1 RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 25

Transkript

1 İçindekiler RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER. Çözümlü Sorular Sorular TEK - TERİMLİ veçok-terimli İFADELER 7 2. Çözümlü Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEMLER 2 3. Çözümlü Sorular Sorular DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Çözümlü Sorular Sorular ÇARPANLARA AYIRMA I 3 5. Çözümlü Sorular Sorular ÇARPANLARA AYIRMA-II Çözümlü Sorular Sorular MUTLAK DEĞER 4 7. Çözümlü Sorular Sorular

2 2 İÇINDEKILER 8 MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER Çözümü Sorular Sorular POLİNOMLARA GİRİŞ Çözümlü Problemler Sorular KÖKLÜ İFADELERDE İŞLEMLER Çözümlü Problemler Sorular a ± b ŞEKLİNDEKİ KÖKLÜ İFADELER 6. Çözümlü Sorular Sorular KONGRÜANSLAR Çözümlü Sorular Sorular EULER - FERMAT 7 3. Çözümlü Sorular Sorular TAMSAYILARIN ONDALIKLI GÖSTERİMİ Çözümlü Sorular Sorular TAMKARE İFADELER Çözümlü Sorular Sorular DİOFANT DENKLEMLER-I Çözümlü Sorular Sorular DOĞRUSAL EŞİTSİZLİKLER Çözümlü Sorular

3 İÇINDEKILER Sorular İKİNCİ DERECEDEN VE RASYONEL EŞİTSİZLİKLER 9 8. Çözümlü problemler Sorular MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER Çözümlü Sorular Sorular DİOFANT DENKLEMLER-II Çözümlü Sorular Sorular TAM DEĞER FONKSİYONU Çözümlü Sorular Sorular ax 2 + bx + c =0 DENKLEMİNDEKÖKLER ve Çözümlü Sorular Sorular ax 2 + bx + c =0 DENKLEMİNDE KÖKLER-KATSAYILAR Çözümlü Sorular Sorular POLİNOM DENKLEMLER-I Çözümlü Sorular Sorular POLİNOM DENKLEMLER-II Çözümlü Sorular Sorular POLİNOMLARDA ÇARPANLARA AYIRMA Çözümlü Sorular Sorular

4 4 İÇINDEKILER 27 POLİNOMLARDA ÖZEL YÖNTEMLER Çözümlü Sorular Sorular POLİNOMLAR KARIŞIK SORULAR-I POLİNOMLAR KARIŞIK SORULAR-II FONKSİYONEL DENKLEMLER Çözümlü Sorular Sorular DİZİ -SERİI 6 3. Çözümlü Sorular Sorular DİZİ -SERİII Çözümlü Sorular Sorular EŞİTSİZLİKLER-I (AO-GO-Cauchy) Çözümlü Sorular Sorular EŞİTSİZLİKLER-II (Maksimum-Minimum) Çözümlü Sorular Sorular EŞİTSİZLİKLER-III Çözümlü Sorular Sorular ÇÖZÜMLER RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER TEK - TERİMLİ veçok-terimli İFADELER DOĞRUSALDENKLEMLER DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ ÇARPANLARA AYIRMA I

5 İÇINDEKILER ÇARPANLARA AYIRMA II MUTLAK DEĞER MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER POLİNOMLARA GİRİŞ KÖKLÜ İFADELERDE İŞLEMLER a ± b ŞEKLİNDEKİ KÖKLÜ İFADELER KONGRÜANSLAR EULER-FERMAT TAMSAYILARIN ONDALIKLI GÖSTERİMİ TAMKARE İFADELER DİOFANTDENKLEMLER-I DOĞRUSAL EŞİTSİZLİKLER İKİNCİ DERECEDEN VE RASYONEL EŞİTSİZLİKLER MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER DİOFANTDENKLEMLER-II TAM DEĞER FONKSİYONU ax 2 + bx + c =0 DENKLEMİNDEKÖKLER ve ax 2 + bx + c =0 DENKLEMİNDE KÖKLER-KATSAYILAR POLİNOMDENKLEMLER-I POLİNOMDENKLEMLER-II POLİNOMLARDA ÇARPANLARA AYIRMA POLİNOMLARDA ÖZEL YÖNTEMLER POLİNOMLAR KARIŞIK SORULAR-I POLİNOMLAR KARIŞIK SORULAR-II FONKSİYONEL DENKLEMLER DİZİ -SERİ I DİZİ -SERİ II EŞİTSİZLİKLER-I (AO-GO-Cauchy) EŞİTSİZLİKLER-II (Maksimum - Minimum) EŞİTSİZLİKLER-III

6 0 İÇINDEKILER

7 Bölüm RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER. BASİT ÖZELLİKLER a, b, c Q olmak üzere; a + b = b + a ve ab = ba Değişme özelliği (a + b)+c = a +(b + c) ve(ab)c = a(bc) Birleşme özelliği ac + bc =(a + b)c = c(a + b) Dağılma özelliği 2. PARANTEZ ÖZELLİKLERİ x, y Q olmak üzere; x +(y) =x + y, x +( y) =x y x (y) =x y, x ( y) =x + y x ( y) = xy,( x) y = xy,( x) ( y) =xy n =2k, k Z ( ) n = n =2k +,k Z ( ) n = Aşağıdaki ifadelerin paydaları sıfırdan farklı olmak üzere; x y = x y, x y = x y, x y = x y

8 2 BÖLÜM. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER 3. TELESKOPİK TOPLAMLAR k(k +) = k k + k(k + m) = m ( k k + m ) k(k +)(k +2) = 2 ( k + (k +)(k +2) ) 4. ÇARPANLARA AYIRMA a, b Q olmak üzere ; (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 a 2 b 2 =(a b)(a + b) a 3 + b 3 =(a + b)(a 2 ab + b 2 ) a 3 b 3 =(a b)(a 2 + ab + b 2 ). Çözümlü Sorular Soru =? ÇÖZÜM: a 3 + b 3 =(a + b)(a 2 ab + b 2 ) özelliğini kullanalım = (83 + 7)( ) = 00 ( ) = 00 Soru..2. ( 5) 2 ( 5 )3 2 3 ( 2 )2 ( ) 999 =? ÇÖZÜM: ( 5) 2 ( 5 )3 2 3 ( 2 )2 ( ) 999 = 5 2 Soru =? ÇÖZÜM: K = ( ) K = 3 =3 K = [( ) ( ) ( ) ( ) = = 5 3 = 3 5 olmak üzere; ( ) 7 8 ( 7 )] ( =3 ) =

9 .. ÇÖZÜMLÜ SORULAR 3 Soru =? ÇÖZÜM: A = olmak üzere; A = ( ) = A = Soru ( 3579) 2 +( 3578)(3580) =? ÇÖZÜM: (a b)(a + b) =a 2 b 2 özdeşliğini kullanalım ( 3579) 2 +( 3578)(3580) = 3579 (3579) 2 ( ) = 3579 ( Soru )( + 3 )( + 3 ) ( + 3 )( + 3 ) =? ÇÖZÜM: Verilen ifade M olmak üzere; M = M = M = 5 Soru =? ÇÖZÜM: 2(k +2) = 2 ( k k +2 ) olduğundan = = 2 = 2 [( ) ( ) ( )] [ ] = 6 3 5

