilendimek mümkündü. u amaçla Şekil.7 de göüldüğü gibi iki akım çigisi aasından akmakta olan akışkanın hacimsel debisi A- aalığında hesaplanısa, sıkıştıılama akım için dn u dy d (.73) -d dn dy Ψ dψ Ψ sb u Akım fonksiyonlaının değelei aasındaki fak bu debiye eşitleneek A ( Ψ d Ψ ) Ψ d Ψ dn öylece dψ u dy d Şekil.7 UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

27 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı -6 u fonksiyonun Ψ(,y) şeklinde e y koodinatlaına bağlı olduğu düşünüleek tam difeansiyeli tanımlanısa Ψ Ψ dψ d dy y u iki bağıntı kaşılaştıılaak Ψ Ψ u, (.74) y elde edili. Akım fonksiyonu için bulunan bu bağıntıla süeklilik denkleminde kullanılısa u Ψ Ψ Ψ Ψ y y y y y (.77) şeklinde süeklilik denkleminin kendiliğinden sağlandığı göülü. Akım fonksiyonunun isko akışla için de geçeli olduğunu belitmekte yaa adı. Akımın iotasyonel olması halinde u y Hı bileşenlei bu bağıntıda kullanılaak Ψ Ψ u, y Ψ (.78) Şeklinde akım fonksiyonu için yaılmış Laplace denklemi elde edili. Ψ Ψ Ψ Pola koodinatlada İki boyutlu akımda hı ektöünü akım fonksiyonu cinsinden ifade etmek mümkündü: Ψ Ψ ui j i j y Ψ Ψ ( k i ) k j Ψ Ψ ( k j) i k Ψ y y Pola koodinatlada e Ψ (.79) Gadyant opeatöü Ψ Ψ e e Ψ UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı

28 - isko olmayan sıkıştıılama akımın esaslaı -7 Ψ e Ψ e öylece hı bileşenlei Ψ Ψ, (.8) Potansiyel fonksiyonu Akım fonksiyonu ilişkisi (auchy-riemann şatlaı) Kateyen koodinatlada Pola koodinatlada Φ Ψ Φ Ψ, (.8) y y Φ Ψ Φ Ψ, (.8) UK 49 Hesaplamalı Aeodinamik des notlaı