FONKSİYONLAR ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT

Transkript

1 FONKSİYONLAR ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT. Kazanım : Gerçek saılar üzerinde tanımlanmış fonksion kavramını açıklar. Tanım kümesi, değer kümesi, görüntü kümesi kavramlarını açıklar.. Kazanım : Fonksionların grafik gösterimini apar. Grafiği verilen bir fonksionun tanım kümesindeki bazı elemanların görüntüsü ve görüntü kümesindeki bazı elemanların ters görüntüleri belirlenir. Düşe (dike) doğru testi açıklanır. Bir f fonksionunun grafiğinin = f() denkleminin grafiği olduğu ve grafiğin (varsa) eksenini kestiği noktaların f() = denkleminin gerçek saılardaki çözüm kümesi olduğu vurgulanır. Tanım kümesinin bir alt kümesinin fonksion altındaki görüntüsünün bulunması ile ilgili grafik orumlama ugulamaları apılır. f() = a + b biçimindeki grafiklerle ilgili ugulamalar aptırılır. Birim fonksion, sabit fonksion, doğrusal fonksion kavramlarını açıklar. İki fonksionun eşitliğini açıklar.. Kazanım : f() = n (n Z) biçimindeki fonksionların grafiklerini çizer. (Bu fonksionların sadece n =,,, için değer tablosu ardımıla grafikleri çizdirilir.). Kazanım : Bire bir ve örten fonksionları açıklar. Bir fonksionun bire bir ve örtenliği grafik üzerinde ata doğru testi ile incelenir. Parçalı tanımlı şekilde verilen fonksionların grafikleri çizdirilir. Mutlak değer fonksionu bir parçalı tanımlı fonksion olarak açıklanır. Değer kümesinin bir alt kümesinin fonksion altındaki ters görüntüsünün bulunmasıla ilgili grafik orumlama ugulamaları apılır.

2 FONKSİYONLAR Fonksion: A ve B boş olmaan iki küme olmak üzere A nın her elemanını B nin bir ve alnız bir elemanına eşleen f bağıntısına A dan B e bir fonksion denir. f f : A B vea A B biçiminde gösterilir. A kümesi fonksionun tanım kümesidir. A f B B kümesi fonksionun değer kümesidir. f(a) = {f() : A } kümesi ise f fonksionunun görüntü kümesidir. f(a) görüntü kümesi f(a) B dir. Tan m Kümesi De er Kümesi f : A B bağıntısının fonksion olabilmesi için: I. Tanım kümesinde açıkta eleman kalmamalı. II. Tanım kümesindeki her elemanın alnız bir görüntüsü olmalıdır. ÖRNEK A = {Gizem, Canberk, Abars, Ecem} B = {Pazartesi, Salı, Çarşamba, Perşembe, Cuma, Cumartesi, Pazar} olmak üzere, A kümesindeki elemanlar anı sınıfta bulunan arkadaşın isimlerini ve B kümesindeki elemanlar da haftanın günlerini göstermektedir. β A B e tanımlanan β bağıntısı; Gizem ve Canberk pazartesi günü doğmuştur. Abars salı günü doğmuştur. Ecem çarşamba günü doğmuştur. biçiminde ise grafiği andaki gibidir. A Gizem Canberk Abars Ecem B Pazartesi Sal Çarflamba Perflembe Cuma Cumartesi Pazar Bu bağıntıda A kümesinde açıkta eleman kalmamıştır ve A kümesindeki her elemanın alnız bir görüntüsü vardır. Bu koşullar sağlandığı için β bağıntısı A B e bir fonksiondur. β β β A Gizem Canberk Abars Ecem P.tesi Sal Çarfl. Perfl. Cuma C.tesi Pazar B A Gizem Canberk Abars Ecem P.tesi Sal Çarfl. Perfl. Cuma C.tesi Pazar B A Gizem Canberk Abars Ecem P.tesi Sal Çarfl. Perfl. Cuma C.tesi Pazar B Ecem in doğduğu bir gün bulunmak zorundadır. b bağıntısı A B e fonksion değildir. Gizem hem P.tesi hem Salı günü doğmuş olamaz. b bağıntısı A B e fonksion değildir. Gizem ve Canberk anı gün (Salı) doğmuş olabilirler. b bağıntısı A B e bir fonksiondur. 56

3 Fonksion ÖRNEK A = {,, } ve B = {a, b, c, d} olmak üzere, A B e tanımlanan aşağıdaki bağıntıların fonksion olup olmadığını tespit edip fonksion olanların görüntü kümelerini bulunuz. a. f = {(, a), (, b), (, b) } Düşe (Dike) Doğru Testi Grafiği verilmiş bir bağıntının fonksion olup olmadığını anlamak için, eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksionun belirttiği eğrii en az bir ve en çok bir noktada kesiorsa verilen bağıntı fonksiondur. b. g = {(, a), (, c) } c. h = {(, a), (, b), (, c), (, d) } ÖRNEK Aşağıda grafikleri verilmiş olan bağıntıların fonksion olup olmadığını tespit ediniz. a. b. β β 57

