SORULAR. x=l. Şekil-1

Transkript

1 FİZ Titreşimler ve Dalgalar: Dönem Sonu Sınavı 13 Ocak 2012; Sınav süresi: 150 dakika Adı-Soyadı: No: Şubesi: İmza: Soru Puan 1 18: a=12, b=6 2 18: a=6,b= : a=4,b=4,c=4,d=6 4 18: a=4,b=6,c=6,d=2 5 18: a=6,b=6,c=6 6* 10: a=5,b=5 7* 10: a=5,b=5 Toplam 100 Not: 6*. ve 7.* sorularından sadece birisi yanıtlanacak. SORULAR 1. Uzunluğu L, boyca kütle yoğunluğu µ olan bir tel T gerilimi altındadır. Şekil-1 de görüldüğü gibi telin sol ucu (xx = 0) sabit bir desteğe, sağ ucu (xx = LL) ise düşey doğrultuda y(xx = LL, tt) = AAAAAAAAwwtt fonksiyonu ile tanımlı küçük titreşimler yapan bir tabla üzerindeki desteğe bağlıdır. y x=l yy(xx = LL, tt) = AAAAAAAAwwtt Şekil-1 a) ww nın keyfi bir değeri için telin n. modunun titreşimlerini tanımlayan yy nn (xx, tt) fonksiyonunu AA, ww, TT, μμ ve LL cinsinden belirleyiniz. b) LL = 0,5 m, TT = 400 NN ve µ = 0,01 kg/m olduğunda ilk iki rezonans frekansının değeri nedir? x 2. Kütleleri mm olan özdeş üç parçacık, kuvvet sabiti kk olan dört özdeş yayla şekil-2 deki gibi bağlıdır. Sistem sürtünmesiz bir masa üzerinde, yatay doğrultuda, boyuna küçük titreşim hareketleri yapmaktadır. Şekildeki xx 1, xx 2 ve xx 3 1, 2 ve 3 nolu kütlelerin denge konumundan itibaren olan yer değiştirmelerini göstermektedir. xx 1 = AA 1 ccccccwwtt, xx 2 = AA 2 ccccccwwtt ve xx 3 = AA 3 ccccccwwtt şeklinde çözümler olduğunu kabul ediniz. Şekil-2 a) 1, 2 ve 3 nolu kütlelerinin hareket denklemlerini yazınız. b) Hareket denklemlerini kullanarak sistemin normal açısal frekanslarınının ww 1 = [(2 2) kk mm ]1/2, ww 2 = (2kk/mm) 1/2 ve ww 3 = [(2 + 2) kk mm ]1/2 olduğunu gösteriniz.

