III. BÖLÜM ELEKTRİK POTANSİYELİ

Transkript

1 39 III. BÖLÜM ELEKTRİK POTANSİYELİ 3.1 POTANSİYEL ENERJİ VE İŞ Elektrik alanının içinde yüklü bir parçacık hareket ederse elektrik alani parçacık üzerine bir kuvvet uygular ve iş yapar. F =q. E Yapılan bu iş elektriksel potansiyel olarak ifade edilir. Potansiyel enerji bir cismin bulunduğu konumdan dolayı sahip olduğu enerjidir. Kütle-çekim potansiyel enerjisinin cismin yerden yüksekliğine bağlı olması gibi elektriksel potansiyel de yüklü parçacığın elektrik alan içindeki konumuna bağlıdır. Elektrikle yüklü cisimler ancak bir elektrik alanı içine sokulduklarında potansiyel enerji kazanırlar. Elektrik alan kuvvetleri tarafından bir iş görülünce potansiyel enerjileri düşer. Buna karşılık elektrik yüklü bir cisim herhangi bir dış kuvvet tarafından elektrik alanı içine sokulursa potansiyel enerjisi artar. Genel olarak elektrik alanı yalnızca vektörel bir büyüklük olan E elektrik alan vektörü ile değil aynı zamanda skaler bir büyüklük olan U elektrik potansiyeli ile de nitelenir. Bu iki büyüklük arasında da birbiriyle yakın bir ilişki vardır. Bir elektrik alanı içindeki A ve B gibi iki nokta arasındaki elektrik potansiyel farkını bulmak amacıyla pozitif bir deneme yükü (+q=1c) A noktasından B noktasına hareket ettirilir ve bu hareketi sağlayan dış kuvvet tarafından yapılan iş potansiyel farkına karşılık gelir.

2 40 +Q yükünün alanı içinde bulunan ve F Kuvvetinin etkisi ile dl yolu kadar hareket ettirilen yüklü bir cismin yapacağı iş: A r A +Q r dr +q α F r B dl B diferansiyel işini yapar. Böylece yüklü cismin A noktasından B noktasına gelmesi ile yapılan toplam iş; Burada; F Newton l metre birimlerinde ise W işi Newton.metre veya Joule birimindedir. B denklemde kuvvet için F=q.E yazılırsa olur. W: Newton. Metre veya Joule birimindedir. Yukarıdaki şekilde +Q noktasal yükünün alanı içinde bulunan +q noktasal yükünün A ve B noktası arasında izlediği yol görülmektedir. +q yüküne etki eden F alan kuvveti ile yükün aldığı dl yolu arasındaki açı α ise yukarıdaki denklemdeki vektörlerin ( F.dl ) skaler çarpımları; F.dl = F. dl.cos α olduğundan yazılır. [veya; ] Şekle dikkat edilirse +q yükünün aldığı yol boyunca α açısı değişmektedir. α < 90 0 olan kısımlarda W işi pozitif ve iş alan kuvvetleri tarafından yapılıyor. α > 90 0 olan kısımlarda W işi negatif ve iş dış kuvvetler tarafından yapılmaktadır. Yazılan denklemlerde F kuvvetinin değeri ; olarak yazılırsa denklem Yine yukarıdaki şekle göre olur. olduğu dikkate alınırsa; olur. Yazılan ifadede artık değişken olarak dl yerine +Q noktasal yüküne uzaklığı tanımlayan r dr olarak almak mümkün olmuştur. A ve B noktalarının +Q yüküne uzaklıkları sırasıyla r A ve r B ise denklem;

