d) x TABAN ARĐTMETĐĞĐ

Transkript

1 YILLAR ÖSS-YGS TABAN ARĐTMETĐĞĐ Genel olarak 10 luk sayı sistemini kullanırız fakat başka sayı sistemlerine de ihtiyaç duyarız Örneğin bilgisayarın temeli lik sayı sistemine dayanır Değişik sayı sistemleriyle de her işlem yapılabilir ( a b, c, d) x, sayısı x lik sayı sistemine göre yazılmıştır Burada; 1) x > 1 olmak zorundadır ) a,b,c,d sayıları da x ten küçük olmalı örneğin ( ) 1 veya () gibi sayılar yazılamaz 10 luk sistemdeki 91 sayısını inceleyelim Birler basamağı Onlar basamağı Yüzler basamağı Binler basamağı abc sayısının çözümlenmiş şekli; abc 10 a b + c 100a + 10 b + c, (,7) Herhangi Bir Tabandaki Bir Sayının 10 Tabanında Yazılması: ( ) ( 101) Örnek( 1 ) ( 10 ) a+ a ise a? ( 10 ) a+ a 1a a + a a a veya a0 bulunur a0 olamayacağından a tür Örnek( ) ( ) 7 sayısı 10 tabanında kaçtır? 88) ( ) (ÖSS- Örnek( ) 10 ve m sayı tabanını göstermek üzere ( 97) 10 (1) m ise m? (C: ) (ÖSS-97) ( 97) 10 (1) m 97 m +m+1 m +m-90 m +m-80 (bu aşamadan sonra ya çarpanlara ayırma yolu ile m bulunur, yada değer vererek bulunur Tercih size kalmış biz çarpanlara ayırmadan yapalım m +m-8(m-)(m+8)0 buradan m-0 m m+8 0 m-8 taban negatif olamayacağından cevap dır wwwglobalderscom 1

2 Tek ve Çift Sayılar: ( abcd) x için x tek iken; a+b+c+d toplamı tek ise tek, çift ise sayı da çifttir x çift iken; d tek ise sayı tek, d çift ise sayı da çifttir ( 10010),(1) çift ( 1010) çift ( 1011) ) tek 10 Tabanındaki Bir Sayının Herhangi Bir tabanda Yazılması: Çevrilecek sayı sürekli tabana bölünür ( 000 ) en sağdan başlamak kaydıyla değerler yazılır Sonuç : ( 000 ) Sizde aşağıda değerleri verilmiş çevrimleri yaparak sonuçlarla karşılaştırınız 1( 1000 ) 8( 00 ) Örnek( ) sayısını 11 tabanında yazınız wwwglobalderscom Burada farklı bir durumla karşı karşıyayız Zira 10 iki rakamdan oluşuyor Olduğu gibi yazarsak iki basamak görevi görür Buna şöyle bir çözüm bulacağız 9 dan sonraki iki basamaklı her rakam için bir harf atayacağız (10A, 11B, 1C gibi) A olur o halde cevabımız ( ) 11 Örnek( ) + + () Bu tür sorularda en büyük taban kuvvetini baz alarak bir şablon hazırlayıp yanlardaki değerleri altlara yazacağız ( ) ( ) o halde sonuç ( ) olur Örnek( ) () Bu soruda tabanın yanındaki değerler tabandan büyük O yüzden önce ifadeyi düzenlemeliyiz (+ ) + (+ 1) + ( + ) bir düzenleme daha gerekli + (+ 1) şimdi en büyük taban kuvveti olduğundan; ( ) ( 1 0) Örnek( 7 ) tabanında yazılabilecek rakamları farklı en büyük sayı, en küçük sayıdan kaç fazladır?