4 Fonksion ÖRNEK Aşağıda grafiği verilen bazı bağıntıların fonksion olup olmadığı tespit edilmiştir. İnceleiniz. = g() = h() eksenine paralel olan doğrusu grafiği eksenine paralel çizilen doğruların hiçbiri grafiği noktada kestiğinden = g() fonksion birden fazla noktada kesmediğinden = h() bir değildir. fonksiondur. = p() = k() eksenine paralel çizilen doğruların hiçbiri grafiği birden fazla noktada kesmediğinden = k() bir fonksiondur. Grafiği kesen ve eksenine paralel olan bir doğru çizersek grafikle çakışık olur. Yani grafiği noktada keser. O halde, = p() bir fonksion değildir. FONKSİYON MAKİNESİ Girdi Çıktı f() = Şekil Şekil Şekil deki fonksion makinesine giren her saı karesinin bir fazlası olarak çıkmaktadır. Giren saıları genellikle, çıkan saıları, fonksionu da f ile göstereceğiz. Bu fonksion makinesi için Şekil deki tabloda bazı girdi ve çıktı değerleri verilmiştir. İnceleiniz. 58

5 Fonksion ÖRNEK 5 Girdi f() =? Çıktı Girdi Çıktı 7 ÖRNEK 8 f : A B, f() = olmak üzere, A = {,,,, } ve B = {,,,,, } ise f(a) görüntü kümesini bulunuz. Yukarıdaki fonksion makinesi ve bu makinee giren bazı saılarla bu saıların çıktıları tabloda gösterilmiştir. Buna göre, f() in kuralını bulunuz. ÖRNEK 6 f = {(a, ), (b, ), (c, ), (d, 5)} bağıntısı bir fonksion ise tanım ve görüntü kümelerini bulunuz. ÖRNEK 9 f : A B, f() = fonksionunun görüntü kümesi f(a) = {,, } ise tanım kümesini bulunuz. ÖRNEK 7 f : A B, f() = + olmak üzere, A = {, } ve B = {,,, 5, 6} ise f(a) görüntü kümesini bulunuz. ÖRNEK f : [, ] R, f() = + olduğuna göre f([, ]) görüntü kümesini bulunuz. 59

6 Fonksion ÖRNEK f() = + 5 olduğuna göre f(a + ) f( a) = eşitliğini sağlaan a kaçtır? ÖRNEK f ( ) = + f ( ) olduğuna göre, f( + ) ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK f() = 5 olduğuna göre aşağıdakilerin herbirini bulunuz. a. f( ) + b. fe o c. f () ÖRNEK 5 f( ) = 6 + olduğuna göre, aşağıdakilerin herbirini bulunuz. a. f() b. f( ) c. f(9) ÖRNEK f( ) = m olmak üzere, f() = 6 eşitliğini sağlaan m kaçtır? ÖRNEK 6 f() = 7 olmak üzere, f( + ) fonksionunun f() cinsinden değerini bulunuz. 6

7 Fonksion ÖRNEK 7 f() = + olmak üzere f( ) fonksionunun f() cinsinden değerini bulunuz. ÖRNEK f() f( + ) = olduğuna göre f() f() ifadesinin eşiti kaçtır? ÖRNEK ÖRNEK 8 f() = + f( + ) ve f() = 8 olduğuna göre f() kaçtır? f : [, ] R, f() = olduğuna göre, f`[, ] j görüntü kümesini bulunuz. ÖRNEK 9 f() =.f( ) ve f() = olduğuna göre f() kaçtır? ÖRNEK f : [, ) R, f() = olduğuna göre, f`[, ) j görüntü kümesini bulunuz. 6

8 ALIŞTIRMALAR -. A = {,, } ve B = {,, 5, 6 } olmak üzere A B e tanımlanan aşağıdaki bağıntılardan hangileri fonksiondur? a. f = {(, ), (, ), (, ) } b. f = {(, 6), (, 5), (, ) } c. f = {(, ), (, ), (, 5), (, 6) } d. f = {(, ), (, ), (, 5) } e. f 5 = {(, ), (, )}. f() = + ve g() = + fonksionlarına göre aşağıdakileri bulunuz. a. f() b. fc m c. f() d. g(a ) e. g() f. fe o. Aşağıda grafiği verilen bağıntıların fonksion olup olmadığını tespit ediniz. = f() = g(). f : A B, f() = + fonksionu için A = {,,,, } ve B = {,,,,,, } olduğuna göre f(a) görüntü kümesini bulunuz. = h() 5. f : A R, f() = fonksionu için f(a) = {,, 5 } olduğuna göre A kümesini bulunuz. 5 = k() = eşitliğini sağlaan = f() fonksionunun kuralını bulunuz. 6