10 4 BÖLÜM. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER Soru ( 2) (2 3) (3 4) (000 00) 2 =? ÇÖZÜM: Verilen ifade K olmak üzere; K = K = K = 00 j= 2j + j 2 (j +) 2 ( ) 00 j 2 (j +) 2 j= () 2 (00) 2 K = 002 (00) 2 Soru..9. Birbirinden farklı p, q, r, s, t sayıları {, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarından oluşmaktadır. t nin hangi değeri için x en büyük değerini alır? x = p + q + r + s + t ÇÖZÜM: x in en büyük olması için paydayı mümkün olduğu kadar küçük yapmamız gerekmektedir. Payda p artı den küçük bir y kesri şeklindedir. p = ile en küçük değer elde edilir. y nin paydası q artı den küçük z kesri şeklindedir. q yu en büyük seçmemiz gerektiğinden q = 5 elde edilir. Aynı zamanda z nin de mümkün olduğu kadar büyük olması gerekmektedir. Bu sebeple r = 2 olmalıdır. Bu şekilde devam edilirse s =4vet = 3 bulunur.

11 .2. SORULAR 5.2 Sorular. Aşağıdaki işlemler sonucu elde edilen sonuçlardan hangisi en büyüktür? ( i. ( ) ) 7 ii. ( 0.25) iii. (-) + (-33) - (-55) - (-66) - (-77) - (-88) iv. v. ( 75 ) ( ) [ ( 6 ) 7 ( + 4 ) ( 4 ) ] 6 ( ) (4 7+2)(6 9+2)(8 + 2)...( ) (5 8+2)( )(9 2+2)...( ) =? =? 4. ab < 0 olduğuna göre (a b) 2 ve (a+b) 2 ifadelerinden hangisi daha büyüktür? ifadelerini küçükten bü- 5. <a<0 olduğuna göre a 3, a 3,a 4, a 4, a, a yüğe sıralayınız. 6. ( ) ( ) 2 ( ) 3... ( ) 99 ( ) 00 =? =? dan 2009 un yarısını sonra kalan sayının ünü çıkart. Daha sonra kalan 3 sayının 4 ünü vebuşekilde kalan sayının unu çıkartana kadar devam 2009 ettiğimizde kalan sayı kaç olur? =?

12 6 BÖLÜM. RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER =? ( )( ) 2008 ( )( ) =? =? n + 2 n n n + n n n =? =? =? =? (+2) 3 ( + 2) (+2+3) 4 (+2+3) (+2+3+4) 00 ( ) ( ) =? =? =?

13 Bölüm 2 TEK - TERİMLİ ve ÇOK-TERİMLİ İFADELER. Sayilarin ve bilinmiyenlerin çarpımlarından oluşan, 6, 32x, 2a, 2ax 2 y gibi ifadelere tek terimli ifadeler denir Her tek terimli ifadenin bir katsayısı vardır. Bu katsayı sabit bir sayı ifade eden bir harf ya da bir sayı olabilir. 32x ifadesinde katsayı 32, 2ax 2 y ifadesinde ise katsayı 2a dır. Bilinmiyen değerlerin derecelerinin toplamı tek terimli ifadenin derecesini verir. 3abx 2 nin derecesi 2, 7a 4 xy 2 nin derecesi 3. Tek terimli ifadelerin toplanmasıyla elde edilen yeni ifadelere polinom denir. Her bir tek terimli ifadeye polinomda polinomun bir terimi denir. Bilinmiyen değerin olmadığı terime sabit terim denir. En büyük dereceli terimin derecesine polinomun derecesi denir. İki terimin benzer olması için katsayıları hariç diğer bilinmiyen kısımlarının aynı olması gerekir. Aynı terimler arasında toplama ve çıkarma işlemleri yapılabilir. 4ax 2 y +5bx 2 y =(4a +5b)x 2 y ve 4ax 2 y 5bx 2 y =(4a 5b)x 2 y 2. ÇARPMA m, n negatif olmayan tam sayılar olmak üzere; a m.a n = a m+n, (a m ) n = a mn, (ab) n = a n b n 7

14 8 BÖLÜM 2. TEK - TERİMLİ VEÇOK-TERİMLİ İFADELER İkitekterimliifadeçarpıldığında katsayılar çarpılır, bilinmiyen kısımlar ise bir önceki kurala göre yapılır. Basit özdeşlikler (a b)(a + b) =a 2 b 2, (a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 2. Çözümlü Sorular Soru a + { 4b [4a 7b ( 4a b)] + 5a} =? ÇÖZÜM: 3a + { 4b [4a 7b ( 4a b)] + 5a} = 3a + { 4b [8a 6b]+5a} = 3a + { 3a +2b} =2b Soru x n 2 8x n ( 9x n 2 ) 8(x n 2 2x n ) ifadesinin x =9ve n =3için en sade halini bulunuz. ÇÖZÜM: Parantezleri açarsak 8x n 8x n 2 ifadesi elde edilir. x =9ven =3 için 8x n 8x n 2 =8 (8 9) = 576 elde edilir. Soru (x )(x 2)(x 3)(x 4) ifadesini genişletin. ÇÖZÜM: (x )(x 2)(x 3)(x 4) = [(x )(x 4)] [(x 2)(x 3)] = (x 2 4x x +4)(x 2 3x 2x +6) = [(x 2 5x +5) ][(x 2 5x +5)+] = (x 2 5x +5) 2 = x 4 +25x x 3 +0x 2 50x = x 4 0x 3 +35x 2 50x +24 Soru x 2 x =0ise x3 + x + x 5 ifadesinin en sade halini bulun. ÇÖZÜM: x 2 x =0isex +=x 2 elde edilir. x 3 + x + x 5 = x3 + x 2 x 5 = x + x 5 = x = x2 x = x x

15 2.2. SORULAR Sorular. 4{(3x 2) [3(3x 2) + 3]} (4 6x) ifadesinin en sade halini yazınız. 2. Herhangi x, y reel sayıları için x 3 +4x 2 y + axy 2 +3xy bx c y +7xy 2 + dxy + y 2 = x 3 + y 3 olduğuna göre a, b, c, d değerlerini bulunuz dereceden iki polinomun toplamı ile elde edilen polinomun derecesi hakkında aşağıdakilerden hangileri doğrudur? i. 8 ii. 4 iii. < 4 iv m, x, y sayıları 2 3 (x 5)2 +5m 2 =0, 2a 2 b y+ ve 3a 2 b 3 terimleri aynıdır şartlarını sağladığına göre; { 3 8 x2 y +5m 2 7 [ 6 x2 y + 4 xy2 3 ] } 6 x2 y 3.475xy xy 2 ifadesinin en sade halini bulunuz. 5. P (x) =nx n+4 +3x 4 n 2x 3 +4x 5,Q(x) =3x n+4 x 4 + x 3 +2nx 2 + x 2 olmak üzere; P (x) Q(x) ifadesi5. dereceden ve altı terimli bir polinom ise n kaçtır? 6. Aşağıdaki ifadelerden hangileri tek-terimli dir? i. x 5 ii. 0, 5( + x ) iii. 3 x 2 7. (5xy 3x )(5xy y2 +3x 2 2 ) y2 ifadesini genişletin. 8. İki polinom toplanırken yanlışlıkla 2x2 + x + polinomu toplanacağına çıkartılmış ve5x 2 2x + 4 polinomu elde edilmiştir. Doğru cevabı bulunuz x b y c ve 0.5x m y 2n terimleri eşit ve toplamları.25ax n y m olduğuna göre abc kaçtır?