3 41 olur. İntegral çözülürse yapılan iş; = dır. Bu ifadeden görülmektedir ki; +q yükünün A dan B ye gelmesi ile yapılan iş yükün yörüngesine bağlı olmayıp sadece A ve B noktalarına yani r A ve r B uzaklıklarına bağlıdır. Bu da işin skaler bir büyüklük olduğunu göstermektedir. A ve B noktalarındaki potansiyel enerjiler sırasıyla W A ve W B olduğu kabul edilirse; dir. ( bu iş alan kuvvetleri tarafından yapılmaktadır) Bu denklem alan kuvvetlerinin yaptığı işi verir. Eğer iş alan kuvvetlerine karşı herhangi bir dış kuvvet tarafından yapılıyor ise integral sınırları yer değiştirir veya denklemin önüne negatif işaret gelir. W = = - ( dış kuvvetlerin yapacağı iş) Denklemleri alan şiddetine göre ifade edersek; ve ifadeleri yazılabilir. 3.2 POTANSİYEL VE POTANSİYEL FARKI A ve B noktaları arasında harcanan enerjiye ait denklemi bir kez daha yazarak eşitliğin taraflarını q yüküne bölelim. Denklemdeki; ( ) değeri birim pozitif yük başına alan kuvvetlerinin yaptığı işi gösterir ki buna potansiyel farkı veya kısaca gerilim denir. A ve B noktaları arasındaki potansiyel farkı(gerilim) na U AB dersek; tanımları yapılabilir. Bu ifadeden faydalanarak potansiyel farkı ve gerilim kavramlarının

4 42 Potansiyel farkı veya gerilim: Elektrik alanının A ve B noktaları arasındaki potansiyel farkı +1C luk elektrik yükünün A noktasından B noktasına götürülmesi için alan kuvvetlerinin yaptığı işe denir. A E B (+q=1c) r Potansiyel farkının boyutu enerji/yük ( W/q ) olup birimi SI birim sisteminde elektrik potansiyel farkının birimi joule/coulomb (J/C ) =Volt (V)dur. 1 Volt: 1C luk elektrik yükünü A noktasından B noktasına götürmek için yapılan iş 1 Joule ise bu iki nokta arasındaki potansiyel farkı 1 volttur. Yıldırımlar saniyede 10 5 Coulomb dan daha fazla bir elektriksel yükünü bulutlardan yere aktarabilirler. Bu olay sırasında 10 7 J/C veya 10 7 Voltluk bir elektriksel potansiyel oluşur. A noktasının Potansiyeli U A ve B noktasının potansiyeli de U B ise; Bulunur. Burada U AB > 0 ise A noktasının potansiyelinin B noktasınınkinden büyük U AB <0 ise A noktasının potansiyelinin B noktasınınkinden küçük olacağı anlaşılır. Yukarıda yazılan denklemlerden elektrik işi ifadesi yazılabilir. Şimdi birim pozitif elektrik yükünü b noktası yerine (sonsuz) a götürmek için yapılan iş: ( Uygulamada sıfır potansiyelli nokta olarak toprak veya sonsuzdaki noktalar potansiyelin tanımı şöyle yapılır. alınır ve Elektrik alanı içinde bulunan bir noktanın potansiyeli +1C luk elektrik yükünü o noktadan sonsuza götürmek için alan kuvvetlerinin yaptığı iştir.

5 43 Sıfır potansiyelli nokta olarak(referans noktası) sonsuz seçilerek hesaplanan potansiyele mutlak potansiyel denir. Potansiyel kavramından yararalanarak B noktasının potansiyeli; Referans olarak sonsuz seçilerek elde edilen U A ve U B denklemlerini yeniden yazarak; Yukarıdaki denklem referans noktasını dikkate almadan bulduğumuz ilk denklemin aynısıdır. O halde referans noktasının potansiyel farkına bir etkisinin olmadığı görülmüştür. Referans noktasını sonsuz yerine potansiyeli sıfır kabul edilen bir R noktası seçilirse A noktasının potansiyeli; Potansiyel ve potansiyel farkı da iş ve enerji gibi skaler büyüklüklerdir. Ancak bir yönü olduğundan yönlü skaler büyüklük adını alır. Düzgün elektrik alanı içerisindeki herhangi bir noktanın potansiyeli; Belirsiz integrali ile ifade edilebilir. Bu durumda bir integral sabiti bulunur. İntegral sabiti sınır şartları ve referans noktasının potansiyeli kullanılarak değerlendirilir. ÖZET Elekrik işi (J) A noktasının potansiyeli (V) A noktasının potansiyeli (V) Potansiyelin genel denklemi (V) A noktası ile B noktası arasındaki potansiyel farkı (V) Herhangi bir yük dağılımının oluşturduğu alan içerisinde +q yükünün A noktasından B noktasına gitmesi halinde alan kuvvetlerinin yapacağı işin denklemini: W = q. olarak yazmıştık. İş A ve B noktaları arasındaki yolun şekline bağlı değildir. Aşağıdaki şekle göre +q yükünü A noktasından B noktasına alan kuvvetleri getirmişse B noktasından A noktasına da dış kuvvetler götürecektir.