9 Fonksion 7. f : A B, f() = olduğuna göre, A kümesini bulunuz. ve f(a) = (, ). Aşağıdaki fonksionların görüntü kümelerini bulunuz. a. f : [, ] R, f() = b. f : [, ) R, f() = 8. Aşağıdaki fonksionların görüntü kümelerini bulunuz. c. f : [, ] R, f() = a. f : R R, f() =. f(n ) = + n.f(n) ve f() = b. f : R R, f() = olduğuna göre f() ifadesinin eşiti kaçtır? c. f : R R, f() =. f() =.f( + ) ve f(5) = 9 6 olduğuna göre f() ifadesinin değeri kaçtır? 9. f : A B, f() = + fonksionu için A = [, ) olduğuna göre f(a) görüntü kümesini bulunuz.. f() = olmak üzere, f( ) fonksionunun f() cinsinden değerini bulunuz.. f : A B, f() = + fonksionu için A = [, ] ise f(a) görüntü kümesini bulunuz. 5. f( + ) = olduğuna göre f( ) in f() türünden değerini bulunuz. 6

10 Fonksion BİR FONKSİYONUN GRAFİĞİ ÖRNEK 5 f : A B, f() = fonksionu verildiğinde f = {(, ) : = f(), A, B} kümesine düzlemde karşılık gelen noktaların oluşturduğu şekle f fonksionunun grafiği denir. = f( + ) ÖRNEK f() Yukarıda = f( + ) fonksionunun grafiği çizilmiştir. Buna göre f( ) + f( 5) f( ) kaçtır? Şekildeki grafik f() fonksionuna aittir. Buna göre; f( ), f(), f(), f() değerlerini bulunuz. ÖRNEK 6 Aşağıda grafiği verilen fonksionların tanım ve görüntü kümeleri bulunmuştur. İnceleiniz. ÖRNEK a. = f() Tanım kümesi: R, Görüntü kümesi: [, ) Yukarıda = f() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre f () in tanım ve görüntü kümelerini bulunuz. b. Tanım kümesi: [, ], Görüntü kümesi: [, ] 6

11 Fonksion ÖRNEK 7 Aşağıda grafiği verilen fonksionların tanım ve görüntü kümeleri bulunmuştur. İnceleiniz. a. ÖRNEK 9 f() = + m + n fonksionunun eksenini kestiği noktalar A(, ) ve B(, ) olduğuna göre m ve n değerlerini bulunuz. Tanım kümesi : [, ) Görüntü kümesi : [, ) b. Tanım kümesi : [, ) Görüntü kümesi : [, ) ÖRNEK = f() = f() fonksionunun grafiğinin (varsa) ekse- nini kestiği noktalar f() = denkleminin çözüm kümesinde bulunan elemanlardır. = f() in grafiği verilmiştir. Buna göre f() = denkleminin kaç gerçel kökü vardır? ÖRNEK 8 f() = fonksionunun eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır? 65

12 Fonksion ÖRNEK DOĞRUSAL FONKSİYON Kuralı bir doğru denklemi olan ( f() = a + b ) fonksionlara doğrusal fonksion denir. = f() Şekildeki grafik = f() fonksionuna aittir. Buna göre f() > eşitsizliğini sağlaan tam saılarının toplamı kaçtır? ÖRNEK f() doğrusal fonksion olmak üzere, f() = ve f() = 7 ise f() kaçtır? f() = a + b Doğrusal Fonksionunun Grafiği = a + b doğrusunun grafiğini çizmek için doğrunun geçtiği herhangi iki nokta bulunur. Eksenleri kestiği noktaları bulmak tercih edilir. ÖRNEK ÖRNEK f : R R, f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz. = f() 5 Şekildeki grafik = f() fonksionuna aittir. Buna göre f() eşitsizliğini sağlaan kaç tane tam saısı vardır? ÖRNEK 5 f : R R, f() = fonksionunun grafiğini çiziniz. 66

13 Fonksion ÖRNEK 7 b Aşağıda grafikleri verilen doğruların eğimlerini bulunuz. a a + b = a. b. eksenini ( a, ), eksenini (, b) noktalarında kesen doğrunun denklemi + = dir. a b O B(, ) A(, ) α B(, ) α A(, ) O ÖRNEK 6 = f() Konum = f() fonksionunun grafiği çizilmiştir. Buna göre f(), f() ve f( + ) ifadelerinin eşitini bulunuz. α t zaman t t Şekildeki konum zaman grafiğinde bir aracın t anındaki konumu t anındaki konumu dir. Δ = ve Δt = t t olmak üzere l doğrusunun eğimi olan T m l = tanα = Tt değeri t ile t süreleri arasındaki ortalama hızı gösterir. 67

14 Fonksion Fonksion ÖRNEK 8 Aşağıdaki fonksionların grafiklerini çizerek tanım ve görüntü kümelerini belirleiniz. a. = b. = ÖRNEK f : (, ] R, f() = fonksionunun grafiğini çizip görüntü kümesini bulunuz. BİRİM FONKSİYON f : A A fonksionunda f() = ise f fonksionuna birim fonksion denir. Başka bir ifadele tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü kendisine eşittir. Birim fonksion Ι() = biçiminde de gösterilir. A a a A ÖRNEK 9 f : [, ] R, f() = fonksionunun grafiğini çizip görüntü kümesini bulunuz. b b c c Şema ile ifade edilmiş olan Ι : A A fonksionu birim fonksiondur. ÖRNEK f : R R, f() = (a + ) + b fonksionu birim fonksion ise a + b kaçtır? 68