16 20 BÖLÜM 2. TEK - TERİMLİ VEÇOK-TERİMLİ İFADELER 0. x 5,x+ x, + 2 x + 3 x 2 ifadelerinin çarpımıyla elde edilen polinomun derecesi kaçtır?. 3x 2 + x =ise6x 3 x 2 3x kaçtır? 2. x = a b + c = b a + c = c ise x kaçtır? a + b n ifadesini tamkare yapan n değerlerini bulunuz. 4. x 2x +4xy 2y = 4 ise y x y 2xy kaçtır? 5. Dokuz tane kare birleştirilerek şekildeki gibi bir dikdörtgen elde ediliyor. En küçük karenin kenarı birim olduğuna göre bir sonraki küçük karenin kenarı kaç birimdir? Dikdörtgenin alanı kaç birim-karedir? D I C B E F G H 6. a, b, c sabit ve P (x) =ax 7 + bx 3 + cx 5olmaküzere; P ( 7) = 7 ise P (7) kaçtır? 7. a, b, c sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere; a + b + c = ise a, b, c a + b + c den iki tanesinin birbirinin ters işaretlisi olduğunu gösteriniz. 8. xy = a, xz = b, yz = c ve abc 0 ise x 2 + y 2 + z 2 nin değerini a, b, c cinsinden bulunuz. 9. a 4 + a 3 + a 2 + a + = 0 olduğuna göre a a 200 +kaçtır? 20. (x 2 x ) n = a 2n x 2n + a 2n x 2n a 2 x 2 + a x + a 0 olduğuna göre ifadesinin değeri kaçtır? a 0 + a 2 + a a 2n

17 Bölüm 3 DOĞRUSAL DENKLEMLER Denklem çözmede izlenecek yol Paydadan Kurtulmak: Eşitliğin her iki tarafı paydada yazan sayıların en küçük ortak katı ile çarpılır. Parantezler Açılır: Rasyonel sayılar ile ilgili özellikler kullanılarak parantezler açılır. İşaret değişikliklerine dikka edilir. Terimlerle İşlemler: Bilinmiyen terimler işlemler yapılıp bir tarafa, kalan sayılareşitliğin öbür tarafına göderilir. Eşitliğindiğer tarafına giden terimlerin işaretleri değiştirilir. Benzer terimler bir araya getirilerek denklemde ax = b elde edilir. a 0 ise x = b a olmak üzere tek çözüm vardır. a =0fakatb 0iseçözüm yoktur. a = b =0iseherx için çözüm vardır. 2

18 22 BÖLÜM 3. DOĞRUSAL DENKLEMLER 3. Çözümlü Sorular Soru { 9 [ 5 ( ) x ] } =denklemini çözünüz. ÇÖZÜM: [ ( ) ] x = ( ) x = x ise x +2=6 danx = 4 bulunur. = 2 Soru a, b, c pozitif sabit sayılar olmak üzere; aşağıdaki denklemi çözünüz. ÇÖZÜM: ( x a b c x a b c + x b c a + x c a b =3 ) ( ) ( ) x b c x c a + + a b = 0 ( x a b c c ) + ( x b c a a ) + ( ) x c a b b = 0 ( (x a b c) c + a + ) =0 b = 0 c + a + > 0isex a b c =0,x = a + b + c olur. b Soru a(2x +3)+3bx =2x +5 denkleminin sonsuz tane çözümü varsaa, b değerlerini bulunuz. ÇÖZÜM: a(2x +3)+3bx =2x + 5 ise (2a +3b 2)x =5 3aolduğundan 2a +3b 2=0ve5 3a = elde edilir. Dolayısıyla a = 5 3, b = 26 9 bulunur. Soru a(2x ) = 3x 3 denkleminin çözüm kümesi yoksa a sabiti kaçtır? ÇÖZÜM: a(2x ) = 3x 3ise(2a 3)x = a 3 olduğundan 2a 3=0ve a 3 0 olmalıdır. Dolayısıyla a = 3 elde edilir. 2 Soru ax +4=3x b denkleminin x için den fazla çözümü varsa (4a +3b) 2007 değeri kaçtır? ÇÖZÜM: (a 3)x = (4 + b) şeklindeki bir denklemin den fazla çözümünün olması için a 3 =0 ve 4+b = 0 olacağından a =3veb = 4 bulunur. Dolayısıyla (4a +3b) 2007 = =0

19 3.2. SORULAR Sorular. 5 { 4 [ 3 ( 2 x 3 ) ] } 2 2 = denklemini çözünüz. 2. [ ( ) ] x + +5 = x denklemini çözünüz x +3x 5 3 = x 2 2x 0 6x 7 2 denklemini çözünüz. 4. ax + b 5x +2ab 5 = 4 denklemini çözünüz. 5. x 2=kx + 5 denkleminin x için pozitif tamsayı çözümü varsak ve x değerlerini bulunuz. 6. 2a(x +6)=4x + denklemini sağlayan x değeri yok ise a kaçtır? 7. 3 ve 4 sayıları aşağıdaki denklemlerden hangilerinin kökleridir? (x 3)(x +4)=0 (x 3)(x 4) = 0 (x +3)(x +4)=0 (x +3)(x 4) = 0 8. k tamsayı ve kx = 2 denkleminin sadece pozitif tamsayı kökü varsak hangi değerleri alır? 9. x + x + + x +2 = 3 2 vardır? denklemini sağlayan kaç tane pozitif x tamsayısı 0. 3a x = x denkleminin kökü 4 olduğuna göre (a)2 2a kaçtır?. m n olmak üzere; x n m x m = m denklemini x için çözünüz. n n 2. a, b sabit sayılar olmak üzere; [4ax (a + b)](a + b) = 0 denklemini çözünüz.

20 24 BÖLÜM 3. DOĞRUSAL DENKLEMLER 3. 3 mx =5x +( 2)2 denkleminin kökü 2 olduğuna göre (m 2 m + 7) 2007 ifadesinin değeri kaçtır? 4. m sabit olmak üzere; mx 2 +=m(x + ) denklemini çözünüz. 5. k 2 x k 2 =2kx 5k denkleminin tam sayı çözümü olduğuna göre k pozitif sabit sayısı kaçtır? 6. [ ( 3 x 2 x + a )] =2xve 3x + a +4x = denklemlerinin ortak bir kökü varsabukök kaçtır? 7. a, b, c pozitif sayılar ve abc = olduğuna göre aşağıdaki denklemi x için 8. çözünüz. 2ax ab + a + + 2bx bc + b + + 2cx ca + c + = 8 3 x m = 9 x + 23 denkleminin pozitif tamsayı kökü olmasını sağlayan en 4 küçük m pozitif tamsayısı kaçtır? 9. Çözüm kümesi 3[4x (2x 6)] = x + 8 denklemi ile aynı olan denklemi sabit terimini kullanarak elde ediniz n =, 2,..., 2008, a =vea n+ = + a n olmak üzere; a a 2 + a 2 a 3 + a 3 a a 2008 a 2009 değeri kaçtır?

