olduğundan A ve B sabitleri sınır koşullarından

Transkript

1 TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi Merkezleri aynı, aralarında dielektrik madde bulunan iki küreden oluşur. Elektrik Alanı ve Potansiyel Yarıçapları ve ve elektrotlarına uygulanan gerilimi U olan eş merkezli küresel elektrot sisteminde V potansiyeli yalnız r'ye bağlı olarak değiştiğinden, Küresel koordinat sisteminde Laplace denklemi d 2 V + 2 dv = 0 d r dr Denklemin genel çözümü V = A + B r olduğundan A ve B sabitleri sınır koşullarından r = için V = V = U r = için V = V 2 = 0 A = U B = U Potansiyel ifadesi V = U ( r ) E = dv dr bağıntısından Elektrik Alan E = U Küresel Elektrot Sistemi EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ

2 TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi Elektrik yüklerinden yola çıkılarak elektrik alanı ve potansiyeli şu şekilde de hesaplanabilir. yarıçaplı küreyi kuşatan r yarıçaplı ( r ) küre yüzeyinde, küresel simetriden dolayı, D deplasmanı her noktada aynı olduğundan, D ds = Q denklemi D 4π = Q şeklini alır. D = εe olduğu bilindiğine göre D = Q 4π Elektrik alanı E = Q 4πε yerine konularak U = r E dr (Gerilim, Elektrik alanın r den r2 ye integralidir.) U = Q 4πε dr r E = Q 4πε 2 = Q U Gerilimi 4πε r ൬ ฬ r r = Q 4πε U = Q 4πε. = Q 4πε denkleminde Q 4πε = U yazılarak elektrik alanı bulunabilir. Elektrik alanı E = U [F/m] Küresel Elektrot Sistemi EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 2

3 TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi Potansiyel ifadesi V = E dr + K denkleminden elde edilir. V = U r + K K integral sabiti sınır koşulundan elde edilir: r = için V = V 2 = 0 olduğundan, K = U olur. Potansiyel V = U r [V] Küresel Elektrot Sistemi r = için elektrik alanın maksimum değeri E = E max = U r = için elektrik alanın minimum değeri E = E min = U EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 3

4 TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi Ortalama elektrik alanı, elektrotlara uygulanan gerilimin elektrotlar arası açıklığa oranı ile bulunur ve E ort ile gösterilir. Ortalama elektrik alanı E ort = U [F/m] E = E ort = U... 2 = U r ort denkleminden E nin E ort ya eşit olduğu r ort yarıçapı, r ort =. Şekillerde E = f r eğrisi, E max, E min ve E ort değerleri ve V = f(r) eğrisi gösterilmiştir. Küresel elektrot sisteminde elektrik alanının ve potansiyelin r ye göre değişimi EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 4

5 TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi Sistemin Kapasitesi Sistemin kapasitesi C = Q/U bağıntısından hesaplanır. Gerilim U = Q 4πε. olduğuna göre; Sistemin kapasitesi C = Q U = 4πε. [F] r, (m) Boşluğun dielektrik sabiti ε 0 = 8, [F/m] Sistemin Delinme Bakımından İncelenmesi Herhangi bir elektrot sisteminde maksimum zorlanma, ortamın delinme dayanımına eşit veya bundan büyük olduğu zaman (E max E d ), eğrilik yarıçapı küçük olan elektrot üzerinde, ortamda bir boşalma meydana gelir. EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 5

6 TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi Bazı Tanımlar Gerçek açıklık: a ile gösterilir. Eş merkezli küresel elektrot sisteminde a = Eşdeğer açıklık: α ile gösterilir ve bir elektrot sistemi için α = U Eş merkezli küresel elektrot sisteminde, E max = U α = U E max = ( ) α = ( ) E max olduğundan Buna göre eşdeğer açıklık, gerçek açıklıktan kadar daha küçüktür. V = f(r) eğrisinin r'ye göre türevi alınıp r = için teğet altı hesaplanırsa, bunun eşdeğer açıklığa eşit olduğu görülür. Küresel Elektrot Sistemi tanθ = dv ቚ = dr r=r NP = = α U = U NP EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 6