15 Fonksion SABİT FONKSİYON f : A B ve c B olsun. A için f() = c ise f fonksionuna sabit fonksion denir. A için f() = ise f fonksionuna sıfır fonksionu denir. Sıfır fonksionu da özel bir sabit fonksiondur. KOLAYLIK Tanımlı olduğu bölgede a + b f () = c + d a b sabit fonksion ise = dir. c d f A B 6 f () = fonksionu sabit fonksiondur. g C D g () = fonksionu sıfır fonksionudur. ÖRNEK Tanımlı olduğu bölgede + m f() = + sabit fonksion ise m kaçtır? ÖRNEK f : R R, f() = (a 5) + a fonksionu sabit fonksion ise f() kaçtır? EŞİT FONKSİYONLAR f : A B ve g : A B iki fonksion olsun. A için f() = g() ise f ile g fonksionlarına eşit fonksionlar denir ve f = g şeklinde gösterilir. ÖRNEK 5 A = {, 6} ve B = {, 5, 7 } olmak üzere f : A B, f() = + sabit fonksi- ÖRNEK Tanımlı olduğu bölgede, f() = on ise a reel saısı kaçtır? + a g : A B, g() = fonksionları eşit fonksionlar mıdır? 69

16 ALIŞTIRMALAR -.. Aşağıdaki tablonun sol sütununda bulunan fonksionların grafiklerini sağ sütundan bulup eşleştiriniz. 5 a f() = + f : A B fonksionunun grafiğine göre aşağıdaki boşlukları doldurunuz. b a. f() fonksionunun tanım kümesi... dir. b. f() fonksionunun görüntü kümesi... dir. f() = c. f() + f() =... dir. d. f(a) = ise a =... dir. e. f(a) = ise a =... dir. f. f() =... dir. c f() = d f() =. f() = fonksionunun eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır?. f() = a + b fonksionu eksenini A(, ) ve B(, ) noktalarında kestiğine göre a + b kaçtır? 5. f() doğrusal fonksionu için f() = ve f() + f() = olduğuna göre, f() kaçtır? 7

17 Fonksion 6. Aşağıdaki fonksionların tanım(t) ve görüntü(g) kümelerini bulunuz. a. 9. f() = ( a) + a fonksionu birim fonksion olduğuna göre, f(a) kaçtır? = f(). f() = a + fonksionu sabit fonksion olduğuna göre, b. f(a) kaçtır? = g(). f() = + a 7. fonksionu tanımlı olduğu değerler için sabit fonksion ise f(a) kaçtır? 5. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutua D anlış olanlar için Y azınız. = f( ) f() = (a ) + fonksionunun sabit fonksion olması için a = olmalıdır. Şekildeki grafik = f( ) fonksionuna aittir. Buna göre f( ) + f() + f(5) ifadesinin eşiti kaçtır? Tanımlı olduğu değerler için f() = sabit fonksiondur. 8. f() = a + (b + ) + c + fonksionu birim fonksion olduğuna göre, a + b + c kaçtır? f() = (a ) fonksionunun birim fonksion olması için a = olmalıdır. Her fonksion bir bağıntıdır ama her bağıntı bir fonksion değildir. 7

18 Fonksion f() = n (n Z ) BİÇİMİNDEKİ FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ Bu bölümde f() = n fonksionlarının n =,,, değerleri için grafiklerini çizeceğiz. n = için f() = doğrusu elde edileceğinden ve doğru grafiklerini de daha önce çizdiğimizden n = n = ve n = için oluşacak; f() =, f() = ve f() = f() = Fonksionunun Grafiği f() = fonksionunun grafik çizimini de aşağıdaki değer tablosu ardımıla apacağız. f() = 8 8 Tablodaki bilgileri koordinat düzlemine taşırsak aşağıdaki grafiği elde ederiz. fonksionlarının grafik çizimlerini değer tabloları ardımıla apacağız. 8 = f() = Fonksionunun Grafiği f() = a fonksionlarının grafik çizimlerini ilerideki sınıflarda arıntılı olarak öğreneceksiniz. Bu fonksi- onların özel bir durumu olan f() = fonksionunun grafik çizimini ise aşağıdaki tablodan ararlana- rak apacağız. f() = Tablodaki bilgileri koordinat düzlemine taşırsak aşağıdaki grafiği elde ederiz. Siz de değer tablosu ardımıla aşağıda grafikleri kabaca çizilmiş olan f() = ve f() = fonksionlarının grafiklerini çiziniz. f() = 9 = 5 5 = 7

19 Fonksion f() = = f() = Fonksionunun Grafiği fonksionunun grafik çizimini de aşağıdaki değer tablosu ardımıla apacağız. f() = tanımsız BİRE BİR FONKSİYON Boş olmaan A ve B kümeleri için f : A B fonksionunun tanım kümesindeki her farklı elemanın görüntüsü farklı ise, f fonksionuna bire bir fonksion denir. a, b A için, a b f(a) f(b) a da f(a) = f(b) a = b koşulu sağlanıorsa f fonksionu bire birdir. f() = A a b c f B A a b c f B f bire birdir. f bire bir değildir. ÖRNEK 6 f : R R, f() = + fonksionunun bire bir olup olmadığını araştırınız. Siz de değer tablosu ardımıla aşağıda grafiği kabaca çizilmiş olan f() = fonksionunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK 7 f : R R, f() = fonksionu bire bir midir? f() = ÖRNEK 8 f : R R, f() = 5 fonksionu bire bir midir? 7