21 Bölüm 4 DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ. Genel olarak birinci dereceden iki bilinmiyenli denklem sistemi aşağıdaki gibidir. a x + b y = c a 2 x + b 2 y = c 2 2. Eğer a b ise x = c b 2 c 2 b, y = a c 2 a 2 c a 2 b 2 a b 2 a 2 b a b 2 a 2 b vardır. şeklinde tek çözüm 3. Eğer a a 2 = b b 2 = c c 2 ise denklemin sonsuz çözümü vardır. 4. Eğer a a 2 = b b 2 c c 2 ise çözüm yoktur. 4. Çözümlü Sorular Soru 4... Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. x y x + y 5 4 = 2 2(x y) 3(x + y)+ = 0 ÇÖZÜM: x y x + y = x +5y = elde edilir. Her iki denklem çözüldüğünde x = 59 4 bulunur. ise x +9y = 0 bulunur. İkinci denklemden 25 ve y = 4

22 26 BÖLÜM 4. DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Soru Aşağıdaki denklem sistemine göre z y kaçtır? 2000(x y) + 200(y z) (z x) = (x y) (y z) (z x) = 200 ÇÖZÜM: u = x y, v = y z ve w = z x dersek u + v + w = 0 elde edilir. 200 (u+v +w) (2000u+200v +2002w) = 0 dolayısıyla u w =0,u = w elde edilir. u+v+w = 0 olduğundan v = 2w bulunur u v w = 200 denkleminde u = w ve v = 2w yazarsak ( )w = 200 [( ) ( )] w = 200 Dolayısıyla z y = v =2w = 200 olarak bulunur. Soru ab a + b =2, ac a + c =5, 2w = 200 bc =4olduğuna göre a + b + c kaçtır? b + c ÇÖZÜM: Verilen ifadelerden abc 0 olduğu kolaylıkla anlaşılıyor. Bu durumda aşağıdaki gibi yazmamızda bir sakınca yoktur. a + b ab = 2, a + c ac = 5, b + c bc Dolayısıyla aşağıdaki denklem sistemi elde edilir. a + b = 2, a + c = 5, b + c = 4 Denklem sistemi çözüldüğünde a = 40/9, b = 40/, c = 40 elde edilir. = 4 Soru Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz ve k değerini bulunuz. x +(+k)y = 0 ( k)x + ky = +k ( + k)x +(2 k)y = ( + k) ÇÖZÜM: 2. ve 3. denklemleri toplarsak 2x +2y =0yanix = 6y elde edilir.. denklemde x = 6y yazarsak (k 5)y = 0 elde edilir. k 5 ise y = 0 dolayısıyla x =0 bulunur. Bu durumda 2. denklemden k = kolaylıkla bulunur. Eğer k =5ise2. ve 3. denklemlerden y =6/29 ve x = 36/29 bulunur.

23 4.2. SORULAR Sorular. Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. 5.4x +4.6y = x +5.4y = Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. x +2(5x + y) = 6 5x + y = 7 3. Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. x 2 = y 3 = z 5 x +3y +6z = 5 4. Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. x + y = 5 y + z = 6 z + x = 7 5. Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. x +2y = 5 y +2z = 8 z +2u = u +2x = 6 6. Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. 5x y +3z = a 5y z +3x = b 5z x +3y = c

24 28 BÖLÜM 4. DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 7. x =2,y =aşağıdaki denklem sistemi için b,r çözüm ise a ile c arasındaki ilişkiyi bulunuz. ax + by = 7 bx + cy = 5 8. Ağağıdaki denklem sistemlerinin çözüm kümeleri aynı ise (a, b, c) değerlerini bulunuz. 3x y =5 ax by + z =8 2x + y z =0 x + y +5=c 4ax +5by z = 22 2x +3y = 4 9. Aşağıdaki denklem sisteminin tek çözümü varsa,çözümü yoksa ve sonsuz çözümü varsa durumları için k değerlerini bulunuz. kx y = 3 3y = 6x 0. Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. x y z = 5 y z x = z x y = 5. Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. x y + z = y z + u = 2 z u + v = 3 u v + x = 4 v x + y = 5 2. Aşağıdaki denklem sisteminin tamsayı çözümü olduğuna göre m 2 kaçtır? mx +2y = 0 3x 2y = 0

25 4.2. SORULAR x + 2 y + 3 z x 6 y 5 z = 0 = 0 olduğuna göre x y + y z + z x kaçtır? 4. a, b, c, d, e, f rasyonel sayılar olmak üzere; her satır, sütun ve köşegen boyunca sayıların toplamı eşit olduğuna göre a + b + c + d + e + f kaçtır? a b 6 c d e f Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. x + y + z + u = 0 2x + y +4z +3u = 29 3x +2y + z +4u = 27 4x +3y + z +2u = m, n tamsayı ve 0 m, n 0 olmak üzere; aşağıdaki denklem sisteminin çözümü yoksa m ve n değerlerini bulunuz. 3x + my = 7 2x + ny = 4 7. Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. x + y + z = 2 y + z + x = 3 z + x + y = 4

26 30 BÖLÜM 4. DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 8. Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. x(y + z x) = 60 2x 2 y(z + x y) = 75 2y 2 z(x + y z) = 90 2z 2 9. Aşağıdaki denklem sisteminin pozitif tamsayı çözümünün olmasını sağlayan a değerlerini bulunuz. x +2y = a +6 2x y = 25 2a 20. Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. 2x + y + z + u + v = 6 x +2y + z + u + v = 7 x + y +2z + u + v = 9 x + y + z +2u + v = 2 x + y + z + u +2v = 23

27 Bölüm 5 ÇARPANLARA AYIRMA I. Bilinen Çarpanlara Ayırma Fomülleri (a b)(a + b) =a 2 b 2 (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 (a ± b)(a 2 ab + b 2 )=a 3 ± b 3 (a + b) 3 = a 3 +3a 2 b +3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b +3ab 2 b 3 (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 +2ab +2bc +2ca 2. Formüllerin Genellenmesi (a b)(a 3 + a 2 b + ab 2 + b 3 )=a 4 b 4 (a b)(a 4 + a 2 b + ab 2 + b 3 )=a 4 b 4 Her n N için(a b)(a n + a n 2 b ab n 2 + b n )=a n b n Her n N ve n tek tamsayı olmak üzere ; (a + b)(a n a n 2 b +... ab n 2 + b n )=a n + b n 3. (a + a a n ) 2 = a 2 + a a 2 n +2a a 2 +2a a a a n +2a 2 a a 2 a n a n a n 3