6 A y +q d B Yukarıdaki denklemlerin toplamının (W 1 + W 2 =0 )sıfır olacağı anlaşılmaktadır. Çünkü A dan B doğru yapılan iş başka bir yoldan B den A ya doğru yapılan işin ters işaretlisidir. B u bize kapalı bir yörünge boyunca yapılan hareket sırasında görülen toplam işin sıfır olacağını gösterir. Zaten bu sonuç enerjinin sakınımını ilkesinin bir gereğidir. Bunu matematiksel olarak q 0 olacağından şeklinde gösterebiliriz. İntegral üzerindeki yuvarlak kapalı bir eğri üzerinden hesaplama yapılacağını gösterir. 3.3 ELEKTRİK YÜKLERİNİN ETRAFINDAKİ POTANSİYEL Aşağıdaki şekilde +Q noktasal yükünün P noktasında oluşturacağı potansiyeli yukarıda açıklanan denklemleri kullanarak hesaplayalım. ve ifadeleri aşağıda yerlerine yazılarak; U P +Q r +p E dl=dr α=o Noktasal yükün etrafındaki herhangi bir noktanın potansiyeli yüke olan uzaklık r ile ters orantılıdır. olması halinde potansiyel sıfırdır.

7 45 Q yükü negatif ise; olur. Şu haldeq yükü pozitif ise potansiyel pozitiftir ve r uzaklığı artıkça potansiyel düşer. Q yükü negatif ise potansiyel negatiftir ve r uzaklığı artıkça potansiyel yükselir. Düzgün olarak yüklenmiş bir kürenin dışındaki potansiyel kürenin bütün yükü küre merkezindeymiş gibi düşünülerek noktasal yükün potansiyeli gibi bulunur. Notasal bir yükün A ve B noktaları arasındaki oluşturdukları potansiyel farkı (gerilim): dr r A A p +Q r dl dr α E Volt. r B B A ve B noktalarının potansiyelleri ayrı ayrı bulunup formülü ile de aynı sonuç bulunabilir. Eğer P noktasının etrafında noktasal yük birden fazla ise; potansiyel skaler bir büyüklük olduğundan potansiyellerin cebirsel toplamı alınır. +Q 1 r 1 r 2 r 3 P - Q 2 +Q 3 Yükler çizgisel bir uzunluk üzerine dağılmış ise; l dq= λ. dl λ r dl λ: çizgisel yük yoğunluğu P Yükler herhangi bir yüzeye dağıtılmış ise; dq= σ.ds S yüzeyi r P σ: yüzeysel yük yoğunluğu ds σ

