Olasılık Kavramı. Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Transkript

1 Olasılık Kavramı Mühendislikte İstatistik Yöntemler

2 KÜME KAVRAMI Birlikte ele alınan belirli nesneler topluluğuna küme, Kümede içerilen nesnelere de eleman, öğe veya üye denir. Kümenin elemanlerı (öğeleri, üyeleri) kesin bir şekilde tanımlanmış olmalıdır. S = {s : Türkçe deki sesli harf} S = {a, e, ı, i, o, ö, u, ü} a S (a, S kümesinin bir öğesidir) b S (a, S kümesinin bir öğesi değildir) 2

3 Z = {z : Zar atışı sırasında görülen sayıların kümesi} Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 1 Z (1, Z kümesinin bir öğesidir) 7 Z (7, Z kümesinin bir öğesi değildir) 3

4 KÜME KAVRAMI Hiç bir elemanı olmayan küme boş küme olarak adlandırılır ve Ø işareti ile gösterilir. Bir kümenin bütün elemanları diğer bir kümenin de elemanları ise ilk küme ikinci kümenin bir alt kümesi dir denir ve işareti ile gösterilir. İki kümenin her ikisinde de bulunan elemanların oluşturduğu küme bu iki kümenin arakesiti (kesişimi) dir ve I işareti ile gösterilir. İki kümenin ortak elemanı yoksa bu kümelere ayrık kümeler denilir ve boş küme L I S = Ø ile gösterilir. İki kümeden en az birinde bulunan elemanlardan oluşan kümeye bu iki kümenin bileşimi denir ve U ile gösterilir. 4

5 KÜME KAVRAMI Kümeler arası ilişkiler Venn Diyagramı ile gösterilir: S H L K S I H K S L I S = Ø H S S I H = {a,e} 5

6 KÜME KAVRAMI S = {s : Türkçe deki sesli harf} S = {a, e, ı, i, o, ö, u, ü} K = {k : Türkçe deki kalın sesli harfler} K = {a, ı, o, u} H = {h : Türkçe deki ilk 6 harf} H = {a, b, c, ç, d, e} L = {l : Türkçe deki son 3 harf } L = {v, y, z} L I S = Ø K S H S K I H = {a} S I H = {a, e} S U H = {a, e, ı, i, o, ö, u, ü, b, c, ç, d} KIH S K L H S I H SIKI H 6

7 Olasılık teorisinde bir rastgele olayın meydana gelmesi şansı olasılık (ihtimal) olarak adlandırılır. Rastgele değişken X ile, rastgele değişkenin bir gözlem sırasında aldığı değeri x ile gösterirsek, X = x i rastgele olayının olasılığı p i olur. P ( X = x i ) = p i 0 p i 1 p i olasılığının değeri 0 ile 1 arasında değişir. Olasılığın 0 olması sözkonusu olayın hiçbir zaman meydana gelmeyeceğini, 1 olması ise kesinlikle (her gözlemde) meydana geleceğini gösterir. Olasılık 0 dan 1 e doğru arttıkça gözlemler sırasında o olayın görülme şansı artar, yani olayla saha sık karşılaşılır. 7

8 Örnek: Bir zar atışında 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 sayılarından herbirinin görülme olasılığı 1/6 dır. Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6} P(X=1) = P(X=2) = P(X=3) = P(X=4) = P(X=5) = P(X=6) = 1/6 P(X=0) = P(X=7) = 0 1 ile 6 arasında herhangi bir sayı görülmesi olasılığı 1 dir. P(X=1 U X=2 U X=3 U X=4 U X=5 U X=6) = 6(1/6) = 1 8

9 3 veya daha büyük bir sayı görülmesi olasılığı: Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6} P(X 3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3 veya P(X 3) = 4(1/6)= 4/6 = 2/3 dır. 3 ten küçük bir sayının görülmesi olasılığı: Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6} P(X < 3) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 veya P(X < 3) = 2(1/6)= 2/6 = 1/3 dır. 9

10 Hileli bir zarda çift sayı gelmesi olasılığı, tek sayı gelmesi olasılığının iki katı ise: Z = {1, 2, 3, 4, 5, 6} P(X =1) = P(X =3) = P(X =5) = p P(X =2) = P(X =4) = P(X =6) =2 p 3(p) + 3(2p) = 1 3p + 6p = 1 p = 1/9 P(X =1) = P(X =3) = P(X =5) = 1/9 P(X =2) = P(X =4) = P(X =6) =2/9 10

