ANALİTİK GEOMETRİ. * I. bölgede noktalar (+,+), II. bölgede noktalar (,+), III. bölgede noktalar (, ) ve VI. bölgede noktalar (+, ) şeklindedirler.

Transkript

1 ANALİTİK GEMETRİ Düzlemde (RR vea R ) iki reel saı doğrusunun sıfır noktasında dik kesişimile oluşturulan sisteme Dik Koordinat Sistemi denir. Yata eksene -ekseni ( ekseni vea doğrusu; tüm noktaların ordinatı dır) a da Apsisiler ekseni, dike eksenese -ekseni ( ekseni vea doğrusu; tüm noktaların apsisi dır) a da rdinatlar ekseni denir. I. bölgedeki noktaların hem apsisleri hem de ordinatları pozitifken, IV. bölgedeki noktaların apsisleri pozitifken ordinatları negatiftir. noktasının koordinatları (,) dır. Bu noktaa rijin (başlangıç noktası) denir. Koordinat, bir noktanın apsisi ve ordinatıla belirlenen İKİLİ e denir. Eksenlerle ve bölgelerle (I, II, III ve IV) oluşan düzleme ANALİTİK DÜZLEM denir. NKTANIN ANALİTİĞİ: * I. bölgede noktalar (+,+), II. bölgede noktalar (,+), III. bölgede noktalar (, ) ve VI. bölgede noktalar (+, ) şeklindedirler. Örnek: (4 a, a) IV. Bölgede bir noktasa a nın alabileceği tamsaı değeri kaçtır? 4 a> ve a< ise <a<4 bulunur. a nın alabileceği tek tamsaı değeri tür. Sorular: ) A(a 5, a) noktası II. bölgede ise, B(a 7,a) noktası hangi bölgededir? ) A(m,4 m) noktası III. bölgede ise, m in değer aralığı nedir? ) A(-a+,b+5) noktası III. bölgede, B(c,d ) noktası I. bölgede ise, C( a+b,c.d) hangi bölgededir? 4) A(a,b 5) IV. bölgede ve B(a+,b ) noktası II. Bölgede ise a+b nin ve b-a nın alamaacağı tamsaı değerleri toplamı kaçtır? - -

2 Simetri: A(a,b) noktasının B(c,d) noktasına göre simetriği C(, ) ise c + (c a) ve d + (d b) dir. d - b d b A(a,b) B(c,d) C(, ) a c - a c d - b d b A(a,b) B(c,d) a c - a c Örnek: A(,) noktasının B(,) noktasına göre simetriğinin C(-,-7) noktasına göre simetriğinin koordinatları toplamı kaçtır? Önce apsislerin simetriğini bulalım;? ( den e artmış, daha artar) 5 5 -? (5 den - e 6 azalmış, 6 daha azalır) -7 Şimdise ordinatların simetriğini bulalım;? ( den e artmış, daha artar) -7? ( den -7 e 9 azalmış, 9 daha azalır) -6 A(,) B(,) X(5,) C(-,-7) Y(-7,-6) (cvp: ) Sorular: ) (-,-) noktasının (-4,) noktasına göre simetriğinin orijine göre simetriğinin koordinatları toplamı kaçtır? ) (,) noktasının (7,) noktasına göre simetriğinin orijine göre simetriği (,8) olduğuna göre, + toplamı kaçtır? ) A(,) noktasının B(,) noktasına göre simetriği C(z,t) noktası olduğuna göre +z-+t kaçtır? 4) A(,) noktasının B(,-6) noktasına göre simetriğinin C(8,-) noktasına göre simetriği D(z,t) olduğuna göre ++z+t kaçtır? - -