3 tabanında kullanılabilecek rakamlar {01,,} tür En büyük sayı : (1) ²++17 En küçük sayı : (10) 1² olur Herhangi Bir Tabandaki Bir Sayının Başka Bir tabanda Yazılışı: Sayı önce 10 luk sisteme sonrada istenen tabana çevrilir Örnek( 8 ) (1) ()7 (1) ² Herhangi Bir Tabana Göre Đşlemler: 10 sayı sisteminde işlemler nasıl yapılıyorsa,,sayı sistemlerinde de aynı mantık kullanılır Örneğin 10 luk sistemde toplam yapılırken 1 elde edildiyse, 1 sayısı 10 a bölünür kalan yazılıp, bölümden elde edilen 1 sonraki basmağa aktarılır 1 ü tabanında elde ettiysek 1 ün e bölümünden kalan yazılır, bölüm ise sonraki basamağa aktarılır Toplama: () Çıkarma: (0) + () _ (1) Çarpma: () x (1) (11) +() () (1) (100) Bölme: (en iyisi 10 luğa çevirip bölmektir) cevap: (1) (10)7 Örnek( 9 ) (10) () (10) 1² cevap : (10) (1) wwwglobalderscom Örnek( 10 ) ( ) sayısının fazlası aynı tabanda kaçtı? Eklenen sayı tabandan küçük ise direk, değilse tabana çevrilerek toplama işlemi gerçekleştirilir Sorumuzda eklenen sayı < olduğundan direk ekleriz () + () ()

4 Örnek( 11 ) ( ) sayısının 1 fazlası aynı tabanda kaçtır? Örnek( 1 ) kaçtır? 17 sayısı tabanına göre Sayı önce tabanına çevrilir 1 () dır () + () (0) Örnek( 1 ) ( 1 ) sayısının katı aynı tabanda kaçtır? 17 sayısının pay ve paydasını tabanına (1) çevirirse elde edilir (100) Konunun başında bir açıklama yapmış ve demiştik ki : 10 luk sayı sistemindeki mantık neyse,,sayı sisteminde de aynıdır Buradan hareketle şunu deriz: bu bölüm işlemi 10 luk sistemde pay dan iki virgül sola kaydırarak çözülürse lik sistemde de aynıdır 1, olur O halde cevap ( ) sayısı tabandan büyük olduğundan önce tabanına çeviririz (11) şimdi çarpma işlemi gerçekleştirebiliriz (1) x (11) Örnek( 1 ) (,)? (10 luk sistemde bu sorunun çözüm mantığını hatırlayalım10 luk sistemde paydaya devreden kadar 9 yazılırdı Burada yazdığımıza dikkat edinsebebi; 9 un 10 luk sistemdeki en büyük rakam olmasına karşın ün de lik sistemde en büyük rakam olmasıdır) (1) + (1) (10) Örnek( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) a+b+c? abc ise ( 1 ) ( abc ) ( ) ( 1) ( ) ( abc) (,) () () (0) (0) (0) ,7 olur (1) (abc) a+b+c ++1 bulunur wwwglobalderscom

5 Örnek( 1 ) (,1)? (,1) (1) () () (11) () olur ab sayısının ( ) En büyük değeri (1) En küçük değeri (01) Fark : (1) - (01) (00) bulunur Örnek( 0 ) tabanında yazılabilecek rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı vardır? Örnek( 17 ) (,)? (,) () + olur (10 luk sistemde devreden 9 ise önceki basamak 1 arttırılır ve 9 atılır kuralının tabanına uyarlanışı) Bunu permütasyon konusunu hatırlayarak çözebiliriz Kullanabileceğimiz rakamlar 0,1,,,, olduğundan, 100 olur Örnek( 1 ) 1781 sayısı 9 tabanında yazıldığında birler basamağında hangi sayı bulunur? Örnek( 18 ) + + sayısı tabanında kaç basamaklıdır? Tabana ait en büyük kuvvet olduğundan 1 0 ( 0 ) o halde sayı basamaklıdır Örnek( 19 ) ( ab ) sayısı rakamları farklı bir sayı olmak üzere bu sayının alabileceği en büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark aynı tabanda kaçtır? wwwglobalderscom 1781 sayısını sürekli 9 a bölerek 9 tabanına çevireceğimizi öğrenmiştik Đlk 9 a bölümden kalan en son yazıldığı için birler basamağı olur Dolayısıyla sayının 9 bölümünden kalanı bulmak aslında birler basamağını bulmak demektir Kural: bir sayının 9 bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 a bölümünden kalana eşittir ve 1 in 9 bölümünden kalan da olduğundan sayımızın 9 tabanındaki yazılışında birler basamağı tür deriz Örnek( ) ( ) sayısı 8 tabanında yazılırsa kaça eşit olur?