8 46 Yükler herhangi bir hacim içerisine dağılmış ise;. dv= dq : hacimsel yük oğunluğu Elektrik potansiyelini; noktasal çizgisel yüzeysel ve hacimsel yük ve yük dağılımları tarafından oluşturulduğu düşünülürse toplam potansiyel: Volt 3.4 EŞPOTANSİYEL YÜZEYLER Eş potansiyel yüzeyler ve elektrik kuvvet çizgileri Potansiyelleri bir birine eşit olan noktaları birleştiren sürekli yük dağılımlarının oluşturduğu yüzeylere eşpotansiyel yüzeyler denir. Eş potansiyel yüzeyler eşpotansiyel yüzey çizgileriyle ifade edilirler. Eş potansiyel yüzeyler elektrik alanındaki potansiyel dağılımını gösterirler. Eş potansiyel yüzey çizgileri ile elektrik kuvvet çizgileri birbirlerine diktir. Eş potansiyel yüzeyler ve çizgiler birbirleri ile kesişmezler. Eş potansiyel yüzeyler birbirleri ile kesişmezler. Eş potansiyel iki nokta arasındaki potansiyel farkı sıfırdır. Eş potansiyel yüzeylerde hareket eden yük için harcanan enerji sıfırdır. Yüklü bir cisim eş potansiyel yüzey üzerinde hareket ettirildiğinde yükün potansiyel enerjisinde bir değişiklik olmaz. Noktasal bir yükün eş potansiyel yüzeyi eş merkezli küre yüzeyleridir.

9 ELEKTRİK ALANININ POTANSİYELDEN BULUNMASI Potansiyeli bilinen bir noktanın aşlan şiddeti bir türev işlemi ile kolayca bulunabilir. Önce bunu aşağıdaki şekil üzerinden açıklayalım. Şekilde; n: Eş potansiyel yüzeyin normali vektörü dl: Hareket eilen diferansiyel yol. dn: dl nin E üzerindeki bileşeni α : dl ile dn arasındaki açı Eş potansiyel yüzey üzerinde bulunan q yükü E alanına zıt yönde A noktasından dl yolu kadar hareket ettirilerek B noktasına getirildiğinde; A noktasındaki potansiyeli U iken B ye geldiğinde potansiyeli artarak ( U+dU ) olacaktır. potansiyel ifadesinin her iki tarafının da türevini alarak; diferansiyel ifadesi elde edilir. Burada du birim pozitif yükün E alanı içerisinde dl kadar hareket ettirilmesi halinde yapılan iş veya oluşan potansiyel değişimidir. Şekle göre: dl. cos α =dn yazılırsa; elde edilir. yazılabilir. İki eş potansiyel yüzey E olur ve alan şiddetini veren formül A dn α dl U n B - E U+dU Denklemdeki negatif işaret alan şiddeti vektörünün yüksek potansiyelden alçak potansiyele doğru yönelmiş olduğunu ve potansiyelin alan şiddeti vektörü yönünde azaldığını gösterir. Şekilde dl yolu E ye dik alınırsa (α=90 0 ) cos α= 0 olacağından denklem; olan yüzeyler eşpotansiyel yüzeylerdir. olur. Bu durum U=sabit olmasını gerektirir. Açıklandığı gibi U=sabit ifadesinde vektörüne U potansiyelinin gradyanı denir. Buna göre elektrik alanı potansiyel gradyanının negatif işaretlisidir ve aşağıdaki gibi gösterilir. veya

10 48 Hatırlatma: Vektör cebirinde diferansiyel değişimleri göstermekte kullanılan ve DEL OPERATÖRÜ olarak isimlendirilen (nabla) ile denklemler daha kısa yazılarak ifade edilebilmektedir. Bu sembolün tek başına bir anlamı yoktur. operatörü skaler ve vektörel fonksiyonlarla işlem gördürüldüğünde bir anlam kazanır. İşlemin durumuna göre de isim alır. GRADİENT(GRADYAN) Del operatörü skaler alanlardaki değişim hızlarının incelenmesin kullanılırsa bu işleme Gradient (okunuşu ile gradyan) denir. Skaler bir büyüklük olan U potansiyelinin; Kartezyen koordinatlardaki gradyanı: = i + olduğuna göre: grad U= U = i + Elde edilen denklemde ikinci tarafın bir vektör olduğu görülmektedir. Bu vektörün negatif işaretlisine elektrik alan şiddetidir. ve Silindirik koordinat sisteminde: Küresel koordinat sistemin :***? Örnek: U=3xy 2-2yz potansiyel fonksiyonundan faydalanarak elektrik alanını bulunuz. Örnek : olduğu bilindiğine göre; E yi bulunuz. Burada; dir.. Örnek : olduğu bilindiğine göre; E yi küresel koordinatları kullanarak bulunuz. U yalnız r nin fonksiyonu olduğundan dikkate alınmalıdır. = (i r birim vektörü)