3 *. soruda A ve C noktasıla oluşturduğumuz [AC] doğru parçasının orta noktası B noktasıdır. 4. sorudasa [BC] doğru parçasının orta noktasıla [AD] doğru parçasının orta noktası anıdır; (5,-4). * Bir doğru parçasının orta noktasının apsisi, uç noktalarının apsisleri toplamının arısı, ordinatı ise uç noktaların ordinatları toplamının arısıdır. (,-) ve (-8,) noktalarının orta noktası ([+(-8)]/,[(-)+]/)(-,6) - - Örnek: B [AC]olmak üzere A(,), B(,), C(6,5) ve BC BA ise + toplamı kaçtır? k6 ise k dolaısıla +4 n5 ise n dolaısıla + Bölece B(4,) bulunur. m m 5 B(,) A(,) k k 6 C(6,5) Ancak tıpkı simetride aptığımız gibi artımları hesaplaarak sonuca ulaşabiliriz: Apsis: den 6 a üç birimde artmış, bir birimde artar ölese +4 rdinat:den 5e üç birimde artmış, bir birimde artar ölese + Örnek: C ([AB\[AB]) olmak üzere A(7,), B(,5), C(,) ve AC AB ise + toplamı kaçtır? AB bir birimse BC iki birimdir. Apsis: 7den e bir birimde 5 azalmış (Adan Be 5 azalmış), iki birimde azalır (Bden Ce azalır). --8 rdinat: den 5e bir birimde artmış (Adan Be artmış), iki birimde 6 artar (Bden Ce 6 artar). 5+6 Bölece +-8+ Sorular: ) B [AC]olmak üzere A(-,-4), B(,4), C(,) ve AC 4 AB ise + toplamı kaçtır? ) B [AC]olmak üzere A(a,b), B(5,), C(a+,b-) ve AB BC ise a+b toplamı kaçtır? ) C ([AB\[AB]) olmak üzere A(a,b), B(,5), C(c,d) ve AC AB ise a+b+c+d toplamı kaçtır? 4) C ([BA\[AB]) olmak üzere A(,), B(,), C(,) ve AC AB ise + toplamı kaçtır? - -

4 Üçgenin Ağırlık Merkezi ve Alanı: , G Δ A ABC Örnek: A(,), B(4,6) ve C(5,4) olmak üzere ABC üçgeninin ağırlık merkezinin koordinatlarını ve üçgenin alanını hesaplaınız. G (+4+5)/4 ve G (+6+4)/4 G(4,4) A(ABC)/ ( ) ( ) / (44 5) /(6) br Bir Noktanın Eksenlere ve rijine göre Simetriği: * (a,b) nin -eksenine göre simetriği, doğrusuna göre simetriği alınarak apılır. doğrusunda ile ilgili bilgi olmadığından; b -b (b den a b kadar azalır, dan b kadar azalırsa b bulunur) dolaısıla (a,b)nin -eksenine göre simetriği (a,-b) olur. * (a,b) nin -eksenine göre simetriği, doğrusuna göre simetriği alınarak apılır. a -a dolaısıla (a,b)nin -eksenine göre simetriği (-a,b) olur. * (a,b) nin orijine göre simetriği, noktaa göre simetri ile anıdır. (a,b) (,) (-a,-b) Bir Noktanın I.Açıorta ve II. Açıorta doğrularına göre Simetriği: - doğrusuna I.Açıorta Doğrusu - doğrusunasa II.Açıorta Doğrusu denir. doğrusu üzerinde her noktanın apsisi ordinatına eşittir. (-,-), (4,4) vb.genel olarak (,). - doğrusu üzerinde her noktanın apsisi ordinatının negatifine eşittir. (-,), (,-), (,-), (-7,7) vb. Genel olarak (,-)

5 Örnek: (,) noktasının I.açıorta doğrusuna göre simetriğinin II. açıorta doğrusuna göre simetriği nedir? - - (,) (,) Yandaki şekilde (,) noktasının doğrusuna göre simetriği (,). (,) in - e göre simetriği (-,-) bulunur. * e ve - e göre peş peşe apılan simetri orijine göre simetri apmakla eş değerdedir. (-,-) - Sonuç olarak; I.Açıorta doğrusuna göre simetri: (a,b) (b,a) II.Açıorta doğrusuna göre simetri: (a,b) (-b,-a) İki Nokta Arasındaki Uzaklık: a) Bir noktanın rijine uzaklığı A noktasının apsisi: 4 A noktasının ordinatı: A A 5 birim b) İki nokta arasındaki uzaklık AB ( - ) +( - ) AB ( ) + ( ) - 5 -