7 TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi Geometrik karakteristik: Genel olarak, basit küresel ve silindirsel elektrot sistemlerinde sistemin geometrik durumunu karakterize etmek ve aynı cins elektrot sistemleri arasında benzerlik koşulunu belirtmek amacı ile sistemin geometrik boyutları arasında oluşturulan orana Geometrik Karakteristik denir. Eş merkezli küresel sistem ile eş eksenli silindirsel sistemlerde sistemlerin geometrik bakımdan benzerlikleri için bir tek koşula gereksinim olduğu halde, yan yana veya iç içe küresel ve silindirsel sistemlerde, geometrik benzerlik için iki koşula, daha doğrusu iki geometrik karakteristiğe gereksinim vardır, p ve q ile gösterilen; Geometrik karakteristikler p = +a q = Eş merkezli küresel elektrot sisteminde a = olduğundan p geometrik karakteristiği q karakteristiğine eşit olur. p ve q geometrik karakteristikleri p = +( ) = = q Küresel Elektrot Sistemi EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 7

8 TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Eş Merkezli Küresel Elektrot Sistemi Faydalanma faktörü: η ile gösterilir. Eş merkezli küresel elektrot sisteminde η = α a = E ort E max denklemiyle tanımlanır. α =. = a p olduğundan μ faydalanma faktörü Faydalanma faktörü η = p dir. Genel olarak bir elektrot sisteminin η faydalanma faktörü, a elektrotlar arası açıklığı ve U gerilimi bilinirse, U = E max. α = E max. a. η bağıntısı yardımıyla E max elektrik alanı kolayca hesaplanır. EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 8

9 TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Küresel Elektrot Sistemi Örnek: Bir eş merkezli küresel elektrot sisteminde; a) Delinme bakımından en iyi düzendeki geometrik karakteristik (yarıçaplar arasındaki oran p = ) bağıntısını çıkarınız. b) = 20mm alarak delinme dayanımı E d = 50kV/cm ve bağıl dielektrik sabiti ε r = 3 olan bir yalıtkanın kullanılması durumunda uygulanabilecek maksimum gerilimi ve sistemin kapasitesini hesaplayınız. a) Elektrik alan ifadesi E = U. Maksimum elektrik alanı E max = U Yazılan denkleminden en uygun düzende maksimum elektrik alanı için iç çapına göre türevi alınarak sıfıra eşitlenir. Çünkü delinme yada boşalma eğrilik yarıçapı küçük olan elektrot üzerindeki elektrik alanına bağlıdır. de max d = 0 U. 2 = 0 r. r = 2 p = p d = = 2 En elverişli düzen için gerekli dış ve iç yarıçap oranları EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 9

10 TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Küresel Elektrot Sistemi b) Delinme bakımından en elverişli durumda yarıçaplar arasındaki p = p d = = 2 = 2 = 2 r 20 2 = 40mm olarak hesaplanır. oranından Maksimum elektrik alanı E max = U formülünden, Delinme geriliminin değeri E max yerine E d ve U yerine U d konularak Maksimum elektrik alanı formülünden E max = E d = U d U d = E d r = = 50kV 2 4 Sistemin kapasitesi C = Q U = 4πε. = 4πε 0 ε r. = 4π. 8, , ,04 0,02 C = 3, F = 3, 352pF EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 0

11 TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Küresel Elektrot Sistemi Örnek: Delinme bakımından en iyi düzene sahip dış yarıçapı = 50cm ve havanın delinme dayanımı E d = 30kV/cm olan eş merkezli küresel elektrot sisteminde a) Delinme dayanımı bakımdan en elverişli düzenin geometrik karakteristiğini çıkararak, iç yarıçapını bulunuz. b) Delinme gerilimini hesaplayınız. c) U = 300kV luk gerilim için boşalma olaylarının hangi geometrik karakteristiklerde meydana geleceğini bulunuz. Delinme eğrisi üzerinde gösteriniz. a) Maksimum elektrik alanı E = E max = U. de max d = 0 olur. Bu durum en elverişli düzen değildir. de max d = 0 U = 0 denkleminden en uygun düzen için = 2 = 2 = = 50 = 25cm 2 2 En elverişli düzen için gerekli dış ve iç yarıçap oranları p d = = = 2 EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ

12 TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Küresel Elektrot Sistemi b) Delinme geriliminin değeri maksimum elektrik alanı formülünden E max = E d = U d U d = E d r 2 U d = 375kV c) E max = E d = U 30 = 300 = = 0 Denklemin çözümünden = 3, 82cm ve 2 = 36, 8cm elde edilir. = 3,82 50 = 0, = 36,8 50 = 0, 723 Delinme eğrisi U = 300kV ve = 50cm sabit alınarak çizilebilir. E max = 24kV/cm E min = 6kV/cm E max = E d = U formülüne göre U=300kV Sabit r2=50cm Sabit EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 2 r cm 5cm 0cm 3,82cm 25cm 36,8cm 40cm 45cm 49cm Emax 306,22kV/cm 66,667kV/cm 37,5kV/cm 30kV/cm 24kV/cm 30kV/cm 37,5kV/cm 66,667kV/cm 306,22kV/cm