11 - Olasılıkların Toplanması Birleşik bir olayın ortaya çıkma olasılığı, bu olayı oluşturan basit olayların olasılıklarının toplanmasıylabulunur. ÖRNEK: Yukarıda sözünü ettiğimiz tavla zarıyla ilgili örneğe devamvam edelim. İki zarın birlikte atılışında 4 gelme olayı A ile gösterilirse, P(A) : 1-3, 3-1, 2-2 basit olayların olasılıklarının toplanmasına eşit olur: P(A)= + + = = 11

12 Birleşik olaylar, birbirini engelleyen ve engellemeyen olaylar olmak üzere ikiye ayrılırlar. - Birbirini Engelleyen Olaylar ÖRNEK: Bir deste iskambil kağıdı arasından bir defada bir papazçekme(b1)vebirkızçekme(b kız çekme(b2) )olayları birbirlerini engelleyentürde olaylardır. Çünkübirdefadahempapazhemkızçekmeolasılığı sıfırdır. Bu durum şu şekilde gösterilebilir. P(B1 IB2)=0 12

13 ÖRNEK: Yukarıdaki«papaz ve kız» olaylarını bu kez, «papaz veya kız» olaylarına dönüştürürsek, bu durum şöyle gösterilir: P(B1UB2)=P(B1)+P(B2)= = Birbirini engelleyen olayların olasılıkların toplamı 1 dir. Bu şöyle gösterilir: P(B1)+P(B2)+P(B3)+... P(Bn)=1 13

14 - Birbirini Engellemeyen Olaylar ÖRNEK: Eğer B1B2 olayları birbirini engellemeyen olaylar ise, B1veya B2 nin ortaya çıkma olasılığı; P(B1UB2)=P(B1)+P(B2)-P(B1 I B2)şeklindegösterilir. Birdesteiskambilkağıdından1valeveya1karoçekme olasılığını bulmak için, 1 vale çekme olayını B1 ile, bir karo çekme olayını B2 ile gösterirsek, bu olaylar birbirini engellemediğinden, B1 B2yani karo valesi çekilmesi olasıdır. Buna göre B1 veya B2 nin ortaya çıkma olasılığı; P(B1UB2) = = = 4 13 bulunur. 14

15 Bir olayın olasılığı, gözlem sayısının sonsuza gitmesi halinde frekansının limit değeri olarak hesaplanır. p i = lim N ni N Örneğin, 1500 gün boyunca yapılan gözlemlerde 600 gün yağış düşmediği gözlenmişsse, bu ölçekte günlük yağış yüksekliğinin 0 olması olasılığı: P ( X = 0 ) = 600 / 1500 = 0.40 = % 40 15

16 BASİT VE BİLEŞİK RASTGELE OLAYLARIN OLASILIKLARI Bir rastgele değişkenin gözlemlerde alabileceği değerlerin tümünden oluşan küme o değişkenin örnek uzayı nı oluşturur. Sadece bir gözlem sırasında rastgele bir değişkenin belirli bir değeri alması basit rastgele olay dır. Birden fazla rastgele olayın bileşiminden oluşanlar ise bileşik rastgele olaylar dır. Örnek uzayındaki basit ve bileşik olayların her birine olasılık uzayında bir nokta (belli bir olasılık) karşı gelir. Basit Olay X = x i p i p i Bileşik Olay Örnek Uzayı Olasılık Uzayı 16

17 BASİT VE BİLEŞİK RASTGELE OLAYLARIN OLASILIKLARI A B C AI B Ayrık iki olayın olasılığı: P (AU C) = P(A) + P(C) Ayrık olmayan olayların bileşiminin olasılığı: P (A U B) = P(A) + P(B) - P(A I B) 17

18 BASİT VE BİLEŞİK RASTGELE OLAYLARIN OLASILIKLARI A B Bo Ao AI B Ayrık olmayan olayların bileşiminin olasılığı: P (A) = P(A I B) + P(A 0 ) P (B) = P(A I B) + P(B 0 ) P (A U B) = P(A 0 ) + P(B 0 ) + P(A I B) 18