6 Örnek: A(,), B(-,-4) ve C(-,-) ise AB ve BC kaçtır? AB (-(-)) +(-(-4)) AB 6 br BC (--(-)) +(-4-(-)) +(-) 9 BC br Sorular: ) A( 6,), B( 6,-5) ve -orijin olmak üzere AB + B toplamı kaçtır? ) A(,),B(,4) ve C(,) olmak üzere ABC üçgeninin ağırlık merkezinin A noktasına uzaklığı kaç birimdir? ) A(a,) ve B(4,b) noktalarının rijine uzaklıkları eşittir. a,b Z olduğuna göre AB uzunluğu kaçtır? 4) A(a+,b ) ve B(a,b+) olduğuna göre AB uzunluğu kaçtır? Ödevler: ) (5-a,7-a) noktası II. bölgede ise, a hangi tamsaı değerini alır? ) A(k,-4) noktası orijine 5 birim uzaklıkta ise, k hangi değerleri alır? ) A(k+4,k ) nin eksenine göre simetriği III. bölgede ise, k kaç farklı tamsaı değeri alır? 4) 5) A ABC eşkenar üçgen C(6,) ise, A(,)? D B C 6) A(-,), D(,) ve ABCD kare ise, B ve C nin D koordinatları nedir? C A B - 6 -

7 7) C( a,b) ABC ikizkenar dik üçgen ise, a+b? B(,4) A( - 5,) 8) A(k,4), B(,k ) ve AB br ise, k? 9) A(,-), B(-,-6), [AB] nin orta noktası C dir. C nin e göre simetriği nedir? ) ABCD paralelkenar ise, E(a,b) ve C(,) nedir? ) ) A(,5), B(,7) olmak üzere [AB] i koordinatları nedir? ) AB ise, C(, )? AC 4 AB AC oranında dıştan bölen C noktasının D, E, F orta noktalar ise, DEF üçgeninin ağırlık merkezini ve alanını bulunuz

8 Doğrunun Analitik İncelemesi Bir doğrunun üzerindeki noktalar anı bir belli kuralı sağlaan noktalardır. Örneğin (I.Açıorta doğrusu) üzerindeki her noktanın apsisi ordinatına eşittir vea doğrusu üzerindeki noktaların ordinatları, apsisinin iki katının bir eksiğidir. Bir başka kural; bir doğru üzerinden seçilen her iki noktanın ordinatları farkının apsisleri farkına oranının sabit oluşudur. Bu sabite Doğrunun Eğimi (doğrunun ekseninin pozitif tarafıla aptığı açının Tanjantı) denir ve m ile gösterilir.,,, R;, R; (,),(, ) ve (, ) d α d (,) (,) (,) (,) (,) α - α (,) - d - - II. İki Noktası Bilinen Doğru Denklemi tanα m m I. Eğim Formülü III. Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğru Denklemi I. tan α m II. III. m Örnekler: ) (,-4) ve (-,5) noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır? ) (,-4) ve (-,5) noktalarından geçen doğrunun denklemi nedir? ) (,-4) noktasından geçen ve eğimi olan doğrunun denklemi nedir? 5-8 -

9 4) (-,5) noktasından geçen ve eğimi olan doğrunun denklemi nedir? 5 5) (, 6 ) ve ( 4, 5 6 ) noktalarından geçen doğrunun eğim açısı kaç derecedir? Çözümler: 5 ( 4) 9 ) 5 5 ) ( 4) 5 ( 4) ) 4) (-) ) 4 tanα α6 * m denklemi içler-dışlar çarpımı apılarak - m(- ) olarak da alınabilir. Dolaısıla m+n şeklindeki denklemlerin eğimi -değişkeninin katsaısıdır. * a+b+c şeklinde azılan (lineer denklem) doğruların eğimini bulalım: a c a c b a c m, n olduğundan lineer denklemlerde eğim in b b b b katsaısının nin katsaısına bölümünün negatifi olarak bulunur. Örnekler: ) m+n doğrusu (,4) ve (4,) noktalarından geçtiğine göre, m? ve n? ) 4+ doğrusunun eğimi kaçtır? ) -4+7 doğrusu (-,a) noktasından geçtiğine göre, a? 4) m n doğrusu (,) ve (,) noktalarından geçtiğine göre, bu doğrunun eğimi kaçtır? Çözümler: ) 4m+n m+n4 ve m4+n 4m+n (-)+n4 n 7 + 4m + n m + n m + 4 m - ise ) m