13 TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Küresel Elektrot Sistemi Örnek: İç küre yarıçapları = 50cm, = 20cm ve dış küre yarıçapı = 200cm olan iki eş merkezli küresel sistemde havanın delinme dayanımı E d = 30kV/cm = sabit olduğuna göre, sistemlerin delinme başlangıç gerilimlerini hesaplayınız ve bu düzenlerde boşalmaların ne şekilde meydana geleceğini açıklayınız. Delinme başlangıç gerilimleri Birinci düzen için U d = E d U d = E d = 50cm ve = 200cm ( ) = = 25kV denkleminden hesaplanır. İkinci düzen için = 20cm ve = 200cm U d2 = E d = = U 200 d2 = 440kV EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 3

14 TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Küresel Elektrot Sistemi Birinci düzenin geometrik karakteristiği p = = = 4 İkinci düzenin geometrik karakteristiği p = = =, 667 Delinme bakımından en uygun düzende geometrik karakteristik p d = 2 dir. Bu durumda birinci düzende p > p d olduğundan sadece ön boşalmalar ve ikinci düzende ise p < p d olduğundan tam delinmeler meydana gelir. EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 4

15 TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Küresel Elektrot Sistemi Örnek: Yarıçapları farklı ve fakat geometrik karakteristikleri aynı olan (p = p = p =, 2) benzer iki eş merkezli küresel sistemin delinme başlangıç gerilimleri U d = 240kV ve U d = 600kV olduğuna göre bu iki sistemin iç ve dış yarıçaplarını hesaplayınız. E d = 30kV/cm = sabit Delinme başlangıç gerilimi ifadesi geometrik karakteristik U d = E d.. r = E d.. = E 2 r d.. 2 değerleri yerine konulursa, U d = E d.. p p 240 = 30.,2,2 p p p = ve p = yazılıp sırasıyla U d = 48cm ifadesinden = 240kV ve U d = 600kV U d = E d.. p p 600 = 30.,2,2 = 20cm p = / olduğundan = p. =, = 57, 6cm p = / olduğundan = p. =, = 44cm EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 5

16 TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Küresel Elektrot Sistemi Örnek: Havadaki yarıçapı = 9cm olan iletken bir küre üzerindeki Q = μc değerindeki yükün a) Küre üzerinde oluşturacağı elektrik alan şiddetini ve potansiyeli, b) Küreyi, dış elektrodunun yarıçapı sonsuz olan bir eş merkezli küresel elektrot sisteminin iç küre elektrodu olarak düşünerek kapasitesini, c) Kürenin eş merkezli olarak = 8cm yarıçaplı topraklı bir dış küre elektrot içinde bulunması durumundaki maksimum alan şiddetini ve kapasitesini hesaplayınız. a) yarıçaplı küreyi kuşatan, küresel simetriden dolayı r yarıçaplı küre yüzeyinde D deplasmanı her noktada aynı olduğundan toplam elektriksel akı D. 4π ye eşit olur. Gauss yasasına bu akı küre içindeki Q yüküne eşit olur. D 4π = Q D = ε. E olduğu bilindiğine göre D = Q 4π yerine konularak Elektrik alanı E = Q 4πε =.0 6 4π..8, ,09 2 = V/m, 095kV/cm EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 6

17 TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Küresel Elektrot Sistemi Kürenin potansiyeli V = r E dr (Potansiyel, Elektrik alanın r ye göre belirli integralidir.) V = Q 4πε r dr = Q 4πε.r V = Q 4πε.r = V = 99, 864kV.0 6 4π..8, ,09 = 99863, 805 V b) Küre ile potansiyeli sıfır kabul edilen sonsuz arasındaki gerilim U = V 0 = 99, 864kV Küre ile sonsuz arasındaki elektrik alanının bulunduğu ortamın kapasitesi Sistemin kapasitesi C = Q U = Q V = ,305 =, F = 0, 04pF II.Yol C = Q U = Q V = 4πε = 4π.. 8, , 09 =, F = 0, 04pF EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 7

18 TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Küresel Elektrot Sistemi c) = 9cm, = 8cm ve U = 99, 864kV için Maksimum Elektrik Alanı, E = E max = U = 99, = 22, 92kV/cm Kürenin kapasitesi C = Q U = 4πε. = 4π.. 8, ,8.0,09 0,8 0,09 = 20, F = 20, 027pF EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 8