19 İKİ BOYUTLU VE KOŞULLU ÖRNEK UZAYI X ve Y gibi iki rastgele değişken bir arada düşünülürse iki boyutlu örnek uzayından söz edilebilir. Bir gözlemde X rastgele değişkeni için X = x i olayı meydana gelirken aynı gözlemde Y rastgele değişkeni için Y = y j olayı görülüyorsa (x i, y j ) gözlem çifti iki boyutlu örnek uzayında bir noktayı ifade eder. Koşullu örnek uzayı, verilen bir Y=y j olayının meydana gelmesi koşuluyla gözlenen X = x i olayları yeni bir tek boyutlu örnek uzayı oluşturur, bu koşullu örnek uzayıdır. Buradaki olaylar (X=x i Y=y j ) şeklinde ifade edilir. 19

20 İKİ BOYUTLU VE KOŞULLU ÖRNEK UZAYI Koşullu örnek uzayının hesabı: P(A B) = P(A B) P(B) P(B) 0 için Denklem yeniden düzenlenirse: P (A B) = P(A B) P(B) Denklem 3 veya daha fazla olay için yazılırsa: P (A B C) = P(A B C) P(B C) P(C) A ve B olayları olasılık açısından bağımsız ise denklem: P (A B) = P(A) P(B) 20

21 TOPLAM OLASILIK KURALI TOPLAM OLASILIK KURALI B 1 B B 3 B 2 A A B 1 A B 4 A B 2 21 A ve B olayları ayrık olaylar olduğundan: A olayının olasılığı: Bu ifadeler önceki denklemde yerine konursa: B 4 ) (... ) ( ) ( ) ( 2 1 Bn A P B A P B A P A P = ) ( ) ( ) ( i i i B P B A P B A P = = = = n i i i n B P B A P Bn P B A P B P B A P B P B A P A P ) ( ) ( ) ( ) (... ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

22 - Koşulsuz Olasılık B1 in önceden ortaya çıkması B2 yi etkilemiyorsa, bu olaylr bağımsızdır. Bu durumda P(B2/B1) = P(B2) ve P(B1/B2) = P(B1) olduğundan, kural; P(B1 B2)=P(B1).P(B2)biçiminialır. ).P(B )biçiminialır. ÖRNEK:Aolayınınolmaolasılığı 0,5veBolayınınolma olasılığı 0,8 ise, her ikisinin birlikte olma olasılığını hesaplayalım: A ve B olayları bağımsız olduğundan, P(A B)=0,5.0,8=0,4 dür. 22

23 -Ağaç Diyagramı Ağaç diyağramı koşullu ve bağlı olasılıkları göstermek çok yararlıdır. 23

24 -Bayes Kuramı Bayes kuramı, bir olayın ortaya çıkmasında birden fazla bağımsız neden etkili olduğunda, bu nedenlerden herhangi birinin o olayı ortaya çıkarma olasılığının hesaplanmasında ve subjektif olasılıklarla ilgili karar vermede kullanılan bir kuramdır. Biri etkileyen olay, diğeri etkilenen olay olmak üzere, iki olay arasındaki ilişkide, etkiliyen olayın olasılığı P(A1), sonuç olarak ortaya çıkan olayın olasılığı P(B) ile gösterildiğinde, iki olayın bir arada ortaya çıkma olasılığının hesaplanmasında kulanılan formülden yararlanarak, aşğıdaki denklem kurulur. 24

25 TOPLAM OLASILIK KURALI VE BAYES TEOREMİ Toplam Olasılık Kuralı: B 1 P( A) = n i= 1 P( A B ) P( i B i ) A B 1 A A B 2 B 2 A B 4 B 4 B 3 4 Toplam olasılık teoremi kullanılarak, rastgele değişkene ait olayların olasılıkları için önceki deneyimlerimize dayanarak yaptığımız tahminleri daha sonra yapılan gözlemlerin sonuçlarına göre düzeltmekte kullanılan Bayes kuralı tanımlanabilir: Bayes Teoremi: P( B k A) = n P( B i= 1 k ) P( A B P( A B ) P( B ) i k ) i 25

26 -Permütasyon Permütasyon, birbirinden farklı N nesnenin hepsi veya bir kısmı alınarak yapılacak çeşitli dizilişlerden her biridir. A, B, C harfleriyle simgelenen üç nesne, birbirinden farklı olarak altı biçimde düzenlenebilir: ABC, ACB,BAC, BCA, CAB, CBA Her birdiziliş bir permütasyondur. Birbirinden farklı N=3 nesneden hepsini alarak elde edilecek permütasyon sayısı; PN = N! Eşitliğiyle hesaplanır. 26