10 ) -4(-)+7(a)- 4+7a 7a 47 a 4 4) m n m4 ve 4. n n olur, bölece denklem 4 m 4 4 olduğundan eğim bulunur. n 4 Eğimin İncelenmesi θ< 9 m > m + n f ( ) m + n θ> 9 m < m + n f ( ) m + n θ m n f( ) n θ 9 m : tanımsız a? Ekseni Kestiği Noktaları Bilinen Doğru Denklemi d doğrusu, eksenini (a,) noktasında ve eksenini (,b) noktasında kesior. İki noktası bilindiğinden; b b a a a b ab b + a ab (Her iki tarafı ab e bölelim) a + a b Aşağıda grafikleri verilen doğruların denklemlerini ve eğimlerini azınız. (-, ) d d (,5) (, - ) ( 4,) d (,) (,) d (-,) (, - 6) - -

11 İki Doğrunun Karşılaştırılması d : a + b + c ve d : a + b + c doğruları için; ) d d A Doğrular A noktasında KESİŞİYR m m a b c ) d d { } Doğrular PARALEL d //d ve m m a b c a b c ) d d {A, B, } Doğrular ÇAKIŞIK d d ve m m a b c Örnekler: ) +5 doğrusu, 6+a+5 doğrusula paralel olduğuna göre a kaçtır? ) 7+ 8 doğrusu, -a+b ile çakışık ise a? b? Çözümler: 6 ) m m olacağından a 4 a a b ) İkinci denklemi e bölersek 7 + elde edilir. Ölese her iki denklemin a b katsaıları birbirine eşit olacağından; a, - 8 b 4 bulunur. İlk denklemi ile çarpmak da anı sonucu verecektir + 4 Kesişen iki doğrunun kesişim noktasını bulmak d : a + b + c d : a + b + c d ve d doğrularının kesişim noktasını bulmak için denklem sistemi çözülür. Örnek: doğrusu ile -+4 doğrusunun kesişim noktasının koordinatlarını bulunuz bulduğumuz bu değerini denklemlerden birinde erine koalım: () olduğundan bu iki doğrunun kesişim noktası (,) dir. Örnek: 5+8 ve +4 6 doğrularının kesişim noktasını bulunuz. I- Denklemlerden birinden değişkenlerden biri çekilir ( vea ) diğerinde erine azılır: Bulduğumuz bu değerini denklemlerden birinde erine azarak değerine ulaşabiliriz bulunur. - -

12 II- Denklem sistemi çözümlenir: / / Bölece bulunur. I. öntemdeki gibi değerini denklemlerden birinde erine azarak değerine ulaşabiliriz. Dik Kesişen Doğrular d d m tanα ve m tanθ (α9 +θ) tanαtan(9 +θ) cotθ m. m cotθ. tanθ θ α d d m. m Kesişen İki doğru Arasındaki Açının Tanjantı d m tanα ve m tanθ (αβ+θ) tanα tanθ tanβtan(α θ) + tanα tanθ m m tanβ + m m θ β α d Bir Noktanın Bir Doğrua olan Uzaklığı a + b + c [AH] d ise AH a + b - -

13 Paralel İki Doğru Arasındaki Uzaklık l a+b+c l c a c + b a+b+c Örnek: d : 6 4 doğrusunun d : +4 doğrusuna uzaklığı kaç birimdir? I ve l + ( ) II- Paralel doğruların birinden bir nokta seçilir ( Genel olarak apsisi a da ordinatı sıfır olan bir nokta -eksenleri kestiği noktalardan biri- seçilmelidir ) ve bu noktanın diğer doğrua uzaklığı hesaplanır. seçersek 6() 4 - olduğundan (,-) noktası d üzerindedir. Bu durumda (,-) noktasının d doğrusuna uzaklığı hesaplanır: () ( ) ( ) Geometrik Yer Soruları ) -+ doğrusula -+5 doğrusuna eşit uzaklıktaki noktaların geometrik eri nedir? ) -+ doğrusula -+5 doğrusuna eşit uzaklıktaki noktaların geometrik eri nedir? ) R de apsisi ordinatının arısı olan noktaların geometrik er denklemi nedir? 4) R de ordinatı apsisinin karesi olan noktaların geometrik er denklemi nedir? 5) R de sabit bir noktaa uzaklıkları sabit olan noktaların geometrik eri nedir? 6) Düzlemde A(4,7) ve B(,6) noktalarına eşit uzaklıktaki noktalar arasındaki bağıntı nedir? Çözümler: ) Söz konusu noktalardan biri P(,) olsun. P noktasının her iki doğrua da uzaklığı eşit olduğundan: mutlak değer açıldığında + ( ) + ( ) ani +4 doğrusu bulunur. Bu doğru diğer iki paralel doğrua paralel ve onların tam ortasından geçen doğrudur