19 TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Maksimum Elektrik Alanının Yaklaşık Olarak Hesabı Maksimum elektrik alanı yaklaşık olarak en basit elektrot sistemine dönüştürülüp bir k düzeltme faktörü kullanılarak hesaplanır.. Söz konusu elektrot sistemlerinde maksimum elektrik alan şiddetinin bulunduğu nokta iki elektrot arasındaki en dar bölgededir. 2. Maksimum alan şiddeti, yarıçapı küçük olan elektrot üzerindedir. 3. Maksimum alan şiddeti, karşı elektrotun yarıçapına az bağlıdır. Bu bağlılık elektrotlar arasındaki açıklık büyüdükçe azalır. EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 9

20 TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Küre-Düzlemsel Elektrot Sistemi Örnek: Şekildeki küre-düzlem elektrot sisteminde yaklaşık alan hesabından yararlanarak maksimum alan şiddeti bağıntısını çıkarınız. Küre yarıçapı 2mm, elektrot açıklığı 5mm, havanın delinme dayanımı 30kV/cm ve düzeltme (yaklaşıklık) katsayısı 0, 85 olduğuna göre delinme gerilimini hesaplayınız. Küre elektrot sisteminde maksimum elektrik alan şiddeti E max = U dir. Küre-düzlem elektrot sistemi için düzlem üzerinde elektrik alanın maksimum olduğu nokta ikinci küre olarak düşünülerek küresel elektrot sisteminde denklemde yerine konulur. Yeni durum için, yerine r ve yerine r + a yazılarak E max = k U r+a r r+a r E max = k U r+a yaklaşık bağıntısı elde edilir. ra Burada k düzeltme yada yaklaşıklık katsayısı olarak ifade edilir. Değeri 0, 85 ile 0, 95 arasında alınabilir. EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 20 Küre

21 TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Küre-Düzlemsel Elektrot Sistemi E max = k U r+a elektrik alan şiddeti bağıntısında delinme geriliminin elde ra edilebilmesi için yeniden düzenlenirse U d = E d k ra r+a = 30 kv/cm 0,85 0,2 cm0,5 cm 0,2 cm+0,5 cm U d = 5, 042 kv Küre EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 2

22 TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Küre-Küre Elektrot Sistemi Örnek: Şekildeki küre-küre elektrot sisteminde yaklaşık alan hesabından yararlanarak maksimum alan şiddeti bağıntısını çıkarınız. Küre çapı 25cm, elektrot açıklığı 0cm, havanın delinme dayanımı 30kV/cm ve düzeltme (yaklaşıklık) katsayısı 0, 9 olduğuna göre uygulanan gerilimi 250kV alarak maksimum elektrik alan şiddetini ve delinme gerilimini hesaplayınız. Küre elektrot sisteminde maksimum elektrik alan şiddeti E max = U dir. Küre-küre elektrot sistemi için elektrik alanın maksimum olduğu nokta iki küre arasındaki düzlemsel hat üzerindeki birbirine en yakın noktada meydana gelir. Bu durumda uygulanan gerilim U/2 ve küreler arası uzaklığın yarısı a/2 alınarak maksimum alan şiddeti denkleminde yerine konulur. yerine r ve yerine r + a/2 yazılarak E max = k U/2 r+a/2 r r+a/2 r E max = k U r+a/2 yaklaşık bağıntısı elde edilir. ra Burada k düzeltme yada yaklaşıklık katsayısı olarak ifade edilir. Değeri 0, 85 ile 0, 95 arasında alınabilir. EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 22

23 TEMEL ELEKTROT SİSTEMLERİ Küre-Küre Elektrot Sistemi U = 220kV için maksimum elektrik alan şiddeti E max = k U r+a/2 ra E max = 0, E max = 27 kv/cm E max = k U r+a/2 ra yeniden düzenlenirse elektrik alan şiddeti bağıntısında delinme geriliminin elde edilebilmesi için U d = E d ra k r+ a 2 U d = 277, 778 kv = 30 kv 25cm0cm cm 0,9 25cm+ 0cm 2 EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 23

24 KAYNAKLAR ÖZKAYA, Muzaffer, Yüksek Gerilim Tekniği Cilt ve Cilt 2 (Birsen Yayınevi) CHENG, David K., Mühendislik Elektromanyetiğin Temelleri (Palme Yayıncılık) SERWEY, Raymond A., JEWETT, John W., Physics for Scientist and Engineers, 6.th Edition, 2004 YOUNG, Hugh D., FREEDMAN, Roger A., University Pyhsics with Modern Physics, 3th Edition, 200 KALENDERLİ, Özcan, Yüksek Gerilim Elemanları Ders Sunuları Yrd.Doç.Dr. C.V. BAYSAL Yüksek Gerilim Tekniği Ders Sunuları EEM344 YÜKSEK GERİLİM TEKNİĞİ 24