28 32 BÖLÜM 5. ÇARPANLARA AYIRMA I 4. Yukarıdaki formüllerden elde edilmiş önemli ifadeler a 2 + b 2 =(a ± b) 2 2ab (a + b) 2 (a b) 2 =4ab a 3 ± b 3 =(a ± b) 3 3ab(a ± b) a 3 + b 3 + c 3 3abc =(a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca) 5. Çözümlü Sorular Soru 5... (2 + )(2 2 + )(2 4 +) (2 20 +)+=? ÇÖZÜM: (a b)(a + b) =a 2 b 2 özelliğini kullanarak soruyu çözelim. (2 + )(2 2 + )(2 4 +) (2 20 +)+=A olmak üzere; A = (2 )(2 + )(2 2 + )(2 4 +) (2 20 +)+ = (2 2 )(2 2 + )(2 4 +) (2 20 +)+ = (2 4 )(2 4 +) (2 20 +)+ =... = (2 20 )(2 20 +)+ = ((2 20 ) 2 ) + = =2 2 = Soru (a 6 b 6 ) (a 3 b 3 ) (a 2 ab + b 2 )=? ÇÖZÜM: A 2 B 2 =(A B)(A + B) vea 3 + B 3 =(A + B)(A 2 AB + B 2 ) formüllerini kullanarak soruyu çözelim. (a 6 b 6 ) (a 3 b 3 ) (a 2 ab + b 2 ) = = a 6 b 6 (a 3 b 3 )(a 2 ab + b 2 ) (a 3 b 3 )(a 3 + b 3 ) (a 3 b 3 )(a 2 ab + b 2 ) = a3 + b 3 a 2 ab + b 2 = (a + b)(a2 ab + b 2 ) a 2 ab + b 2 = a + b

29 5.. ÇÖZÜMLÜ SORULAR 33 Soru x y =8, xy = 5 olduğuna göre i. (x + y) 2 =? (x + y) 2 = x 2 + y 2 +2xy =(x 2 + y 2 2xy)+4xy =(x y) 2 +4xy = ( 5) = 4 ii. x 4 + y 4 =? x 4 + y 4 = (x 4 +2x 2 y 2 + y 4 ) 2x 2 y 2 =(x 2 + y 2 ) 2 2(xy) 2 = [(x 2 2xy + y 2 )+2xy] 2 2( 5) 2 = [(x y) 2 30] 2 2( 5) 2 =34 2 2(225) = = 706 Soru a, b, c, d > 0 ve a 4 + b 4 + c 4 + d 4 =4abcd ise a = b = c = d olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM: 0 = a 4 + b 4 + c 4 + d 4 4abcd = (a 4 2a 2 b 2 + b 4 )+(c 4 2c 2 d 2 + d 4 )+(2a 2 b 2 +2c 2 d 2 4abcd) = (a 2 b 2 ) 2 +(c 2 d 2 ) 2 +2(ab cd) 2 Soru a + b = c + d ve a 3 + b 3 = c 3 + d 3 ise a b 2009 = c d 2009 olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM: a + b = c + d ise (a + b) 3 =(c + d) 3 elde edilir. Dolayısıyla; a 3 +3a 2 b +3ab 2 + b 3 = c 3 +3c 2 d +3cd 2 + d 3 a 3 + b 3 = c 3 + d 3 Not : 3a 2 b +3ab 2 =3c 2 d +3cd 2, 3ab(a + b) =3cd(c + d) Eğer a + b = c + d = 0 ise b = a ve d = c ve buradan a b 2009 =0=c d 2009

30 34 BÖLÜM 5. ÇARPANLARA AYIRMA I elde edilir. Eğer a + b = c + d 0 ise ab = cd olacağından (a b) 2 =(a + b) 2 4ab =(c + d) 2 4cd =(c d) 2 i. a b = c d ise a + b = c + d olduğundan a = c ve b = d elde edilir. ii. a b = (c d) isea + b = c + d olduğundan a = d ve b = c elde edilir. Her iki durum için de a b 2009 = c d 2009 şartı sağlanır. Soru x, y reel sayılar olmak üzere; x + y =ve (x 2 + y 2 )(x 3 + y 3 )=2ise x 2 + y 2 =? ÇÖZÜM: (x 2 + y 2 )(x 3 + y 3 ) = 2 ise ((x + y) 2 2xy)(x + y)((x + y) 2 3xy) =2 elde edilir. u = xy ve x + y = ise ((x + y) 2 2xy)(x + y)((x + y) 2 3xy) = 2 ( 2u)( 3u) = 2 6u 2 5u = 0 olduğundan u = 6 ve u 2 = elde edilir. x, y reel kökler olmak üzere; (t x)(t y) =t 2 (x + y)t + xy = t 2 t + u denklemi bulunur. 0 olmalı. 4u 0ve u = olduğundan x 2 + y 2 =(x + y) 2 2u = + 2 = 3 bulunur.

31 5.2. SORULAR Sorular. x + x = 3 ise x3 + x 3 ve x4 + ifadelerinin değerlerini bulunuz. x4 2. x + y = 5 2, x2 + y 2 = 3 4 olduğuna göre x5 + y 5 kaçtır? 3. x, y, z reel sayıları aşağıdaki denklem sistemini sağladığına göre; xyz ve x 4 + y 4 + z 4 değerlerini bulunuz. x + y + z = 6 x 2 + y 2 + z 2 = 26 x 3 + y 3 + z 3 = a, b, c reel sayılar olmak üzere; aşağıdaki ifadenin en küçük değerini bulunuz. 3a 2 +27b 2 +5c 2 8ab 30c a ve b sayıları a 2 + b 2 +8a 4b +65=0 eşitliğini sağladığına göre a 2 + ab + b 2 ifadesinin değeri kaçtır? 6. a b =2,b c = 4 olduğuna göre a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca ifadesinin değeri kaçtır? 7. a, b, c, d tamsayı olmak üzere; (a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 ) ifadesini iki tamsayının kareleri toplamı şeklinde yazınız. 8. 4(a 2 + b 2 + c 2 )=(a +2b +3c) 2 olduğuna göre a : b : c oranını bulunuz. 9. a 0ve x x 2 +3x + = a ise x 2 x 4 +3x 2 ifadesinin değeri kaçtır? + 0. x + x = a olduğuna göre x6 + ifadesini a cinsinden yazınız. x6. a, b, c, d sıfırdan farklı sayılar olmak üzere a 4 + b 4 + c 4 + d 4 = 4abcd ise a 2 = b 2 = c 2 = d 2 olduğunu gösteriniz.

32 36 BÖLÜM 5. ÇARPANLARA AYIRMA I 2. a + b + c + d =0olmaküzere; a 3 + b 3 + c 3 + d 3 =3(abc + bcd + cda + dab) olduğunu gösteriniz. 3. (a 2) 3 +(b 2) 3 +(c 2) 3 =0,a 2 + b 2 + c 2 =6vea + b + c = 2 olduğuna göre a, b, c değerlerinden en az bir tanesinin 2 olduğunu gösteriniz. 4. a 3 + b 3 + c 3 =(a + b + c) 3 ise her n doğal sayısı için a 2n+ + b 2n+ + c 2n+ =(a + b + c) 2n+ olduğunu gösteriniz. 5. x, y reel sayılar olmak üzere; M =3x 2 8xy +9y 2 4x +6y +3ise M>0 olduğunu gösteriniz. 6. a + b = c + d ve a 2 + b 2 = c 2 + d 2 olduğuna göre a b 2009 = c d 2009 olduğunu gösteriniz. 7. a + b + c = 0 ise 2(a 4 + b 4 + c 4 )=(a 2 + b 2 + c 2 ) 2 olduğunu gösteriniz. 8. a + b =,a 2 + b 2 = 2 ise a 7 + b 7 değeri kaçtır? 9. a, b reel sayıları a 3 + b 3 +3ab =şartını sağladığına göre a + b kaçtır?