14 )Anı işlemler apıldığında; mutlak değer açıldığında iki farklı + ( ) + ( ) doğru denklemi bulunur; + ve Bölece verilen doğruların Açıorta doğruları bulunur ) (,) (,) (Eğimi olan ve orijinden geçen bir doğru) 4) (,) (, ) (Parabol) 5) Sabit nokta M(a,b) sabit uzaklıksa r olsun. Özelliği sağlaan noktalardan birise P(,) seçilsin. PM r birim ( a) + ( b) r her iki tarafın karesi alınırsa, ( a) +( b) r denklemi bulunur (Çember Denklemi). r P(,) M(a,b) 6) Eşit uzaklıktaki nokta P(,) olsun. halde PA PB olacağından iki nokta arasındaki uzaklık formülünü azalım: P(,) ( 4) + ( 7) ( ) + ( 6) ( 4) +( 7) ( ) +( 6) doğru denklemi bulunur. Geometrik er, [AB] doğru parçasının rta Dikme doğrusu olarak bulunur. A(4,7) B(,6) - 4 -

15 Bölge Denklemleri 4 /4+/ (/4+/ +4 ) doğrusu ve taralı alanla belirlenen bölgenin denklemi aşağıdakilerden hangisidir: A) +4 < B) +4 > C) +4 D) +4 Bölgede olmaan (,) noktası bölge denklemini sağlamamalıdır. Bu durumda B ve C şıkları rijini sağlamaz ancak doğrunun bölgee dâhil olma durumunu alnız C şıkkı vermektedir; cevap C. 5 I) /7+/ II) (,) bölge denklemini sağlamalıdır. Denkleme koduğumuzda + 5 sıfırdan küçük olduğu için bölge denklemin 5+7 5< bulunur (Doğru bölgee ait değil dolaısıla erine < kullandık). 7 (4,-) rijinden geçen doğrula sınırlı bölge denklemlerinde; I) Doğru denklemi tespit edilir: İki noktası bilinen doğru denkleminden ( (,) ve (4,-) ) bulunabileceği gibi eğimi ve bir noktası bilinen (m-4 ve (,) ) doğru denklemi hesabıla da denklem elde edilebilir. 4 4 II) taralı bölgeden herhangi bir nokta seçilir: (,) 4()> olduğundan denklemimiz 4> bulunur. Bir Noktanın Eğimi ± olan Doğrua göre Simetriği *(,) noktasının 4 doğrusuna göre simetriğini bulalım. Nokta sanki doğruu sağlıormuş (denklemi denkleştiriormuş gibi) gibi denkleme apsisini koup simetriğinin ordinatını ve ordinatını koup simetriğinin apsisini bulabiliriz

16 () 4 ( Simetrik noktanın rdinatı) ve () 4 den 6 ( Simetrik noktanın apsisi) (,) 4 (6,-) bulunur. *(-,-8) noktasının 5+5+ doğrusuna göre simetriğini bulalım (-,-8), 5 5 NT: Bulduğumuz simetri noktasıla verilen ilk noktanın oluşturduğu doğru parçasının orta noktası mutlaka verilen doğru üzerinde olmalıdır, bölece sağlama apmış oluruz. Bir Doğrunun Bir Noktaa göre Simetriği 5+ doğrusunun (,4) noktasına göre simetriğini bulalım. Doğru üzerinden iki nokta seçilir ve bu noktaların simetrikleri üzerinden geçen doğru denklemi azılarak sonuca ulaşılır. (,) ve (-5,) noktalarının (,4) e göre simetrikleri X(6,6) ve Y(,8) olur. X ve Y den geçen doğru denklemi: olarak bulunur. 6 5 NT: Bir Doğrunun Bir Noktaa göre Simetriği her zaman kendisine paralel bir doğru çıkar. Bir Doğrunun Eğimi ± olan Doğrua göre Simetriği * 6 doğrusunun + doğrusuna göre simetriği alınırken simetriği alınacak doğruda (simetri alınacak doğruda i alnız bıraktık) erine, erinese + azılır. ( ) (+) * + doğrusunun ++ doğrusuna göre simetriği; :- ve :- olduğundan (- ) (- )+ +8 bulunur. * + doğrusunun + doğrusuna göre simetriğinin 6 olduğunu ve +8 doğrusunun ++ doğrusuna göre simetriğinin + olduğunu bulunuz