2 3. Kütlesi 0,25 kkkk olan bir blok, kuvvet sabiti kk = 25 NN/mm olan bir yayın ucuna bağlı olarak sürtünmeli yatay düzlemde kritik altı sönümlü harmonik hareket yapıyor. Hareketin frekansı (ww) ile sönümsüz hareketin frekansı (w 0 ) arasındaki ilişkinin ww 2 2 = 0,96ww 0 olduğu gözlemleniyor. a) Hareketin sönüm sabiti bb nin değerini bulunuz. b) Hareketin genliğinin zamana bağlı değişimini belirleyiniz ve grafiğini çiziniz. c) Mekanik enerjinin, genliğin karesi ile orantılı olduğunu biliyorsunuz. Mekanik enerjinin başlangıç değerinin 1/ee sine düşmesi için geçen süreyi bulunuz. d) Mevcut sistemdeki kütleye dışarıdan FF(tt) = 2cccccccccc (NN cinsinden) ile tanımlı bir sürücü kuvvet uygulanıyor. Kararlı durum genliğini maksimum yapan açısal frekansı (rezonans frekansı), genlik için verilen AA(ww) bağıntısını kullanarak türetiniz ve sayısal değerini hesaplayınız. 4. Boyca kütle yoğunluğu 0,1 kkkk/mm olan uzun bir tel, boyca kütle yoğunluğu 0,4 kkkk/mm olan başka bir uzun tele bağlanmış ve teller 1,6 NN luk bir gerilim altındadır. Genliği 3,0 cccc ve dalga boyu 25 cccc olan enine bir sinüzoidal dalga, az yoğun telden çok yoğun tele doğru ilerlemektedir. a) Gelen dalganın açısal frekansını ve bir dalga boyluk kısmındaki mekanik enerjisini bulunuz. b) Yansıyan dalganın dalga boyunu, genliğini ve bir dalga boyluk kısmındaki mekanik enerjisini bulunuz. c) Geçen dalganın dalga boyunu, genliğini ve bir dalga boyluk kısmındaki mekanik enerjisini bulunuz. d) Gelen, yansıyan ve geçen dalgaların mekanik enerjileri arasında nasıl bir ilişki vardır? 5. Derin sularda ilerleyen bir su dalgasının dalga boyu, suyun derinliğine kıyasla küçük olduğu durumda, dalganın açısal hızı ww ve dalga sayısı kk arasındaki ilişki ww = gkk + SSkk3 1/2 ρρ dispersiyon bağıntısı ile verilmektedir. Burada g (= 10 m/s 2 ) yer çekimi ivmesi, SS suyun yüzey gerilimi ve ρρ suyun yoğunludur. Bir okyanustaki su dalgasının dalga boyu λ = 100 mm, suyun yüzey gerilimi SS = 7, NN/mm ve yoğunluğu ρ = 1, kkkk/mm 3 olarak verilmektedir. a) Bu dalganın faz hızını (v f ) ve grup hızını (v g ) veren ifadeleri türetiniz. b) Uzun dalga boyu yaklaşımında bu ifadeler hangi değerlere yaklaşır. Bu yaklaşımda, okyanus suyu için verilen sayısal değerleri kullanarak, v f ve v g değerlerini hesaplayınız. c) Derin sularda oluşan dalganın faz hızı hangi dalga boyunda minimum olur ve özellikleri verilen okyanus suyundaki değeri nedir? 6. Ses dalgasını boyuna yer değiştirmenin veya basıncın düzlem harmonik dalgası şeklinde olduğunu kabul ediniz. Düzlem harmonik yerdeğiştirme dalgası ξξ(xx, tt) = AAAAAAAA(kkkk ωωωω) şeklinde ifade edilebilir. a) Düzlem harmonik basınç dalgası pp(xx, tt) ile düzlem harmonik yerdeğiştirme dalgasının ξξ(xx, tt) genlikler oranı ( pp mmmmmm ) ve faz farkı nedir? ξξ mmmmmm b) Orta şiddette bir ses dalgasında atmosfer basıncı çevresindeki maksimum basınç değişimi 3xx10 2 Pa olarak verilmektedir. Frekans ff = 2000 HHHH ise bu basınç değişimine karşılık gelen maksimum yerdeğiştirmeyi bulunuz. Sesin havadaki hızını vv = 342 mm/ss ve havanın yoğunluğunu ρ = 1,20 kkkk/mm 3 alınız. 7. Aynı ortamda ilerleyen iki elektromanyetik dalganın elektrik alanları EE 1 = EE 0 ssssss(kkkk wwww) ve EE 2 = EE 0 ssssss(kkkk + wwww) ifadeleri ile verilmektedir. a) Bu dalgalarının üst üste gelmesi sonucu bir duran dalga oluşacağını gösterin. b) Düğüm ve karın noktalarının yerlerini λ dalga boyu cinsinden belirleyiniz.

3 Titreşimler için genel diferansiyel denklemi: xx +γγxx +ww 0 2 xx = ff 0 cos(wwww), ff 0 =F 0 /m Çözümler: xx(tt) = AAee γγγγ 2 cos( ww 0 2 γγ 2 4 tt) + xx ssss(tt), ww 0 > γγ 2 xx(tt) = (AA + BBBB)ee γγγγ 2 + xx ssss (tt), ww 0 = γγ 2 BAZI BAĞINTILAR xx(tt) = AAee ( γγ 2 +ββ)tt + BBee (γγ 2 +ββ)tt + xx ssss (tt), ww 0 < γγ 2 Kararlı Durum (steadystate) çözümü: xx ssss (tt) = AA(ww) cos[wwww δδ(ww)] olup burada ff 0 AA(ww) = vvvv tan δδ(ww) = ( (ww 2 0 ww 2 ) 2 +γγ 2 ww 2 1/2 ββ = ( γγ2 4 ww 0 2 ) 1/2 γγγγ ww 2 0 ww 2) dir yy(xx,tt) = 1 2 yy(xx,tt) ; 2 vv 2 2 yy(xx, tt) = aa sin ww xx + bb cos ww xx [cc sin wwww + dcos wwww] vv vv mm pp dd 2 xx pp ddtt 2 + kk pp(xx pp - xx pp 1 ) +kk pp+1 (xx PP - xx pp+1 ) = RR 12 = μμ 1 μμ 2 μμ 1 + μμ 2 TT 12 = 2 μμ 1 μμ 1 + μμ 2 EE = 1 2 μμww2 AA 2 λ pp(xx, tt) = BB ξξ(xx,tt) vv = TT μμ vv = BB ρρ vv = γγγγ ρρ vv = γγγγγγ mm kk = 2ππ λλ Başarılar, Prof. Dr. Hüseyin Çelik ve Prof. Dr. Leyla Yıldırım

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17