33 Bölüm 6 ÇARPANLARA AYIRMA-II. Ortak çarpan parantezine alma xm + ym + zm = m(x + y + z) 2. x 2 +(a + b)x + ab =(x + a)(x + b) 3. acx 2 +(ad + bc)x + bd =(ax + b)(cx + d) 4. Gruplandırarak çarpanlara ayırma ÖRNEK: 2ax 4ay x +2y =2a(x 2y) (x 2y) =(x 2y)(2a ) 5. Bir terim ekleyip çıkararak çarpanlara ayırma ÖRNEK: 4x 4 +7x 2 +4 = 4x 4 +7x 2 +4+x 2 x 2 = 4x 4 +8x 2 +4 x 2 = (2x 2 +2) 2 x 2 = (2x 2 +2 x)(2x 2 +2+x) = (2x 2 x + 2)(2x 2 + x +2) 37

34 38 BÖLÜM 6. ÇARPANLARA AYIRMA-II 6. Çözümlü Sorular Soru 6... (d 2 c 2 + a 2 b 2 ) 2 4(bc da) 2 ifadesini çarpanlarına ayırınız. ÇÖZÜM (d 2 c 2 + a 2 b 2 ) 2 4(bc da) 2 = A olsun A = (d 2 c 2 + a 2 b 2 ) 2 (2bc 2da) 2 A = (d 2 c 2 + a 2 b 2 2bc +2da)(d 2 c 2 + a 2 b 2 +2bc 2da) A = [(d + a) 2 (b + c) 2 ] [(d a) 2 (b c) 2 ] A = (d + a b c)(d + a + b + c)(d + b a c)(d + c a a) Soru x 6 729y 2 ifadesini çarpanlarına ayırınız. ÇÖZÜM 64x 6 729y 2 = (2x) 6 (3y 2 ) 6 = [(2x) 3 (3y 2 ) 3 ][(2x) 3 +(3y 2 ) 3 ] = (2x 3y 2 )[(2x) 2 +(2x)(3y 2 )+(3y 2 ) 2 ] (2x +3y 2 )[(2x) 2 (2x)(3y 2 )+(3y 2 ) 2 ] = (2x 3y 2 )(2x +3y 2 )(4x 2 +6xy 2 +9y 4 )(4x 2 6xy 2 +9y 4 ) Soru x 2 +7xy 4y 2 3x +6y 2 ifadesini çarpanlarına ayırınız. ÇÖZÜM 2x 2 +7xy 4y 2 =(2x y)(x+4y) olduğu kolayca görülebilir. Bu durumda verilen ifadenin 2x 2 +7xy 4y 2 3x +6y 2=(2x y + a)(x +4y + b) şeklinde çarpanlarına ayrıldığını kabul edelim. Bu durumda (2x y + a)(x +4y + b) =2x 2 +7xy 4y 2 +(a +2b)x +(4a b)y + ab elde edilir. Katsayıların eşitliğinden; a +2b = 3,4a b =6,ab = 2 Denklem sistemi elde edilir. Bu denklemlerden a =,b = 2 ve dolayısıyla 2x 2 +7xy 4y 2 3x +6y 2=(2x y +)(x +4y 2) elde edilir.

35 6.2. SORULAR Sorular. 2x 2 + x 6ve2x 2 0x + 8 ifadelerini çarpanlarına ayırınız. 2. 2a 3 +6a 2 +6a + 8 ifadesini çarpanlarına ayırınız. 3. x 4 +2x 3 +7x 2 +6x 7 vex 3 +9x 2 +23x+5 ifadelerini çarpanlarına ayırınız. 4. (a+)(a+2)(a+3)(a+4) 20 ve x 5 +x+ ifadelerini çarpanlarına ayırınız. 5. (2y 3z) 3 +(3z 4x) 3 +(4x 2y) 3 ifadesini çarpanlarına ayırınız. 6. (3a +3b 8ab)(3a +3b 2) + ( 9ab) 2 ifadesini çarpanlarına ayırınız. 7. x 5 5qx +4r ifadesinin bir çarpanı c sabit olmak üzere (x c) 2 ise q 5 = r 4 olduğunu gösteriniz. 8. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. i. x 9 +7x 6 y 3 +7x 3 y 6 + y 9 ii. 4x 2 + y 2 +9z 2 6yz +2zx 4xy iii. (x 2 )(x +3)(x +5)+6 iv. (2x 2 4x +) 2 4x 2 +28x +3 v. x 3 3x 2 +(a +2)x 2a vi. x + x x 2 + x + 9. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. i. x 4 2(a 2 + b 2 )x 2 +(a 2 b 2 ) 2 ii. (ab +)(a +)(b +)+ab ifadesinin 45 ile bölünebildiğini gösteriniz }{{} }{{} ifadesinin tam-kare olduğunu gösteriniz. 2n n 2. x 2 + xy 2y 2 +8x + ay 9 polinomunun doğrusal iki polinomun çarpımı şeklinde yazılabilmesi için a hangi değerleri alır?

36 40 BÖLÜM 6. ÇARPANLARA AYIRMA-II 3. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız. i. (x 2 + x ) 2 + x 2 + x 3 ii. (x y) 3 +(y x 2) 3 +8 iii. (6x +5) 2 (3x +2)(x +) 6 iv. (x 2 +5x +6)(x 2 +6x +6) 2x 2 v. (x 2 2x) 3 +(x 2 4x +2) 3 8(x 2 3x +) 3 vi. a 3 + b 3 + c 3 +(a + b)(b + c)(c + a) 2abc 4. x 4 x 3 +4x 2 +3x + 5 ifadesini çarpanlarına ayırınız. 5. y 4 6y 3 + my 2 + ny + 36 ifadesinin bir çarpanı y 2 +3y + 6 olduğuna göre m ve n değerlerini bulunuz. 6. 2(x 2 +6x +) 2 +5(x 2 +)(x 2 +6x +)+2(x 2 +) 2 ifadesini çarpanlarına ayırınız. 7. x 4 + ax 2 + b ifadesinin bir çarpanı x 2 +2x + 5 ise a + b kaçtır? 8. (ab + cd)(a 2 b 2 + c 2 d 2 )+(ac + bd)(a 2 + b 2 c 2 d 2 ) ifadesini çarpanlarına ayırınız. 9. (ay + bx) 3 +(ax + by) 3 (a 3 + b 3 )(x 3 + y 3 ) ifadesini çarpanlarına ayırınız. 20. a, b, c farklı pozitif tamsayılar olmak üzere aşağıdaki sayılardan birinin 8 ile bölündüğünü gösteriniz. a 5 b ab 5,b 5 c bc 5,c 5 a ca 5