11 49 ÖRNEK PROBLEMLER Örnek 1: Q elektrik yükü uzunluğu 2a olan bir çubuk üzerine düzgün bir biçimde dağılmıştır. Çubuğun tam ortasından geçen dikme üzerinde x uzaklığındaki P noktasındaki potansiyeli bulunuz. +a y dq dy r 0 y x P x λ Hatırlatma: -a Örnek 2: q yüklerine sahip olan bir dipol x ekseni boyunca şekilde verildiği gibi yerleştirilmişlerdir. a) P noktasının potansiyelini bulunuz. b) +Q yükünü sonsuzdan P noktasına getirmek için yapılan işi bulunuz. c) a > > l için p noktasının potansiyelini yaklaşık olarak bulunuz. d) P noktasındaki elektrik alanının büyüklüğünü ve yönünü c şıkkında bulunan yaklaşık potansiyel ifadesinden elde ediniz. l P x -q +q a a) b) (J) c) d) idi. dn = da ve alan x ekseni doğrultusunda olduğundan n = i Örnek 3: Çizgisel yük yoğunluğu 10 μc/m olan yük dağılımının yük ekseninden r=2m uzaklığında bulunan P noktasının alanını ve U 0 =0 olarak r o = 4m deki toprağı kabül ederek r=2m deki noktanın potansiyelini bulunuz. = 0

12 50 dl λ 2m 4m U 0 = 0 Örnek 4: E=10 3 i+10 3 j (V7m) alanı içinde bulunan q=6 μc noktasal yükünün A(-2;0) noktasından B(3;5) noktasına getirmek için yapılacak işi vre bu iki nokta arasındaki gerilimi bulunuz. ve Örnek 5: q 1 =20 μc noktasal yükünün alanı içinde q 2 =-5 μc noktasal yükünü sonsuz ( )dan r 0 =10m uzaklığına getirmek için yapılan işi bulunuz. = 0 Örnek 6: Yarıçapı R olan çok uzun ve birim uzunluğunda λ kadar yük bulunduran bir silindirin ekseninden r 1 ve r 2 kadar uzaklıkta bulunan iki nokta arasındaki gerilimi bulunuz. r 1 > R ve r 2 > R dir. R r 1 n A (V) r 2 B

13 51 Örnek 7: Pozitif x ekseni yönünde E=400i lik düzgün bir elektrik alanı vardır.0(0;0) noktasını sıfır potansiyelli nokta kabul ederek; A(-4m;0) B(2m;1m) C(0;3m) noktalarının potansiyellerini bu noktalar arasındaki gerilimleri bulunuz. y E=400 i A (-40) 0(00) B (21) x C (0-3). Örnek 8: Bir skaler potansiyel U = 2 y 3/2 ile tanımlanmıştır. (000) (300) ve (040) noktalarındaki alan şiddetlerini bulunuz. Örnek 9: U 0 potansiyelindeki iç küresinin yarıçapı a ve 0 potansiyeldeki dış kürenin yarıçapı b olan bir küresel kapasitörde küreler arasındaki potansiyel dağılımı olarak veriliyor. Küreler arasındaki elektrik alan şiddetini bulunuz. 0 0