17 Doğru Demeti Bir noktadan geçen sonsuz saıda doğrua Doğru Demeti denir. a +b +c +k(a +b +c ) (a +ka )+(b +kb )+c +kc Örnek: d : ++( ) 7 d 4 : -( ) 5 d 5 : + 5( ) 7 d n : ++k( ) ve k R d, d 4, d 5, d n doğrularının A(,) noktasından geçtiğini görürüz. Sorular. + 4 ile + + doğrularının kesişim noktasını bulunuz. (denklem sistemini çözünüz). Aşağıdaki doğruların denklemlerini azınız. d d (,) d (,) (,4) ( a,). İki noktası A (,) B( 4, ) olan doğrunun denklemi nedir? 4. A (,k ) B (,6) noktalarından geçen doğrunun eğimi ise, k kaçtır? 5. A( 8, 5) B( 4,7) noktalarından geçen doğrunun eğim açısı kaç derecedir? 6. A(,k ) B(,) C( 5,) noktaları doğrusal ise, k kaçtır? 7. A( k,5) B(,k + ) [ AB ] nin orta noktaları kümesinin (geometrik erinin) denklemi nedir? - 7 -

18 8. A{(,) ( ) ( 6 + < ) ( )} ise, A kümesini çizerek gösteriniz. 9. (,4) Yandaki şekildeki taralı bölgenin denklem sistemini azınız. 9. (a )+ ile 4 (a+)+ doğruları dik ise a kaçtır?. +(m 4)+4 ile (n+) doğruları çakışık ise, m.n kaçtır?. + ile + 4 denklem sisteminin çözüm kümesi nedir? A) (,+ ) B) R C) RR D) E) (, ). +, + 7 ve a + (a ) + 4 doğruları anı noktada kesişior ise a kaçtır? 4. m+ 4m+ doğruları hangi noktada kesişir? 5. ( k)+(k )+ doğrularının kesişim noktasından ve (,) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir? ile 7+ doğrularının kesişim noktasından ve orijinden geçen doğrunun denklemi nedir? 7. (,7) noktasının 8 doğrusuna göre simetriğinin 5 doğrusuna göre simetriğinin koordinatları nedir? doğrusunun doğrusuna göre simetriğinin (,-) noktasına göre simetriğini bulunuz

19 Soruların Cevapları Noktanın Analitiği Noktanın Bölgelerdeki durumları: ) II vea III ) 4<m< ) II 4) + Simetri: ) ) 8 ) - 4) İçten-Dıştan Bölme ) 4 ) 6 ) 4 4) -4 İki nokta Arasındaki Uzaklık ) br ) br ) br 4) 4 br Ödevler: ) 6 ) ) 5 4) (,) ve (-,) 5) (, 4 ) 6) B(,-) ve C(,) 7) C(-9,5) -4 8) 5 9) (-,4) 7 ) E, ve C(4,4) ) (5,-8) ) C (-5,-) ve C (7,) 8 ) G, ve S br Doğrunun Analitiği ) (-,) ), a, + ) + 4) k- 5) 5 o 6) k4 7) +7 9) + 9, +>, ) a ) m.n-7 (m4, n-7/4) ) Doğrular çakışık olduğundan; A,B ve E çözüm kümesidir(e şıkkında R). ) a-/7 4) Doğrular paralel doğru demeti oluştururlar. 5) 6) 7) (,7) (5,-7) (-,) 8) +4 - ( ) 7, - 9 -