37 Bölüm 7 MUTLAK DEĞER. a reel sayı olmak üzere, a şeklinde gösterilen mutlak değer fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlıdır. a a > 0 a = 0 a =0 a a < 0 2. Geometrik olarak ise bir a reel sayısının mutlak değeri ile a sayısının orjine olan uzaklığı ifade edilmektedir. a =-a b =b a O b 3. Daha genel olarak a b ifadesi ile a ve b noktalarının birbirine olan uzaklığı ifade edilir. 4. Diğer özellikler a = a a a a a = b a = b ya da a = b n herhangi bir pozitif tamsayı olmak üzere ; a n = a n ab = a b a = a b b a ± b a + b 4

38 42 BÖLÜM 7. MUTLAK DEĞER 7. Çözümlü Sorular x x Soru 7... ifadesini pozitif yapan x reel sayılarını bulunuz. x ÇÖZÜM: x 0 olduğu kolayca anlaşılmaktadır. x>0ise x<0ise x x x x x x = = x x x x ( x) x = 0 x =0 = 2x x = 2x x = 2 Dolayısıyla verilen ifadeyi pozitif yapan x reel sayısı yoktur. Soru a, b, c sıfırdan farklı reel sayılar olmak üzere; alabileceği bütün değerleri bulunuz. ÇÖZÜM: x>0ise x x =vex<0ise x = olduğundan x a, b, c üçü birden negatif ise a a + b b + c c = 3 a, b, c den tam olarak iki tanesi negatif ise a a + b b + c c = a, b, c den tam olarak bir tanesi negatif ise a a + b b + c c = a, b, c üçü birden pozitif ise a a + b b + c c =3 Dolayısıyla 3,, ve3değerlerini alabilir. Soru a, b, c reel sayılar olmak üzere; (3a + b) 2 + b 4 0 a 0 + bc ifadesinin kaçtır? a a + b b + c c ifadesinin + c +3 =0ise ÇÖZÜM: Verilen eşitliğin sol tarafındaki her ifade negatif değildir. Dolayısıyla toplamlarının sıfır olması için (3a + b) 2 =0, b 4 0 =0, c+ 3 = 0 olmalıdır. Dolayısıyla a = 2,b =40,c = 3 elde edilir. İstenen ifade a 0 + bc =( 2) 0 + (40)( 3) = = 904 olarak bulunur. Soru m = x +2 + x 2x 4 is m nin en büyük değeri kaçtır? ÇÖZÜM: Mutlak değerin içini sıfır yapan değerler önemlidir. i. x 2isem = (x +2) (x ) + (2x 4) = 5 ii. 2 x isem =(x +2) (x ) + (2x 4) = 2x iii. <x 2isem =(x +2)+(x ) + (2x 4) = 4x 3 5 iv. x>2isem =(x +2)+(x ) + (4 2x) =5 Dolayısıyla m nin en büyük değeri 5 olur.

39 7.2. SORULAR Sorular. a b a = b a olduğuna göre b ifadesinin alabileceği değerleri bulunuz. a a 2. <x<3olmaküzere aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz. x 3 x 3 x ( x) ve x + 3 x 3. <x<3olmaküzere; x 2 +2 x ifadesinin en sade halini bulunuz <x<5olmaküzere ; x x-5 ifadesinin en sade halini bulunuz. 5. x 2 + x 3 = denklemini sağlayan kaç tanex reel sayısı vardır? 6. a<b<colmak üzere; y = x a + x b + x c ifadesinin en küçük değerini bulunuz. 7. Aşağıdaki ifadenin en sade halini bulunuz. x + x x 8. 2x x 5 3x olduğuna göre x x +3 ifadesinin en büyük 3 2 ve en küçük değerlerini bulunuz. 9. x reel sayı ve x =+ x ise x ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) (x ) C)x 0. x + + x 2 + x 3 ifadesinin en küçük değeri kaçtır?. x<0 olduğuna göre x 2x ifadesinin değeri kaçtır? 3 2. a<b<c<dolmak üzere; x a + x b + x c + x d ifadesinin en küçük değerini bulunuz. 3. a, b reel sayıları a + b = a b şartını sağladığına göre ab kaçtır? 4. a, b, c tamsayı olmak üzere; a b 9 + c a 9 = ise c a + a b + b c ifadesinin değeri kaçtır?

40 44 BÖLÜM 7. MUTLAK DEĞER 5. a = 2009 olmak üzere; 2a 3 3a 2 2a + 2a 3 3a 2 3a 2009 ifadesinin değeri kaçtır? 6. a, b sabit sayılar ve a > 0olmaküzere; x a b = 3 ifadesinin üç farklı kökü varsab kaçtır? 7. x,x 2,..., x n reel sayıları i =, 2,..., n için x i < ve x + x x n =49+ x + x x n şartlarını sağladığına göre n in en küçük değeri kaçtır? 8. a <a 2 <... < a n sabit olmak üzere; x a + x a x a n ifadesinin en küçük değerini bulunuz. 9. 2x+ 4 5x + 3x +4 ifadesi belli bir aralıkta belli bir sabit değer aldığına göre bu aralığı ve sabit değeri bulunuz. 20. a, b, c sıfırdan farklı reel sayılar ve a + b + c =0olmaküzere; x = a b + c + b a + c c a + b ise x x ifadesinin değeri kaçtır? 2. {, 2, 3,..., 99, 200} kümesinin elemanları her grupta 00 sayı olacak şekilde iki gruba parçalanıyorlar. İlk gruptaki sayılar küçükten büyüğe a <a 2 <... < a 00 şeklinde diğer gruptaki sayıla büyükten küçüğe b >b 2 >... > b 00 şeklinde sıralandıklarına göre a b + a 2 b a 99 b 99 + a 00 b 00 ifadesinin değeri kaç olur?

41 Bölüm 8 MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER. Mutlak değerli denklemleri çözebilmemiz için mutlak değerden kurtulmamız gerekmektedir. En genel haliyle P (x) = Q(x) şeklinde karşımıza çıkacak olan mutlak değerli denklemlerde Q(x) 0 olacaktır. Bu durumda denklem aşağıdaki durumlar incelenerek çözülür. P (x) =Q(x) ya da P(x) = Q(x) 2. Eğer bir denklemde aşağıdaki gibi birden fazla mutlak değerli ifade varsa ax + b cx + d = e mutlak değerin içini sıfır yapan değerlere göre farklı durumlarda inceleme yapmamız gerekecektir. 8. Çözümü Sorular Soru x +2 =4denklemini çözünüz. ÇÖZÜM: 3x +2 =4 3x +2= 4 yada3x + 2 = 4 elde edilir. Dolayısıyla x = 2 yadax = 2 çözümleri bulunur. 3 45