14 ALANLAR TEORİSİNDE KULLANILAN BAZI ÖNEMLİ VEKTÖREL İŞLEMLER VE TEOREMLER 1. DİVERGENCE(DİVERJANS): Hacim sıfıra giderken söz konusu hacmi sınırlayan kapalı yüzeyden dışarı çıkan net akı miktarına A vektör alanının diverjansı denir. A.ds Ax Ay Az diva= S Lim Kartezyen koordinatlarda ;.A= + + V0 V x y z Elektrik akı yoğunluğu D vektörel bir fonksiyon olduğuna göre: div D =. D =( i + ) ( Dx i +Dy J+Dz k ) = + divd= lim0 V S D. ds V Gauss kanunundan s olduğundan div D= = (hacimsel yük yoğunluğu) div D= I. Maksvel Denklemi Eğer operatörü bir vektör fonksiyonu üzerinde işlem gördürüyorsa işlemin sonucu skaler bir fonksiyon olacaktır. Vektörel alandaki değişim hızını veren bu ifadenin eşitliğine diverjans denir. Kısaca div. şeklinde fonksiyonun önüne yazılır. Statik elektrik alanı elektromanyetik alanın özel bir halidir. Elektromanyetik alanın temel denklemlerinden birisi olan; (1. Maxwell denklemi) denklemini aşağıdaki gibi yazalım; Bir vektör alanın diverjansı skaler çarpımından anlaşılacağı gibi skaler bir büyüklüktür. denkleminde E yerine daha önce ifade edilen; yazılırsa; denklemi elde edilir. Bu diferansiyel denkleme Poisson denklemi denir. Poisson denklemini açık olarak yazarsak;

15 53 Yukarıdaki denklemde hacimsel yük yoğunluğu (ρ) nun sıfır olması yani yüksüz bir ortamda denklem: Elde edilen bu yeni denkleme de Laplace denklemi veya potansiyel denklemi denir. Örnek 1: r = x i + y j+z k vektörünün diverjansını bulunuz.. r =( i + ) ( x i +y J+ z k ) = + = 3 Örnek 2: H =Hx i +Hy J+Hz k vektör fonksiyonunu diverjansını gösteriniz.. H = + 2. DİVERJANS TEOREMİ( GAUSS TEOREMİ): Diverjans teoremi bir vektör alanının diverjansının hacim integrali ile normal bileşeninin yüzey integralini ilişkilendirmektedir. Sürekli olarak diferansiyeli alınabilen bir vektör alanının kapalı bir yüzeyden dışa doğru net akısının bu yüzey ile sınırlanan bölge boyunca diverjansının integraline eşit olduğunu ifade etmektedir. (diverjans Teoreminin matematiksel ifadesi) Diverjans teoremi elektromanyetik teoride kapalı bir yüzey integralinin eşdeğer bir hacim integraline veya bunun tersine dönüştürülmesi için çok yaygın olarak kullanılır. Örnek : Yarı çapı r olan bir kürenin hacmini diverjans teoremini kullanarak bulunuz. ve (önceki örneklerden) kürenin hacmi. Örnek 1: V=8x+4y 2 olduğuna göre (000) (030) (300) ve (330) noktalarının alan şiddetlerini bulunuz. (000) için E= -8i (030) için E= -8i-24j (300) için E= -8i (330) için E= -8i-24j

16 54 Örnek 2: x 2 +y 2 = 9 silindiri ve x = 0 y = 0 z = 2 düzlemleri ile sınırlanan bölgede; vektör alanı için diverjans teoremini doğrulayınız. Çözüm: ds 4 ds 2 ds 1 Silindirk koordinatlarda hacim integrali hesaplanarak; D ϕ ρ ds 3 ds 5 Şimdi yukarıdaki silindir şekline göre alanları sırasıyla hesaplayalım. y=0 için için x=0 için için ρ=3 için için Burada; olduğundan yazılır ve x=3cosϕ ve y= 3sinϕ değerleri yerlerine yazılıp integral işlemi yapılarak bulunur. z= 2 için için x=ρ.cosϕ yerine konularak integral çözüldüğünde; elde edilir. Son olarak; z= 2 için için doğrulamaktadır. elde edilen sonuç diverjans Teoremini