27 ÖRNEK: Dört nesneyi simgeleyen A, B, C, D harflerinin tümünü alarak elde edilecek permütasyon sayısı ve permütasyonları hesaplayalım: PN=4! P4=24tanedir Permütasyonlar: ABCD ACBD ABDC ADCB ACDB ADBC BADC BDAC BCDA BDCA BACD BCAD CABD CBAD CADB CDAB CBDA CDBA DBCD DCBA DACB DCAB DABC DBAC 27

28 N tane nesneden bazıları aynıysa, aynı olanların kendi aralarında yerdeğiştirmesi permütasyonun şeklini değiştirmez. Örneğin N nesnede a tanesi birbirinin aynı, b tanesi aynı, c tanesi yine aynı ise, bu N nesneden elde edilecek permütasyonsayısı; ÖRNEK:Dörtnesne A, A, B ve C harfleriyse, bu dört harften yapılabilecek permütasyon sayısını hesaplayıp, permütasyonlarını oluşturunuz. P4 = 4! 2!.1!.1! = 12 tanedir. 28

29 Permütasyonlar: AABC AACB BAAC CAAB BCAA CBAA ABAC ABCA ACBA CABA BACA ACAB Birbirinden farklı n nesneden n tanesi alınarak elde edilecek permütasyonsayısı ise; 29

30 ÖRNEK:Üç nesne A, B, C harfleriyse, bu harflerden ikişer tane alınarak elde edilecek permütasyon sayısını ve permütasyonları oluşturalım. Permütasyon sayısı, Permütasyonlar: AB,BA,AC, CA, BC,CB Birbirinden farklı N nesneden n tanesi alınarak ve aynı nesnenin bir permütasyonda n defa tekrarlanması da mümkünolduğundapermütasyon sayısı, 30

31 ÖRNEK:Üç nesne A, B, C harfleri olsun.bu harflerden ikişer tane alarak ve bir harfin bir permütasyonunda 2 kez tekrarlanması da dahil olmak üzere permütasyon sayısını ve permütasyonları hesaplayalım: Permütasyonsayısı; Permütasyonlar: AA, AB,AC, BB,BA, BC, CC, CA, CB 31

32 - KOMBİNASYON Kombinasyon, birbirinden farklı N nesnenin bir kısmını seçerek ve sıra gözetmeksizin oluşturulan gruplardan her biridir. Örneğin üç nesne A, B,Charfleri olsun.buüç nesneden ikişer tane alarak sıra gözetmeksizin (birbirinden farklı) yapılan üç ayrı kombinasyon aşağıda gösterilmiştir: AB,AC,BC 32

33 Permütasyon konusunda da aynı örnek verilmişti ama orada AB, BA, AC, CA, BC, CB permütasyonları oluşturulmuştu. Permütasyonda AB ile BA ayrı birer diziliş olarak kabul edilmekte fakat kombinasyonda harflerin diziliş sırasına önem verilmediği için AB ile BA bir kombinasyon olarak kabul edilmektedir. Birinden farklı N nesneden n tane alarak elde edilecek kombinasyon sayısı: 33

34 ÖRNEK:DörtnesneA,B,C,Dharfleriolsun.Budört nesneden üç tanesi alınarak oluşturulacak kombinasyon sayısını hesaplayalım ve kombinasyonları oluşturalım: Kombinasyon sayısı: Kombinasyonlar: ABC,ABD,ACD,BCD 34

35 ÖRNEK:BeşnesneA,B,C,D,veEharfleriolsun.Bubeş nesneden(a) ikişer tane alarak,(b) üçer tane alarak,(c) dörder tane alarak oluşturulacak kombinasyon sayılarını ve kombinasyonları hesaplayalım. A. İki harften oluşan kombinasyon sayıs; Kombinasyonlar: AB,AC, AD, AE, BC,BD, BE,CD, CE, DE şeklindedir. 35

36 B. Üç harften oluşan kombinasyon sayısı; Kombinasyonlar; ABC,ABD,ABE, ACD,ACE,ADE, BCD,BCE,BDE,CDE şeklindedir. C. Dört harften oluşan kombinasyon sayısı; Kombinasyonlar; ABCD, ABCE ABDE, ACDE, BCDE şeklindedir. 36