20 Fonksion Yata Doğru Testi eksenine (tanım kümesine) paralel çizilecek doğruların tamamı grafiği birden fazla noktada kesmiorsa fonksion bire birdir. ÖRNEK 5 f : R R, f() = fonksionunun grafiğini çizip bire bir olup olmadığını tespit ediniz. ÖRNEK 9 = g() eksenine paralel çizdiğimiz doğrular, grafiği en çok bir noktada kestiğinden = g() bire birdir. ÖRNEK 5 f : R + R, f() = fonksionunun grafiğini çizip bire bir olup olmadığını ÖRNEK 5 tespit ediniz. = f() eksenine paralel olan doğrusu grafiği birden çok noktada kestiğinden = f() bire bir değildir. ÖRNEK 5 f : R R, f() = + fonksionunun grafiğini çizip bire bir olup olmadığını tespit ediniz. ÖRNEK 5 f : R R, f() = fonksionunun grafiğini çizip bire bir olup olmadığını tespit ediniz. 7

21 Fonksion ÖRTEN FONKSİYON f : A B fonksionu için f(a) = B ise ani görüntü kümesi değer kümesine eşit ise f fonksionu örten fonksiondur. ÖRNEK 57 f : R R, f() = + fonksionu örten midir? A f B A g B a b c a b c ÖRNEK 58 f : R R, f() = fonksionu örten midir? f : Örten de il f(a) B g : Örten g(a) = B ÖRNEK 55 A = {,, } ve B = {,, } olmak üzere, f : A B, f() = + fonksionunun bire bir ve örtenliğini araştırınız. Değer kümesinin her elemanı için eksenine paralel çizilen tüm doğrular fonksionun grafiğini en az bir noktada kesiorsa bu fonksion örtendir. ÖRNEK 59 f() = ÖRNEK 56 f : Z Z, f() = fonksionu örten midir? eksenine paralel çizilen doğrular grafiği en az bir noktada kestiğinden = f(), R R e örtendir. ÖRNEK 6 f() = eksenine paralel çizilen doğrulardan biri olan doğrusu grafiği kesmediğinden = f(), R R e örten değildir. 75

22 Fonksion PARÇALI FONKSİYON Tanım kümesinin alt aralıklarında farklı birer fonksion olarak tanımlanan fonksiona parçalı fonksion denir. f() = * +,, < fonksionu bir parçalı fonksiondur. Tanım aralığının (, ) ve [, ) alt aralıklarında fonksionun kuralı sırasıla f() = ve f() = + dir. = fonksionun kritik noktasıdır. ÖRNEK 6 +, f() = *, >, g() = *, < fonksionları için (f + g)() fonksionunu bulunuz. ÖRNEK 6 f() = * +,, < fonksionuna göre, f() ve f( ) değerlerini bulunuz. ÖRNEK 6 ÖRNEK 6 Z ] +, > ] f() = [ ] + ], \ olduğuna göre, f ( + ) fonksionunu bulunuz. f() = * +,, > olmak üzere f(a) = eşitliğini sağlaan a değerini bulunuz. 76

23 Fonksion ÖRNEK 65 +, < f() = *, parçalı fonksionunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK 66 f() = *, <, fonksionunun grafiğini çiziniz. 77

24 Fonksion ÖRNEK 67 Z, < ] f() = [, < ] \, fonksionunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK 68 +, f() = * +, < olmak üzere, f() fonksionunun grafiğini çiziniz. 78

25 Fonksion MUTLAK DEĞER FONKSİYONU Z f ( ), ] f() = [, ] f ( ), \ f ( ) > f ( ) = f ( ) < biçiminde tanımlanan = f() fonksionuna mutlak değer fonksionu denir. f() = eşitliğini sağlaan değerleri fonksionun kritik noktalarıdır. ÖRNEK 7 f() = + fonksionunu parçalı biçimde ifade ediniz. ÖRNEK 69 f() = fonksionunu parçalı biçimde azınız. Mutlak Değer Fonksionunun Grafiği Mutlak değer fonksionunun grafiğini çizerken fonksion önce parçalı biçimde azılır, sonra da grafiği çizilir. ÖRNEK 7 f() = fonksionunu parçalı biçimde azıp grafiğini çiziniz. ÖRNEK 7 f() = + fonksionunu parçalı biçimde azınız. 79

26 Fonksion KOLAYLIK = f() fonksionunun grafiği çizilirken önce = f() in grafiği çizilir. Bu grafiğin ekseninin negatif bölgesine taşan kısmının eksenine göre simetriği alınır. ÖRNEK 7 Aşağıda bazı fonksionlarla bu fonksionların mutlak değerlerinin grafikleri çizilmiştir. İnceleiniz. a. = = = f() = f() b. = ÖRNEK 7 Aşağıdaki fonksionların grafiklerini çiziniz. = a. f : R R, f() = b. f : R R, f() = + c. = = d. = = e. = = 8