17 55 3. BİR VEKTÖR ALANININ ROTASYONELİ (CURL Ü): nın işlem yaptığı başka bir durum da vektörel bir fonsiyon ile çapraz vektörel çarpım yapılarak yeni bir sonuç vektör elde etmektir. Rotasyonel bir vektör alanı içindeki bir nokta etrafındaki dönme eğilimini ölçer. Vektör alanının rotasyonel inin fiziksel önemi herhangi bir biçimde küçük bir yüzey alanı etrafında alınan vektör alanının birim yüzey alanı başına sirkülasyonunu(dolaşımını) temsil etmesidir. Yönü yüzeyin düzlemine normaldir. Farklı ifadeyle eğer kapalı elementsel yol etrafında bir vektör alanının çizgisel integrali sıfır değilse vektör alanının rotasyonel i de sıfır değildir ve vektör alanı rotasyonel dir denilir. A lim s n 0 1 a s n c Adl Bundan böyle daima olarak ifade edilecektir. Bir A vektörünün rotasyonelinin ( ) Dikdörtgen Koordinatlarda Silindirik ve küresel koordinatlardaki ifadeleri aşağıda verilmiştir. max Kartezyen Koordinatlarda bir A vektörünün Rotasyoneli; Veya; Silindirik Koordinatlarda bir A vektörünün Rotasyoneli; Küresel Koordinatlarda bir A vektörünün Rotasyoneli;

18 56 Örnek 1: f (xyz) sürekli olarak diferansiyeli alınabilen bir fonksiyon ise olduğunu gösteriniz. Skaler f (xyz) fonksiyonunun gradyanı; ve nin rotasyoneli; f nin sürekli olarak diferansiyelinin alınabilmesi için; ve olması gerekir. Buradan olur. 4. STOKES TEOREMİ Stokes teoremi açık bir yüzey üzerinden bir vektör alanın rotasyonelinin yüzey integrali aynı yüzeyi çevreleyen kapalı çevre üzerinden söz konusu vektör alanının çizgisel integraline eşittir. Örnek : çizgi integrali verilmiştir. Bu integralin herhangi iki nokta arasındaki yola bağlı olup olmadığını Stokes teoreminden bulunuz. ise olur. Verilen çizgi integral verilen x-y düzleminde bir eğri olduğundan curl yalnızca z bileşenini kapsar. Yani yalnız z bileşeninin sıfır olduğunu ispatlamalıyız.(x-y düzleminin normali z doğrultusundadır.) ve Bu durumda çizgisel integral herhangi iki nokta arasındaki yola bağlı değildir. Örnek : olduğunu gelişi güzel bir yüzey üzerine integre ederek ve Stokes teoremini kullanarak ispatlayınız. Çözüm: kapalı bir eğri ile sınırlanmış rast gele bir s yüzeyi alalaım. Kapalı yüzeyde bir E vektör alanı varsa bunun kapalı yüzey üzerine integre edilmiş rotasyonu(curl ü) ; dir. Stokes teoreminden; ise dır. Çünkü kapalı yol üzerine yapılan iş sıfırdır. Böylece yazılırsa; olmayacağından olmalıdır.

19 57 Çalışma sorusu : F=(2z+5)a x +(3x-2)a y +(4x-1)a z ise x 2 +y 2 +z 2 =4 ve z 0 yarı küresi üzerinde Stokes teoremini doğrulayınız. 5. GREEN TEOREMİ ALANLARIN SINIFLANDIRILMASI A vektörü v hacmi içinde ve bu hacmin s yüzeyindeki her yerde sürekli olarak diferansiyeli alınabilen tek değerli bir fonksiyon ise diverjans teoremine göre; (1) yazılır. Eğer A vektör alanı bir ϕ skaler alanı ve bir ψ vektör alanının çarpımı olarak tanımlanırsa (2) ilk yazılan denklem yerine yazılırsa (3) sonucu elde edilir. eşitliği birinci 1. Green özdeşliği olarak bilinir. ϕ ve ψ aralarında değiştirilerek (5) olarak yazılabilir. (3) den (4) çıkartılarak ikinci Green özdeşliği veya Green teoremi (6) elde edilir ϕ = ψ özel durumu için birinci Green özdeşliği (7) olur. ALANLARIN SINIFLANDIRILMASI Bir vektör alanının diverjansı ve rotasyonel i bağımsız işlemler olduğundan ikisi bir alanı tamamen tanımlamak için yetersizdir. Gerçekte elektromanyetik alan çalışmasında alanlar dört temel sınıflandırmaya ayrılabil ektedir. Alan problemlerinin çözümünde çalışılan alanın hangi sınıfa düştüğünü bilmek bu problemin çözümü için kullanılması gereken işlemi belirlemeye yardımcı olur.