42 46 BÖLÜM 8. MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER Soru x 3x + =4denklemini çözünüz. ÇÖZÜM: Bu tür sorularda ilk olarak en dıştaki mutlak değerden kurtulmak gerekir. x 3x + = 4 x 3x + = 4 ya da x 3x + = 4 elde edilir. x 3x+ =4 0 x 4 = 3x+ x+4 = 3x+ ya da x 4 =3x+ dolayısıyla x = 3 4 ya da x = 5 elde edilir, ancak x 4 olacağından birinci 2 denklemden çözüm gelmez. x 3x+ = 4 0 x+4 = 3x+ x 4 =3x+ ya da x+4 = 3x+ dolayısıyla x = 5 4 ya da x = 3 elde edilir. 2 Soru x +2 x 3 x + x +2 = x denklemini çözünüz. ÇÖZÜM: x, x, x+, x+2 ifadelerini 0 yapan değerler sırasıyla, 0,, 2 olduğundan x 2, 2 <x, <x 0, 0 <x, <xaralıkları için çözümleri ayrı ayrı bulmamız gerekmektedir. x 2 olduğunda ( x)+2( x)+3(x+)+(x+2)= x eşitliğinden 6 = 0 elde edilir. Buradan çözüm gelmez. 2 <x olduğunda ( x)+2( x)+3(x+) (x+2)= x eşitliğinden x = elde edilir. Buradan çözüm gelmez. <x 0 olduğunda ( x)+2( x) 3(x +) (x +2)=x eşitliğinden x = 2 elde edilir. 0 <x olduğunda ( x)+2x 3(x +) (x +2)=x eşitliğinden x = elde edilir.buradan çözüm gelmez. <xolduğunda (x ) + 2x 3(x +) (x +2)=x eşitliğinden x = 3 elde edilir.buradan çözüm gelmez. Dolayısıyla sadece x = için çözüm vardır. 2

43 8.2. SORULAR Sorular. x 2 = 3 denklemini çözünüz. 2. x 2 + x 2 = 0 olduğuna göre x hangi değerleri alır. 3. 4m + 5 b = 6 denkleminin m için üç farklıçözümü olmasını sağlayan b rasyonel sayısı kaçtır? 4. x + +(y +2) 2 =0veax 3ay = ise a kaçtır? 5. xy + x y = denklemini sağlayan kaç tane(x, y) tamsayı ikilisi vardır? 6. x + x 3 = a denkleminin x için sonsuz çözümü varsaa kaçtır? 7. x + x + y =0vex + y y =2isex + y kaçtır? 8. 5x 4 2x = 3 denklemini çözünüz. 9. a tamsayı ve 2a a = 8 ise a kaç farklıdeğer alır? 0. x 2x + = 3 denklemini sağlayan kaç farklıx değeri vardır?. x = ax+ denkleminin tam olarak bir tane negatif çözümü ve pozitif çözümü yoksa a hangi değerleri alır? 2. x 2 = a denkleminin x için üç farklı tamsayı çözümü varsaa kaçtır? 3. a x x 2008 = 0 denkleminin x için sadece negatif çözümleri varsa a 2008 kaçtır? 4. m, n, k sabit olmak üzere; 3x 4 +2m =0, 4x 5 +3n =0, 5x 6 +4k =0 denklemlerinin sırasıyla çözümü yok, sadece bir çözümü varveikiçözümü var ise m, n, k sabitlerini büyükten küçüğe sıralayınız. 5. Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. x y = x + y 2 x + y = x +2

44 48 BÖLÜM 8. MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER 6. x 2 + x 6=0denklemininkaçkökü vardır?kökler toplamı ve kökler çarpımı hangi değerleri alır? 7. x +3y + 3x y =9,2x + y = 6 denklem sistemini çözünüz. 8. Aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. x 2y = x + y = 2 9. x = 0 denkleminin köklerini bulunuz. 20. a, b reel sayılar olmak üzere; a (a + b) < a a + b ise a ve b hangi değerleri alır. 2. x 2 = denklemini x için çözünüz. a tek asal sayının karesi ise x 52a çözümün bileşik sayı olduğunu gösteriniz. 22. a,a 2,a 3,a 4 farklı reel sayılar olmak üzere aşağıdaki denklem sistemini çözünüz. a a 2 x 2 + a a 3 x 3 + a a 4 x 4 = a 2 a x + a 2 a 3 x 3 + a 2 a 4 x 4 = a 3 a x + a 3 a 2 x 2 + a 3 a 4 x 4 = a 4 a x + a 4 a 2 x 2 + a 4 a 3 x 3 =

45 Bölüm 9 POLİNOMLARA GİRİŞ n negatif olmayan tamsayı, her a i sabit ve her x değişken olmak üzere; a n x n + a n x n a x + a 0 ifadesine n. dereceden bir bilinmeyenli polinom denir. Her bir a i x i ifadesine terim denir. Polinomun derecesi katsayısı 0 olmayan terimlerden derecesi en büyük olandır. Sabit polinomun derecesi 0, sıfır polinomun derecesi tanımsızdır. f nin polinom fonksiyon olabilmesi için f(x) in polinom olması gerekir. Polinomun derecesi degf olarak gösterilir. Bazı polinomlar aşağıdaki tabloda gösterildiği gibi derecesine göre farklı isimler alırlar. Derece Polinom 0 sabit doğrusal (birinci dereceden) 2 quadratik (ikinci dereceden) 3 kübik (üçüncü dereceden) 4 quartik (dördüncü dereceden). Polinomlarda Bölme : n sayma sayısı sıfırdan farklı bir m sayma sayısı ile bölündüğünde bölüm q ve kalan r olmak üzere (0 r m) ;n = mq + r şeklinde ifade edilir. r 0isebubölmeye kalanlı bölme denir. Benzer şekilde f(x) polinomunun sıfırdan farklı g(x) polinomu ile bölümünden elde edilen bölüm q(x) ve kalan r(x) olmaküzere; p(x) =g(x) q(x) +r(x) şeklinde yazılabilir. f(x) polinomunun derecesi g(x) veq(x) polinomlarının dereceleri toplamına eşittir. Aynı zamanda r(x) polinomunun derecesi g(x) polinomunun derecesinden küçüktür. 49

46 50 BÖLÜM 9. POLİNOMLARA GİRİŞ 2. Sentetik Bölme : f(x) derecesi n olan bir polinom ve g(x) =x a olduğunda q(x) polinomu derecesi n olan bir polinom ve r(x) sabit polinom olur. f(x) = a n x n + a n x n a x + a 0 q(x) = b n x n + b n 2 x n b x + b 0 olmak üzere; f(x) =(x a)(b n x n + b n 2 x n b x + b 0 )+r = b n x n +(b n 2 ab n )x n +(b n 3 ab n 2 )x n (b 0 ab )x ab 0 + r f(x) polinomunun katsayıları ile elde ettiğimiz bu polinomun katsayıları aynı olacağından; b n = a n,b n 2 = a n + ab n,..., b 0 = a + ab,r = a 0 + ab 0 dolayısıyla aşağıdaki tablo elde edilir. a an an- n-2 n- ab n- + bn- b n- 2 a... a a0 ab 2... ab ab0... b r b n KALAN TEOREMİ veçarpan TEOREMLERİ TEOREM :f(x) derecesi n olan bir polinom olmak üzere; herhangi bir a sabit sayısı için f(x) =(x a)q(x)+r şeklinde yazılabilir. q(x) derecesi n olan bir polinom ve r = f(a) olarak elde edilir. TEOREM 2: (x a) nınf(x) in bir çarpanı olması için gerek ve yeter şart f(a) = 0 olmasıdır. TEOREM 3: (Rasyonel Kök Teoremi) Tamsayı katsayılı f(x) =a n x n + a n x n a x + a 0 ( polinomunun p ve q aralarında asal olmak üzere ; x p ) şeklinde bir çarpanı q varsa q a 0 ve p a n dir. (İlerde detaylı anlatılacak.)