27 Fonksion = f() + g() Fonksionunun Grafiği = f() + g() fonksionunun grafiği çizilirken f() = için kritik noktalar bulunup fonksion parçalı biçimde azılır ve bu parçalı fonksionun grafiği çizilir. ÖRNEK 77 f : R R, f() = + fonksionunu parçalı biçimde azıp grafiğini çiziniz. ÖRNEK 75 f : R {} R, f() = fonksionunu parçalı biçimde azıp grafiğini çiziniz. ÖRNEK 76 f : R R, f() = fonksionunu parçalı biçimde azıp grafiğini çiziniz. ÖRNEK 78 f : R R, f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz. 8

28 Fonksion ÖRNEK 79 f : R R, f() = + fonksionunu parçalı biçimde azıp grafiğini çiziniz. KOLAYLIK f() = a + b fonksionunun en küçük değeri : f(a) = f(b) = a b olup ( a, f( a)) ve ( b, f( b)) kırılma noktalarıdır. a b a b ÖRNEK 8 f : R R, f() = + + fonksionunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK 8 f : R R, f() = + + fonksionunu parçalı fonksion biçiminde azıp grafiğini çiziniz. ÖRNEK 8 f : R R, f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz. 8

29 Fonksion ÖRNEK 8 f : R R, f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK 8 f : R R, f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK 85 KOLAYLIK f : R R, f() = fonksionunun grafiğini çiziniz. f() = a b fonksionunun; en küçük değeri f(a) = a b en büük değeri f(b) = b a dır. ( a, f( a)) ve ( b, f( b)) kırılma noktalarıdır. b a a b a b 8

30 ALIŞTIRMALAR -. Aşağıdaki fonksionlardan hangileri bire bir fonksiondur? a. f : R R, f() = + 5 b. g : R R, g() = c. h : R + R, h() = + d. k : R + R, k() =. Aşağıdaki fonksionlardan hangileri örten fonksiondur? a. f : R R, f() = b. g : R R, g() = + c. h : Z Z, h() = d. k : R R, k() =. Aşağıdaki fonksionlardan hangileri bire bir fonksiondur. a. f. Aşağıdaki fonksionlardan hangileri R R e örtendir? a. f b. g b. g c. h c. h d. k d. k 8

31 Z, > ] 5. f() = [, = ], < \ olduğuna göre, f( ) + f() + f() ifadesinin eşitini bulunuz., 9. f() = *, < fonksionunun grafiğini çiziniz. Fonksion 6. f : A [ 6, ], f() = fonksionu bire bir ve örten ise tanım kümesini bulunuz. +, <. f() = *, fonksionunun grafiğini çiziniz. 7. f : R R, f() = fonksionunun görüntü kümesini bulunuz.,. f() = *, > fonksionunun grafiğini çiziniz., < 8. f() = * +, olmak üzere, f(m) = 5 eşitliğini sağlaan m değerini bulunuz. Z, ]. f() = [, ], \ < > fonksionunun grafiğini çiziniz. 85

32 Fonksion Z +, ]. f() = [, ] \, < < fonksionunun grafiğini çiziniz. 7. Aşağıdaki tablonun sol sütununda bulunan fonksionların grafiklerini sağ sütunda bulup eşleştiriniz. a =. f : R R, f() = fonksionunun grafiğini çiziniz. b = 5. f : R R, f() =. fonksionunun grafiğini çiziniz. c = d = + 6. f : R R, f() = + + fonksionunun grafiğini çiziniz. e 5 = + 86

33 Yazılıa Hazırlık Soruları. Aşağıda sol sütunda verilen ve örten fonksionların görüntü kümelerini sağ sütundan bulup eşleştiriniz. a f : [, ] A, f() = [, ]. A = {a, b, c } ve B = {,,,, 5 } olmak üzere, A B e tanımlanan aşağıdaki bağıntıların fonksion olup olmadığını araştırınız. a. f = {(a, ), (b, ), (c, ) } b c f : [, 7] B, f() = f : [, 7] C, f() = + [, ] [ 7, 7] b. f = {(a, ), (a, ), (b, ), (c, 5) } c. f = {(a, ), (b, ), (c, ) } d. f = {(a, ), (b, ) }. f( + ) + f( ) = fonksionuna göre, f(5) f( ) ifadesinin eşiti kaçtır? 5. f( ) = + olduğuna göre f( + ) fonksionunun fe o cinsinden değerini bulunuz.. f : [, ] R, f() = 6 + fonksionunun görüntü kümesini bulunuz. 6. f() = * +,, $ fonksionunun grafiğini çiziniz. 87

34 Fonksion 7. = f ( ) 9. = f() Şekildeki grafik = f() fonksionuna aittir. Şekildeki grafik = f( ) fonksionuna aittir. Buna göre f( 7) + f( ) f( ) ifadesinin eşiti kaçtır?.f() eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. 8. f() = + fonksionunu parçalı fonksion biçiminde azıp grafiğini çiziniz.. f() = + fonksionunu parçalı fonksion biçiminde azıp grafiğini çiziniz. 88