20 58 ÇALIŞMA SORULARI Soru 1: Şekli verilen düzgün yüklü dairesel halkanın ekseni üzerindeki potansiyeli ve bundan yararlanarak p noktasının alan şiddeti ifadesini yazınız.. y dl Hatırlatma: (V/m) 0 a r θ x P x z Soru 2: a) Şekil de gösterilen düzgün dağılmış σ yük yoğunluğu bulunan levhanın ekseni üzerindeki bir P noktasında elektriksel potansiyelini a b hesaplayınız. b) P noktasındaki elektrik alanı (a) şıkkında bulduğunuz potansiyeli kullanarak elde ediniz.. Ϭ x P Soru 3: Şekli verilen dipol sisteminde P noktasının P potansiyelini ve elektrik alanını bulunuz. r 1 ( C: ) +q θ 1 i r r r 2 l θ 2 - q

21 59 Soru 4 : Q 1 =2μC Q 2 =1μC ve Q 3 =- 4μC olan noktasal yükleri x-y düzleminde sırasıyla M 1 (20;0)cm M 2 (-20;0)cm ve M 3 (0;40)cm noktalarında bulunduklarına göre; a) P 1 (0;0)cm ve P 2 (20;40)cm noktalarındaki alan şiddetlerini b) Bu noktaların elektrik potansiyellerini c) P 1 ve P 2 noktaları arasındaki potansiyel farkını d) q= μc noktasal yükünü P 1 den P 2 noktasına getirmek için görülecek işi hesaplayınız. (Yukarıdaki tüm yüklerin bulundukları ortam için r=5 tir.) Soru 5 : r=x i+y j+z k olduğuna göre 1/r nin gradyanının -1/r 2.u r olduğunu gösteriniz. Soru 6: Elektrik alanı içindeki potansiyel fonksiyonu V=x 2 +y 2 -zy dir.(234)m noktasının alan şiddetini ve yönünü bulunuz. [ 538 V/m] Soru 7: ρ = 20 μc/m çizgisel yük yoğunluğu hem Ox ve hem Oy eksenleri boyunca uzanmaktadır. P(333)m noktasında D yi hesaplayınız. Cevap: O Soru 8: Şekildeki sonsuz uzun ve düzgün çizgisel yükün alanı içinde U ab =10 v ve U bc =6V olduğuna göre c uzaklığının değerini hesaplayınız.(c: c=303m) λ c/m 1m a b c 2m x c =? Soru 9: -60 μc luk bir yükten 20 ve 40 cm uzaklıktaki iki nokta arasındaki potansiyel farkını +2μC luk bir yükü alçak potansiyelli noktadan yüksek potansiyelli noktaya götürmek için gerekli işi hesaplayınız. (Cevap : l35. l0 6 V 2 70 Jül)

22 60 ÖZET TEOREMLER VE KISA AÇIKLAMALARI VEKTÖR İŞLEMLERİ VE KISA AÇIKLAMALARI BAZI ÖNEMLİ TEOREMLER

23 61 BAZI ÖNEMLİ VEKTÖR İŞLEMLERİNE AİT FORMÜLLER Skaler fonksiyonun laplasyanı