6 Bu soruların iki yolu vardır 1yol: sayıyı bildiğimiz yolla 8 tabanına çevirmek yol: (pratik) sayı sağdan itibaren (8³) er er ayırarak her bir ayrımdan elde edilen çevrim sayısı bir hane yazılır ve işlem tamamlanır ( ) (101) (111) ( ) a ( ) b ifadesinin her iki tarafını çözümlersek a+ b+ b-a 1 burada a ve b nin alabileceği minimum değerler vardır (temel tabanaritmetiği kuralları) bunları da dikkate alarak; b ve a 7 alınırsa 7 1 eşitliğinin sağlandığı görülür O halde cevap a+b +7 1 olur 1²+0+1 1² Örnek( ) ( ) ( 7) 18 sayısı tabanında yazıldığında kaç basamaklı bir sayı elde edilir? ( 7) Örnek( ) ( ) 8 sayısı tabanında yazıldığında kaça eşit olur? Bu sefer işlemi tersten uygularız () 8 ( ) ( 7) 18 ( ) ( ) 9 1 sayısı elde edilir 1, sondan 1 tane sıfır demektir (11) olduğundan sayımız (11000) 1 tan e o halde 1 basamaklı bir sayı elde edilir (- - -) 8 (- - -) 8 (- - -) 8, ve yi tabanına çevirir, üçer hane olarak yazarız (100), (101) (010) ( ) Örnek( ) ( ) a ( ) b eşitliğini sağlayan en küçük a+b? (C: 1) wwwglobalderscom Örnek( ) ( ) + ( b) ( 11) a+b? a ise ( a ) + ( b) ( 11) (²++a)+(b²++) (1³+²++1 a+b a + b 77 buradan a ve b bulunur a+b eder

7 Örnek( 7 ) ( ) ( a) ( 1) a+b? b ise ( b ) ( a) ( 1) (²+b+)-(²++a) 1²++ b-a + 9 b-a 7 buradan a ve b bulunur a+b 7 olur Örnek( 8 ) ( abc ) x ifadesinde a ve c 1 arttırılır ve b azaltılırsa on tabanında sayı artıyor buna göre x? Örnek( 0 ) (,1) ( ab, cd) 10 a+b+c+d? (,1) ise (payda 100 de eşitlenirse , bulunur 100 buradan elde edilir a x² ler basamağı b x ler basamağı c 1 ler basamağıdır a daki 1 artış sayıya +1x² olarak yansır b deki azalış sayıya -x olarak yansır c deki 1 artış sayıya +11 olarak yansır x²-x+1 x²-x-0 denklemi çözülürse x²-x-0 (x-9)(x+7)0 ve buradan x 9 ve x -7 bulunur taban negatif olamayacağından cevap 9 dur Örnek( 1 ) ( 1a ) 8 sayısı çift, ( 1b ) 9 sayısı ise tek olduğuna göre a+b en çok kaçtır? ( 1a ) 8 sayısı çift ise a çift olmalı a nın en büyük değeri dır (C: 1) 1b sayısı tek ise rakamları toplamı tek ( ) 9 olmalı buradan b en fazla 7 olur O halde cevap +7 1 tür Örnek( ) ( 01 ) a + sayısı a tabanında kaça eşittir? Örnek( 9 ) ( 1) + ( 1 a ) 7? a <a<7 olacağından a bulunur buradan ( 01 ) a + (a+)²+0+1 (a²+a+)+1 a²+8a+9 ( 89 ) a elde edilir ( ) ( ) Örnek () 8 doğal sayısı tabanına göre yazıldığında, kaç basamaklı bir sayı elde edilir? (ÖSS-001) wwwglobalderscom 7

8 Önce 8 etmeliyiz sayısını ün kuvveti şeklinde ifade 1 ( ) buradan sayının 7 basamaklı olduğu görülür 8 ( ) ( ) Örnek () ( 97) (1 ise m? 10 ) m (ÖSS-97) ( 97) demek olduğundan m² + m m² + m m² + m (m-)(m+8)0 m-0 m ve m+80 m-8 taban negatif olamayacağından cevap dır Örnek () 1) ()? ( (ÖSS-9) (1) x () (111) +(10) (11) HAZIRLAYAN ĐBRAHĐM HALĐL BABAOĞLU Matematik Öğretmeni wwwglobalderscom Örnek () ( 110) (11) () (ÖSS-9) (110) - (11) (11) wwwglobalderscom 8