35 TEST - Fonksionlar. Aşağıdaki bağıntılardan hangisi A dan B e bir fonksion değildir? A) A B B) A B 5. f : A B, f() = ve A = {,,, } olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi f() fonksionunun görüntü kümesinin elemanı değildir? A) B) C) D) 5 E) 8 C) A B D) A B 6. f : A B, f() = +, f(a) = {, 5, 8, 9} E) A B. f : R R, f() = (a b) + a + b olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi A tanım kümesinin elemanı değildir? A) B) C) D) 5 E) 6 fonksionu birim fonksion ise a.b kaçtır? A) B) C) D) E) 7. f : A B, f() = ve A = (, 5] olduğuna göre f( A) görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?. a.f() =.f() + b. eşitliğini sağlaan f() sabit fonksion ise a.b kaçtır? A) [, ) B) [, ) C) (, ] D) (, 7] E) [, 7) A) B) C) D) E). f() doğrusal bir fonksiondur. f() = ve f() = olduğuna göre, f() kaçtır? A) B) C) D) E) 5 8. f( + ) = f() ve f() = olduğuna göre f(8) kaçtır? A) B) C) D) 6 E) 8 89

36 Fonksion Z, > ] 9. f() = [, = ] \, < fonksionu için f() + f() + f() toplamının sonucu nedir? A) B) 6 C) 8 D) E). f Şekildeki grafik = f() fonksionuna aittir. f( ) + f( ) + f() f() f() ifadesinin eşiti nedir?. f : R R, f( + ) = + 5 A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) olduğuna göre f() = k eşitliğini sağlaan k kaçtır? A) B) 5 C) 6 D) 8 E) 9 f() = (m ) + m 6 fonksionunun grafiği eksenini apsisli noktasında kesiorsa eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır? A) B) C) D) E) Z ],. f() = [ ], < \ fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D). f() = olduğuna göre f( ) fonksionunun f() E) türünden azılışı hangisidir? A) f() B) f() C) f() + D) f() E) f() + 9

37 TEST - Fonksionlar. Aşağıdaki grafiklerden hangisi bir fonksion grafiği değildir?. f() doğrusal fonksion olmak üzere, f() = 5 ve f( ) = ise f() kaçtır? A) B) A) 6 B) 5 C) D) E) C) D) 5. f( + ) = m ve f() = 5 olduğuna göre m kaçtır? E) A) B) C) D) E). Aşağıdaki fonksionlardan kaç tanesi bire birdir? 6. f() + f( + ) = I. f : R R, f() = II. f : R R, f() = + III. f : R R, f() = IV. f : R + R, f() = V. f : R R, f() = + A) B) C) D) E) 5 fonksionu için f() f(5) f(6) işleminin sonucu nedir? A) B) C) 6 D) 8 E). f() = (a ) + b + g() = (c + ) + a.b olmak üzere, f() birim fonksion ve g() sabit fonksion ise a + b + c kaçtır? A) B) C) D) E) 7. f : [, ] R, f() = fonksionunun görüntü kümesinde kaç farklı tam saı vardır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 9

38 Fonksion 8. f : A B, f() = ve f(a) = [, 7]. f( + ) olduğuna göre A kümesi aşağıdakilerden 6 hangisidir? A) (5, ) B) [5, ] C) (6, ) D) [6, ] E) [6, ] Şekilde f( + ) fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre, f() + f( ) + f(6) ifadesinin değeri kaçtır? A) B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 9. f() =.f() + ve f( ) = olduğuna göre f( 6) kaçtır? A) 6 B) 8 C) D) E). f( + ) =.f() ve f() =. f() = + fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) olduğuna göre, f() kaçtır? A) 6 B) 5 C) D) E) C) D). f() = olduğuna göre f( + ) in f() cinsinden değeri nedir? E) A) f ( ) B) f ( ) C) f() D) f() E) f () 9

39 TEST - 5 Fonksionlar a +. fc m = ve f(5) = olduğuna göre a kaçtır? 9 7 A) 5 B) C) D) E) Z ], < ]. f() = [, < ] +, \ fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B). C) D) Şekildeki grafik aşağıdaki fonksionlardan han- gisine ait olabilir? A) f() = + + B) f() = + + C) f() = + + D) f() = + E) E) f() = + 5. f() = + fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?. A) B) C) D) Şekildeki grafik aşağıdaki fonksionlardan hangisine ait olabilir? A) = + B) = + C) = + D) = + E) E) = + 97

40 Fonksion 6. f() = + + fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) +, 8. f() = *, < fonksionunun eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) B) + C) + D) E) C) D) 9. E) Şekildeki grafik aşağıdaki fonksionlardan hangisine ait olabilir? A) = + 7. f() = + fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? B) = C) = + D) = E) = + A) B). C) D) Şekildeki grafik aşağıdaki fonksionlardan hangisine ait olabilir? E) A) f() = + B) f() = + + C) f() = + D) f() = + + E) f() = + 98

41 Üniversitee Giriş Sınav Soruları. 977 ÜSS. 985 ÖYS f(ab) = f(a) + f(b) olduğuna göre, f() in değeri nedir? A) B) C) a D) b E) ab Şekilde verilen grafiğin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) = + B) = C) = D) = E) = ÖYS. 978 ÜSS a a a Grafiği verilen fonksion aşağıdakilerden hangisidir? a A) = B) = + a a C) = a D) = a f() doğrusal fonksionu için f() = ve f() = olduğuna göre, f() kaçtır? A) B) C) D) E) ÖYS f( + ) = + olduğuna göre, f() kaçtır? E) = a A) 5 B) C) D) E). 98 ÖYS ÖSS Bir = f() fonksionunun grafiği ukarıda verilmiştir. f[f()] = olduğuna göre, in değeri nedir? A) 7 B) 6 C) 5 D) E) f() = + olduğuna göre, f( + ) değeri nedir? A) + B) C) D) E) + 99

42 Fonksion ÖYS f() =. 99 ÖSS fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) Yukarıda grafiği verilen f() doğrusal fonksio- nu aşağıdakilerden hangisidir? C) D) A) = B) = C) = D) = + E) = + E). 996 ÖYS f() =.f( ), f(5) = 6 olduğuna göre, f() değeri kaçtır? A) B) C) D) E) ÖYS f() = olduğuna göre, f() in f() cinsinden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? A) f() B) [f()] C) f() D) [f()] E) [f()]. 99 ÖYS f() : R R f() =.f( + ), f() = olduğuna göre, f() değeri kaçtır? A) B) C) D) 8 E) ÖSS f() : R R f() = + f( + ) f() = olduğuna göre, f() nin değeri kaçtır? A) B) C) D) E)

43 Fonksion. 998 ÖSS Bir f fonksionu, Her bir pozitif tam saıı kendisi ile çarpımsal tersinin toplamına götürüor şeklinde tanımlanmıştır. Bu fonksion aşağıdakilerden hangisi ile gösterilebilir? A) f() = + B) f() = C) f() = + E) f() = + D) f() = 7. 8 ÖSS Aşağıda A = {a, a, a } ve B = {b, b, b, b, b 5 } kümeleri verilmiştir. A f B a b b a a b b b 5 A dan B e f(a ) = b olacak biçimde kaç tane birebir f fonksionu tanımlanabilir? A) B) C) 6 D) E) ÖSS 8. 9 ÖSS f() = olduğuna göre, f( ) f() aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) C) D) E) + 5 f() O 5 Yukarıda grafiği verilen f () fonksionu için [ 5, 5 ] aralığında f() = eşitliğini sağlaan kaç tane değeri vardır? 6. 7 ÖSS R den R e f() = + ile tanımlı f fonksionu için, f(a + b ) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? fa ( + b) fa ( + b) A) B) 9 7 C) E) fa ( ). fb ( ) 9 fa ( ). fb ( ) 8 D) fa ( ). fb ( ) 7 A) B) C) 5 D) 6 E) 7 9. YGS f() = g() = fonksionları için g(f()) kaçtır? A) B) C) 5 D) 7 E) 9

44 Fonksion. LYS Gerçel saılardan gerçel saıların bir K alt kümesine tanımlı f() = * + 8, < +, fonksionu örten olduğuna göre, K kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) [, ) B) [5, ) C) [, 5]. YGS Gerçel saılar kümesinde tanımlı I. f() = II. g() = + III. h() = fonksionlarından hangileri bire birdir? A) I ve II B) Yalnız I C) I, II ve III D) I ve III E) Yalnız II D) (, 5) E) (, ). LYS fc m = + + olduğuna göre, f() değeri kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E). LYS Aşağıda f fonksionunun grafiği verilmiştir. f(). LYS g() = f( ) olduğuna göre, g( ) + g(5) toplamı kaçtır? A) B) C) D) E) O 7 Yukarıda grafiği verilen f fonksionunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) [, ) [, 7) B) (, ) (, 7] C) [, ] (, 7) D) (, ) (, 7] E) [, ) (, 7] 5. LYS f fonksionu n tam saıları için, f(n) =.f(n ) + eşitliğini sağlıor. f() = olduğuna göre, f() kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E)

45 Fonksion 6. LYS Z tam saılar kümesi olmak üzere, f : Z Z fonksionu,, ise f() = * +, $ ise biçiminde tanımlanıor. Buna göre, I. f bire birdir. 8. YGS R gerçel saılar kümesi üzerinde tanımlı bir f fonksionu Her [, ] için f() = Her R için f() = f( + ) özelliklerini sağladığına göre, f(7) değeri kaçtır? A) B) C) 6 D) 7 E) 9 II. f örtendir. III. f nin görüntü kümesi Z \ { } dır. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I ve III 9. YGS A = {,,,, 5, 6 } olmak üzere, f : A A fonksionu bire birdir. Buna göre, f() + f() + f() + f() toplamının alabileceği en büük değer ile en küçük değer arasındaki fark kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 7. LYS Gerçel saılar kümesi üzerinde tanımlı bir f fonksionu, her gerçel saısı için f() < f( + ) eşitsizliğini sağlıor. Buna göre, I. f() < f(5) II. f( ) < f() III. f() + f() <.f() ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III. YGS I. f() = II. f() = III. f() = fonksionlarından hangileri, her a ve b gerçel saısı için f(a + b) = f(a).f(b) eşitliğini sağlar? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) II ve III

46 Fonksion